Bac ES/L – Asie – Juin 2019

Asie – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. D’après la calculatrice on a $P(X\pp 4) \approx 0,05$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\left(\e^x\right)^2=3\e^x\ssi \e^{2x}-3\e^x=0\ssi \e^x\left(\e^x-3\right)=0$.
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs est nul.
    L’équation $\e^x=0$ ne possède pas de solution
    et $\e^x-3=0\ssi \e^x=3\ssi x=\ln 3$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}=x\e^{-x}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. D’après le graphique on a $\mu=200$.
    De plus $p(170\pp X\pp 230)=0,95 \ssi p(\mu-30\pp X\pp \mu+30)=0,95$
    Or $p(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
    Donc $2\sigma \approx 30$ et $\sigma \approx 15$.
    Par conséquent $p(X\pg a)=0,1 \ssi p(X\pp a)=0,9$.
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve : $a\approx 219,2$.
    Réponse c
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Voir figure à la fin de partie
    $\quad$
  2. D’après l’arbre pondéré on a $p(M\cap G)=0,4\times 0,6=0,24$
    $\quad$
  3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(G)=p(F\cap G)+p(M\cap G)+p(E\cap G)\\
    &\ssi 0,58=p(F\cap G)+0,24+0,27\\
    &\ssi p(F\cap G)=0,07\end{align*}$
    $\quad$
    b. Par conséquent :
    $\begin{align*} p_F(G)&=\dfrac{p(F\cap G)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,07}{0,1}\\
    &=0,7\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a $p_F(G)=0,7>0,47$.
    La présence de Claire semble favoriser la victoire de l’équipe féminine.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_G(F)&=\dfrac{p(G\cap F)}{p(G)}\\
    &=\dfrac{0,07}{0,58}\\
    &\approx 0,12\end{align*}$
    La probabilité que Claire ait suivi le match d’une équipe adulte féminine sachant qu’elle a assisté à la victoire d’une équipe du club est environ égale à $0,12$.
    $\quad$

$\quad$

Partie B

  1. $\mu=30$ donc en moyenne ce supporter attend $30$ minutes au guichet.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(X\pp 15)&=P(X\pp 30)-P(15\pp X\pp 30) \\
    &=0,5-P(15\pp X\pp 30) \\
    &\approx 0,07\end{align*}$
    La probabilité qu’il puisse acheter son billet avant le début du match est environ égale à $0,07$.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $n=75$ et $p=0,6$
    Donc $n\pg 30$, $np=45\pg 5$ et $n(1-p)=30\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion d’enfants se réinscrivant d’une année sur l’autre est :
    $\begin{align*} I_{75}&=\left[0,6-1,96\sqrt{\dfrac{0,6\times 0,4}{75}};0,6+1,96\sqrt{\dfrac{0,6\times 0,4}{75}}\right]\\
    &\approx [0,48;0,72]\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{52}{75}\in I_{75}$
    La victoire de la France n’a pas eu d’effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club.
    $\quad$

 

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité et candidats de L

Partie A

  1. On a $u_1=(230-8,5)\times 1,04=230,36$.
    Richard disposera de $230,36$ tonnes sur les plages au 1$\ier$ septembre 2019.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-221 \ssi u_n=v_n+221$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-221\\
    &=1,04u_n-8,84-221\\
    &=1,04u_n-229,84\\
    &=1,04\left(v_n+221\right)-229,84\\
    &=1,04v_n+229,84-229,84\\
    &=1,04v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=u_0-221=9$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=9\times 1,04^n$.
    $\quad$
    c. Et $u_n=v_n+221=9\times 1,04^n+221$.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel tel que :
    $\begin{align*} u_n\pg 250 &\ssi 9\times 1,04^n+221\pg 250\\
    &\ssi 9\times 1,04^n\pg 29 \\
    &\ssi 1,04^n\pg \dfrac{29}{9}\\
    &\ssi n\ln 1,04\pg \ln \dfrac{29}{9} \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln \dfrac{29}{9}}{\ln 1,04}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{29}{9}}{\ln 1,04}\approx 29,8$.
    C’est donc au bout de $30$ ans que la quantité d’algues présentes sur ces plages dépassera $250$ tonnes.
    $\quad$

Partie B

  1. $A$ contient la quantité d’algues sur les plages.
    $B$ contient la quantité d’algues prélevées par l’entreprise.
    $\quad$
  2. On obtient le tableau : $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hspace{0.7cm}K\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}A\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}B\hspace{0.7cm} \\ \hline
    \bbox[lightgray]{\phantom{NNNNNN}}
    & 230 & 8,5 \\ \hline 1 &230,36 & 9,35\\ \hline 2 & 229,85& 10,29\\ \hline 3 & 228,35 & 11,31\\ \hline 4 & 225,72 & 12,44\\ \hline 5 & 221,80 & 13,69\\ \hline 6 & 216,44 & 15,06\\ \hline 7 & 209,43 & 16,56\\ \hline 8 & 200,58 & 18,22\\ \hline 9 & 189,66 & 20,04\\ \hline 10 & 176,40 & 22,05\\ \hline 11 & 160,53 & 24,25\\ \hline 12 & 141,73 & 26,68\\ \hline 13 & 119,65 & 29,34\\ \hline 14 & 93,92 & 32,28\\ \hline 15 & 64,11 & 35,51\\ \hline 16 & 29,75 & 39,06\\ \hline \end{array}$$
    $\quad$
  3. En 2034 il n’aura pas assez d’algues à prélever.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

  1. Les sommets $A$ et $L$, par exemple, ne sont pas liés. Le graphe n’est donc pas complet.
    Cela signifie donc que la compagnie ne dessert pas tous les aéroports à partir de chacun d’entre eux.
    $\quad$
  2. On a :
    $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1&0&0&0&0&0&1&1&1\\
    0&0&0&1&0&0&1&0&0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Le coefficient ${M^3}_{4,5}$ vaut $5$.
    Il existe donc $5$ trajets possibles à un avion partant de l’aéroport F d’effectuer $3$ vols avant d’arriver à l’aéroport B.
    $\quad$
  4. a. On étudie le degré des sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&F&G&L&M&P&V\\
    \hline
    \text{Degré}&4&4&2&4&3&2&4&4&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi, exactement $2$ sommets de ce graphe connexe sont de degrés impairs.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    Un même avion peut ainsi parcourir successivement une fois et une seule
    chaque liaison.
    Il doit utiliser comme aéroports de départ et d’arrivée les aéroports $G$ et $V$.
    $\quad$
    b. Le sommet $P$ possède $4$ liaisons.
    Chacune d’entre-elle ne peut être utilisée qu’une seule fois.
    L’avion de posera donc $2$ fois à l’aéroport $P$.
    $\quad$

Partie B

On utilise l’algorithme de Dijsktra.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A & B & C & F & G & L & M & P & V & \text{Sommet} \\
\hline
\phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & \phantom{11111} & 0 & V \\
\hline
1(V) & 2(V) &  &  &  &  &  & 4(V) & \phantom{11111} & A \\
\hline
& 2(V) &  &  & 5(A) &  & 6(A) & 4(V) &  & B \\
\hline
&  &  &  & 5(A) &  & 4(B) & 4(V) &  & M \\
\hline
&  & 8(M) &  & 5(A) &  & 4(B) & 4(V) &  & P \\
\hline
&  & 8(M) & 10(P) & 5(A) & 5(M) &  &  &  & G \\
\hline
&  & 8(M) & 10(P) &  & 5(M) &  &  &  & L \\
\hline
&  & 8(M) & 9(L) &  &  &  &  &  & C \\
\hline
&  &  & 9(L) &  &  &  &  &  & F \\
\hline
\end{array}$$
Ainsi le chemin le plus court est $V-B-M-L-F$. Sa durée est de $9$ heures.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Graphiquement on a $f'(1)=0$ puisque la tangente $T_1$ est horizontale.
    $\quad$
    b. Il semblerait que le point $B$ soit le seul point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
    c. L’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=6$ et $x=8$ contient entre $4$ et $5$ “rectangles” unité .
    Ainsi $\ds 4\pp \int_6^8 f(x)\dx \pp 5$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0,5;12]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x \in[0,5;12]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2} \\
    &=\dfrac{x-1}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction carré est positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Avec $f(0,5)\approx 1,3$ et $f(12)\approx 2,6$
    $\quad$
  3. D’après le logiciel de calcul formel on a, pour tout réel $x\in[0,5;12]$ $\dsec(x)=\dfrac{-x+2}{x^3}$
    $-x+2=0\ssi x=2$ et $-x+2>0\ssi x<2$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur l’intervalle $[0,5;2]$ et concave sur l’intervalle $[2;12]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0,5;12]$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[0,5;12]$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=\ln (x)+(x+1)\times \dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln (x)+1+\dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln (x)+\dfrac{1}{x}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,5;12]$.
    $\quad$
    b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,5;12]$ est :
    $\begin{align*} \ds m&=\dfrac{1}{12-0,5}\int_{0,5}^12f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{11,5}\left(F(12)-F(0,5)\right) \\
    &=\dfrac{1}{11,5}\left(13\ln (12)-12-1,5\ln (0,5)+0,5\right) \\
    &=\dfrac{13\ln (12)-1,5\ln (0,5)-11,5}{11,5}\\
    &\approx 1,90\end{align*}$
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre
réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour tout événement $E$ ,on note $p(E)$ sa probabilité.

  1. Soit ܺ$X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $B(20;0,4)$.
    a. $p(X=7)=20\times 0,4^7$
    b. $p(X>4)=0,98$ arrondie au centième
    c. $p(X\pp 4)=0,05$  arrondie au centième
    d. $p(X\pp 7)=0,25$ arrondie au centième
    $\quad$
  2. L’équation $\left(\e^x\right)^2=3\e^x$ possède :
    a. une unique solution $3$
    b. une unique solution $\ln(3)$
    c. deux solutions $0$ et $\ln(3)$
    d. deux solutions $0$ et $3$
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par ݂$f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$.
    Une autre expression de ݂$f(x)$ est :
    a. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{-x}$
    b. $f(x)=-x\e^{-x}$
    c. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{x}$
    d. $f(x)= x\e^{-x}$
    $\quad$
  4. Soit ܺ$X$ une variable aléatoire suivant une loi normale dont la densité de probabilité est représentée ci-dessous. Sur le graphique, la surface grisée correspond à une probabilité de $0,95$

    Une valeur approchée à $0,1$ près du nombre ܽ$a$ tel que $p(X\pg a)=0,1$ est :
    a. $a\approx 180,8$
    b. $a\approx 212,6$
    c. $a\approx 219,2$
    d. $a\approx 238,4$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Si nécessaire, les résultats seront arrondis au centième.

Partie A

Un club de football est composé d’équipes adultes masculines, adultes féminines et d’équipes d’enfants. Chaque week-end, la présidente Claire assiste au match d’une seule des équipes du club et elle suit :

  • dans $10 \%$ des cas, le match d’une équipe adulte féminine ;
  • dans $40 \%$ des cas, le match d’une équipe adulte masculine ;
  • dans les autres cas, le match d’une équipe d’enfants.

Lorsqu’elle assiste au match d’une équipe masculine, la probabilité que celle-ci gagne est $0,6$. Lorsqu’elle assiste au match d’une équipe d’enfants, la probabilité que celle-ci gagne est $0,54$.
La probabilité que Claire voie l’équipe de son club gagner est $0,58$.
On choisit un week-end au hasard. On note les événements suivants :

  • $F$ : « Claire assiste au match d’une équipe adulte féminine »
  • $M$ : « Claire assiste au match d’une équipe adulte masculine »
  • $E$ : « Claire assiste au match d’une équipe d’enfants »
  • $G$ : « l’équipe du club de Claire gagne le match »

Pour tous événements $A$ et $B$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de $A$ et, si $B$ est de probabilité non nulle, $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.

  1. L’arbre de probabilité est donné en annexe. Le compléter au fur et à mesure de l’exercice.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité $p(M\cap G)$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que $p(F\cap G)=0,07$.
    $\quad$
    b. En déduire $p_F(G)$.
    $\quad$
    c. La probabilité que l’équipe adulte féminine gagne un match est $0,47$. La présence de Claire semble-t-elle favoriser la victoire de l’équipe adulte féminine ?
    $\quad$
  4. Claire annonce avoir assisté à la victoire d’une équipe du club. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi le match d’une équipe adulte féminine ?
    $\quad$

Partie B

Au guichet, un supporter attend pour acheter son billet. On modélise le temps d’attente en minute par une variable aléatoire ܺ qui suit la loi normale d’espérance $\mu=30$ et d’écart type $\sigma=10$.

  1. En moyenne, combien de temps attend ce supporter au guichet ?
    $\quad$
  2. Déterminer $p(25\pp X\pp 35)$. Interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Le supporter ne dispose que de $15$ minutes avant le début du match pour acheter son billet.
    Quelle est la probabilité qu’il puisse acheter son billet avant le début du match ?
    $\quad$

Partie C

Des études statistiques ont montré que la probabilité qu’un enfant se réinscrive d’une année sur l’autre dans le même club de football est $0,6$.

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la proportion d’enfants se réinscrivant d’une année sur l’autre pour un échantillon de $75$ enfants pris au hasard dans le même club de football.
    $\quad$
  2. $52$ des $75$ enfants du club de Claire veulent se réinscrire en septembre 2018.
    La victoire de la France aux championnats du monde en 2018 a-t-elle eu un effet sur les réinscriptions en septembre 2018 dans ce club ? Justifier.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

Partie A

Tous les ans, au mois de septembre, Richard prélève 8,5 tonnes d’algues sur les plages de sa commune.
Au 1$\ier$ septembre 2018, il y avait $230$ tonnes d’algues sur ces plages.
Tous les ans, entre le 1$\ier$ octobre et le 1$\ier$ septembre suivant, la quantité d’algues sur ces plages augmente de $4 \%$.
On note $u_n$ la quantité en tonnes d’algues présente sur les plages au 1$\ier$ septembre de l’année 2018 $+n$ ݊. Ainsi, $u_0=230$.

  1. Vérifier par le calcul que Richard disposera de $230,36$ tonnes sur les plages au 1er septembre 2019.
    On admet que, pour tout ݊ $n\in \N$, $u_{n+1}=1,04u_n-8,84$
    $\quad$
  2. Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout ݊$n\in \N$, v_n=u_n-221$
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,04$.
    Préciser son premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout ݊$n\in \N$ en fonction de ݊$n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout ݊$n\in\N$, $u_n=221+9\times 1,04^n$.
    $\quad$
  3. La quantité d’algues présentes sur ces plages dépassera-t-elle un jour $250$ tonnes ? Si oui, préciser au bout de combien d’années cette quantité sera atteinte.
    $\quad$

Partie B

Pour développer son entreprise, à partir du 1$\ier$ septembre 2019, Richard a besoin de $10 \%$ d’algues de plus que l’année précédente.
On rappelle qu’au 1$\ier$ septembre 2018, il disposait de $230$ tonnes d’algues et qu’il en avait consommé $8,5$ tonnes en septembre 2018. Dans cette nouvelle situation, il disposera de $230,36$ tonnes d’algues au 1$\ier$ septembre 2019 et en utilisera $9,35$ tonnes pendant ce mois.
Richard souhaite étudier la quantité d’algues sur les plages concernées pour les $16$ prochaines années selon ce modèle.
Pour cela, il rédige l’algorithme ci-dessous. $$\begin{array}{|l|}
\hline
A\leftarrow 230\\
B\leftarrow 8,5\\
\text{Pour $K$ allant de $1$ à $16$}\\
\hspace{1cm} A\leftarrow (A-B)\times 1,04\\
\hspace{1cm} B\leftarrow B\times 1,1\\
\text{Fin Pour}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Que représentent les variables $A$ et $B$ de l’algorithme ?
    $\quad$
  2. Dans le tableau en annexe, on a obtenu différentes valeurs de $A$ et $B$ de l’algorithme.
    Compléter les lignes du tableau pour les valeurs de $K = 1$ et $K = 2$. Arrondir les résultats au centième.
    $\quad$
  3. Que peut conclure Richard pour 2034 ?
    $\quad$

Annexe

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hspace{0.7cm}K\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}A\hspace{0.7cm} & \hspace{0.7cm}B\hspace{0.7cm} \\ \hline \bbox[lightgray]{\phantom{NNNNNN}} & 230 & 8,5 \\ \hline 1 & & \\ \hline 2 & & \\ \hline 3 & 228,35 & 11,31\\ \hline 4 & 225,72 & 12,44\\ \hline 5 & 221,80 & 13,69\\ \hline 6 & 216,44 & 15,06\\ \hline 7 & 209,43 & 16,56\\ \hline 8 & 200,58 & 18,22\\ \hline 9 & 189,66 & 20,04\\ \hline 10 & 176,40 & 22,05\\ \hline 11 & 160,53 & 24,25\\ \hline 12 & 141,73 & 26,68\\ \hline 13 & 119,65 & 29,34\\ \hline 14 & 93,92 & 32,28\\ \hline 15 & 64,11 & 35,51\\ \hline 16 & 29,75 & 39,06\\ \hline \end{array}$

$\quad$
$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

Les différentes parties sont indépendantes.

Partie A

Une compagnie aérienne a représenté à l’aide d’un graphe les
différentes liaisons assurées par ses avions. Les sommets du graphe représentent les initiales des aéroports desservis et les arêtes correspondent aux vols effectués par un avion de cette compagnie entre deux aéroports.
Par exemple, l’arête entre $A$ et $G$ signifie qu’un avion effectue le vol entre les aéroports $A$ et $G$, en partant de $A$ vers $G$ ou en partant de $G$ vers $A$.

  1. Le graphe est-il complet ?
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. On note $M$ la matrice d’adjacence du graphe ci-dessus, en classant les sommets par ordre alphabétique. Compléter les deux lignes manquantes de la matrice $M$ donnée en annexe.
    $\quad$
  3. La compagnie souhaite qu’un avion partant de l’aéroport $F$ effectue $3$ vols avant d’arriver à l’aéroport $B$. À l’aide de la matrice $M^3$ donnée ci-après, déterminer le nombre de trajets possibles. $$M^3=\begin{pmatrix}
    4&9&2&5&8&2&8&4&9\\
    9&6&2&5&4&2&8&9&7\\
    2&2&0&6&2&0&6&2&3\\
    5&5&6&2&6&6&2&7&3\\
    8&4&2&6&2&2&4&8&3\\
    2&2&0&6&2&0&6&2&3\\
    8&8&6&2&4&6&2&6&3\\
    4&9&2&7&8&2&6&4&8\\
    9&7&3&3&3&3&3&8&4\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  4. L’entreprise souhaite qu’un même avion puisse parcourir successivement une fois et une seule chaque liaison.
    a. Justifier qu’un avion peut le faire et préciser les aéroports de départ et d’arrivée possibles.
    $\quad$
    b. Lors de ce trajet, combien de fois cet avion doit-il se poser à l’aéroport $P$ ?
    Expliquer la réponse.
    $\quad$

Partie B
Sur le graphe ci-dessous sont indiqués les différents temps de vol en heure entre deux aéroports.

 

Un client souhaite utiliser une offre promotionnelle de cette compagnie pour voyager de l’aéroport $V$ jusqu’à l’aéroport $F$. Combien d’heures de vol doit-il envisager au minimum ?
Préciser le trajet.

Annexe

$M=\begin{pmatrix}0&1&0&0&1&0&1&0&1\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
0&0&1&0&1&1&0&1&0\\
1&0&0&1&0&0&0&1&0\\
0&0&0&1&0&0&1&0&0\\
1&1&1&0&0&1&0&0&0\\
0&1&0&1&1&0&0&0&1\\
1&1&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}$

$\quad$

Exercice 3     5 points

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ représentative d’une fonction ݂ définie et dérivable sur$[0,5;12]$ la tangente ܶ$T_1$ à $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $1$ et la tangente ܶ$T_2$ à $\mathscr{C}$ au point $B$ d’abscisse $2$. La tangente ܶ$T_1$ est parallèle à l’axe des abscisses.
La tangente ܶ$T_2$ traverse la courbe $\mathscr{C}$ en $B$. On note ݂$f’$ la fonction dérivée de ݂$f$.

  1. Par lecture graphique :
    a. Déterminer ݂$f'(1)$.
    $\quad$
    b) Déterminer les éventuels points d’inflexion de  $\mathscr{C}$
    $\quad$
    c) Déterminer un encadrement de $\ds \int_6^8 f(x)\dx$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
  2.  On admet que la fonction ݂$f$ est définie sur $[0,5;12]$ par $f(x)=\ln(x)+\dfrac{1}{x}$
    a. Vérifier que, pour tout $x\in[0,5;12]$, $f'(x)=\dfrac{x-1}{x^2}$.
    $\quad$
    b. Déterminer le signe d$f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de ݂$f$.
    Si nécessaire, on arrondira à $0,1$ les valeurs numériques.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants que l’on pourra admettre.

    Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel ݂ est concave.
    $\quad$
  4. Soit $F$ la fonction définie sur $[0,5;12]$ par $F(x)=(x+1)\ln(x)-x$.
    a. Vérifier que $F$ est une primitive de ݂$f$ sur $[0,5;12]$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de la valeur moyenne de ݂$f$ sur l’intervalle $[6;8]$.
    $\quad$