Bac ES/L – Liban – Mai 2019

Liban – Mai 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1     

  1. La fonction $u$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $u'(x)=3\times \dfrac{1}{x}-2=\dfrac{3}{x}-2$.
    Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $1$ est de la forme : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f(1)=0-2+1=-1$ et $f'(1)=3-2=1$.
    Ainsi une équation de la tangente cherchée est : $y=(x-1)-1$
    Soit $y=x-1-1$ et donc $y=x-2$.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue et définie sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ en tant que produit d’une fonction continue et définie sur cet intervalle par un réel.
    La fonction exponentielle  est strictement positive donc $\e^2>0$.
    Pour tout réel $x>1$ on a $\ln x>0$. Donc sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ on a $f(x)>0$.
    On appelle $F$ la fonction définie sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ par $F(x)=x\ln(x)-x$.
    On a ainsi :
    $\begin{align*} \int_{\e}^{\e^2}f(x)\dx&=\dfrac{1}{\e^2}\int_{\e}^{\e^2}\ln(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{\e^2}\times \left(F\left(\e^2\right)-F(\e)\right) \\
    &=\dfrac{2\e^2-\e^2-\e+\e}{\e^2} \\
    &=\dfrac{\e^2}{\e^2} \\
    &=1\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc une fonction de densité sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. La fonction $G$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $G'(x)=-6\times (-2)\e^{-2x+1}=12\e^{-2x+1} \neq g(x)$.
    La fonction $G$ n’est donc pas une primitive de la fonction $g$.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. La fonction $h$ est deux fois dérivable sur $[-8;-0,5]$ en tant que quotient de fonctions polynômes dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{4x^2-(4x+1)\times 2x}{x^4} \\
    &=\dfrac{4x^-8x^2-2x}{x^4} \\
    &=\dfrac{-4x^2-2x}{x^4} \\
    &=\dfrac{-4x-2}{x^3} \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} h\dsec(x)&=\dfrac{-4x^3-(-4x-2)\times 3x^2}{x^6} \\
    &=\dfrac{-4x^3+12x^3+6x^2}{x^6} \\
    &=\dfrac{8x^3+6x^2}{x^6} \\
    &=\dfrac{8x+6}{x^4}\end{align*}$
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-8;-0,5]$ on a $x^4>0$.
    Le signe de $h\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $8x+6$.
    De plus $8x+6< 0\ssi 8x< -6 \ssi x< -0,75$.
    La fonction $h$ est donc concave sur l’intervalle $[-8;-0,75]$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie 1 : Modèle 1

  1. On a $u_1=q\times u_0=158,11$
    et $u_2=q\times u_1=257,719~3 \approx 258$.
    $\quad$
  2. $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,63$ et de premier terme $u_0=97$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=97\times 1,63^n$.
    $\quad$
  3. On a $u_0=97>0$ et $1,63>1$.
    La suite suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $1,63$ et de premier terme $u_0=97$ est donc croissante.
    $\quad$
  4. Le 12 juin 2018 on a $n=11$.
    Or $u_{11}=97\times 1,63^{11}\approx 20~900$
    Il y aura donc environ $2~093~300$ chenilles le 12 juin 2018.
    $\quad$

Partie 2 : Modèle 2

  1. Le 13 juin 2018 on a $n=12$.
    $v_{12}=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{12}+3~100\right) \approx 731$.
    Selon ce modèle il y aura environ $73~100$ chenilles le 13 juin 2018.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{n+1}+3~100\right)-\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^{n}+3~100\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}\times -2~809\times\left( 0,91^{n+1}-0,91^n\right)\\
    &=-\dfrac{2~809}{3}\times 0,91^n\times (0,91-1) \\
    &=-\dfrac{2~809}{3}\times 0,91^n\times (-0,09) \\
    &=84,27\times 0,91^n\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$

Partie 3 : Comparaison des différents modèles

  1. On a $u_{12}=97 \times 1,63^{12} \approx 34~121$ et $v_{12} \approx 731$.
    $v_{12}$ est plus proche de $745$ que $u_{12}$
    Le modèle 2 paraît donc le plus adapté.
    $\quad$
  2. b.
    $\begin{align*} b_n\pg 1~000 &\ssi \dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^n+3~100\right)\pg 1~000 \\
    &\ssi -2~809\times 0,91^n+3~100 \pg 3~000 \\
    &\ssi -2~809 \times 0,91^n \pg -100 \\
    &\ssi 0,91^n \pp \dfrac{100}{2~809} \\
    &\ssi n\ln 0,91 \pp \ln \dfrac{100}{2~809} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{100}{2~809}}{\ln 0,91} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{100}{2~809}}{\ln 0,91} \approx 35,4$.
    La solution de l’inéquation $v_n\pg 1~000$ est donc l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $36$.
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que, selon le modèle 2, il y aura au moins $100~000$ chenilles à partir du  7 juillet 2018.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie 1

  1. On obtient le graphe probabiliste suivant :

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{cases} a_{n+1}=0,3a_n+0,6b_n+0,35c_n\\
    b_{n+1}=0,5a_n+0,3b_n+0,45c_n\\
    c_{n+1}=0,2a_n+0,1b_n+0,2c_n\end{cases}$
    La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix}0,3&0,5&0,2\\
    0,6&0,3&0,1\\
    0,35&0,45&0,2\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. On a $P_1=\begin{pmatrix} 0,355&0,405&0,24\end{pmatrix}$
    Donc :
    $\begin{align*} P_2&=P_1\times M\\
    &=\begin{pmatrix}0,433~5&0,407&0,159~5\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P_{12}&=P_1\times M^11 \\
    &\approx \begin{pmatrix} 0,431&0,41&0,159\end{pmatrix} \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} P_{13}&=P_1\times M^12 \\
    &\approx \begin{pmatrix} 0,431&0,41&0,159\end{pmatrix} \end{align*}$
    Ainsi $c_{12} \approx c_{13}$ et le restaurateur a raison.
    $\quad$

Partie 2

  1. a. On détermine le degré de chacun des sommets.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&H_1&H_2&H_3&H_4&H_5&H_6&H_7&H_8\\
    \hline
    \text{Degré}&3&4&6&2&2&3&4&2\\
    \hline
    \end{array}$$
    Ce graphe connexe possède exactement deux sommets de degré impair. Il possède donc une chaîne eulérienne et il existe un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois.
    $\quad$
    b. Tous les sommets n’étant pas de degré pair, ce graphe ne possède pas de cycle eulérien et il est impossible de trouver un parcours partant de $H_1$, empruntant toutes les rues une et une seule fois et revenant en $H_1$.
    $\quad$
  2. À l’aide de l’algorithme de Disjktra on obtient :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    H_1&H_2&H_3&H_4&H_5&H_6&H_7&H_8&\text{Degré} \\
    \hline
    &&&0&&&&&H_4\\
    \hline
    8\left(H_4\right)&&&&15\left(H_4\right)&&&&H_1\\
    \hline
    &17\left(H_1\right)&24\left(H_1\right)&&15\left(H_4\right)&&&&H_5\\
    \hline
    &17\left(H_1\right)&22\left(H_5\right)&&&&&&H_2\\
    \hline
    &&22\left(H_5\right)&&&34\left(H_2\right)&28\left(H_2\right)&&H_3\\
    \hline
    &&&&&27\left(H_3\right)&26\left(H_3\right)&50\left(H_3\right)&H_7\\
    \hline
    &&&&&27\left(H_3\right)&&35\left(H_7\right)&H_6\\
    \hline
    &&&\phantom{27\left(H_3\right)}&&&&35\left(H_7\right)&H_8\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le temps minimal pour aller de $H_4$ à $H_8$ est de $35$ minutes. Il faut pour cela utiliser le trajet $H_4H_5H_3H_7H_8$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-4;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[-4;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\left(-4\times 2x-10\right)\e^{-0,5x}+\left(-4x^2-10x+8\right)\times (-0,5)\e^{-0,5x} \\
    &=\left(-8x-10+2x^2+5x-4\right)\e^{-0,5x} \\
    &=\left(2x^2-3x-14\right)\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2-3x-14$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times (-14)=121>0$
    Les deux racines réelles sont donc :
    $x_1=\dfrac{3-\sqrt{121}}{4}=-2$ et $x_2=\dfrac{3+\sqrt{121}}{4}=3,5$.
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    avec $f(-4)=1-16\e^2$
    $f(-2)=1+12\e$
    $f(3,5)=1-76\e^{-1,75}$
    $f(10)=1-492\e^{-5}$
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[-4;10]$.
    De plus $f(-4)=1-16\e^{2}<0$ et $f(-2)=1+12\e^>0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[-4;-2]$.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &m&\text{signe de }p&a&b&b-a&b-a>10^{-1}\\
    \hline
    \text{Initialisation}&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\bbox[black]{\phantom{\text{Négatif}}}&-4&-2&2&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 1$\ier$  passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3&\text{Négatif}&-4&-3&1&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 2$^\text{ième}$ passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3,5&\text{Positif}&-3,5&-3&0,5&\text{VRAI}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. Cela signifie donc que la solution de l’équation $f(x)=0$ sur l’intervalle $[-4;-2]$ est comprise entre $-3,187~5$ et $-3,125$.
    Remarque : Il s’agit ici de l’algorithme de dichotomie.
    $\quad$
  4. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{10-(-4)}\int_{-4}^{10}f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{14}\left(F(10)-F(-4)\right) \\
    &=\dfrac{10+1~408\e^{-5}-\left(-4+8\e^{2}\right)}{14} \\
    &=\dfrac{14+1~408\e^{-5}-8\e^2}{14}\\
    &\approx -2,54 \end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4     

Partie A

  1. Les $300$ tirages sont aléatoires, identiques et indépendants.
    À chaque tirage il y a deux issues $S$ : “la personne choisie est respectueuse de son environnement” et $\conj{S}$.
    De plus $P(S)=0,72$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=300$ et $p=0,72$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=190)&=\ds \binom{300}{190} \times 0,72^{190}\times 0,28^{110} \\
    &\approx 0,000~2\end{align*}$
    La probabilité que $190$ personnes soient respectueuses de leur environnement est environ égale à $0,000~2$.
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 220)&=1-P(X<220) \\
    &=1-P(X\pp 219)\\
    &\approx 0,329~1\end{align*}$
    $\quad$

Partie 2

  1. Le discriminant du polynôme du second degré $2x^2-7x-4$ est :
    $\Delta = (-7)^2-4\times 2\times (-4)=81>0$
    Les racines de ce polynômes sont $x_1=\dfrac{7-\sqrt{81}}{4}=-0,5$ et $x_2=\dfrac{7+\sqrt{81}}{4}=4$.
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    Ainsi les solutions de l’inéquation $2x^2-7x-4\pg 0$ est $]-\infty;-0,5]\cup[4;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On appelle $Y$ la variable aléatoire que suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;10]$.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P(4\pp Y\pp 10)&=\dfrac{10-4}{10-0} \\
    &=0,6\end{align*}$
    La probabilité que ce nombre soit solution de l’inéquation $x^2-7x-4\pg 0$ est $0,6$.
    $\quad$

Partie 3

  1. a. D’après la calculatrice on a :
    $P(2,18 \pp Z\pp 2,42) \approx 0,72$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P(Z \pg 2,25)&=P(2,25\pp Z \pp 2,3)+P(Z\pg 2,3) \\
    &= P(2,25\pp Z \pp 2,3)+0,5\\
    &\approx 0,68\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $P(2,18\pp Z\pp 2,42)\approx 0,95$
    Donc $P(\mu-0,12\pp Z \pp \mu +0,12)\approx 0,95$
    Or $P(\mu-2\sigma \pp Z\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    Par conséquent $2\sigma \approx 0,12$ soit $\sigma \approx 0,06$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

  1. Soit $u$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$[ par : $u(x) = 3\ln(x)-2x+1$.
    Soit $C_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ dans un repère.
    $\quad$
    Affirmation 1 : $y=x-2$ est l’équation réduite de la tangente à $C_u$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$ par : $f(x)=\dfrac{1}{\e^2}\ln(x)$.
    On admet que la fonction $x\mapsto x\ln(x)-x$ est une primitive de la fonction $x\mapsto \ln(x)$ sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$.
    $\quad$
    Affirmation 2 : $f$ est une fonction de densité sur l’intervalle $\left[\e;\e^2\right]$.
    $\quad$
  3. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=3\e^{-2x+1}$.
    $\quad$
    Affirmation 3 : La fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=-6\e^{-2x+1}+6$ est la primitive de $g$ qui s’annule en $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  4. Soit $h$ la fonction définie sur l’intervalle $[-8;-0,5]$ par : $h(x)=\dfrac{4x+1}{x^2}$.
    $\quad$
    Affirmation 4 : La fonction $h$ est concave sur l’intervalle $[-8;-0,75]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L.

La Pyrale du buis est une espèce de lépidoptères de la famille des Crambidæ, originaire d’Extrême-Orient. Introduite accidentellement en Europe dans les années 2000, elle y est rapidement devenue invasive. Une étude décomptant le nombre de chenilles de Pyrale dans un camping d’Ardèche donne les estimations suivantes :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Date}&01/06/18&02/06/18&03/06/18\\
\hline
n&0&1&2\\
\hline
\text{Nombre de chenilles en centaines}&97&181&258\\
\hline
\end{array}$$
L’exercice étudie et compare deux modélisations de l’évolution du nombre de chenilles.

Partie 1 : Modèle 1
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le $1\ier$ juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q=1,63$. Ainsi $u_0 = 97$.

  1. Calculer $u_ç2$. Arrondir à l’unité.
    $\quad$
  2. Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.
    $\quad$

Partie 2 : Modèle 2
Dans cette partie, on modélise le nombre de chenilles le $n$-ième jour après le $1\ier$ juin 2018 (nombre exprimé en centaines) par une suite $\left(v_n\right)$ telle que :
$\hspace{2cm} v_0=97$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}= 0,91v_n+93$.

  1. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $v_n=\dfrac{1}{3}\left(-2~809\times 0,91^n+3~100\right)$.
    Selon ce modèle, quel sera le nombre de chenilles le 13 juin 2018 ? Arrondir à la centaine.
    $\quad$
  2. En étudiant le signe de $v_{n+1}-v_n$, montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante.
    $\quad$

Partie 3 : Comparaison des différents modèles
La valeur relevée dans le camping le 13 juin 2018 est de $745$ centaines de chenilles.

  1. À partir de ce relevé, quel modèle paraît le plus adapté ?
    $\quad$
  2. On reprend l’étude du deuxième modèle.
    a. Résoudre l’inéquation : $v_n\pg 1~000$.
    $\quad$
    b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

Partie 1

Les clients d’un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours. En septembre 2018, le restaurateur propose trois nouveaux plats : plat A, plat B et plat C.

D’un jour sur l’autre, il constate que :

  • Parmi les clients ayant choisi le plat A : $30 \%$ reprennent le plat A le lendemain, $50 \%$ prennent le plat B le lendemain.
  • Parmi les clients ayant choisi le plat B : $30 \%$ reprennent le plat B le lendemain, $60 \%$ prennent le plat A le lendemain.
  • Parmi les clients ayant choisi le plat C : $35 \%$ prennent le plat A le lendemain, $45 \%$ prennent le plat B le lendemain.
    $\quad$

On note pour tout entier $n$ non nul :

  • $a_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat A le $n$-ième jour.
  • $b_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat B le $n$-ième jour.
  • $c_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat C le $n$-ième jour.

Pour tout entier $n\pg 1$, on note $P_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n&c_n\end{pmatrix}$ l’état probabiliste le $n$-ième jour.

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
    $\quad$
  2. Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe, en respectant l’ordre alphabétique des sommets.
    $\quad$
  3. Le restaurateur a noté que le premier jour $35,5 \%$ des clients ont pris le plat A, $40,5 \%$ ont pris le plat B et $24 \%$ ont pris le plat C.
    Calculer $P_2$
    $\quad$
  4. Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat C sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ $15,9 \%$.
    A-t-il raison ? Justifier.
    $\quad$

Partie 2

Pour le dîner, le restaurateur décide de proposer des livraisons à domicile. Il fait un essai avec huit clients.
Sur le graphe ci-dessous, les sommets représentent les différents lieux d’habitation de ces huit clients. Les arêtes représentent les rues et les valeurs indiquent les durées moyennes des trajets exprimées en minutes.

  1. Répondre aux questions suivantes en justifiant.
    a. Existe-t-il un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois ?
    $\quad$
    b. Un tel parcours peut-il partir de $H_1$ et y revenir ?
    $\quad$
  2. En utilisant l’algorithme de Dijkstra, déterminer le temps minimal pour aller de $H_4$ vers $H_8$. Préciser le trajet correspondant.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-4,10]$ par : $$f(x)=1+\left(-4x^2-10x+8\right)\e^{-0,5x}$$

  1. . On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[−4 ; 10]$ : $$f'(x)=\left(2x^2-3x-14\right)\e^{-0,5x}$$
    $\quad$
  2. Dresser, en justifiant, le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $[−4 ; 10]$.
    On donnera les valeurs exactes des éléments du tableau.
    $\quad$
  3. a. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[−4 ; −2]$.
    $\quad$
    b. On considère l’algorithme suivant.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow -4\\
    b\leftarrow -2\\
    \text{Tant que }(b-a)>10^{-1}\\
    \hspace{1cm} m\leftarrow \dfrac{a+b}{2}\\
    \hspace{1cm} p\leftarrow f(a)\times f(m)\\
    \hspace{1cm} \text{Si } p>0 \text{ alors }\\
    \hspace{2cm} a\leftarrow m\\
    \hspace{1cm} \text{Sinon}\\
    \hspace{2cm} b\leftarrow m\\
    \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter la deuxième ligne du
    tableau ci-dessous correspondant au
    deuxième passage dans la boucle.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &m&\text{signe de }p&a&b&b-a&b-a>10^{-1}\\
    \hline
    \text{Initialisation}&\bbox[black]{\phantom{Nég}}&\bbox[black]{\phantom{\text{Négatif}}}&-4&-2&2&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 1$\ier$  passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&-3&\text{Négatif}&-4&-3&1&\text{VRAI}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\text{Après le 2$^\text{ième}$ passage}\\\text{dans la boucle}\end{array}&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. À la fin de l’exécution de l’algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent les valeurs $-3,187~5$ et $-3,125$. Interpréter ces résultats dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. On admet qu’une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 10]$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=x +\left(8x^2+52x+88\right)\e^{-0,5𝑥}$.
    Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 10]$. Arrondir au centième.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Cet exercice est composé de trois parties indépendantes.

Partie 1
D’après un sondage sur la fréquence de rejet de produits polluants dans les canalisations, on estime que $72\%$ de la population est respectueuse de son environnement.
On interroge $300$ personnes choisies au hasard pour savoir si elles jettent régulièrement des produits polluants dans les canalisations, ce qui permet de repérer les personnes respectueuses de leur environnement. On estime que la population est suffisamment grande pour que ce choix de $300$ personnes soit assimilable à un
tirage avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes respectueuses de leur environnement dans un échantillon de $300$ personnes choisies au hasard.

  1. Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que $190$ personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à $10^{-4}$.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’au moins $220$ personnes soient respectueuses de leur environnement. Arrondir à $10^{-4}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. Résoudre dans ℝ l’inéquation : $2𝑥^2-7x-4\pg 0$.
    $\quad$
  2. On choisit un nombre au hasard dans l’intervalle $[0;10]$. Calculer la probabilité que ce nombre soit solution de l’inéquation précédente.
    $\quad$

Partie 3

  1. Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $2,3$ et d’écart-type $0,11$.
    a. Calculer $P(2,18 \pp Z \pp 2,42)$. Arrondir à $10^{-2}$.
    $\quad$
    b. Calculer $P((Z \pp 2,25)$. Arrondir à $10^{-2}$.
    $\quad$
  2. On suppose maintenant que $Z$ suit une loi normale d’espérance $2,3$ et d’écart-type $\sigma$.
    Donner une valeur approchée de $\sigma$ pour que $P(2,18 \pp Z \pp 2,42) \approx 0,95$.
    Justifier.
    $\quad$