Exercice 1

1. a. On a $P(M)=\dfrac{1}{500}$, $P_M(S)=0,98$ et $P_{\conj{M}}\left(\conj{S}\right)=0,98$.
   $\quad$
   b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
   c. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(S)&=P(S\cap M)+P\left(S\cap \conj{M}\right) \\
   &=\dfrac{1}{500}\times 0,98+\dfrac{499}{500}\times 0,02 \\
   &=0,021~92
   \end{align*}$
   $\quad$
   d. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{P(S\cap M)}{P(S)} \\
   &=\dfrac{0,98\times \dfrac{1}{500}}{0,021~92} \\
   &=\approx 0,089
   \end{align*}$
   La probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique est très faible. Il y a donc de forte chance que ce voyageur ne porte pas d’objet métallique.
   $\quad$
2. a. On répète $80$ fois la même expérience aléatoire. Toutes les “tirages” sont identiques, indépendants. Chaque expérience possède exactement deux issues : $S$ et $\conj{S}$.
   De plus $P(S)=0,021~92$.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=0,021~92$.
   $\quad$
   b. $E(X)=np=1,753~6$.
   Un moyenne environ $1,7$ personnes feront sonner le portique.
   $\quad$
   c. La probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le portique est :
   $P(X \pg 1)=1-P(X=0)=1-(1-0,021~92)^{80} \approx 0,830$
   $\quad$
   La probabilité qu’au maximum $5$ personnes fassent sonner le portique est :
   $P(X \pp 5) \approx 0,992$ d’après la calculatrice.
   $\quad$
   d. En utilisant le mode table de la calculatrice on obtient :
   $P(X \pp 2) \approx 0,744$ et $P(X \pp 3) \approx 0,901$
   Donc $3$ est le plus petit entier tel que $P(X \pp n) \pg 0,9$.
   $\quad$

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité et candidats de L

1. a. À la fin du $1\ier$ mois Maya a dépensé $\dfrac{1}{4}\times 20=5$ €.
   Il lui reste donc $15$ €.
   Elle place $20$ € supplémentaires.
   Elle possède donc dans sa tirelire $35$ € à la fin du $1\ier$ mois.
   $\quad$
   b. Ainsi $u_1=35$.
   $u_2=\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\times u_1+20=46,25$.
   $\quad$
2. a.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Valeur de }U&20&35&46,25&54,69&61,02&65,76&69,32&71,99 \\
   \hline
   \text{Valeur de }N&0&1&2&3&4&5&6&7\\
   \hline
   \begin{array}{c} \text{Condition}\\U<70\end{array}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{faux}\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. À la fin de l’exécution, l’algorithme affiche $7$.
   Cela signifie donc qu’à partir du $7^{\text{ième}}$ mois Maya aura plus de $70$ € dans sa tirelire.
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-80$ donc $u_n=v_n+80$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-80 \\
   &=0,75u_n+20-80\\
   &=0,75u_n-60 \\
   &=0,75\left(v_n+80\right)-60 \\
   &=0,75v_n+60-60\\
   &=0,75v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$.
   $\quad$
   b. Son premier terme est $v_0=u_0-80=-60$.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-60\times 0,75^n$.
   Or $u_n=v_n+80=80-60\times 0,75^n$.
   $\quad$
   d. Au $1\ier$ juin 2019 on a $n=12$ donc $u_{12}=80-60\times 0,75^{12}\approx 78,10$.
   Maya possèdera donc $78,10$ €.
   $\quad$
   e. On a $0<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,75^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$.
   $\quad$
   f. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=80$.
   Au bout d’un grand nombre de mois, Maya aura donc $80$ € dans sa tirelire.
   $\quad$

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi la spécialité 

1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
   
2. a. La matrice de transition associée au graphe est :
   $M=\begin{pmatrix} 0,7&0,3\\0,45&0,55 \end{pmatrix}$
   $\quad$
   b. On a $P_2=P_0\times M^2=\begin{pmatrix}0,568~75&0,431~25\end{pmatrix}$
   Donc environ $57\%$ des clients ont un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau au $1\ier$ janvier 2020.
   $\quad$
3. a. On a $P_{n+1}=P_n\times M$
   Donc $\begin{pmatrix} e_{n+1}&g_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e_n&g_n\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,7&0,3\\0,45&0,55 \end{pmatrix}$
   Par conséquent $e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} \begin{cases} e_n+g_n=1\\e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n\end{cases} &\ssi \begin{cases} g_n=1-e_n \\e_{n+1}=0,7e_n+0,45\left(1-e_n\right) \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} g_n=1-e_n \\e_{n+1}=0,7e_n+0,45-0,45e_n \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}g_n=1-e_n \\e_{n+1}=0,25e_n+0,45\end{cases} \end{align*}$
   Donc $e_{n+1}=0,25e_n+0,45$.
   $\quad$
4. a. On obtient l’algorithme suivant :
   $\begin{array}{|l|}
   \hline
   E\leftarrow 0,1\\
   G \leftarrow 0,9\\
   \text{Pour $I$ allant de $1$ à $N$}\\
   \hspace{1cm} E\leftarrow 0,25\times E+0,45 \\
   \hspace{1cm} G\leftarrow 1-E\\
   \text{Fin Pour}\\
   \text{Afficher $E$ et $G$}\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. Voici les différents états pris par les variables $E$ et $G$ arrondis au centième :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   E&0,1&0,475&0,57&0,59\\
   \hline
   G&0,9&0,525&0,43&0,41\\
   \hline
   \end{array}$
   L’algorithme affichera donc $0,59$ et $0,41$.
   $\quad$
   c. L’état stable $P=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ vérifie :
   $\begin{align*} \begin{cases} x+y=1\\P=P\times M\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1-y \\x=0,7x+0,45y\\y=0,3x+0,55y\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1-y\\-0,3x+0,45y=0 \\0,3x-0,45y=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1-y\\-0,3+0,3y+0,45y=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,75y=0,3 \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1-y \\y=0,4\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}x=0,6\\y=0,4\end{cases}
   \end{align*}$
   Sur le long terme $60\%$ des clients auront un contrat avec EfficaceRéseau et $40\%$ avec GénialPhone.
   $\quad$

Exercice 3

1. $f'(4)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $4$. Elle passe par les points de coordonnées $(4;2)$ et $(-2;-1)$.
   Donc $f'(4)=\dfrac{2-(-1)}{4-(-2)} = \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
   Réponse C
   $\quad$
2. La courbe représentant la fonction $f$ est sous ses tangentes sur l’intervalle $[2;5]$. La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
   Réponse D
   $\quad$
3. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est
   $m=\displaystyle \dfrac{1}{5-0} \int_0^5 f(x)\dx$
   La fonction $f$ est positive et continue sur l’intervalle $[0;5]$.
   Par conséquent $\displaystyle \int_0^5 f(x)\dx$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
   Ce domaine contient $13$ carrés entiers (en comptant comme entier $2$ carrés qui le sont presque) et est contenu dans un domaine de $17$ carrés entiers.
   Ainsi $\dfrac{13}{5} \pp m \pp \dfrac{17}{5}$.
   Donc $m \approx 2,9$.
   Réponse C
   $\quad$
4. Sur le graphique on lit que $\mu=650$.
   Donc :
   $\begin{align*} P(649 \pp X \pp 651)&=1-P(X \pp 649)-P(X \pg 651) \\
   &=1-2P(X \pp 649) \\
   &\approx 0,683
   \end{align*}$
   Réponse B
   $\quad$

Exercice 4

1. a. En utilisant la dérivée d’un quotient, on obtient, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1;25]$.
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{x}\right)x-\left(x+2-\ln(x)\right)}{x^2} \\
   &=\dfrac{x-1-x-2+\ln(x)}{x^2} \\
   &=\dfrac{-3+\ln(x)}{x^2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. Surl’intervalle $[1;25]$
   $\begin{align*} -3+\ln(x) > 0 &\ssi \ln(x) > 3 \\
   &\ssi x > \e^3
   \end{align*}$
   La solution est donc $\left]\e^3;+\infty\right[$.
   $\quad$
   c. De plus $-3+\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=3 \ssi x=\e^3$.
   On obtient le tableau de variation suivant :
   $\quad$
   d. On a $f(25) \approx 0,95$.
   Donc, d’après le tableau de variation, pour tout réel appartenant à l’intervalle $\left[\e^3;25\right]$ on a $f(x) \pp f(25) < 1,5$.
   L’équation $f(x)=1,5$ n’admet aucune solution sur cet intervalle.
   Sur l’intervalle $\left[1;\e^3\right]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur cet intervalle.
   De plus $f(1)=3 > 1,5$ et $f\left(\e^3\right)\approx 0,95<1,5$.
   Donc $1,5\in\left[f\left(\e^3\right);3\right]$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[1;\e^3\right]$.
   Par conséquent, l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;25]$.
   $\quad$
   e. À l’aide du menu table de la calculatrice on trouve $2,31 <\alpha <2,32$.
   $\quad$
2. a. D’après le tableau de variation, la fonction $f$ atteint un minimum pour $x=\e^3\approx 20,09$.
   L’entreprise doit donc produire environ $2~009$ pièces pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit minimal.
   Le coût moyen de fabrication est alors $f\left(\e^3\right) \approx 0,95$ €.
   $\quad$
   b. D’après le tableau de variation et la question 1.e. il faut produire au moins $232$ pièces pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit inférieur ou égal à $1,50$ euros.
   $\quad$
   c. La fonction $f$ admet pour minimum $f\left(\e^3\right) > 0,5$.
   Il est donc impossible que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit de $50$ centimes.
   $\quad$

Exercice 1     6 points

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques
que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
On note :

• $S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique » ;
• $M$ l’événement « le voyageur porte un objet métallique ».

On considère qu’un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.

1. On admet que :
   $\bullet$ Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
   $\bullet$ Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
   a. À l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_M(S)$ et $P_M\left(\conj{S}\right)$.
   $\quad$
   b. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.
   
   $\quad$
   c. Montrer que : $P(S)=0,021~92$.
   $\quad$
   d. En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$).
   Commenter le résultat obtenu.
   $\quad$
2. $80$ personnes s’apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0,021~92$.
   Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les $80$ personnes de ce groupe.
   a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   $\quad$
   b. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat.
   $\quad$
   c. Sans le justifier, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de :
   $\bullet$ la probabilité qu’au moins une personne du groupe fasse sonner le
   portique ;
   $\bullet$ la probabilité qu’au maximum $5$ personnes fassent sonner le portique.
   $\quad$
   d. Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \pp n)\pg 0,9$.
   $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Maya possède $20$ € dans sa tirelire au 1$\ier$ juin 2018.
À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place $20$ € supplémentaires.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la somme d’argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du $n\ieme$ mois. On a $u_0= 20$.

1. a. Montrer que la somme d’argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1$\ier$ mois est de $35$ €.
   $\quad$
   b. Calculer $u_2$.
   $\quad$
2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75u_n+20$.
   On considère l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   U \leftarrow 20\\
   N \leftarrow 0\\
   \text{Tant que } U<70 \\
   \hspace{1cm} U \leftarrow 0,75\times U+20\\
   \hspace{1cm} N \leftarrow N+1\\
   \text{Fin Tant que}
   \text{Afficher }N\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l’exécution de l’algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la place de celle laissée en pointillés. Arrondir les résultats au centième.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Valeur de }U&20&\ldots&&\\
   \hline
   \text{Valeur de }N&0&\ldots&&\\
   \hline
   \begin{array}{c}
   \text{Condition}\\U<70\end{array}&\text{vrai}&\ldots&\text{vrai}&\text{faux}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ?
   Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
3. Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n-80$.
   a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
   $\quad$
   b. Préciser son premier terme $v_0$.
   $\quad$
   c. En déduire que, pour tout entier $n$, $u_n=80-60\times 0,75^n$.
   $\quad$
   d. Déterminer, au centime près, le montant que Maya possédera dans sa tirelire au 1$\ier$ juin 2019.
   $\quad$
   e. Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
   $\quad$
   f. En déduire la limite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications
mobiles. Une étude révèle que chaque année :

• parmi les clients de l’opérateur EfficaceRéseau, $70\%$ se réabonnent à ce même opérateur et $30\%$ souscrivent un contrat avec l’opérateur GenialPhone ;
• parmi les clients de l’opérateur GenialPhone, $55\%$ se réabonnent à ce même opérateur et $45\%$ souscrivent un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau.

On note $E$ l’état : « la personne possède un contrat chez l’opérateur EfficaceRéseau » et $G$ l’état : « la personne possède un contrat chez l’opérateur GenialPhone ».

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l’un des deux opérateurs.

On note également :

• $e_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$;
• $g_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l’opérateur GenialPhone au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$ ;
• $P_n=\begin{pmatrix} e_n&g_n\end{pmatrix}$ désigne la matrice ligne traduisant l’état probabiliste du système au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$.

Au 1$\ier$ janvier 2018, on suppose que $10\%$ des clients possèdent un contrat chez EfficaceRéseau, ainsi $P_0=\begin{pmatrix}0,1&0,9\end{pmatrix}$.

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $E$ et $G$.
   $\quad$
2. a. Déterminer la matrice de transition associée au graphe en rangeant les
   sommets dans l’ordre alphabétique.
   $\quad$
   b. Vérifier qu’au 1$\ier$ janvier 2020, environ $57\%$ des clients ont un contrat avec l’opérateur EfficaceRéseau.
   $\quad$
3. a. On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=P_n\times M$.
   Exprimer $e_{n+1}$ en fonction de $e_n$ et $g_n$.
   $\quad$
   b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1}=0,25e_n+0,45$.
   $\quad$
4. a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous de façon à ce qu’il affiche l’état probabiliste au 1$\ier$ janvier $(2018+n)$ :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   E\leftarrow 0,1\\
   G\leftarrow 0,9\\
   \text{Pour $I$ allant de $1$ à $N$}\\
   \hspace{1cm} E \leftarrow \ldots \times E + \ldots \\
   \hspace{1cm} G \leftarrow \ldots\\
   \text{Fin Pour}\\
   \text{Afficher $E$ et $G$}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Déterminer l’affichage de cet algorithme pour $N = 3$. Arrondir au centième.
   $\quad$
   c. Déterminer l’état stable du système et interpréter votre réponse dans le
   contexte de l’exercice.
   $\quad$

Exercice 3     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.

Pour les questions 1. et 2. et 3., on a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d’abscisses respectives $2$ et $4$.

1. $f'(4)$ est égal à :
   a. $2$
   b. $-1$
   c. $0,5$
   d. $0$
   $\quad$
2. $f$ est convexe sur l’intervalle :
   a. $]-\infty;2]$
   b. $]-\infty;0,5]$
   c. $[0;4]$
   d. $[2;5]$
   $\quad$
3. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
   a. $-0,1$
   b. $-2,5$
   c. $2,9$
   d. $14,5$
   $\quad$
4. Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et telle que $$P(X\pp 649) \approx 0,158~7$$
   On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l’espérance et l’écart-type de cette loi normale.
   
   a. $P(X\pp 651) \approx 0,658~7$
   b. $P(649 \pp X \pp 651) \approx 0,683$
   c. $\sigma = 650$
   d. $\mu=649$
   $\quad$

Exercice 4     5 points

1. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[1;25]$ par $$f(x)=\dfrac{x+2-\ln(x)}{x}$$
   a. On admet que $f$ est dérivable sur $[1;25]$.
   Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1;25]$, $$f'(x)=\dfrac{-3+\ln(x)}{x^2}$$
   $\quad$
   b. Résoudre dans $[1;25]$ l’inéquation $-3+\ln(x)>0$.
   $\quad$
   c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $[1;25]$.
   $\quad$
   d. Démontrer que dans l’intervalle $[1;25]$, l’équation $f(x)=1,5$ admet une seule solution. On notera $\alpha$ cette solution.
   $\quad$
   e. Déterminer un encadrement d’amplitude $0,01$ de $\alpha$ à l’aide de la calculatrice.
   $\quad$
2. Une entreprise fabrique chaque jour entre $100$ et $2~500$ pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont  identiques.
   On admet que lorsque $x$ centaines de pièces sont fabriquées, avec $1 \pp x\pp 25$, le coût moyen de fabrication d’une pièce est de $f(x)$ euros.En utilisant les résultats obtenus à la question 1. :
   a. Déterminer, à l’unité près, le nombre de pièce à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit minimal.
   Déterminer alors ce coût moyen, au centime d’euro près.
   $\quad$
   b. Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit inférieur ou égal à $1,50$ euros.
   $\quad$
   c. Est-il possible que le coût moyen de fabrication d’une pièce soit de $50$ centimes? Justifier.
   $\quad$