Bac ES/L – Métropole – Septembre 2018

Métropole – Septembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(G\cap F)=0,129\times 0,4=0,051~6$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(F)=p(G\cap F)+p\left(\conj{G}\cap F\right) &\ssi 0,51=0,051~6+p\left(\conj{G}\cap F\right) \\
    &\ssi p\left(\conj{G}\cap F\right) =0,51-0,051~6 \\
    &\ssi p\left(\conj{G}\cap F\right) =0,458~4\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_F\left(\conj{G}\right)&=\dfrac{p\left(F\cap \conj{G}\right)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,458~4}{0,51} \\
    &\approx 0,899
    \end{align*}$
    La probabilité qu’en présence d’une élève fille celle-ci soit droitière est environ égale à $0,899$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fréquence observée est $f=\dfrac{110}{230}$
    $\quad$
  2. On a $n=230$ et $p=0,13$.
    Donc $n=230\pg 30$, $np=29,9 \pg 5$ et $n(1-p)=200,1  \pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique de $95\%$ de la proportion de gauchers dans la population française est :
    $\begin{align*} I_{230}&=\left[0,13-1,96\sqrt{\dfrac{0,13\times 0,87}{230}};0,13+1,96\sqrt{\dfrac{0,13\times 0,87}{230}}\right] \\
    &\approx [0,087;0,174]\end{align*}$
    Or $f\approx 0,478 \notin I_{230}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, le club d’escrime n’est pas représentatif de la population française.
    $\quad$

Partie C

  1. a. D’après la calculatrice on a :
    $P(X\pp 300) = 0,5+P(268\pp X\pp 300) \approx 0,945$
    et $P(Y\pp 300)=0,5+P(280 \pp Y\pp 300) \approx 0,818$
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’environ $94,5\%$ des gauchers ont un temps de réaction inférieur à $300$ millisecondes tandis qu’environ $81,8\%$ des droitiers ont un temps de réaction inférieur à $300$ millisecondes.
    $\quad$
  2. La droite d’équation $x=268$ semble être un axe de symétrie de la courbe $C$ et la droite d’équation $x=280$ semble être un axe de symétrie de la courbe $C’$.
    La courbe $C$ représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $X$ et la courbe $C’$ représente la fonction de densité de la variable aléatoire $Y$.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

  1. En $C3$ on peut saisir $=C2*1,15-90$.
    $\quad$
  2. En $E3$ on peut saisir $=E2+D3$.
    $\quad$
  3. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{année}&\text{rang de l’année}&\text{nombre d’inscrits}&\text{bénéfice annuel}&\text{bénéfices cumulés}\\
    \hline
    2016&0&800&16~000&16~000\\
    \hline
    2017&1&830&16~600&32~600\\
    \hline
    2018&2&865&17~300&49~900\\
    \hline
    2019&3&904&18~080&67~980\\
    \hline
    2020&4&950&19~000&86~980\\
    \hline
    2021&5&1~002&20~040&107~020\\
    \hline
    2022&6&1~063&21~260&128~280\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. D’après le tableau précédent, l’école pourra construire sa nouvelle classe de dans en 2022.
    $\quad$

Partie B

  1. Une augmentation de $15\%$ des inscriptions se traduit par $1,15u_n$.
    Il y a $90$ désinscriptions. Donc, pour tout entier naturel $n$ on a  $u_{n+1}=1,15u_n-90$.
    On a $u_0=800$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-600$ donc $u_n=v_n+600$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-600 \\
    &=1,15u_n-90-600\\
    &=1,15u_n-690\\
    &=1,15\left(v_n+600\right)-690\\
    &=1,15v_n+690-690\\
    &=1,15v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $v_0=u_0-600=200$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=200\times 1,15^n$.
    $\quad$
    c. On a $u_n=v_n+600$ donc, pour tout entier naturel $n$, on peut écrire $u_n=200\times 1,15^n+600$.
    $\quad$
  3. On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pg 2~000 &\ssi 200\times 1,15^n+600\pg 2~000 \\
    &\ssi 200\times 1,15^n \pg 1~400 \\
    &\ssi n \ln (1,15) \pg \ln (7) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln (7)}{\ln (1,15)}
    \end{align*}$.
    Or $\dfrac{\ln (7)}{\ln (1,15)} \approx 13,9$ donc $n \pg 14$.
    Par conséquent, c’est à partir de l’année 2030 que l’école accueillera plus de $2~000$ adhérents.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. a. Le graphe est connexe.
    Le tableau suivant donne le degré des sommets de ce graphe.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{Degré}&3&4&4&3&4&4&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement $2$ sommets de ce graphe sont de degré impair.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    L’investisseur peut ainsi emprunter, une et une seule fois, chacune des rues reliant les biens.
    $\quad$
    b. On peut choisir, par exemple, le trajet $A-F-C-E-F-G-D-B-A-C-B-E-D$.
    Sa durée correspond à la somme des différents poids soit $145$ minutes
    $\quad$
  2. Pour répondre à la question nous allons utiliser l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&A\\
    \hline
    &8(A)&12(A)&&&14(A)&&B\\
    \hline
    &&12(A)&24(B)&23(B)&14(A)&&C\\
    \hline
    &&&24(B)&22(C)&14(A)&&F\\
    \hline
    &&&24(B)&22(C)&&33(F)&E\\
    \hline
    &&&24(B)&&&33(F)&D\\
    \hline
    &&&&&&30(D)&G\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant.

    $\quad$
  2. a. La matrice de transition est : $M=\begin{pmatrix} 0,5&0,5\\0,25&0,75 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. L’état initial est $P_0=\begin{pmatrix} 0,8&0,2\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. En 2023, on a $n=5$
    Donc $P_5=\begin{pmatrix} s_5&t_5\end{pmatrix}=P_0M^5 \approx \begin{pmatrix} 0,334&0,666\end{pmatrix}$.
    Par conséquent, en 2023, environ $33,4\%$ des locataires occuperont un studio.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. D’après l’énoncé $r(1)=7$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $r$ est dérivable sur l’intervalle $[1;5]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de cet intervalle on a $r'(x)=1+\dfrac{2}{x}=\dfrac{x+2}{x}$.
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[1;5]$ on a $x>0$ donc $x+2>0$. Par conséquent $r'(x)>0$.
    Ainsi la fonction $r$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;5]$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $r$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1;5]$.
    De plus $r(1)=7<10$ et $r(5)=11+2\ln(5)\approx 14,2 >10$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $r(x)=10$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;5]$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 2,318$.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, l’entreprise réalise une recette supérieure à $100~000$ euros à partir de $2~318$ voitures télécommandées vendues.
    $\quad$
  4. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[1;5]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1;5]$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=2\left[\ln(x)-1\right]+2x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2\ln(x)-2+2 \\
    &=2\ln(x)\\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;5]$.
    $\quad$
    b. Ainsi une primitive de la fonction $r$ sur l’intervalle $[1;5]$ est la fonction $R$ définie par $R(x)=6x+\dfrac{1}{2}x^2+2x\left[\ln(x)-1\right]$.
    $\quad$
    c. La valeur moyenne de la fonction $r$ sur l’intervalle $[2;4]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{4-2}\int_2^4 r(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(R(4)-R(2)\right] \\
    &=\dfrac{24+8+8\left[\ln(4)-1\right]-12-2-4\left[\ln(2)-1\right]}{2}\\
    &=\dfrac{14+8\ln(4)-4\ln(2)}{2}\\
    &=7+4\ln(4)-2\ln(2)\\
    &=7+8\ln(2)-2\ln(2)\\
    &=7+6\ln(2) \\
    &\approx 11,159
    \end{align*}$
    La valeur moyenne de la recette totale de l’entreprise lorsqu’elle vend entre $2~000$ et $4~000$ voitures télécommandées est donc d’environ $111~590$ euros.
    $\quad$

Énoncé

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