Exercice 1

1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty[$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=-1,5\times 2x+2x\times \ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
   &=-3x+2x\ln(x)+x\\
   &=-2x+2x\ln(x)\end{align*}$
   Réponse b
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} 2\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{12}=3,5&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^{12}=1,75 \\
   &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,75^{1/12}\\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=1,75^{1/12}-1\\
   &\ssi x=100\left(1,75^{1/12}-1\right)\end{align*}$
   Ainsi $x\approx 4,77$
   Réponse b
   Remarque : On pouvait également tester les différentes valeurs proposées
   $\quad$
3. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de victoires.
   Il y a $13$ tirages identiques, indépendantes et aléatoires. À chaque tirage, il y a deux issues : $S$, “la partie est gagnée” et $\conj{S}$.
   De plus $p(S)=\dfrac{1}{25}=0,04$.
   Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=13$ et $p=0,04$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
   &=1-(1-0,04)^{13}\\
   &\approx 0,412\end{align*}$
   Réponse b
   $\quad$
4. Sur l’intervalle $[2;5]$ on a $g(x)\pg 0$.
   La fonction $G$ est donc croissante sur l’intervalle $[2;5]$.
   Réponse c
   $\quad$

 

Exercice 2

Partie A

1. a. On a $p(D)=0,03$, $p_D(C)=0,02$ et $p(C)=0,05$.
   $\quad$
   b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
   c. On a $p(D\cap C)=0,03\times 0,02=0,000~6$.
   $\quad$
   d. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_C(D)&=\dfrac{p(C\cap D)}{p(C)} \\
   &=\dfrac{0,000~6}{0,05}\\
   &=0,012\end{align*}$
   La probabilité que le téléviseur ait un défaut sur la dalle sachant qu’il un défaut sur le condensateur.
   $\quad$
   e. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(C)=p(C\cap D)+p\left(\conj{D}\cap C\right) &\ssi 0,05=0,000~6+p\left(\conj{D}\cap C\right) \\
   &\ssi p\left(\conj{D}\cap C\right)=0,049~4\end{align*}$.
   $\quad$
2. a. On a :
   $\begin{align*} P(T\pg 72)&=P(72\pp T\pp 84)+P(T\pg 84) \\
   &=P(72\pp T\pp 84)+0,5\\
   &\approx 0,98\end{align*}$
   La probabilité qu’un téléviseur tombe en panne pour la première dois après $72$ mois d’utilisation est environ égale à $0,98$.
   $\quad$
   b. On veut calculer $P(6\times 12\pp T\pp 8\times 12)\approx 0,95$.
   On pouvait également remarquer qu’on voulait calculer $P(\mu-2\sigma \pp T\pp \mu+2\sigma)$.
   La probabilité que la première panne arrive entre $6$ années et $8$ années.
   $\quad$
   c. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{T\pg 72}(T\pp 96)&=\dfrac{P(72\pp T\pp 96)}{P(\pg 72)} \\
   &\approx \dfrac{0,95}{0,98}\\
   &\approx 0,97\end{align*}$
   La probabilité que le téléviseur tombe en panne avant $8$ années d’utilisation sachant qu’il n’a pas de panne après $6$ années d’utilisation est environ égale à $0,97$.
   Remarque : Si on n’utilise pas les arrondis trouvés précédemment la probabilité cherchée est environ égale à $0,98$.
   $\quad$

Partie B

On a $n=300$ et $p=0,9$.
Par conséquent $n\pg 30$, $np=270 \pg 5$ et $n(1-p)=30\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de clients satisfaits est :
$\begin{align*} I_{300}&=\left[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{300}};0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{300}}\right] \\
&\approx [0,866;0,934]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{265}{300}\in I_{300}$
Les résultats de cette étude ne remettent donc pas en cause l’affirmation de l’entreprise.
$\quad$

 

Exercice 3

1. Avec l’offre le prix unitaire d’une capsule est $\dfrac{60}{150}=0,40$ €.
   $\dfrac{0,4-0,6}{0,6}=-\dfrac{1}{3} \approx -33,33 \%$.
   On a ainsi une réduction d’environ $33,33\%$.
   $\quad$
2. a. on considère un entier naturel $n$.
   $10\%$ des propriétaires cessent d’utiliser la machine. Cela signifie donc $90\%$ des propriétaires continuent à l’utiliser, cela représente donc $0,9u_n$.
   Chaque mois il y a $24~000$ nouveaux utilisateurs. Donc $u_{n+1}=0,9u_n+24~000$.
   De plus en 2017, on comptait $60~000$ utilisateurs. Donc $u_0=60~000$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-240~000$ donc $_n=v_n+240~000$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-240~000\\
   &=0,9u_n+24~000-240~000\\
   &=0,9u_n-216~000\\
   &=0,9\left(v_n+240~000\right)-216~000\\
   &=0,9v_n+216~000-216~000\\
   &=0,9v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=u_0-240~000=-180~000$.
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $^v_n=-180~000\times 0,9^n$.
   $\quad$
   b. Ainsi, $u_n=v_n+240~000=240~000-180~000\times 0,9^n$.
   $\quad$
4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} u_n\pg 230~000 &\ssi 240~000-180~000\times 0,9^n \pg 230~000 \\
   &\ssi -180~000\times 0,9^n \pg -10~000 \\
   &\ssi 0,9^n\pp \dfrac{1}{18} \\
   &\ssi n\ln 0,9\pp \ln \dfrac{1}{18} \\
   &\ssi n\pg \dfrac{\ln \dfrac{1}{18}}{\ln 0,9}\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{18}}{\ln 0,9}\approx 27,4$.
   Le nombre d’utilisateurs de cette machine à café dépassera donc pour la première fois $230~000$ au bout de $28$ mois.
   $\quad$
5. Pour tout entier naturel $n$ on a $-180~000\times 0,9^n<0$.
   Par conséquent $u_n<240~000<250~000$.
   L’affirmation est donc fausse.
   $\quad$

Exercice 3

1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
   
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{cases} a_{n+1}&=0,94a_n+0,14b_n\\b_{n+1}=0,06a_n+0,86b_n\end{cases}$.
   Ainsi la matrice de transition est $T=\begin{pmatrix} 0,94&0,06\\0,14&0,86\end{pmatrix}$
   $\quad$
   b. En 2020 on a $n=3$.
   Ainsi, $P_3=P_0T^3=\begin{pmatrix}0,572&0,428\end{pmatrix}$.
   Le grossiste A possédera donc, en 2020, $57,2\%$ des parts de marché et le grossiste B $42,8\%$.
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-0,7 \ssi a_n=u_n+0,7$.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,7\\
   &=0,8a_n+0,14-0,7\\
   &=0,8a_n-0,56\\
   &=0,8\left(u_n+0,7\right)-0,56\\
   &=0,8u_n+0,56-0,56\\
   &=0,8u_n\end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=a_0-0,7=-0,25$.
   $\quad$
   b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=-0,25\times 0,8^n$.
   Et $a_n=u_n+0,7=0,7-0,25\times 0,8^n$.
   $\quad$
   c. $0<0,8<0$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}0,8^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=0,7$.
   Sur le long terme le grossiste A peut espérer $70\%$ du marché.
   $\quad$
   d. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} a_n\pg 0,65 &\ssi 0,7-0,25\times 0,8^n\pg 0,65\\
   &\ssi -0,25\times 0,8^n \pg -0,05\\
   &\ssi 0,8^n\pp 0,2 \\
   &\ssi n\ln 0,8\pp \ln 0,2\\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}\approx 7,2$ par conséquent $n\pg 8$.
   À partir de 2025 le grossiste détiendra plus de $65\%$ du marché.
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A

1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;9]$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=0,5\times 2x-7+6\times \dfrac{1}{x} \\
   &=x-7+\dfrac{6}{x} \\
   &=\dfrac{x^2-7x+6}{x}\end{align*}$
   $\quad$
2. a. Sur l’intervalle $[1;9]$ le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-7x+6$.
   $\Delta=(-7)^2-4\times 1\times 6=25>0$.
   Il y a donc deux racines $x_1=\dfrac{7-\sqrt{25}}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{25}}{2}=6$.
   Ainsi :
   – sur l’intervalle $[1;6]$, $f'(x)\pp 0$
   – sur l’intervalle $[6;9]$, $f'(x)\pg 0$.
   La fonction $f$ est donc décroissante sue l’intervalle $[1;6]$ et croissante sur l’intervalle $[6;9]$.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$.
   De plus $f(1)=7,5>5$ et $f(6)\approx 0,75<5$.
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=5$ possède une unique solution sur l’intervalle $[1;6]$.
   $\quad$
   La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[6;9]$ et $f(9)\approx 4,68<5$.
   L’équation $f(x)=5$ ne possède donc pas de solution sur l’intervalle $[6;9]$.
   $\quad$
   Par conséquent l’équation $f(x)=5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;9]$.
   $\quad$
   c. D’après la calculatrice on a $2,55\pp \alpha \pp 2,56$
   $\quad$
   d. D’après la question précédente la variable $X$ contient donc la valeur $2,56$.
   $\quad$
3. D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son minimum pour $x=6$.
   Le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu est donc minimal quant l’entreprise fabrique $600$ pneus.
   $f(6)\approx 0,75$.
   Le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu s’élève alors environ à $75$ €.
   $\quad$

Partie B

1. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;100]$ est la fonction $G$ définie sur le même intervalle par $G(x)=x^2-x+\dfrac{\e^{0,05x}}{0,05}$ ou encore $G(x)=x^2-x+20\e^{0,05x}$.
   $\quad$
2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;100]$ est :
   $\begin{align*} \ds m&=\dfrac{1}{100-0}\int_0^{100} g(x) \dx \\
   &=0,01\left(G(100)-G(0)\right) \\
   &=0,01\left(9~900+20\e^5-20\right) \\
   &=0,01\left(9~880+20\e^5\right)\\
   &=98,8+0,2\e^5\\
   &\approx 128,48\end{align*}$
   $\quad$
3. Cela signifie qu’un semoir coûte en moyenne $128,48\times 100=12~848$ € à fabriquer.
   $\quad$

 

 

Exercice 1     4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer la réponse choisie.

1. 1. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$ d’expression $f(x) = -1,5 x^2+x^2\ln( x)$.
      La fonction dérivée de $f$ est donnée pour tout $x$ de $]0 ;+\infty[$ par :
      a. $f'(x)=-x+\dfrac{1}{x}$
      b. $f'(x)=2x\ln(x)-2x$
      c. $f'(x)=-3x+2$
      d. $f'(x)=-x\ln(x)-0,5x$
      $\quad$
   2. Entre 2006 et 2018, dans un restaurant universitaire, le prix d’un repas est passé de $2$ euros à $3,5$ euros en augmentant chaque année de $x \%$. Parmi ces valeurs, la valeur la plus proche de $x$ est :
      a. $6,25$
      b. $4,77$
      c. $14,58$
      d. $0,85$
      $\quad$
   3. Un adolescent joue à un jeu dont les parties successives sont indépendantes.
      À chaque partie, il a une chance sur $25$ de sortir vainqueur. Après $13$ parties, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu’il ait gagné au moins une fois est :
      a. $0,588$
      b. $0,412$
      c. $0,025$
      d. $0,975$
      $\quad$
   4. On considère une fonction $g$ définie sur $\R$, dont la courbe représentative $\mathscr{C}_g$ est donnée ci-dessous.
      
      La fonction $g$ admet une primitive sur $\R$ notée $G$.
      La fonction $G$ est :
      a. convexe sur l’intervalle $[-1 ; 5]$.
      b. concave sur l’intervalle $[-1 ; 5]$.
      c. croissante sur l’intervalle $[2 ; 5]$.
      d. décroissante sur l’intervalle $[2 ; 5]$.
      $\quad$

 

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les parties sont indépendantes.

Une entreprise vend des téléviseurs.
Pour tout évènement $E$, on note $\conj{E}$ l’évènement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

Partie A

Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L’étude indique que :

• $3 \%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et parmi ceux-ci $2 \%$ ont aussi un défaut sur le condensateur.
• $5 \%$ des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.

On choisit au hasard un téléviseur et on considère les évènements suivants :

• $D$ : « le téléviseur a un défaut sur la dalle »
• $C$ : « le téléviseur a un défaut sur le condensateur ».

1. Les résultats seront approchés si nécessaire à $10^{-4}$ près.
   a. Exprimer les trois données numériques de l’énoncé sous forme de probabilités.
   $\quad$
   b. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les probabilités associées :
   
   c. Calculer la probabilité $p(D\cap C)$ de l’événement $D\cap C$.
   $\quad$
   d. Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle ?
   $\quad$
   e. La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur mais pas de défaut sur la dalle vaut $0,0494$. Justifier cette affirmation.
   $\quad$
2. Les résultats seront approchés à $10^{-2}$ près.
   On note $T$ la variable aléatoire qui, à chaque téléviseur prélevé, associe le temps exprimé en mois avant la première panne. On admet que $T$ suit la loi normale d’espérance $\mu = 84$ et d’écart type $\sigma = 6$.
   a. Donner la probabilité qu’un téléviseur tombe en panne pour la première fois après $72$ mois d’utilisation.
   $\quad$
   b. Quelle est la probabilité que la première panne arrive entre $6$ années et $8$ années d’utilisation.
   $\quad$
   c. Le téléviseur n’a pas eu de panne après $6$ années d’utilisation. Quelle est la probabilité qu’il tombe en panne avant $8$ années d’utilisation ?
   $\quad$

Partie B

Afin de satisfaire davantage de clients, l’entreprise décide d’apporter des améliorations à son service d’assistance. Après quelques mois de mise en place du nouveau service, elle affirme que $90 \%$ des clients sont maintenant satisfaits. Un service de contrôle indépendant veut vérifier cette affirmation. Pour cela il interroge au hasard $300$ clients. Parmi eux, $265$ affirment être satisfaits.

Les résultats de cette étude remettent-ils en cause l’affirmation de l’entreprise ? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Sur un site de vente en ligne, Antoine a commandé une machine à café à capsules.

1. Chaque capsule achetée à l’unité coûte $0,60$ €. Une offre permet d’acquérir $150$ capsules au prix de $60$ €.
   De quel pourcentage de réduction bénéficie-t-on grâce à l’offre par rapport à un achat à l’unité ?
   $\quad$
2. Au 1$\ier$ janvier 2017, on comptait $60~000$ utilisateurs de cette machine à café. On estime que chaque mois, $10 \%$ des propriétaires cessent de l’utiliser mais on compte $24~000$ nouveaux utilisateurs.
   a. Expliquer pourquoi le nombre d’utilisateurs de cette machine à café n mois après le 1$\ier$ janvier 2017, peut être modélisé par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$u_0
   = 60~000 \text{ et } u_{n+1}= 0,9u_n+ 24~000$$
   $\quad$
   b. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_n= u_n−240~000$.
   Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   $\quad$
3. a. $n$ étant un entier naturel, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n= 240~000−180~000×0,9^n$.
   $\quad$
4. Au bout de combien de mois le nombre d’utilisateurs de cette machine à café dépassera-t-il pour la première fois $230~000$ ?
   $\quad$
5. L’entreprise qui fabrique cette machine à café prétend qu’elle touchera un certain mois plus de $250~000$ utilisateurs. Que penser de cette affirmation ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Deux grossistes A et B se partagent la clientèle d’un liquide industriel.
On suppose que le nombre total de clients reste fixe d’une année sur l’autre.
En 2017, $45 \%$ des clients se fournissaient chez le grossiste A et $55 \%$ chez le grossiste B.
D’une année sur l’autre, $6 \%$ des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B tandis que le grossiste B conserve $86 \%$ de ses clients.
Chaque année, on choisit au hasard un client ayant acheté le liquide.
Pour tout entier naturel $n$ on note :

• $a_n$ la probabilité qu’il soit client du grossiste A en (2017$+n$),
• $b_n$ la probabilité qu’il soit client du grossiste B en (2017$+n$).

Pour tout entier naturel $n$, on note $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne représentant l’état probabiliste de l’année (2017$+n$). On rappelle que $a_n + b_n = 1$.
On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste dans lequel les sommets A et B correspondent aux noms des grossistes.
   $\quad$
2. a. Donner la matrice de transition $T$ associée à ce graphe (les sommets seront rangés par ordre alphabétique).
   $\quad$
   b. Quelle sera, exprimée en pourcentage, la répartition prévisible des ventes entre ces deux grossistes en 2020 ? Justifier la réponse. On arrondira les résultats à $0,1 \%$ près.
   $\quad$
3. On admet que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}= 0,8a_n
   + 0,14$ .
   a. On pose pour tout naturel $n$ : $u_n= a_n-0,7$ .
   Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   $\quad$
   b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n= -0,25×0,8^n+ 0,7$.
   $\quad$
   c. Quelle part du marché, exprimée en pourcentage, le grossiste A peut-il espérer à long terme ? Justifier la réponse.
   $\quad$
   d. À partir de quelle année le grossiste A détiendra t-il plus de $65 \%$ du marché ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     6 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1 ; 9]$ par $f(x )=0,5x^2-7x+14+6 \ln(x)$ .
On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu, exprimé en centaines d’euros, pour $x$ centaines de pneus produits.

1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1 ; 9]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
   Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1 ; 9]$ on a : $f ‘( x)=\dfrac{x^2−7 x + 6}{x}$.
   $\quad$
2. a. Justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1 ; 9]$ :
   
   b. Justifier que, sur l’intervalle $[1 ; 9]$, l’équation $f (x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$.
   $\quad$
   c. Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
   $\quad$
   d. On considère l’algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   X\leftarrow 1\\
   Y\leftarrow 7,5\\
   \text{Tant que } Y>5\\
   \hspace{1cm}X\leftarrow X+0,01\\
   \hspace{1cm}Y\leftarrow0,5X^2-7X+14+6*\ln(X)\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   À la fin de l’exécution de l’algorithme, quelle valeur numérique contient la variable $X$ ?
   $\quad$
3. Pour quelle quantité de pneus, le coût moyen annuel de fabrication d’un pneu est-il minimal ?
   À combien s’élève-t-il ?
   $\quad$

Partie B

Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).
On admet que la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0 ; 100]$ par $g(x) = 2 x−1 + \e^{0,05 x}$ modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d’euros, de $x$ semoirs.

1. Donner une primitive $G$ de la fonction g sur l’intervalle $[0 ; 100]$.
   $\quad$
2. Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0 ; 100]$.
   $\quad$
3. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

$\quad$