Bac ES/L – Métropole – Septembre 2018

Métropole – Septembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Voici les différentes valeurs prises, arrondies au centième, par les variables $v$ et $S$ au cours du temps quand $N=3$.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    i&&1&2&3\\
    \hline
    v&9&6,75&5,06&3,80\\
    \hline
    S&9&15,75&20,81&24,61\\
    \hline
    \end{array}$
    Une valeur approchée au dixième du contenu de la variable $S$ est $24,6$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}=\dfrac{2\e^{a-1}}{\e^{2a}}=2\e^{a-1-2a}=2\e^{-1-a}=\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    Réponse d
    $\quad$
  3. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède deux tangentes horizontales. L’équation $f'(x)=0$ possède donc $2$ solutions.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[-1;6]$ une valeur approchée de la solution de l’équation $f(x)=-0,3$ est $-0,3$.
    Réponse b
    $\quad$
    Remarque : $-3$ semble également être une valeur approchée d’une solution de l’équation mais n’appartient pas à l’intervalle $[-1;6]$.
    $\quad$
  5. La courbe $\mathscr{C}_f$ semble posséder $3$ points d’inflexion (en environ $-1,8$, $0$ et $1,8$).
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(G\cap F)=0,129\times 0,4=0,051~6$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(F)=p(G\cap F)+p\left(\conj{G}\cap F\right) &\ssi 0,51=0,051~6+p\left(\conj{G}\cap F\right) \\
    &\ssi p\left(\conj{G}\cap F\right) =0,51-0,051~6 \\
    &\ssi p\left(\conj{G}\cap F\right) =0,458~4\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_F\left(\conj{G}\right)&=\dfrac{p\left(F\cap \conj{G}\right)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,458~4}{0,51} \\
    &\approx 0,899
    \end{align*}$
    La probabilité qu’en présence d’une élève fille celle-ci soit droitière est environ égale à $0,899$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fréquence observée est $f=\dfrac{110}{230}$
    $\quad$
  2. On a $n=230$ et $p=0,13$.
    Donc $n=230\pg 30$, $np=29,9 \pg 5$ et $n(1-p)=200,1  \pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique de $95\%$ de la proportion de gauchers dans la population française est :
    $\begin{align*} I_{230}&=\left[0,13-1,96\sqrt{\dfrac{0,13\times 0,87}{230}};0,13+1,96\sqrt{\dfrac{0,13\times 0,87}{230}}\right] \\
    &\approx [0,087;0,174]\end{align*}$
    Or $f\approx 0,478 \notin I_{230}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, le club d’escrime n’est pas représentatif de la population française.
    $\quad$

Partie C

  1. a. D’après la calculatrice on a :
    $P(X\pp 300) = 0,5+P(268\pp X\pp 300) \approx 0,945$
    et $P(Y\pp 300)=0,5+P(280 \pp Y\pp 300) \approx 0,818$
    $\quad$
    b. Cela signifie donc qu’environ $94,5\%$ des gauchers ont un temps de réaction inférieur à $300$ millisecondes tandis qu’environ $81,8\%$ des droitiers ont un temps de réaction inférieur à $300$ millisecondes.
    $\quad$
  2. La droite d’équation $x=268$ semble être un axe de symétrie de la courbe $C$ et la droite d’équation $x=280$ semble être un axe de symétrie de la courbe $C’$.
    La courbe $C$ représente donc la fonction de densité de la variable aléatoire $X$ et la courbe $C’$ représente la fonction de densité de la variable aléatoire $Y$.
    $\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

  1. En $C3$ on peut saisir $=C2*1,15-90$.
    $\quad$
  2. En $E3$ on peut saisir $=E2+D3$.
    $\quad$
  3. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{année}&\text{rang de l’année}&\text{nombre d’inscrits}&\text{bénéfice annuel}&\text{bénéfices cumulés}\\
    \hline
    2016&0&800&16~000&16~000\\
    \hline
    2017&1&830&16~600&32~600\\
    \hline
    2018&2&865&17~300&49~900\\
    \hline
    2019&3&904&18~080&67~980\\
    \hline
    2020&4&950&19~000&86~980\\
    \hline
    2021&5&1~002&20~040&107~020\\
    \hline
    2022&6&1~063&21~260&128~280\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. D’après le tableau précédent, l’école pourra construire sa nouvelle classe de dans en 2022.
    $\quad$

Partie B

  1. Une augmentation de $15\%$ des inscriptions se traduit par $1,15u_n$.
    Il y a $90$ désinscriptions. Donc, pour tout entier naturel $n$ on a  $u_{n+1}=1,15u_n-90$.
    On a $u_0=800$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-600$ donc $u_n=v_n+600$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-600 \\
    &=1,15u_n-90-600\\
    &=1,15u_n-690\\
    &=1,15\left(v_n+600\right)-690\\
    &=1,15v_n+690-690\\
    &=1,15v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $v_0=u_0-600=200$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=200\times 1,15^n$.
    $\quad$
    c. On a $u_n=v_n+600$ donc, pour tout entier naturel $n$, on peut écrire $u_n=200\times 1,15^n+600$.
    $\quad$
  3. On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pg 2~000 &\ssi 200\times 1,15^n+600\pg 2~000 \\
    &\ssi 200\times 1,15^n \pg 1~400 \\
    &\ssi n \ln (1,15) \pg \ln (7) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln (7)}{\ln (1,15)}
    \end{align*}$.
    Or $\dfrac{\ln (7)}{\ln (1,15)} \approx 13,9$ donc $n \pg 14$.
    Par conséquent, c’est à partir de l’année 2030 que l’école accueillera plus de $2~000$ adhérents.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. a. Le graphe est connexe.
    Le tableau suivant donne le degré des sommets de ce graphe.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{Degré}&3&4&4&3&4&4&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement $2$ sommets de ce graphe sont de degré impair.
    Il possède donc une chaîne eulérienne.
    L’investisseur peut ainsi emprunter, une et une seule fois, chacune des rues reliant les biens.
    $\quad$
    b. On peut choisir, par exemple, le trajet $A-F-C-E-F-G-D-B-A-C-B-E-D$.
    Sa durée correspond à la somme des différents poids soit $145$ minutes
    $\quad$
  2. Pour répondre à la question nous allons utiliser l’algorithme de Dijkstra.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&&&&&&&A\\
    \hline
    &8(A)&12(A)&&&14(A)&&B\\
    \hline
    &&12(A)&24(B)&23(B)&14(A)&&C\\
    \hline
    &&&24(B)&22(C)&14(A)&&F\\
    \hline
    &&&24(B)&22(C)&&33(F)&E\\
    \hline
    &&&24(B)&&&33(F)&D\\
    \hline
    &&&&&&30(D)&G\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant.

    $\quad$
  2. a. La matrice de transition est : $M=\begin{pmatrix} 0,5&0,5\\0,25&0,75 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. L’état initial est $P_0=\begin{pmatrix} 0,8&0,2\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    c. En 2023, on a $n=5$
    Donc $P_5=\begin{pmatrix} s_5&t_5\end{pmatrix}=P_0M^5 \approx \begin{pmatrix} 0,334&0,666\end{pmatrix}$.
    Par conséquent, en 2023, environ $33,4\%$ des locataires occuperont un studio.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. D’après l’énoncé $r(1)=7$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $r$ est dérivable sur l’intervalle $[1;5]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de cet intervalle on a $r'(x)=1+\dfrac{2}{x}=\dfrac{x+2}{x}$.
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[1;5]$ on a $x>0$ donc $x+2>0$. Par conséquent $r'(x)>0$.
    Ainsi la fonction $r$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;5]$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $r$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1;5]$.
    De plus $r(1)=7<10$ et $r(5)=11+2\ln(5)\approx 14,2 >10$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $r(x)=10$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;5]$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 2,318$.
    $\quad$
    b. D’après la question précédente, l’entreprise réalise une recette supérieure à $100~000$ euros à partir de $2~318$ voitures télécommandées vendues.
    $\quad$
  4. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[1;5]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1;5]$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=2\left[\ln(x)-1\right]+2x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=2\ln(x)-2+2 \\
    &=2\ln(x)\\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;5]$.
    $\quad$
    b. Ainsi une primitive de la fonction $r$ sur l’intervalle $[1;5]$ est la fonction $R$ définie par $R(x)=6x+\dfrac{1}{2}x^2+2x\left[\ln(x)-1\right]$.
    $\quad$
    c. La valeur moyenne de la fonction $r$ sur l’intervalle $[2;4]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{4-2}\int_2^4 r(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{2}\left(R(4)-R(2)\right] \\
    &=\dfrac{24+8+8\left[\ln(4)-1\right]-12-2-4\left[\ln(2)-1\right]}{2}\\
    &=\dfrac{14+8\ln(4)-4\ln(2)}{2}\\
    &=7+4\ln(4)-2\ln(2)\\
    &=7+8\ln(2)-2\ln(2)\\
    &=7+6\ln(2) \\
    &\approx 11,159
    \end{align*}$
    La valeur moyenne de la recette totale de l’entreprise lorsqu’elle vend entre $2~000$ et $4~000$ voitures télécommandées est donc d’environ $111~590$ euros.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    v\leftarrow 9\\
    S\leftarrow 9\\
    \text{Pour $i$ allant de $1$ à $N$}\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow 0,75\times v\\
    \hspace{1cm} v\leftarrow S+ v\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On affecte $3$ à la variable ܰ$N$.
    Que contient la variable ܵ$S$, arrondie au dixième, à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
    a. $24,6$
    b. $-25$
    c. $27$
    d. $20,8$
    $\quad$
  2. Soit $a$ un réel, l’expression $\dfrac{2\e^{a-1}}{\left(\e^a\right)^2}$ est égale à :
    a. $1$
    b. $2\e^{3a-1}$
    c. $\e^{-2}$
    d. $\dfrac{2}{\e^{a+1}}$
    $\quad$

Pour les questions 3, 4 et 5, on considère la fonction ݂$f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.
On note ݂$f’$ la fonction dérivée de $f$ ݂et ݂$f\dsec$ la fonction dérivée de ݂$f’$.

  1. Le nombre de solutions dans $[-7;7]$ de l’équation $f'(x)=0$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
  2. Une valeur approchée de la solution de l’équation ݂$f(x)=-0,3$ sur l’intervalle $[-1;6]$ est :
    a. $-3$
    b. $-0,3$
    c. $0,3$
    d. $3$
    $\quad$
  3. Le nombre de points d’inflexion dans $[-7;7]$ de $C_f$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$

 

Exercice 2     5 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, au millième.

Partie A

Une étude réalisée dans des écoles en France indique que $12,9 \%$ des élèves sont gauchers. Parmi ces gauchers, on trouve $40$ % de filles.
On choisit au hasard un élève et on considère les événements suivants :

  • $G$ : « l’élève est gaucher » ;
  • $F$ : « l’élève est une fille ».

Pour tout événement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ son événement contraire. De plus, si $B$ est un événement de probabilité non nulle, on note $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.

  1. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et traduire sur cet arbre les données de l’exercice.

    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit une fille gauchère ?
    $\quad$
  3. Dans ces écoles, il y a $51 \%$ de filles.
    Montrer que $P\left(\conj{G}\cap F\right)  = 0,458~4$.
    $\quad$
  4. Sachant que l’on est en présence d’une élève fille, quelle est la probabilité qu’elle soit droitière ?
    $\quad$

Partie B

En France, la proportion de gauchers est de $13 \%$.
Un club d’escrime compte $230$ adhérents dont $110$ gauchers.

  1. Quelle est la fréquence de gauchers observée dans le club d’escrime ?
    $\quad$
  2. À l’aide d’un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$, déterminer si le club d’escrime est représentatif de la population française.
    $\quad$

Partie C

Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs gauchers est modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu_1 = 268$ et d’écart type $\sigma_1 = 20$.
Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs droitiers est modélisé par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu_2 = 280$ et d’écart type $\sigma_2= 22$.

  1. a. Déterminer $P(X\pp 300)$ et $P(Y \pp 300)$.
    $\quad$
    b) Interpréter ces résultats dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Sur le graphique ci-dessous, les courbes $C$ et $C’$ représentent les fonctions de densité des variables aléatoires $X$ et $Y$.
    Indiquer, pour chaque variable aléatoire $X$ et $Y$, la courbe correspondante. Justifier.

    $\quad$

 

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Une école de danse a ouvert ses portes en 2016. Cette année là, elle comptait $800$ inscrits.
Chaque année, elle prévoit une augmentation de $15 \%$ des inscriptions ainsi que $90$ désinscriptions.
Pour tout entier naturel ݊$n$, on note $u_n$ le nombre d’inscrits l’année 2016$+n$.
Chaque inscrit paye une cotisation annuelle de $150$ euros, sur laquelle l’école conserve un bénéfice de $20$ euros après avoir payé tous ses frais fixes. L’école économise ce bénéfice afin de construire une nouvelle salle de danse. Pour cela, elle a besoin d’un budget de $125~000$ euros.

Partie A

Les données sont saisies dans une feuille de calcul donnée en annexe.
Le format de cellule a été choisi pour que les nombres de la colonne $C$ soient arrondis à l’unité.

  1. Quelle formule peut-on saisir en $C3$ pour obtenir, par recopie vers le bas, le nombre d’inscrits l’année $n$ ?
    $\quad$
  2. Quelle formule peut-on saisir en $E3$ pour obtenir, par recopie vers le bas, le bénéfice cumulé à l’année ݊$n$?
    $\quad$
  3. Compléter sur l’annexe, à rendre avec la copie, les six cellules des lignes qui correspondent aux années 2021 et 2022.
    $\quad$
  4. En quelle année l’école pourra-t-elle construire sa nouvelle salle de danse ?
    $\quad$

Partie B

  1. Justifier que, pour tout entier naturel ݊$n$, $u_{n+1}=1,15u_n-90$ et préciser $u_0$.
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel ݊$n$, par $v_n=u_n-600$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
    Préciser sa raison et son premier terme $v_0$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel ݊$n$, exprimer $v_n$ en fonction de ݊$n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel ݊$n$, $u_n=200\times 1,15^n+600$.
    $\quad$
  3. À partir de quelle année, cette école accueillera-t-elle plus de $2~000$ adhérents ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

 

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

 Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un investisseur immobilier doit visiter plusieurs biens à vendre dans une ville.
Le graphe ci-dessous représente le plan de la ville. Les biens à visiter sont identifiés par les lettres $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$.

Les poids des arêtes sont les durées de parcours, en minute, entre deux biens.

  1. a. Afin de découvrir la ville, l’investisseur souhaite emprunter, une fois et une seule, chacune des rues reliant les biens. Quelles caractéristiques du graphe permettent d’affirmer qu’il existe un tel trajet ?
    $\quad$
    b. Donner un exemple d’un tel trajet et préciser sa durée en minute.
    $\quad$
  2. Lorsque l’investisseur immobilier termine ses visites par le bien $A$, il souhaite revenir au bien $G$ le plus rapidement possible. Déterminer ce plus court chemin à l’aide d’un algorithme. Quelle est sa durée en minute ?
    $\quad$

Partie B

L’investisseur commande une étude sur la population de sa ville qui lui révèle qu’en 2018, $80 \%$ des locataires occupent un studio et $20 \%$ des locataires occupent un T2 (appartement de deux pièces).
Le nombre total de locataires ne varie pas mais chaque année :

  • la moitié des locataires en studio le conserve tandis que l’autre moitié change pour un T2;
  • un quart des locataires en T2 change pour un studio tandis que les autres conservent leur T2

On considère les événements suivants :

  • $S$ : « le locataire occupe un studio »;
  • $T$ : « le locataire occupe un T2 ».
  1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets $S$ et $T$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note $s_n$ la proportion de locataires en studio et $t_n$ la proportion de locataires en T2 l’année 2018$+n$.
    a. Donner la matrice de transition associée à ce graphe.
    $\quad$
    b. Donner l’état initial du graphe.
    $\quad$
    c. Quel sera le pourcentage, arrondi à $0,1 \%$, de locataires en studio en 2023 ?
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Une entreprise vend des voitures télécommandées. La vente mensuelle varie entre $1~000$ et $5~000$ voitures.
Une étude montre que la recette mensuelle totale de l’entreprise est de $70~000$ euros lorsqu’elle vend $1~000$ voitures.

On note $r(x)$ la recette mensuelle réalisée par l’entreprise, exprimée en dizaine de milliers d’euros, pour la vente de $x$ milliers de voitures.

  1. Donner $r(1)$.
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout $x\in [1 ; 5]$, la recette mensuelle est modélisée par : $$r(?) = 6 + x + 2 \ln(x)$$
    a. Montrer que, pour tout $x\in [1 ; 5]$,
    $$r'(x)=\dfrac{x+2}{x}$$
    $\quad$
    b. Étudier les variations de ? sur l’intervalle [1 ; 5].
    $\quad$
  3. a. Justifier que l’équation $r(?) = 10$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[1 ; 5]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ au millième.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre minimal de voitures télécommandées vendues à partir duquel l’entreprise réalise une recette supérieure à $100~000$ euros.
    $\quad$
  4. a. Soit $g$ la fonction définie pour tout $x\in [1 ; 5]$ par $g(x) = 2 \ln(x)$.
    Montrer que la fonction $G$ définie pour tout $x\in [1 ; 5]$ par $$G(x) = 2x\left(\ln(x)−1\right)$$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. En déduire une primitive $R$ de la fonction $r$ sur l’intervalle $[1 ; 5]$.
    $\quad$
    c. Donner une valeur approchée à la dizaine d’euros de la valeur moyenne de la recette totale lorsque l’entreprise vend entre $2~000$ et $4~000$ voitures télécommandées.
    $\quad$