Bac ES/L – Métropole – Septembre 2019

Métropole La Réunion – Septembre 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $u_0=225$ et $u_1=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_0+8=0,96\times 225+8=224$
    $\quad$
  2. Chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité. Cela signifie donc que $96\%$ des médecins continuent. Cela représente donc $0,96u_n$.
    Chaque année $8~000$ nouveaux médecins ($8$ milliers) s’installent.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+8$.
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $2~019$ à $2~031$} \\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+8\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-200\ssi u_n=v_n+200$
    $\begin{align*}
    v_{n+1}&=u_{n+1}-200\\
    &=0,96u_n+8-200\\
    &=0,96u_n-192\\
    &=0,96\left(v_n+200\right)-192\\
    &=0,96v_n+192-192\\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-200=25$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=25\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $u_n=v_n+200=25\times 0,96^n+200$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$, on a $-0,96^n<0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n=-0,96^n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
    b. Cela signifie que chaque année le nombre de médecins actifs va diminuer.
    $\quad$
  6. a. On veut déterminer l’ensemble des entiers naturels $n$ tels que :
    $\begin{align*} 25\times 0,96^n+200<210&\ssi 25\times 0,96^n<10 \\
    &\ssi 0,96^n<0,4 \\
    &\ssi n\ln 0,96< \ln 0,4\\
    &\ssi n>\dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,96}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,4}{\ln 0,96}\approx 22,4$.
    L’ensemble solution de l’inéquation est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $23$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’à partir de 2041 il y a aura strictement moins de $210~000$ médecins actifs en France.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $P(X>14)=P(X>12)-P(12<X<14)=0,5-P(12<X<14)$
    $P(X<11)=P(X<12)-P(11<X<12)=0,5-P(12<X<13)$ car $P(\mu-1<X<\mu)=P(\mu<X<\mu+1)$.
    Donc $P(X<11) \neq P(X>14)$.
    Affirmation A fausse
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que composée de fonctions continues sur $\R$. Elle admet donc une primitive $F$ définie également sur $\R$.
    Pour tout réel $x$, on a donc $F(x)=\dfrac{5}{-0,3}\e^{-0,3x}+x$
    La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{5-0}\ds \int_0^5f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{5}\left(F(5)-F(0)\right) \\
    &=\dfrac{-\dfrac{5}{0,3}\e^{-1,5}+5+\dfrac{5}{0,3}}{5} \\
    &\approx 3,6\end{align*}$
    Affirmation B vraie
    $\quad$
  3. On a $n=180$ et $p=\dfrac{1}{3}$
    Par conséquent $n=180\pg 5$, $np=60\pg 5$ et $n(1-p)=120\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de $95\%$ de la proportion d’employés intéressé par une telle salle est donc :
    $\begin{align*} I_{180}&=\left[\dfrac{1}{3}-1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}}{180}};\dfrac{1}{3}+1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}}{180}}\right] \\
    &\approx [0,264;0,403]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{72}{180}=0,4 \in I_{180}$
    Affirmation C fausse
    $\quad$
  4. Graphiquement, sur l’intervalle $[1;3]$ la fonction $f$ est décroissante. Cela signifie donc que $f'(x)\pp 0$ sur cet intervalle.
    Or $f’$ est la dérivée seconde de la fonction $F$.
    Par conséquent $F$ est concave sur l’intervalle $[1;3]$.
    Affirmation D fausse
    $\quad$
    Remarque : On pouvait directement conclure quant à la convexité de la fonction $F$ à partir des variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  5. $f$ est une fonction polynôme du second degré définie sur l’intervalle $[0;1]$.
    Elle est donc continue sur cet intervalle.
    $\Delta=(-4)^2-4\times 3\times 2=16-24=-8<0$
    Puisque $a=3>0$, la fonction $f$ est donc positive sur l’intervalle $[0;1]$.
    De plus :
    $\begin{align*} \ds \int_0^1 f(x)\dx&=\int_0^1\left(3x^2-4x+2\right)\dx \\
    &=\left[x^3-2x^2+2x\right]_0^1 \\
    &=1-2+2-0\\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc une fonction de densité sur l’intervalle $[0;1]$.
    Affirmation E vraie
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : étude graphique

  1. Graphiquement, une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1,1;8]$ est $4,3$. Il semble être atteint pour $x=2$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble croissante sur l’intervalle $[4;8]$.
    Par conséquent $f'(5)>0$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[2;4]$.
    L’intégrale cherchée est donc égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équation $x=2$ et $x=4$.
    Ce domaine contient est contenu dans un rectangle de taille $2\times 5$ et contient $8$ carrés unités entiers et deux morceaux de carré dont la somme des aires est supérieure à $1$.
    Par conséquent $9\pp \ds \int_2^4 f(x)\dx \pp 10$.
    $\quad$
  4. Il semblerait que sur l’intervalle $[6;8]$ la courbe se situe sous ses tangentes. La fonction $f$ serait donc concave sur cet intervalle.
    La fonction $f$ ne semble donc pas convexe sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$

Partie B : étude analytique

  1. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1,1;8]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\ln(x)-\dfrac{1}{x}(2x-1)}{\left(\ln(x)\right)^2} \\
    &=\dfrac{2\ln(x)-2+\dfrac{1}{x}}{\left(\ln(x)\right)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $h$ est dérivable sur l’intervalle $[1,1;8]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$ on a :
    $h'(x)=2\times \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2x-1}{x^2}$
    $\quad$
    b. $x^2>0$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    De plus $2x-1=0 \ssi x=\dfrac{1}{2}$ et $2x-1>0 \ssi 2x>1\ssi x>\dfrac{1}{2}$.
    Par conséquent $h'(x)>0$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    La fonction $h$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$
    c. La fonction $h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    On a $h(1,1)\approx -0,9<0$ et $h(8)\approx 2,3>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $h(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    D’après la calculatrice on a $h(2)\approx -0,11$ et $h(3)\approx 0,53$.
    Donc $2<\alpha<3$.
    $\quad$
  3. Cela signifie donc que :
    $\bullet$ $h(x)<0$ sur l’intervalle $[1,1;\alpha[$;
    $\bullet$ $h(\alpha)=0$;
    $\bullet$ $h(x)>0$ sur l’intervalle $]\alpha;8]$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$ on a $f'(x)=\dfrac{h(x)}{\left(\ln(x)\right)^2}$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $h(x)$.
    D’après la question précédente, cela signifie alors que la fonction $h$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[1,1;\alpha]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[\alpha;8]$.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. On a $P(R)=0,32$ et $P_A(R)=0,25$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. D’après l’arbre pondéré on a $P(A\cap R)=0,53\times 0,25=0,132~5$.
    La probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(A)&=\dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,132~5}{0,32} \\
    &\approx 0,414\end{align*}$
    Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans est environ égale à $0,414$.
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} &P(R)=P(A\cap R)+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & 0,32=0,132~5+P\left(\conj{A}\cap R\right) \\
    \ssi & P\left(\conj{A}\cap R\right) =0,187~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait moins de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,187~5$.
    $\quad$
    $\begin{align*} P_{\conj{A}}(R)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap R\right) }{P\left(\conj{A}\right)} \\
    &=\dfrac{0,187~5}{0,47} \\
    &\approx 0,399\end{align*}$
    La probabilité que le client soit intéressé par des placements dits risqués sachant qu’il a moins de 50 ans est environ égale à $0,399$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients faisant un placement $R_1$.
    On effectue donc $45$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $R_1$ et $\conj{R_1}$. De plus $P\left(R_1\right)=0,23$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=45$ et $p=0,23$.
    a. Par conséquent $P(X=10)=\ds \binom{45}{10}0,23^{10}\times (1-0,23)^{45-10}\approx 0,141$.
    La probabilité que Camille place le produit R1 auprès de 10 clients exactement ce mois-ci est environ égale à $0,141$.
    $\quad$
    b. $P(X\pg 15)=1-P(X\pp 14)\approx 0,075$
    La probabilité que Camille ait $300$ € de prime est environ égale à $0,075$.
    $\quad$
    c. $P(10\pp X\pp 14)=P(X\pp 14)-P(X\pp 9) \approx 0,532$
    La probabilité que Camille ait 150( exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années.
    On a donc :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^5=1+\dfrac{30}{100} &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,3^{1/5} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=1,3^{1/5}-1 \\
    &\ssi x=100\left(1,3^{1/5}-1\right)\end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 5,39$.
    Le taux d’intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années est environ égal à $5,39\%$.
    $\quad$

 

 

Ex 4 spé

Exercice 4

  1. Le cycle $N-K-I-H-L-M-G-E-F-J-N$ contient tous les sommets du graphe.
    Deux sommets quelconque du graphe sont donc reliés par une chaîne.
    Le graphe est connexe.
    $\quad$
  2. Au moins trois sommets ($F$, $G$ et $L$) sont de degrés impairs.
    Le graphe de possède donc pas de chaîne eulérienne.
    Louisa a donc raison.
    $\quad$
  3. a. Le sommets $E$ et $I$ ne sont pas adjacents. Donc $a=0$.
    Les sommets $K$ et $I$ sont adjacents. Donc $b=1$ et $c=1$.
    $\quad$
    b. Le coefficient ${M^3}_{2,8}=4$.
    Il existe donc exactement $4$ chemins de longueur $3$ reliant $F$ à $L$ : $F-E-H-L$, $F-J-M-L$, $F-G-H-L$ et $F-G-M-L$
    $\quad$
    c. $4+7+8+7+1+4+2+2+5+3=43$.
    $43$ chemins de longueur $3$ partent de $E$.
    $\quad$
    d. Le coefficient $11$ de la matrice $S$ situé à l’intersection de la première ligne et de la troisième colonne signifie que $11$ chemins de longueur $1$, $2$ ou $3$ relient $E$ et $G$.
    $\quad$
  4. a. On utilise l’algorithme de Dijkstra :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&\phantom{12(H)}&E\\
    \hline
    \phantom{12(H)}&5(E)&3(E)&6(E)&&&&&&&G\\
    \hline
    &5(E)&&5(G)&&9(G)&&&11(G)&&F\\
    \hline
    &&&5(G)&&9(G)&&&11(G)&&H\\
    \hline
    &&&&12(H)&9(G)&&9(H)&11(G)&&J\\
    \hline
    &&&&12(H)&&&9(H)&11(G)&17(J)&L\\
    \hline
    &&&&12(H)&&15(L)&&10(L)&17(J)&M\\
    \hline
    &&&&12(H)&&15(L)&&&15(M)&I\\
    \hline
    &&&&&&15(L)&&&15(M)&K\\
    \hline
    &&&&&&&&&15(M)&N\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le chemin le plus rapide ($15$ minutes) que doivent emprunter Louisa et Antoine pour se rendre du restaurant au départ du défilé le plus rapidement possible est $E-G-H-L-M-N$.
    $\quad$
    b. Ils doivent donc quitter le restaurant au plus tard à 15h45 pour assister au début du défilé.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

En 2018, la France comptait environ $225~000$ médecins actifs. On prévoit que chaque année, $4\%$ des médecins cessent leur activité tandis que $8~000$ nouveaux médecins s’installent.
Pour étudier l’évolution du nombre de médecins en activité dans les années à venir, on modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ représente le nombre de médecins en 2018$+ n$, exprimé en millier.

  1. Donner $u_0$ et calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,96u_n + 8$.
    $\quad$
  3. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il calcule, selon cette modélisation, le nombre de médecins que compterait la France en 2031.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U \gets 225\\
    \text{Pour $N$ allant de $\ldots$  à $\ldots$}\\
    \hspace{1cm}U \gets \ldots\ldots\\
    \text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par, pour tout entier naturel $n$ : $$v_n = u_n-200$$
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,96$.
    Préciser son terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 25 \times 0,96^n + 200$.
    $\quad$
  5. On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}-u_n = -0,96^n$.
    a. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  6. a. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation $$25 \times 0,96^n + 200 < 210$$
    b. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Un laboratoire reçoit un lot de prélèvements sanguins et réalise des analyses sur ce lot. On choisit un prélèvement au hasard et on note $X$ la variable aléatoire égale au taux d’hémoglobine dans ce prélèvement. On admet que $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu = 12$.
    Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité.
    Affirmation A : $P(X > 14) = P(X < 11)$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 5\e^{-0,3x} + 1$.
    Affirmation B : La valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est égale à $3,6$, arrondie au dixième.
    $\quad$
  3. Un comité d’entreprise souhaite mettre à disposition des salariés une salle de sport. Son directeur affirme qu’un tiers des employés serait intéressé par une telle salle. On réalise un sondage dans lequel on interroge $180$ employés au hasard, parmi lesquels $72$ se déclarent intéressés.
    Affirmation C : Ce sondage remet en question l’affirmation du directeur.
    $\quad$
  4. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

    Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.
    Affirmation D : La fonction $F$ est convexe sur $[1;3]$.
    $\quad$

  5. Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x) = 3x^2-4x + 2$.
    Affirmation E : $f$ est une fonction de densité sur $[0;1]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

La courbe $\mathscr{C}_f$ ci-dessous est la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[1,1;8]$.

 

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A : étude graphique

  1. Donner une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1,1;8]$
    $\quad$
  2. Quel est le signe de $f'(5)$ ? Justifier.
    $\quad$
  3. Encadrer l’intégrale $\ds\int_2^4 f(x)\dx$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est-elle convexe sur $[1,1;3]$ ? Justifier.
    $\quad$

Partie B : étude analytique

On admet que $f$ est la fonction définie sur l’intervalle $[1,1;8]$ par $$f(x) = \dfrac{2x-1}{\ln (x)}$$

  1. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$, on a : $$f'(x) = \dfrac{2\ln (x)-2 + \dfrac{1}{x}}{(\ln (x))^2}$$
    $\quad$
  2. Soit $h$ la fonction définie sur $[1,1;8]$ par : $h(x) = 2\ln (x)-2 + \dfrac{1}{x}$.
    a. Soit $h’$ la fonction dérivée de $h$ sur l’intervalle $[1,1; 8]$.
    Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1,1;8]$, $$h'(x) = \dfrac{2x-1}{x^2}$$
    $\quad$
    b. En déduire les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$
    c. Montrer que l’équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1,1;8]$. Donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers consécutifs.
    $\quad$
  3. Déduire des résultats précédents le signe de $h(x)$ sur l’intervalle $[1,1;8]$.
    $\quad$
  4. À l’aide des questions précédentes, donner les variations de $f$ sur $[1,1;8]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

Pour tous évènements $E$ et $F$, on note $\conj{E}$ l’évènement contraire de $E$, $p(E)$ la probabilité de $E$ et, si $F$ est de probabilité non nulle, $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant $F$.
On arrondira les résultats au millième si besoin.

Partie A

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet d’établir que :

  • $53\%$ de ses clients ont plus de 50 ans;
  • $32\%$ de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués ;
  • $25\%$ de ses clients de plus de 50 ans sont intéressés par des placements dits risqués.

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants:

  • $A$ : « Le client a plus de 50 ans » ;
  • $R$ : « Le client est intéressé par des placements dits risqués ».
  1. Donner $P(R)$ et $P_A(R)$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré. Cet arbre pourra être complété par la suite.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait plus de $50$ ans et soit intéressé par des placements dits risqués est $0,132~5$.
    $\quad$
  4. Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de $50$ ans ?
    $\quad$
  5. Calculer $P\left(\conj{A} \cap R\right)$ puis en déduire $P_{\conj{A}}(R)$.
    Interpréter les deux résultats obtenus.
    $\quad$

Partie B

L’une des agences de cette banque charge ses conseillers de proposer un placement dit risqué, $R_1$ à tous ses clients.
Elle promet à ses conseillers une prime de $150$ € s’ils convainquent au moins $10$ clients d’effectuer ce placement en un mois et une prime supplémentaire de $150$ € s’ils convainquent au moins $15$ clients d’effectuer ce placement en un mois.
L’une des conseillères de cette banque, Camille, reçoit $45$ clients ce mois-ci.

  1. On admet que la probabilité que Camille réussisse à placer ce produit auprès de l’un de ses clients est de $0,23$ et que la décision d’un client est indépendante de celles des autres clients.
    a. Déterminer la probabilité que Camille place le produit $R_1$ auprès de $10$ clients exactement ce mois-ci.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que Camille ait $300$ € de prime.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que Camille ait $150$ € exactement de prime est environ de $0,532$.
    $\quad$
  2. Le placement $R_1$ a rapporté $30\%$ d’intérêt sur les $5$ dernières années.
    Calculer le taux d’intérêt annuel moyen du placement $R_1$ sur ces $5$ dernières années.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

Deux amis, Louisa et Antoine, passent la journée dans un parc d’attraction.

Le plan du parc est donné par le graphe $\Gamma$ ci-dessous. Les arêtes de ce graphe représentent les allées du parc et les sommets correspondent aux intersections de ces allées. On a pondéré les arêtes de ce graphe par les temps de parcours en minutes.

 

  1. Le graphe est-il connexe ? Justifier.
    $\quad$
  2. Antoine prétend avoir trouvé un itinéraire permettant d’emprunter chaque allée une et une seule fois mais Louisa lui répond que c’est impossible.
    Lequel des deux a raison ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. On considère la matrice $M$ ci-dessous ($a$, $b$ et $c$ sont des entiers).
    $$M = \begin{pmatrix}
    0 &1 &1 &1 &a &0 &0 &0 &0 &0\\
    1 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &0 &0 &0\\
    1 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &0 &1 &0\\
    1 &0 &1& 0 &1 &0 &0 &1 &0 &0\\
    0 &0 &0 &1 &0&0 &c &0 &0 &0\\
    0 &1 &1 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1\\
    0 &0 &0 &0 &b &0 &0 &1 &0 &1\\
    0 &0 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &1 &0\\
    0 &0 &1 &0 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\
    0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 &1 &0\\
    \end{pmatrix}$$
    a. Déterminer les entiers $a$, $b$ et $c$ pour que la matrice $M$ représente la matrice d’adjacence associée au graphe $\Gamma$, les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique.
    Soit $S$ la matrice définie par : $S = M + M^2 + M3$.
    On admet que :
    $$M^3 = \begin{pmatrix}
    4 &7 &8 &7 &1 &4 &2 &2 &5 &3\\
    7 &4 &9 &3 &2 &8 &1 &4 &4 &3\\
    8 &9 &8 &10 &1 &10 & 5 &2 &11 &3\\
    7 &3 &10 &2 &6 &5 &0 &8 &2 &5\\
    4 &8 &10 &5 &2 &6 &2 &4 &8 &7\\
    2 &1 &5 &0 &5 &2 &0 &7 &1 &6\\
    2 &4 &2 &8 &0 &4 &7 &0 &8 &1\\
    5 &4 &11 &2 &4 &8 &1 &8 &4 &8\\
    3 &3 &3 &5 &0 &7 &6 &1 &8 &2\\
    \end{pmatrix}$$
    $$\text{et } S = \begin{pmatrix}
    7 &9 &11 &9 &2 &6 &2 &3 &6 &3\\
    9 &7 &12 &5 &2 &10 &1 &4 &6 &4\\
    11 &12 &13 &12 &2 &13 &5 &4 &13 &5\\
    9 &5 &12 &6 &7 &6 &2 &9 &4 &5\\
    2 &2 &2 &7 &2 &2 &6 &2 &4 &1\\
    6 &10 &13 &6 &2 &10 &3 &5 &11 &9\\
    2 &1 &5 &2 &6 &3 &3 &8 &3 &7\\
    3 &4 &4 &9 &2 &5 &8 &3 &9 &3\\
    6 &6 &13 &4 &4 &11 &3 &9 &8 &10\\
    3 &4 &5 &5 &1 &9 &7 &3 &10 &5\\
    \end{pmatrix} $$
    b. Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur $3$ reliant $F$ à $L$.
    Préciser ces chemins.
    c. Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur $3$ partant de $E$.
    $\quad$
    d. Que signifie le coefficient à l’intersection de la première ligne et de la troisième colonne de $S$ ?
    $\quad$
  4. Un défilé part tous les jours à $14$ h du sommet $N$. Louisa et Antoine choisissent de déjeuner dans un restaurant situé au sommet $E$ avant d’aller admirer le défilé.
    a. À l’aide d’un algorithme, déterminer le chemin que doivent emprunter Louisa et Antoine pour se rendre du restaurant au départ du défilé le plus rapidement.
    $\quad$
    b. À quelle heure au plus tard doivent-ils quitter le restaurant pour assister au début du défilé ?
    $\quad$

$\quad$