Bac ES/L – Métropole – Septembre 2019

Métropole La Réunion – Septembre 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $u_0=225$ et $u_1=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_0+8=0,96\times 225+8=224$
    $\quad$
  2. Chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité. Cela signifie donc que $96\%$ des médecins continuent. Cela représente donc $0,96u_n$.
    Chaque année $8~000$ nouveaux médecins ($8$ milliers) s’installent.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+8$.
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $2~019$ à $2~031$} \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+8\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-200\ssi u_n=v_n+200$
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-200\\
    &=0,96u_n+8-200\\
    &=0,96u_n-192\\
    &=0,96\left(v_n+200\right)-192\\
    &=0,96v_n+192-192\\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-200=25$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=25\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $u_n=v_n+200=25\times 0,96^n+200$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $-0,96^n<0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=-0,96^n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
    b. Cela signifie que chaque année le nombre de médecins actifs va diminuer.
    $\quad$
  6. a. On veut déterminer l’ensemble des entiers naturels $n$ tels que :
    $\begin{align*} 25\times 0,96^n+200<210&\ssi 25\times 0,96^n<10 \\
    &\ssi 0,96^n<0,4 \\
    &\ssi n\ln 0,96< \ln 0,4\\
    &\ssi n>\dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,96}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,96}\approx 22,4$.
    L’ensemble solution de l’inéquation est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $23$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’à partir de 2041 il y a aura strictement moins de $210~000$ médecins actifs en France.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $P(X>14)=P(X>12)-P(12<X<14)=0,5-P(12<X<14)$
    $P(X<11)=P(X<12)-P(11<X<12)=0,5-P(12<X<13)$ car $P(\mu-1<X<\mu)=P(\mu<X<\mu+1)$.
    Donc $P(X<11) \neq P(X>14)$.
    Affirmation A fausse
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que composée de fonctions continues sur $\R$. Elle admet donc une primitive $F$ définie également sur $\R$.
    Pour tout réel $x$, on a donc $F(x)=\dfrac{5}{-0,3}\e^{-0,3x}+x$
    La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{5-0}\ds \int_0^5f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{5}\left(F(5)-F(0)\right) \\
    &=\dfrac{-\dfrac{5}{0,3}\e^{-1,5}+5+\dfrac{5}{0,3}}{5} \\
    &\approx 3,6\end{align*}$
    Affirmation B vraie
    $\quad$
  3. On a $n=180$ et $p=\dfrac{1}{3}$
    Par conséquent $n=180\pg 5$, $np=60\pg 5$ et $n(1-p)=120\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de $95\%$ de la proportion d’employés intéressé par une telle salle est donc :
    $\begin{align*} I_{180}&=\left[\dfrac{1}{3}-1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}}{180}};\dfrac{1}{3}+1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}}{180}}\right] \\
    &\approx [0,264;0,403]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{72}{180}=0,4 \in I_{180}$
    Affirmation C fausse
    $\quad$
  4. Graphiquement, sur l’intervalle $[1;3]$ la fonction $f$ est décroissante. Cela signifie donc que $f'(x)\pp 0$ sur cet intervalle.
    Or $f’$ est la dérivée seconde de la fonction $F$.
    Par conséquent $F$ est concave sur l’intervalle $[1;3]$.
    Affirmation D fausse
    $\quad$
    Remarque : On pouvait directement conclure quant à la convexité de la fonction $F$ à partir des variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  5. $f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur l’intervalle $[0;1]$.
    Elle est donc continue sur cet intervalle.
    $\Delta=(-4)^2-4\times 3\times 2=16-24=-8<0$
    Puisque $a=3>0$, la fonction $f$ est donc positive sur l’intervalle $[0;1]$.
    De plus :
    $\begin{align*} \ds \int_0^1 f(x)\dx&=\int_0^1\left(3x^2-4x+2\right)\dx \\
    &=\left[x^3-2x^2+2x\right]_0^1 \\
    &=1-2+2-0\\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc une fonction de densité sur l’intervalle $[0;1]$.
    Affirmation E vraie
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : étude graphique

  1. Graphiquement, une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1,1;8]$ est $4,3$. Il semble être atteint pour $x=2$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble croissante sur l’intervalle $[4;8]$.
    Par conséquent $f'(5)>0$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[2;4]$.
    L’intégrale cherchée est donc égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équation $x=2$ et $x=4$.
    Ce domaine contient est contenu dans un rectangle de taille $2\times 5$ et contient $8$ carrés unités entiers et deux morceaux de carré dont la somme des aires est supérieure à $1$.
    Par conséquent $9\pp \ds \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$.
    $\quad$
  4. Il semblerait que sur l’intervalle $[6;8]$ la courbe se situe sous ses tangentes. La fonction $f$ serait donc concave sur cet intervalle.
    La fonction $f$ ne semble donc pas convexe sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$

Partie B : étude analytique

  1. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1,1;8]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\ln(x)-\dfrac{1}{x}(2x-1)}{\left(\ln(x)\right)^2} \\
    &=\dfrac{2\ln(x)-2+\dfrac{1}{x}}{\left(\ln(x)\right)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $[1,1;8]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$ on a :
    $h'(x)=2\times \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2x-1}{x^2}$
    $\quad$
    b. $x^2>0$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    De plus $2x-1=0 \ssi x=\dfrac{1}{2}$ et $2x-1>0 \ssi 2x>1\ssi x>\dfrac{1}{2}$.
    Par conséquent $h'(x)>0$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    La fonction $h$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$
    c. La fonction $h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    On a $h(1,1)\approx -0,9<0$ et $h(8)\approx 2,3>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $h(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    D’après la calculatrice on a $h(2)\approx -0,11$ et $h(3)\approx 0,53$.
    Donc $2<\alpha<3$.
    $\quad$
  3. Cela signifie donc que :
    $\bullet$ $h(x)<0$ sur l’intervalle $[1,1;\alpha[$;
    $\bullet$ $h(\alpha)=0$;
    $\bullet$ $h(x)>0$ sur l’intervalle $]\alpha;8]$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$ on a $f'(x)=\dfrac{h(x)}{\left(\ln(x)\right)^2}$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $h(x)$.
    D’après la question précédente, cela signifie alors que la fonction $h$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[1,1;\alpha]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[\alpha;8]$.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,53\times 0,25=0,132~5$.
    La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
    &\approx 0,414\end{align*}$
    Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} &P(R)=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & 0,32=0,132~5+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & P\left(\conj{A}\cap R\right) =0,187~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait moins de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,187~5$.
    $\quad$
    $\begin{align*} P_{\conj{A}}(R)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap R\right) }{P\left(\conj{A}\right)} \\
    &=\dfrac{0,187~5}{0,47} \\
    &\approx 0,399\end{align*}$
    La probabilité que le client soit intéressé par des placements dits risqués sachant qu’il a moins de 50 ans est environ égale à $0,399$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients faisant un placement $R_1$.
    On effectue donc $45$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $R_1$ et $\conj{R_1}$. De plus $P\left(R_1\right)=0,23$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=45$ et $p=0,23$.
    a. Par conséquent $P(X=10)=\ds \binom{45}{10}0,23^{10}\times (1-0,23)^{45-10}\approx 0,141$.
    La probabilité que Camille place le produit R1 auprès de 10 clients exactement ce mois-ci est environ égale à $0,141$.
    $\quad$
    b. $P(X\pg 15)=1-P(X<14)\approx 0,075$
    La probabilité que Camille ait 300( de prime est environ égale à $0,075$.
    $\quad$
    c. $P(10\pp X\pp 14)=P(X\pp 14)-P(X\pp 9) \approx 0,532$
    La probabilité que Camille ait 150( exactement de prime est environ de
    $0,532$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^5=1+\dfrac{30}{100} &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,3^{1/5} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,3^{1/5}-1 \\
    &\ssi x=100\left(1,3^{1/5}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 5,39$.
    Le taux d’intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années est environ égal à $5,39\%$.
    $\quad$

 

 

Ex 4 spé

Exercice 4

  1. Le cycle $N-K-I-H-L-M-G-E-F-J-N$ contient tous les sommets du graphe.
    Deux sommets quelconque du graphe sont donc reliés par une chaîne.
    Le graphe est connexe.
    $\quad$
  2. Au moins trois sommets ($F$, $G$ et $L$) sont de degrés impairs.
    Le graphe de possède donc pas de chaîne eulérienne.
    Louisa a donc raison.
    $\quad$
  3. a. Le sommets $E$ et $I$ ne sont pas adjacents. Donc $a=0$.
    Les sommets $K$ et $I$ sont adjacents. Donc $b=1$ et $c=1$.
    $\quad$
    b. Le coefficient ${M^3}_{2,8}=4$.
    Il existe donc exactement $4$ chemins de longueur $3$ reliant $F$ à $L$ : $F-E-H-L$, $F-J-M-L$, $F-G-H-L$ et $F-G-M-L$
    $\quad$
    c. $4+7+8+7+1+4+2+2+5+3=43$.
    $43$ chemins de longueur $3$ partent de $E$.
    $\quad$
    d. Le coefficient $11$ de la matrice $S$ situé à l’intersection de la première ligne et de la troisième colonne signifie que $11$ chemins de longueur $1$, $2$ ou $3$ relient $E$ et $G$.
    $\quad$
  4. a. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&E\\
    \hline
    \phantom{12(H)}&5(E)&3(E)&6(E)&&&&&&&G\\
    \hline
    &5(E)&&5(G)&&9(G)&&&11(G)&&F\\
    \hline
    &&&5(G)&&9(G)&&&11(G)&&H\\
    \hline
    &&&&12(H)&9(G)&&9(H)&11(G)&&J\\
    \hline
    &&&&12(H)&&&9(H)&11(G)&17(J)&L\\
    \hline
    &&&&12(H)&&15(L)&&10(L)&17(J)&M\\
    \hline
    &&&&12(H)&&15(L)&&&15(M)&I\\
    \hline
    &&&&&&15(L)&&&15(M)&K\\
    \hline
    &&&&&&&&&15(M)&N\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le chemin le plus rapide ($15$ minutes) que doivent emprunter Louisa et Antoine pour se rendre du restaurant au départ du défilé le plus rapidement possible est $E-G-H-L-M-N$.
    $\quad$
    b. Ils doivent donc quitter le restaurant au plus tard à 15h45 pour assister au début du défilé.
    $\quad$

 

Énoncé

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