Exercice 1

1. a. On veut calculer $p\left(T_1>5\right)=P\left(5<T_1<12\right)=\dfrac{12-5}{12}=\dfrac{7}{12}$
   $\quad$
   b. On a $E\left(T_1\right)=\dfrac{12+0}{2}=6$
   Le temps moyen d’attente est de $6$ minutes.
   $\quad$
2. D’après la calculatrice on a : $p\left(0,75<T_2<6\right)\approx 0,745$
   $\quad$
3. a. Il y a $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage, il y a$2$ issues : la caisse est ou n’est pas en panne. La probabilité qu’une caisse soit en panne est $p=0,1$.
   La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,1$.
   $\quad$
   b. $p(X=0)=0,9^{10}\approx 0,349$
   La probabilité qu’aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée est d’environ $34,9\%$.
   $\quad$
4. On a $n=860\pg 30$, $p=0,9$ donc $np=774\pg 5$ et $n(1-p)=86\pg 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
   $\begin{align*} I_{860} &=\left[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{860}};0,9+1,96\sqrt{\dfrac{0,9\times 0,1}{860}}\right] \\
   &\approx [0,880;0,921]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{763}{860}\approx 0,887 \in I_{860}$.
   Cela ne remet donc pas en question l’affirmation du gérant.
   $\quad$

 

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

1. Au 1er mars 2017, on a $n=2$
   $u_0=900$ donc $u_1=687$ et $u_2=527,25$
   Il y a donc $527$ adhérents au 1er mars 2017.
   $\quad$
2. a. On a $v_n=u_n-48$ donc $u_n=v_n+48$
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-48 \\
   &=0,75u_n+12-48\\
   &=0,75u_n-36\\
   &=0,75\left(v_n+48\right)-36\\
   &=0,75v_n+36-36\\
   &=0,75v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=900-48=852$.
   $\quad$
   b. On a $v_0=852$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_n=852\times 0,75^n$.
   $\quad$
   c. Or $u_n=v_n+48$
   Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=852\times 0,75^n+48$
   $\quad$
3. On cherche la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} u_n<100&\ssi 852\times 0,75^n+48<100 \\
   &\ssi 852\times 0,75^n<52 \\
   &\ssi 0,75^n < \dfrac{52}{852} \\
   &\ssi n\ln(0,75) < \ln \left(\dfrac{52}{852} \right) \\
   &\ssi n> \dfrac{\ln \left(\dfrac{52}{852} \right)}{\ln(0,75)} \\
   &\ssi n \pg 10
   \end{align*}$
   La présidente devra donc démissionner au bout de $10$ mois.
   $\quad$

Partie B

1. Variables
   $\quad$ $S$ est un nombre réel
   $\quad$ $N$ est un entier
   $\quad$ $U$ est un nombre réel
   Initialisation
   $\quad$ $S$ prend la valeur $0$
   $\quad$ $U$ prend la valeur $900$
   $\quad$ Pour $N$ allant de $1$ à $12$ :
   $\qquad$ Affecter à $S$ la valeur $S+10\times U$
   $\qquad$ Affecter à $U$ la valeur $0,75U+12$
   $\quad$ Fin pour
   Sortie
   $\quad$ Afficher $S$
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $\begin{align*} S&=10\times \left(u_0+u_1+\ldots+u_{11}\right) \\
   &=10\left(852\times 0,75^0+48+852\times 0,75^1+48+\ldots+852\times 0,75^{11}+48\right) \\
   &=10\left(852\times \dfrac{1-0,75^{12}}{1-0,75}+48\times 12\right) \\
   &\approx 38~760,47
   \end{align*}$
   Le total des cotisations perçues par l’association pendant l’année 2017 s’élèvent à environ $38~760,47$ euros.
   $\quad$

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité.

1. On a $\begin{pmatrix} 1&0\end{pmatrix}$
   $\quad$
2. On obtient le graphe suivant :
   
3. La matrice de transition est donc $M=\begin{pmatrix} 0,2&0,8\\0,4&0,6\end{pmatrix}$
   $\quad$
4. On a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$
   Or $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$
   Par conséquent
   $\begin{align*}a_{n+1}&=0,85a_n+0,1b_n \\
   &=0,85a_n+0,1\left(1-a_n\right) \\
   &=0,85a_n+0,1-0,1a_n\\
   &=0,75a_n+0,1
   \end{align*}$
   $\quad$
5. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$, $v_n=a_n-0,4$ donc $a_n=v_n+0,4$
   $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-0,4 \\
   &=0,75a_n+0,1-0,4\\
   &=0,75a_n-0,3 \\
   &=0,75\left(v_n+0,4\right)-0,3 \\
   &=0,75v_n+0,3-0,3\\
   &=0,75v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_1=1-0,4=0,6$
   $\quad$
   b. On a donc, pour tout entier naturel $n\pg 1$, $v_n=0,6\times 0,75^{n-1}$
   Par conséquent
   $\begin{align*}u_n&=0,6\times 0,75^{n-1}+0,4\\
   &=0,6\times 0,75^n\times \dfrac{1}{0,75}+0,4 \\
   &=0,8\times 0,75^n+0,4
   \end{align*}$
   $\quad$
   c.$-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0,4$
   $\quad$
   d. Sur le long terme la probabilité d’obtenir une question difficile est $0,6$.
   Le joueur risque donc d’avoir à résoudre des énigmes difficiles.
   $\quad$

Partie B

D’après l’algorithme de Dijkstra on a :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet} \\
\hline
0&&&&&&&A\\
\hline
&2(A)&6(A)&10(A)&&&&B\\
\hline
\phantom{12(A)}&&5(B)&10(A)&&&17(B)&C\\
\hline
&&&9(C)&14(C)&&17(B)&D\\
\hline
&&&&12(D)&&17(B)&E\\
\hline
&&&&&13(E)&16(E)&F\\
\hline
&&&&&&16(E)&G\\
\hline
\end{array}$
Le plus court chemin pour aller de $A$ à $G$ est donc : $A-B-C-D-E-G$.
$\quad$

 

 

Exercice 3

1. D’après le logiciel de calcul formel on a $f'(x)=-3x\e^{3x}+2\e^{3x}=(-3x+2)\e^{3x}$
   La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-3x+2$
   $-3x+2=0 \ssi x=\dfrac{2}{3}$
   $-3x+2>0 \ssi -3x>-2 \ssi x<\dfrac{2}{3}$
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   
   Avec $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{\e^2}{3}$
   $\quad$
2. On a, d’après le logiciel de calcul formel, $f^{\prime\prime}(x)=3(1-3x)\e^{3x}$
   La fonction exponentielle ne s’annule pas.
   Par conséquent $f^{\prime\prime}(x)=0 \ssi 1-3x=0 \ssi x=\dfrac{1}{3}$.
   $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{\e}{3}$
   Le point d’inflexion a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{\e}{3}\right)$.
   $\quad$

Partie B

1. $f(0)=1$ et $g(0)=0^2-0+1=1$. Le point $B(0;1)$ appartient bien aux deux courbes.
   $f(1)=0$ et $g(1)=1^2-2+1=0$.Le point $A(1;0)$ appartient bien aux deux courbes.
   $\quad$
2. a. Pour tout $x\pg 0$ on a $3x\pg 0$
   La fonction exponentielle étant strictement croissante sur $[0;1]$, on a donc $\e^{3x} \pg \e^0$
   Soit $\e^{3x} \pg 1$ et donc $\e^{3x}-1\pg 0$
   $\quad$
   b. Sur l’intervalle $[0;1]$ on a: $\e^{3x}-1\pg 0$ et $x \pg 0$
   Donc $\e^{3x}-1+x\pg 0$
   $\quad$
   c. Sur l’intervalle $[0;1]$ on a :
   $\bullet 1-x \pg 0$
   $\bullet \e^{3x}-1+x\pg 0$
   Donc $f(x)-g(x)\pg 0$ pour tout $x$ dans $(0;1]$.
   $\quad$
3. a. Une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;1]$ est la fonction $G$ définie sur cet intervalle par $G(x)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+x$
   $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_0^1 g(x)\dx \\
   &=G(1)-G(0) \\
   &=\dfrac{1}{3}-1+1-0\\
   &=\dfrac{1}{3}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. $S$ est l’aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$
   $\begin{align*} S&=\displaystyle \int_0^1f(x)\dx-\int_0^1 g(x)\dx \\
   &=\dfrac{\e^3-4}{9}-\dfrac{1}{3} \\
   &=\dfrac {\e^3-7}{9} \text{u.a.} \\
   &\approx 1,45 \text{u.a.}
   \end{align*}$
   $\quad$

Exercice 4

1. $P(X=1)=\dfrac{\ln(2)-\ln(1)}{\ln(10)}=\dfrac{\ln(2)}{\ln(10)}\approx 0,302$
   $\quad$
2. a. La fréquence observée est $f=\dfrac{11~094}{36~677}\approx 0,301$ qui est très proche de $0,302$.
   Cette observation est donc compatible avec l’affirmation “le premier chiffre de la population des communes en France au 1er janvier 2016 suit la loi de Benford”
   $\quad$
   b. La taille d’un élève est généralement comprise entre $100$ cm et $200$ cm.
   La probabilité que le premier chiffre de la taille en centimètres d’un candidat pris au hasard est très proche de $1$.
   La loi de Benford ne semble pas être une loi adaptée pour $X$.
   $\quad$

Exercice 1    6 points

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.

1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps $T_1$ avant d’être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d’attente $T_1$ exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[0;12]$.
   $\quad$
   a. Quelle est la probabilité qu’un client attende au moins $5$ minutes avant d’être pris en charge ?
   $\quad$
   b. Quel est le temps moyen d’attente à une caisse ?
   $\quad$
2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques, de façon à réduire le temps d’attente pour les clients ayant un panier contenant peu d’articles.
   Le temps d’attente $T_2$, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $5$ et d’écart type $1,5$.
   Calculer la probabilité que le temps d’attente à une caisse automatique soit compris entre $0,75$ minute et $6$ minutes.
   $\quad$
3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes.
   $\bullet$ Le nombre de caisses automatiques est $n = 10$.
   $\bullet$ La probabilité qu’une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est $p = 0,1$.
   $\bullet$ Une panne constatée sur une caisse automatique n’influence pas les autres caisses automatiques.
   Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.
   a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité pour qu’aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée.
   $\quad$
4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche :
   “Plus de $90\%$ des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques.”
   Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : $860$ clients sont interrogés, et $763$ d’entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques.
   Cela remet-il en question l’affirmation du gérant ?
   $\quad$

Exercice 2    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L 

Au 1$\ier$ janvier 2017, une association sportive compte $900$ adhérents. On constate que chaque mois :

• $25\%$ des adhérents de l’association ne renouvellent pas leur adhésion ;
• $12$ nouvelles personnes décident d’adhérer à l’association.

Partie A

On modélise le nombre d’adhérents de l’association par la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 900$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = 0,75u_n + 12$$

Le terme $u_n$ donne ainsi une estimation du nombre d’adhérents de l’association au bout de $n$ mois.

1. Déterminer une estimation du nombre d’adhérents au 1$\ier$ mars 2017.
   $\quad$
2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n-48$ pour tout entier naturel $n$.
   a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
   $\quad$
   b. Préciser $v_0$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n = 852\times 0,75^n + 48$$
   $\quad$
3. La présidente de l’association déclare qu’elle démissionnera si le nombre d’adhérents devient inférieur à $100$. Si on fait l’hypothèse que l’évolution du nombre d’adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ? Si oui, au bout de combien de mois ?
   $\quad$

Partie B

Chaque adhérent verse une cotisation de $10$ euros par mois. Le trésorier de l’association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l’année 2017.
Le trésorier souhaite utiliser l’algorithme suivant dans lequel la septième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés).

1. Recopier et compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le montant total des cotisations de l’année 2017.
   Variables
   $\quad$ $S$ est un nombre réel
   $\quad$ $N$ est un entier
   $\quad$ $U$ est un nombre réel
   Initialisation
   $\quad$ $S$ prend la valeur $0$
   $\quad$ $U$ prend la valeur $900$
   $\quad$ Pour $N$ allant de $1$ à $12$ :
   $\qquad$ Affecter à $S$ la valeur $\ldots\ldots\ldots$
   $\qquad$ Affecter à $U$ la valeur $0,75U+12 $
   $\quad$ Fin Pour
   Sortie
   $\quad$ $\ldots\ldots\ldots$
   $\quad$
2. Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l’association pendant l’année 2017 ?
   $\quad$

Exercice 2    5 points 

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

Dans un jeu vidéo, une suite d’énigmes est proposée au joueur. Ces énigmes sont classées en deux catégories: les énigmes de catégorie A sont les énigmes faciles ; les énigmes de catégorie B sont les énigmes difficiles.
Le choix des énigmes successives est aléatoire et vérifie les conditions suivantes :

• la première énigme est facile ;
• si une énigme est facile, la probabilité que la suivante soit difficile est égale à $0,15$ ;
• si une énigme est difficile, la probabilité que la suivante soit facile est égale à $0,1$.

Pour $n \pg 1$, on note :

• $a_n$ la probabilité que l’énigme numéro $n$ soit facile (de catégorie A) ;
• $b_n$ la probabilité que l’énigme numéro $n$ soit difficile (de catégorie B) ;
• $P_n = \begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$ l’état probabiliste pour l’énigme numéro $n$.

1. Donner la matrice $P_1$.
   $\quad$
2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
   $\quad$
3. Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe, puis donner la matrice ligne $P_2$.
   $\quad$
4. Sachant que, pour tout entier $n\pg 1$, on a : $a_n + b_n = 1$, montrer que, pour tout entier $n\pg 1$, on a : $a_{n+1} = 0,75a_n+0,1$.
   $\quad$
5. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, on pose $v_n = a_n-0,4$.
   a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   $\quad$
   b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis montrer que pour tout entier $n\pg 1$ : $$a_n = 0,8\times 0,75^n+0,4$$
   $\quad$
   c. Préciser la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
   $\quad$
   d. Une revue spécialisée dans les jeux vidéo indique que plus le joueur évolue dans le jeu, plus il risque d’avoir à résoudre des énigmes difficiles. Que penser de cette analyse ?
   $\quad$

Partie B

Une des énigmes consiste à réaliser un parcours en un minimum de temps. Le graphe suivant schématise le parcours. L’étiquette de chaque arête indique le temps de parcours en minute entre les deux sommets qu’elle relie. Par exemple, le temps de parcours de $C$ vers $D$, ou de $D$ à $C$, est égal à quatre minutes.

Quel chemin le joueur doit-il prendre pour aller de $A$ à $G$ en minimisant son temps de parcours ? Expliquer la démarche utilisée.

$\quad$

Exercice 3    6 points

Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.
Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l’aide de deux fonctions $f$ et $g$ définies par :
pour tout réel $x$ de $[0;1]$, $f(x) = (1-x)\e^{3x}$ et $g(x) = x^2-2x+1$.
Leurs courbes représentatives seront notées $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

 

Partie A

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

$\begin{array}{|l}
\text{dériver} ((1-x)*\exp(3x))\\
\qquad : -3x*\exp(3*x)+2*\exp(3*x)\\
\\
\text{factoriser}(-3x*\exp(3*x)+2*\exp(3*x))\\
\qquad : \exp(3x)*(-3x+2)\\
\\
\text{factoriser(dériver}(\exp(3x)(-3x+2)))\\
\qquad : 3*\exp(3*x)(1-3x)\\
\end{array}$

Lecture : la dérivée de la fonction $f$ est donnée par $f'(x) = -3x\e^{3x}+2\e^{3x}$, ce qui, après factorisation, donne $f'(x) = (-3x+2)\e^{3x}$.

1. Étudier sur $[0;1]$ le signe de la fonction dérivée $f’$, puis donner le tableau de variation de $f$ sur $[0;1]$ en précisant les valeurs utiles.
   $\quad$
2. La courbe $\mathcal{C}_f$ possède un point d’inflexion. Déterminer ses coordonnées.
   $\quad$

Partie B

On se propose de calculer l’aire de la partie grisée sur le graphique.

1. Vérifier que les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(1;0)$ et $(0;1)$ sont des points communs aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
   $\quad$
2. On admet que: pour tout $x$ dans $[0;1]$, $f(x)-g(x) = (1-x)\left(\e^{3x}-1+x\right).$
   a. Justifier que pour tout x dans $[0;1]$, $\e^{3x}-1\pg 0$.
   $\quad$
   b. En déduire que pour tout $x$ dans $[0;1]$, $\e^{3x}-1+x\pg 0$.
   $\quad$
   c. Étudier le signe de $f(x)-g(x)$ pour tout x dans $[0;1]$.
   $\quad$
3. a. Calculer $\ds \int_0^1g(x)\dx$.
   $\quad$
   b. On admet que : $$\int_0^1f(x)\dx = \dfrac{\e^{3}-4}{9}$$
   Calculer l’aire $S$, en unité d’aire, de la partie grisée. Arrondir le résultat au dixième.
   $\quad$

Exercice 4    3 points

Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de $2~017$ est $2$ et le premier chiffre de $95$ est $9$.
Dans certaines circonstances, le premier chiffre d’un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ telle que pour tout entier $c$ compris entre $1$ et $9$, $$P(X=c) = \dfrac{\ln(c+1)-\ln(c)}{\ln(10)}$$

Cette loi est appelée loi de Benford.

1. Que vaut $P(X = 1)$ ?
   $\quad$
2. On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.
   a. Premier cas
   Un fichier statistique de l’INSEE indique la population des communes en France au 1$\ier$ janvier 2016 (champ: France métropolitaine et départements d’outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).
   À partir de ce fichier, on constate qu’il y a $36~677$ communes habitées. Parmi elles, il y a $11~094$ communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre $1$.
   Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l’affirmation : “le premier chiffre de la population des communes en France au 1$\ier$ janvier 2016 suit la loi de Benford”?
   $\quad$
   b. Deuxième cas
   Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres.
   On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d’un candidat pris au hasard.
   La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour $X$ ?
   $\quad$