Exercice 1

Affirmation A vraie

Trois  augmentations successives de $10\%$ se traduit par un coefficient multiplicateur de $\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^3=1,1^3$.
Une baisse de $25\%$ se traduit par un coefficient multiplicateur de $\left(1-\dfrac{25}{100}\right)=0,75$.
Par conséquent $1,1^3\times 0,75=0,998~25<1$
Le prix de cet objet sera inférieur à son prix initial après les différentes variations.
$\quad$

Affirmation B vraie

Une équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
Or $f'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(1)=2$
De plus $f(1)=1$.
Une équation de $T$ est donc : $y=2(x-1)+1$ soit $y=2x-1$.
Si $x=2$ alors $y=2\times 2-1=3$.
Le point de coordonnées $(2;3)$ appartient donc à $T$.
$\quad$

Affirmation C fausse

On veut calculer :
$\begin{align*} u_0+u_1+\ldots u_{11} &=4\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}}{1-\dfrac{1}{3}} \\
&=4\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}}{\dfrac{2}{3}} \\
&=4\times \dfrac{3}{2}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}\right)\\
&=6\times \left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{12}\right) \end{align*}$
$\quad$

Affirmation D fausse

On veut calculer :
$\begin{align*} p(X>10,25)&=p(10,25<x<11) \\
&=\dfrac{11-10,25}{11-9} \\
&=0,375
\end{align*}$

Exercice 2

Partie A

1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
   
   $\quad$
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(S)&=P(U\cap S)+P\left(\conj{U}\cap S\right) \\
   &=0,1\times 0,25+0,9\times 0,95 \\
   &=0,88 \end{align*}$
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_S(U)&=\dfrac{P(S\cap U)}{P(S)} \\
   &=\dfrac{0,1\times 0,25}{0,88} \\
   &=\dfrac{5}{176}\\
   &\approx 0,028\end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. On a $P(2,6<T<9,4) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma < T <\mu +2\sigma) \approx 0,95$.
   Par conséquent $\mu+2\sigma=9,4 \ssi 6+2\sigma=9,4 \ssi 2\sigma=3,4 \ssi \sigma =1,7$.
   $\quad$
2. a. À l’aide de la calculatrice on trouve : $P(T>7) \approx 0,278)$.
   $\quad$
   b. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{(T\pg 7)}(T\pg 9)&=\dfrac{P\left(T\pg 7)\cap (T\pg 9)\right)}{P(T\pg 7)} \\
   &=\dfrac{P(T\pg 9)}{P(T\pg 7)} \\
   &\approx 0,140
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie C

On a $n=57$ et $p=0,8$.
Donc $n=57 \pg 30$, $np=45,6 \pg 5$ et $n(1-p)=11,4 \pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de batteries pouvant assurer $350$ cycles de rechargement complet sans perte significative de puissance est :
$\begin{align*} I_{57}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{57}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{57}}\right] \\
&\approx [0,696;0,904]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{40}{57}\approx 0,702 \in I_{57}$.

Cette étude ne remet donc pas en cause l’affirmation du constructeur.
$\quad$

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Partie A

1. On a $u_0=16~000$.
   $u_1=u_0\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85\times 16~000=13~600$
   $u_2=0,85\times 13~600=11~560$
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $u_{n+1}=u_n\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85u_n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,85$.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=16~000\times 0,85^n$.
   $\quad$
3. a. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,85$.
   Or $0<0,85<1$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
   $\quad$
   b. Cela signifie donc que sur le long teme madame DURAND n’aura plus de capital disponible.
   $\quad$
4. a. On peut donc écrire :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   U\leftarrow 16~000\\
   N \leftarrow 0\\
   \text{Tant que } U\pg 2~000\\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \hspace{1cm} U \leftarrow 0,85\times U\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=16~000\times 0,85^n$.
   On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} u_n <2~000 &\ssi 16~000 \times 0,85^n<2~000\\
   &\ssi 0,85^n < 0,125 \\
   &\ssi n\ln 0,85 < \ln 0,125 \\
   &\ssi n > \dfrac{\ln 0,125}{\ln 0,85} \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln 0,125}{\ln 0,85} \approx 12,8$.
   Cela signifie que la variable $N$ contiendra la valeur $13$ à la fin de l’exécution de l’algorithme.
   $\quad$

Partie B

1. Chaque année elle prélève $15\%$ de son capital. Il lui reste donc $85\%$ de son capital soit $0,85v_n$.
   Elle ajoute $300$ € chaque $1\ier$ décembre. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=0,85v_n+300$.
   $\quad$
2. a. On a $w_0=v_0-2~000=14000~$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=v_n-2~000$ soit $v_n=w_n+2~000$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-2~000 \\
   &=0,85v_n+300-2~000 \\
   &=0,85v_n-1~700 \\
   &=0,85\left(w_n+2~000\right)-1~700 \\
   &=0,85w_n+1~700-1~700\\
   &=0,85w_n\end{align*}$
   La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=14~000\times 0,85^n$.
   Or $v_n=w_n+2~000$ donc $v_n=14~000\times 0,85^n+2~000$.
   $\quad$
3. $0<0,85<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=2~000$.
   Sur le long terme, son capital disponible sera de $2~000$.
   Il ne sera donc pas toujours supérieur à $2~500$ €.
   $\quad$

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. Le degré des sommets est donné par le tableau suivant :
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
   \hline
   \text{Degré}&2&4&5&4&3&4&2\\
   \hline
   \end{array}$
   Le graphe est connexe et possède exactement deux sommets de degré impair.
   Il possède donc une chaîne eulérienne.
   Ils peuvent donc effectuer un trajet empruntant une et seule fois tous les sentiers.
   $\quad$
2. Nous allons utiliser l’algorithme de Diskstra pour répondre à la question.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
   \hline
   0&&&&&&&A\\
   \hline
   \phantom{11(A)}&13(A)&17(A)&&&&&B\\
   \hline
   &&17(A)&23(B)&20(B)&&&C\\
   \hline
   &&&22(C)&19(C)&29(C)&&E\\
   \hline
   &&&22(C)&&29(C)&&D\\
   \hline
   &&&&&26(D)&44(D)&E\\
   \hline
   &&&&&&41(F)&G\\
   \hline
   \end{array}$
   Le trajet le plus plus court pour relier la station A à la station G est $A-C-D-F-G$ (il faut $41$ minutes).

Partie B

1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
   
   $\quad$
2. La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix} 0,9&0,1\\0,15&0,85\end{pmatrix}$.
   $\quad$
3. a. $P_1=P_0M=\begin{pmatrix}0,525&0,475\end{pmatrix}$
   Donc $P_2=P_1M =\begin{pmatrix}0,543~75&0,456~25\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 0,544&0,456\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   b. Cela signifie donc qu’à la fin de la $2\ieme$ journée environ $54,4\%$ des audio-guide sont rendus sur le site B et environ $45,6\%$ d’entre-eux sont rendus sur le site G.
   $\quad$
4. Pour tout entier naturel $n$ on a $b_{n+1}=0,75b_n+0,15$.
   On va tester chacune des propositions au rang $0$.
   Proposition a. : $-0,1+0,6=0,5=b_0$
   Proposition c. : $0,1+0,6=0,7\neq b_0$
   Proposition b. : $-0,6+0,1=-0,5\neq b_0$
   Proposition d. : $-0,1-0,6=-0,7\neq b_0$
   Par conséquent la bonne expression est celle de la proposition a : $b_n=-0,1\times 0,75^n+0,6$.
   $\quad$
5. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $g_n=1-b_n=0,4+0,1\times 0,75^n$.
   On veut résoudre :
   $\begin{align*} g_n<0,35 &\ssi 0,4+0,1\times 0,75^n<0,35 \\
   &\ssi 0,1\times 0,75^n<-0,05
   \end{align*}$
   Un produit de nombres positifs reste positif. L’inéquation précédente n’a donc pas de solution.
   La personne chargée de la gestion des audio-guides a par conséquent tort.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4

1. a. D’après le graphique, on a $f(0)=0$.
   $\quad$
   b.La droite $\mathscr{D}$ passe par les points $O(0;0)$ et $B(4;6)$.
   On a donc $f'(0)=\dfrac{6-0}{4-0}=1,5$.
   $\quad$
   c. La courbe $\mathscr{C}$ semble être au-dessus de ses tangentes sur l’intervalle $[-6;4]$. La fonction $f$ semble donc être convexe sur cet intervalle.
   $\quad$
2. a. Pour tout réel $x$ on a :
   $f'(x)=2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}$.
   $\quad$
   b. On veut résoudre sur l’intervalle $[-6;4]$ l’inéquation :
   $\begin{align*} f'(x)>0 &\ssi 2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x} > 0\\
   &\ssi -\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}> -2 \\
   &\ssi \e^{-\frac{1}{2}x}<4 \\
   &\ssi -\dfrac{1}{2}x<\ln(4) \\
   &\ssi  x>-2\ln(4)\end{align*}$
   L’ensemble solution est donc $\left[-2\ln(4);4\right]$.
   $\quad$
   c. $-2\ln(4) =-2\ln\left(2^2\right)=-4\ln(2)$.
   On obtient ainsi le tableau de variation suivant :
   
   $\quad$
   d. Sur l’intervalle $\left[-6;-4\ln(2)\right]$, la fonction est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
   De plus $f(-6)=-13+\e^3 \approx 7,09>0$ et $f\left(-4\ln(2)\right) \approx -2,55<0$.
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[-6;-4\ln(2)\right]$.
   $\quad$
   Sur l’intervalle $\left[-4\ln(2);4\right]$, la fonction est continue (car dérivable) et strictement croissante.
   De plus $f\left(-4\ln(2)\right) \approx -2,55<0$ et $f(4)=7+\e^{-2}\approx 7,14>0$.
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[-4\ln(2);4\right]$.
   $\quad$
   L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[-6;4]$.
3. On a $f(0)=0-1+1=0$ et $0\in \left[-4\ln(2);4\right]$
   La solution non nulle $\alpha$ appartient donc à l’intervalle $\left[-6;-4\ln(2)\right]$.
   À l’aide de la calculatrice on obtient $-4,68 <\alpha <-4,67$.
   $\quad$
4. Pour tout réel $x$ on a : $f'(x)=2-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}$
   Donc $f\dsec(x)=-\dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}\right)=\dfrac{1}{4}\e^{-\frac{1}{2}x}$
   La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-6;4]$. Par conséquent $f\dsec(x)>0$ sur cet intervalle et la fonction $f$ est convexe sur $[-6;4]$.
   $\quad$
5. a. Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=2x-1-2\times \left(-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}\right)=2x-1-\dfrac{1}{2}\e^{-\frac{1}{2}x}=f(x)$.
   La fonction $g$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
   $\quad$
   b. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$ est :
   $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{4-0}\ds \int_0^4 f(x)\dx \\
   &=\dfrac{1}{4}\left(g(4)-g(0)\right) \\
   &=\dfrac{1}{4}\left(12-2\e^{-2}+2\right) \\
   &=\dfrac{14-2\e^{-2}}{4} \\
   &=\dfrac{7-\e^{-2}}{2} \\
   &\approx 3,43\end{align*}$
   $\quad$

Exercice 1     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une justification est attendue.

Affirmation A
Un objet subit trois augmentations successives de $10 \%$. Une baisse de $25 \%$ suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial.
$\quad$

Affirmation B
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)-\dfrac{1}{x}+2$ et $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
La tangente à $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $1$ passe par le point de coordonnées $(2;3)$.
$\quad$

Affirmation C
La valeur exacte de la somme des $12$ premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $4$ et de raison $\dfrac{1}{3}$ est : $6\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{13}\right]$.
$\quad$

Affirmation D
Dans un hôtel, le petit déjeuner n’est servi que jusqu’à $10$ heures $15$ minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre $9$ heures et $11$ heures.
On admet que l’heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9;11]$ . La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit-déjeuner est $0,425$.
$\quad$

 

Exercice 2     5 points

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.
Sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme approchée à $\boldsymbol{0,001}$ près.

Partie A

Une étude portant sur la recharge des véhicules électriques indique que $10 \%$ des recharges sont effectuées sur des bornes publiques. Dans les autres cas, la recharge s’effectue chez des particuliers.
Il existe deux types de recharge : la recharge « standard » et la recharge « accélérée ».
Les recharges « standard » représentent $25 \%$ des recharges effectuées sur des bornes publiques et $95 \%$ des recharges effectuées chez les particuliers.
On choisit au hasard un véhicule électrique qui vient d’être rechargé et on considère les événements suivants :

• $U$ : « la recharge a été effectuée sur une borne publique » ;
• $S$ : « la recharge a été effectuée de façon standard ».

On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux événements, la probabilité de l’événement $A$ est notée $P(A)$ et celle de $A$ sachant $B$ est notée $P_B(A)$. De plus, $\conj{A}$ désigne l’événement contraire de $A$.

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
   $\quad$
2. Justifier que $P(S)=0,88$ .
   $\quad$
3. Sachant que le véhicule choisi a été rechargé de façon standard, calculer la probabilité que la recharge ait été effectuée sur une borne publique.
   $\quad$

Partie B

Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale de moyenne $6$ et d’écart type $\sigma$.

1. Sachant qu’environ $95 \%$ des durées de charge sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h, justifier que l’on peut choisir $\sigma = 1,7$.
   $\quad$
2. a. Calculer $P(T>7)$ .
   $\quad$
   b. Sachant que l’une des batteries mise en charge n’est pas rechargée complètement au bout de $7$ heures, quelle est la probabilité qu’elle ne le soit toujours pas au bout de
   $9$ heures ?
   $\quad$

Partie C
Le fabriquant de batteries affirme que $80 \%$ de ses batteries peuvent assurer $350$ cycles de rechargement complet sans perte significative de puissance.
Une association de consommateurs réalise une enquête sur $57$ batteries de cette marque. Parmi celles-ci, seules $40$ n’ont pas subi de perte de puissance significative. Cette étude peut-elle remettre en cause l’affirmation du constructeur ? Justifier la réponse.
$\quad$

 

Exercice 3     5 points

candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.

Au 1$\ier$ janvier 2018, madame DURAND dispose d’un capital de $16~000$ €. Le 1$\ier$ juillet de chaque année, elle prélève $15 \%$ du capital disponible en prévision de ses vacances estivales.

Partie A

On modélise le montant du capital de madame DURAND au 1$\ier$ janvier par une suite $\left(u_n\right)$ . Plus
précisément, si n est un entier naturel, $u_n$ désigne le montant du capital de madame DURAND disponible le 1$\ier$ janvier de l’année 2018$+n$ .
On a donc $u_0=16~000$ .

1. Calculer $u_1$ et $u_2$ .
   $\quad$
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
   $\quad$
3. a. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ en justifiant votre réponse.
   $\quad$
   b. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.
   $\quad$
4. À l’aide d’un algorithme, madame DURAND souhaite déterminer le nombre d’années à partir duquel son capital devient inférieur ou égal à $2~000$ €.
   a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution, la variable N contienne le résultat attendu.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   U\leftarrow \ldots \\
   N\leftarrow 0\\
   \text{Tant que } U\ldots\ldots\\
   \hspace{1cm} N \leftarrow \ldots\\
   \hspace{1cm} U \leftarrow \ldots\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Quelle est la valeur numérique contenue par la variable $N$ à la fin de l’exécution de cet algorithme ?
   $\quad$

Partie B

Cherchant à anticiper la diminution de son capital disponible, madame DURAND décide d’ajouter à son capital disponible $300$ € chaque 1$\ier$ décembre.

On note $v_n$ la valeur du capital le 1$\ier$ janvier de l’année 2018$+n$. On a ainsi $v_0=16~000$.

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $v_{n+1}=0,85×v_n+300$.
   $\quad$
2. On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n=v_n−2~000$ .
   a. Calculer $w_0$.
   $\quad$
   b. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$.
   $\quad$
   c. En déduire que, pour tout entier $n$ , $v_n=2~000+14~000×0,85n$ .
   $\quad$
3. En s’y prenant ainsi, madame DURAND espère toujours disposer d’un capital supérieur à $2~500$ €. A-t-elle raison ?
   $\quad$

 

Exercice 3     5 points

candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

En vacances, Assan et Chloé projettent de visiter sept sites touristiques et se sont procurés le plan des sentiers reliant ces sites. Ci-dessous, ils ont représenté ce plan par un graphe connexe pondéré par les temps de parcours en minutes séparant les lieux de visites notés $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$.

Partie A

1. Est-il possible, pour Assan et Chloé, d’effectuer un trajet empruntant une et une seule fois tous les sentiers ? Justifier votre réponse.
   $\quad$
2. Déterminer, par la méthode de votre choix, le trajet le plus court leur permettant de relier la station $A$ à la station $G$ en précisant le temps de parcours.
   $\quad$

Partie B

Sur les sites $B$ et $G$, l’office de tourisme loue des audio-guides que les visiteurs peuvent rendre sur l’un ou l’autre des deux sites à la fin de la journée. Une étude a mis en évidence que chaque jour :

• $10 \%$ des audio-guides loués sur le site $B$ sont rendus sur le site $G$, les autres étant rendus sur le site $B$ ;
• $15 \%$ des audio-guides loués sur le site $G$ sont rendus sur le site $B$, les autres étant rendus sur le site $G$.

On étudie l’évolution de la répartition des audio-guides sur les deux sites.
Pour tout entier naturel non nul $n$ :

• on note $b_n$ la probabilité qu’un audio-guide choisi au hasard soit rendu sur le site $B$ à la fin de la $n$-ième journée,
• on note $g_n$ la probabilité qu’un audio-guide choisi au hasard soit rendu sur le site $G$ à la fin de la $n$-ième journée.

À l’ouverture de la saison, il y a autant d’audio-guides sur le site $B$ que sur le site $G$.

pour tout entier naturel non nul $n$, on note $P_n=\begin{pmatrix}b_n&g_n\end{pmatrix}$ la matrice de l’état probabiliste à la fin de la $n$-ième journée. On rappelle que $b_n+g_n=1$. On pose $P_0=\begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix}$.

1. Recopier et compléter le graphe probabiliste suivant :
   $\quad$
2. Donner la matrice de transition $M$ associée au graphe.
   $\quad$
3. On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ , $P_{n+1}=P_nM$ .
   a. Calculer $P_2$ . On approchera les valeurs à $10^{-3}$ près.
   $\quad$
   b. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
   Dans la suite, on admettra que pour tout entier naturel $n$, on a $b_{n+1}=0,75b_n+0,15$ .
4. Parmi les quatre propositions suivantes, une seule fournit, pour tout entier $n$, l’expression de $b_n$ en fonction de $n$. Préciser laquelle et justifier votre réponse :
   a. $b_n=−0,1×0,75n+0,6$
   b. $b_n=−0,6×0,75n+0,1$
   c. $b_n=+0,1×0,75n+0,6$
   d. $b_n=−0,1×0,75n−0,6$
   $\quad$
5. La personne chargée de la gestion des audio-guides prétend que le site $G$ accueillera un jour moins de $35 \%$ des audio-guides. Qu’en pensez-vous ? Justifier votre réponse.
   $\quad$

 

Exercice 4     6 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[−6;4 ]$ et dont la courbe $\mathscr{C}$ est représentée ci-dessous.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .

On a représenté $\mathscr{D}$, la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$.
La droite $\mathscr{C}$ passe par l’origine du repère et par le point $B(4; 6)$ .

1. Avec la précision permise par le graphique :
   a. donner la valeur de $f(0)$ ;
   $\quad$
   b. donner la valeur de $f'(0)$ ;
   $\quad$
   c. conjecturer la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
   $\quad$
2. On admet que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ et que son expression est $f(x )=2 x−1+\e^{-\frac{1}{2}x}$ .
   a. Calculer $f'(x)$ sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
   $\quad$
   b. Montrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation $f'( x)\pg 0$ est l’intervalle $[−2\ln (4);4 ]$ .
   $\quad$
   c. Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
   $\quad$
   d. En déduire le nombre de solutions de l’équation $f(x )=0$ sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
   $\quad$
3. Donner un encadrement au centième près de la solution non nulle de l’équation $f(x )=0$ sur l’intervalle $[−6 ;4 ]$ .
   $\quad$
4. Démontrer la conjecture émise dans la question 1.c.
   $\quad$
5. Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0 ; 4 ]$ par $g( x)=x^2−x−2\e^{-\frac{1}{2}x}$ .
   On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $[0 ; 4 ]$ .
   a. Montrer que la fonction $g$ est une primitive la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 4 ]$ .
   $\quad$
   b. En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 4 ]$ . En donner une valeur approchée à $0,01$ près.
   $\quad$