Bac ES/L – Pondichéry – mai 2018

Pondichéry – Mai 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici 

Ex 1

Exercice 1

  1. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-\ln x$.
    On sait que la fonction $\ln$ est négative ou nulle sur l’intervalle $]0;1]$ et positive ou nulle sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
    Par conséquent $-\ln x$ est négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est :
    $f'(\e)=-\dfrac{5\ln \e}{\e^2}=-\dfrac{5}{\e^2}$
    Réponse a
    $\quad$
  3. On étudie le signe de $f\dsec(x)$.
    Sur l’intervalle $[0,5;5]$ le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $10\ln x-5$.
    Or $10\ln x-5>0 \ssi \ln x>0,5 \ssi x > \e^{0,5}$
    La fonction $f’$ est donc croissante sur l’intervalle $\left[\e^{0,5};5\right]$.
    Mais $\e^{0,5} \approx 1,65<2$
    Réponse c
    $\quad$
  4. L’abscisse de $A$ vérifie $f\dsec(x)=0$
    Soit $10\ln x-5=0 \ssi \ln x=0,5 \ssi x=\e^{0,5}$
    Réponse c
    $\quad$
  5. Le domaine contient $20$ carrés d’aire $0,5$ u.a.
    Donc $\mathscr{A}\pg 10$.
    De plus il est contenu dans un rectangle de taille $3\times 5=15$ u.a.
    Par conséquent $\mathscr{A} \pp 15$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. On a $P(V)=0,8$ et $P_V(S)=0,4$
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. On veut calculer $P(V\cap S)=0,8\times 0,4 = 0,32$
    $\quad$
    b. Calculons tout d’abord $P(E)$.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(E)&=P(V\cap E)+P\left(\conj{V}\cap E\right) \\
    &=0,8 \times 0,4+0,2\times 0,3 \\
    &=0,38
    \end{align*}$
    Ainsi la probabilité de l’événement “pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l’un des deux modes” est $1-0,38=0,62$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $P(X \pp 30) = 0,5+P(27,5 \pp X \pp 30) \approx 0,798$
    Donc $P(X \pp 30) \approx 0,80$ à $0,01$ près.
    $\quad$
  2. $P(24,5 \pp X \pp 30,5) = P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma) \approx 0,68$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=200$ et $f=\dfrac{175}{200}=0,875$
Donc $n \pg 30$, $nf=175 \pg 5$ et $n(1-f)=25 \pg 30$.
Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $0,95$ de la proportion $p$ est :
$\begin{align*} I_{200}&=\left[0,875-\dfrac{1}{\sqrt{200}};0,875+\dfrac{1}{\sqrt{200}}\right] \\
&\approx [0,80;0,95]
\end{align*}$
$\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. $u_1=0,8\times 65+18=70$
    $u_2=0,8\times 70+18=74$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-90$ donc $u_n=v_n+90$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-90 \\
    &=0,8u_n+18-90 \\
    &=0,8u_n-72 \\
    &=0,8\left(v_n+90\right)-72 \\
    &=0,8v_n+72-72 \\
    &=0,8v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=65-90=-25$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-25\times 0,8^n$.
    Donc $u_n=v_n+90=90-25\times 0,8^n$
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    \text{ligne }1&u \leftarrow 65 \\
    \text{ligne }2&n \leftarrow 0 \\
    \text{ligne }3& \text{Tant que } u<85 \\
    \text{ligne }4& \hspace{1cm}  n\leftarrow n+1 \\
    \text{ligne }5& \hspace{1cm} u\leftarrow 0,8\times u+18 \\
    \text{ligne }6&\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. En utilisant la fonction Table de la calculatrice on obtient que $n=8$ à la fin de l’algorithme.
    $\quad$
    c. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n \pg 85&\ssi 90-25\times 0,8^n \pg 85 \\
    &\ssi -25\times 0,8^n \pg -5 \\
    &\ssi 0,8^n\pp 0,2 \\
    &\ssi n\ln 0,8 \pp \ln 0,2 \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \approx 7,21$.
    Donc le plus petit entier naturel vérifiant $u_n\pg 85$ est $8$.
    On retrouve bien le résultat de l’équation précédente.
    $\quad$
  4. a. Au mois de juillet, $65$ particuliers ont souscrit à l’abonnement. Soit $u_0=65$.
    D’un mois sur l’autre, environ $20\%$ des abonnements sont résiliés. Il reste donc $80\%$ des abonnements soit $0,8u_n$.
    Chaque mois, $18$ particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement donc $u_{n+1}=0,8u_n+18$.
    La suite $\left(u_n\right)$ permet bien de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio le $n$-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
    $\quad$
    b. Chaque abonnement coûte $52$ € par mois.
    La recette mensuelle de la société est donc $52u_n$.
    On veut donc résoudre $52u_n \pg 4~420 \ssi u_n \pg 85$.
    On a vu à la question 3.c. que la solution de cette inéquation était $n\pg 8$.
    C’est donc à partir du mois de mars 2018 que la recette mensuelle dépassera $4~420$ €.
    Elle dépassera donc $4~420$ € durant l’année 2018.
    $\quad$
    c. On a $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=90$.
    La recette mensuelle de la société va donc tendre vers $90\times 52=4~680$ €.
    $\quad$

Ex 3 spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On va utiliser l’algorithme de Dijkstra.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&\text{Sommet} \\
\hline
0&&&&&&&&A\\
\hline
\phantom{47(A)}&47(A)&56(A)&&23(A)&30(A)&&&E\\
\hline
&43(E)&56(A)&65(E)&&30(A)&&63(E)&F\\
\hline
&43(E)&56(A)&65(E)&&&&58(F)&B\\
\hline
&&56(A)&65(E)&&&&58(F)&C\\
\hline
&&&65(E)&&&&58(F)&H\\
\hline
&&&65(E)&&&81(H)&&D\\
\hline
&&&&&&80(D)&&G\\
\hline
\end{array}$

Le chemin le plus court est donc $A-E-D-G$. Sa distance est de $80$ km.

$\quad$

Partie B

  1. a. On a $P_0=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. On a le graphe probabiliste suivant :
  2. La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix}0,22 &78\\0,53&0,47\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On a $P_2=P_0\times M^2=\begin{pmatrix}0,4~618&0,5~382\end{pmatrix}$
    Au bout de $2$ jours la probabilité que Louis utilise la covoiturage est de $46,18\%$ et la probabilité qu’il utilise les transports en commun est de $53,82\%$.
    $\quad$
  4. a. L’état stable vérifie :
    $\begin{align*} \begin{cases} x+y=1 \\0,22x+0,53y=x\\0,78x+0,47y=y\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1-y \\-0,78x+0,53y=0\\0,78x-0,53y=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,78-0,78y-0,53y=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\1,31y=0,78 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1-y\\y=\dfrac{78}{131} \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{53}{131}\\y=\dfrac{78}{131}\end{cases} \end{align*}$
    L’état stable est donc $P=\begin{pmatrix}\dfrac{53}{131}&\dfrac{73}{131}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{53}{131} \approx 0,4$.
    À long terme, la probabilité que Louis utilise le covoiturage est de $40\%$ et celle qu’il utilise les transports en commun est de $60\%$.
    Selon ce modèle, on ne peut donc pas dire, qu’à long terme, Louis utilisera aussi souvent le covoiturage que les transports en commun.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3,6\e^{-0,6x}-0,6(3,6x+2,4)\e^{-0,6x} \\
    &=(3,6-2,16x-1,44)\e^{-0,6x} \\
    &=(-2,16x-2,16)\e^{-0,6x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépendra que de celui de $-2,16x+2,16=2,16(-x+1)$.
    Or $-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$.
    Par conséquent :
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]1;4]$
    $\bullet$ $f'(1)=0$
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau de variation suivant :
  3. On a donc :
    $\begin{align*} \displaystyle \int_0^4 f(x)\dx &=F(4)-F(0) \\
    &=-38\e^{-2,4}-5,6+14 \\
    &=8,4-38\e^{-2,4}\\
    &\approx 4,95
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;4]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle part $G(x)=\dfrac{4}{3}x^3-2x^2+x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \displaystyle \int_0^{0,5} g(x)\dx&=G(0,5)-G(0) \\
    &=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \\
    &=\dfrac{1}{6}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. L’aire du domaine du plan délimité par les courbes $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$, l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$ est :
    $\displaystyle \begin{align*} \mathscr{A}_1&=\int_0^{0,5} \left[f(x)-g(x)\right]\dx+\int_{0,5}^4 f(x)\dx \\
    &=\int_0^4 f(x)\dx-\int_0^{0,5} g(x)\dx \\
    &=8,4-38\e^{-2,4}-\dfrac{1}{6}\\
    &=\dfrac{247}{30}-38\e^{-2,4}
    \end{align*}$
    L’aire du domaine grisé est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=2\mathscr{A}_1 \\
    &=\dfrac{247}{15}-76\e^{-2,4} \\
    &\approx 9,57 \text{ u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte
ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0,5;5]$ par : $$f(x)=\dfrac{5+5\ln(x)}{x}$$

Sa représentation graphique est la courbe $\mathscr{C}$ donnée ci-dessous dans un repère d’origine $O$. On admet que le point $A$ placé sur le graphique est le seul point d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[0,5;5]$. On note $B$ le point de cette courbe d’abscisse $\e$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur cet intervalle.

On rappelle que $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde.

On admet que pour tout $x$ de l’intervalle $[0,5;5]$ on a :
$$\begin{array}{lcr}
f'(x)=\dfrac{-5\ln x}{x^2}&\hspace{2cm}&f\dsec(x)= \dfrac{10\ln x-5}{x^3}
\end{array}$$

  1. La fonction $f’$ est :
    a. positive ou nulle sur l’intervalle $[0,5;5]$
    b. négative ou nulle sur l’intervalle $[1;5]$
    c. négative ou nulle sur l’intervalle $[0,5;1]$
    $\quad$
  2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ est égal à :
    a. $-\dfrac{5}{\e^2}$
    b. $\dfrac{10}{\e}$
    c. $\dfrac{5}{\e^3}$
    $\quad$
  3. La fonction $f’$ est :
    a. croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$
    b. décroissante sur l’intervalle $[1;5]$
    c. croissante sur l’intervalle $[2;5]$
    $\quad$
  4. La valeur exacte de l’abscisse du point $A$ de la courbe $\mathscr{C}$ est égale à :
    a. $1,65$
    b. $1,6$
    c. $\e^{0,5}$
    $\quad$
  5. On note $\mathscr{A}$ l’aire, mesurée en unités d’aires, du domaine plan délimité par la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=4$. Cette aire vérifie :
    a. $20 \pp \mathscr{A} \pp 30$
    b. $10 \pp \mathscr{A} \pp 15$
    c. $5 \pp \mathscr{A} \pp 8$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront données, si nécessaire, sous forme approchée à $0, 01$ près.

Partie A

Un commerçant dispose dans sa boutique d’un terminal qui permet à ses clients, s’ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire, d’utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à $30$ €) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).
Il remarque que :

  • $80\%$ de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à $30$ €. Parmi eux :
    – $40\%$ paient en espèces ;
    – $40\%$ paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
    – les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
  • $20\%$ de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à $30$ €. Parmi eux :
    – $70\%$ paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
    – les autres paient en espèces.

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
On considère les événements suivants :

  • $V$ : ≪ pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à $30$ € ≫ ;
  • $E$ : ≪ pour son achat, le client a réglé en espèces ≫ ;
  • $C$ : ≪ pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret ≫ ;
  • $S$ : ≪ pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact ≫.
  1. a. Donner la probabilité de l’événement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant $V$ notée $P_V(S)$.
    $\quad$
    b. Traduire la situation de l’énoncé à l’aide d’i, arbre pondéré.
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à $30$ €  et qu’il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité de l’événement : ≪ pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l’un des deux modes ≫ est égale à $0, 62$.
    $\quad$

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la dépense en euros d’un client suite à un achat chez ce commerçant.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $27, 5$ et d’écart-type $3$. On interroge au hasard un client qui vient d’effectuer un achat dans la boutique.

  1. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé moins de $30$ €.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé entre $24, 5$ € et $30,5$ €.
    $\quad$

Partie C

Une enquête de satisfaction a été réalisée auprès d’un échantillon de $200$ clients de cette boutique.
Parmi eux, $175$ trouvent que le dispositif sans contact du terminal est pratique.
Déterminer, avec un niveau de confiance de $0, 95$, l’intervalle de confiance de la proportion $p$ de clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique.
$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=65$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=0,8u_n+18$$

  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-90$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,8$.
    On précisera la valeur de $v_0$.
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
    $$u_n=90-25\times 0,8^n$$
    $\quad$
  3. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    \text{ligne }1&u \leftarrow 65 \\
    \text{ligne }2&n \leftarrow 0 \\
    \text{ligne }3& \text{Tant que } \ldots\ldots\\
    \text{ligne }4& \hspace{1cm}  n\leftarrow n+1 \\
    \text{ligne }5& \hspace{1cm} u\leftarrow 0,8\times u+18 \\
    \text{ligne }6&\text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu’il détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n \pg 85$.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme?
    $\quad$
    c. Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l’inéquation $u_n\pg 85$.
    $\quad$
  4. La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d’un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l’agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de $52$ € par mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio.
    En juillet 2017, $65$ particuliers ont souscrit cet abonnement.
    Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :
    $\bullet$ d’un mois à l’autre, environ $20\%$ des abonnements sont résiliés ;
    $\bullet$ chaque mois, $18$ particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement.
    a. Justifier que la suite $(u_n)$ permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio le $n$-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser $4~420$ € durant l’année 2018 ? Justifier la réponse.
    $\quad$
    c. Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette ?
    Argumenter la réponse.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents lieux $A, B, C, D, E, F, G$ et $H$ dans lesquels Louis est susceptible de se rendre chaque jour. Le lieu $A$ désigne son domicile et $G$ le lieu de son site de travail. Le poids de chaque arête représente la distance, en kilomètres, entre les deux lieux reliés par l’arête.

Déterminer le chemin le plus court qui permet à Louis de relier son domicile à son travail. On pourra utiliser un algorithme. Préciser la distance, en kilomètres, de ce chemin.

Partie B

Afin de réduire son empreinte énergétique, Louis décide d’utiliser lors de ses trajets quotidiens soit les transports en commun, soit le covoiturage.

  • s’il a utilisé les transports en commun lors d’un trajet, il utilisera le covoiturage lors de son prochain déplacement avec une probabilité de $0,53$ ;
  • s’il a utilisé le covoiturage lors d’un trajet, il effectuera le prochain déplacement en transport en commun avec une probabilité de $0,78$.

Louis décide de mettre en place ces résolutions au 1$\ier$ janvier 2018.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $c_n$ la probabilité que Louis utilise le covoiturage $n$ jour(s) après le 1$\ier$ janvier 2018 ;
  • $t_n$ la probabilité que Louis utilise les transports en commun $n$ jour(s) après le 1$\ier$ janvier 2018 ;

La matrice ligne $P_n =\begin{pmatrix} c_n&t_n\end{pmatrix}$ traduit l’état probabiliste $n$ jour(s) après le 1$\ier$ janvier 2018.
Le 1$\ier$ janvier 2018, Louis décide d’utiliser le covoiturage.

  1. a. Préciser l’état probabiliste initial $P_0$.
    $\quad$
    b. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste.
    On notera ≪ $C$ ≫ et ≪ $T$ ≫ ses deux sommets :
    $\bullet$  ≪ $C$ ≫ pour indiquer que Louis utilise le covoiturage ;
    $\bullet$ ≪ $T$ ≫ pour indiquer que Louis utilise les transports en commun.
    $\quad$
  2. Déterminer la matrice de transition du graphe probabiliste en considérant ses sommets dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  3. Calculer l’état probabiliste $P_2$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l’exercice.
    $\quad$
  4. Soit la matrice ligne$P = \begin{pmatrix}x;y \end{pmatrix}$ associée à l’état stable du graphe probabiliste.
    a. Calculer les valeurs exactes de $x$ et de $y$ puis en donner une valeur approchée à $0,01$ près.
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, peut-on dire qu’ à long terme, Louis utilisera aussi souvent le covoiturage que les transports en commun ? Justifier la réponse.$\quad$

Exercice 4     5 points

Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à $0,01$ près.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par :

$$f(x)=(3,6x+2,4)\e^{-0,6x}-1,4$$

Partie A

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;4]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;4]$ on a :
    $$f'(x)=(-2,16x+2,16)\e^{-0,6x}$$
    $\quad$
  2. a. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
    On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $F$ définie par : $$F(x)=(-6x-15)\e^{-0,6x}-1,4x$$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
    Calculer la valeur exacte de $\ds \int_0^4 f(x)\dx$ puis en donner une valeur numérique approchée.
    $\quad$

Partie B

On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$.
On considère la fonction $g$ définie par : $$g(x)=4x^2-4x+1$$
On note $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle $[0;0,5]$.

On a tracé ci-dessous les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ dans un repère d’origine $O$ et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ par rapport à l’axe des abscisses :

  1. Montrer que $\ds \int_0^{0,5} g(x)\dx=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. On considère le domaine plan délimité par les courbes $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$, leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d’équation $x=4$.
    Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci-dessus.
    Calculer une valeur approchée de l’aire, en unités d’aire, de ce domaine.
    $\quad$