Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;5]$ on a $f(x)=x\ln(x)+1$.
    D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;5]$.
    On a $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$
    et $v(x)=\ln(x)$ soit $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. Il semblerait que la courbe $C$ possède un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Sur $\R$ une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=3\e^x$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=3\e^x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}I&= \ds \int_0^{\ln 2} 3\e^x \dx \\
    &= F(\ln 2)-F(0)\\
    &=3\e^{\ln 2}-3 \\
    &=3\times 2-3 \\
    &=3\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $P(X=3)=\ds\binom{10}{3}0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}=120\times 0,3^3\times 0,7^7$
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^{10}\approx 0,972 \checkmark$
    $E(X)=np=3$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. $u_1=490$
    Donc $u_2=(1-0,375)u_1+123 \approx 429$
    et $u_3=(1-0,375)u_2+123 \approx 391$
    Ainsi il y avait $429$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre et $391$ au début du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. $37,5\%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes. Il en reste donc $62,5\%$ d’un trimestre sur l’autre. Cela représente donc $0,625u_n$.
    Chaque trimestre $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=0,625u_n+123$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=u_n-328$ soit $u_n=v_n+328$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-328 \\
    &=0,625u_n+123-328 \\
    &=0,625u_n-205 \\
    &=0,625\left(v_n+328\right)-205\\
    &=0,625v_n+205-205\\
    &=0,625v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,625$ et de premier terme $v_1=u_1-328=162$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=162\times 0,625^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Ainsi pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $u_n=v_n+328=162\times 0,625^{n-1}+328$.
    $\quad$
  4. Au début du deuxième trimestre 2019 on a  $n=10$ :
    $u_{10}=162\times 0,625^9+328\approx 330$
    Il y aura donc environ $330$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. On veut donc qu’il y ait au plus $0,7\times 490=343$ demandeurs d’emploi.
    On veut ainsi déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pp 343 &\ssi 162\times 0,625^{n-1}+328 \pp 343 \\
    &\ssi 162\times 0,625^{n-1} \pp 15 \\
    &\ssi 0,625^{n-1} \pp \dfrac{15}{162} \\
    &\ssi (n-1)\ln(0,625) \pp \ln \left(\dfrac{15}{162}\right) \\
    &\ssi n-1 \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \\
    &\ssi n \pg 1+\dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \end{align*}$
    Or $1+\dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \approx 6,06$.
    C’est donc à partir de $n=7$ que $u_n \pp 343$.
    Son objectif sera donc atteint à partir du troisième trimestre 2018.
    Remarque : on pouvait également calculer les sept premiers termes de la suite.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. Les sommets $A$ et $D$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
    b. La chaîne $A-S-B-D-C-B-E-A$ contient tous les sommets du graphe.
    Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
  2. Déterminons le degré des sommets :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|s|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&S \\
    \hline
    \text{Degré}&2&4&2&4&3&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Il existe donc exactement deux sommets ($E$ et $S$) de degré impair. Le graphe étant connexe, il possède donc une chaîne eulérienne.
    Naïma pourra déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable.
    Il y a par exemple le trajet $E-D-B-C-D-S-B-E-A-S$.
    $\quad$
  3. La matrice d’adjacence est :
    $$M=\begin{pmatrix}
    0&1&1&0&1&0\\
    1&0&0&0&0&1\\
    1&0&0&1&1&1\\
    0&0&1&0&1&0\\
    1&0&1&1&0&1\\
    0&1&1&0&1&0\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  4. a. On a ${M^2}_{(1,4)}=0\times 0+1\times 0+1\times 1+0\times 0+1\times 1+0\times 0=2$
    Puisqu’il y a autant de chemins permettant de se rendre du panneau $C$ à l’école de musique en empruntant exactement deux pistes cyclables que de chemins permettant de se rendre de l’école de musique au panneau $C$ en empruntant exactement deux pistes cyclables on a ${M^2}_{(4,1)}=2$.
    $\quad$
    b. D’après le coefficient de la matrice $M^2$ de la première ligne, sixième colonne est $3$. Il existe donc $3$ chemins permettant de se rendre de l’école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cyclables.
    $\quad$
  5. On va utiliser l’algorithme de Dijsktra
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E&A&B&C&D&S&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&  &   &   &   &  & E\\
    \hline
    \phantom{9(E)}  &9(E) &4(E) & &7(E)&  & B \\
    \hline
    &9(E) &  &6(B) &5(B)&12(B)  & D \\
    \hline
    &9(E) &  &6(B) & &8(D)  & C \\
    \hline
    &9(E) &  & & &8(D)  & S \\
    \hline
    &9(E) &  & & &  & A \\
    \hline
    \end{array}$
    Le chemin le plus court est donc $E-B-D-S$. Il a une durée de $8$ minutes.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. On a $P(C\cap R)=0,6\times 0,075=0,045$.
    $4,5\%$ des employés utilise les transports en commun et ont un trajet d’une durée inférieure à $30$ minutes.
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(C\cap R)+P\left(\conj{C}\cap R\right) \\
    &=0,6\times 0,075+0,4\times 0,285 \\
    &=0,159\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(C)&=\dfrac{P(R\cap C)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,045}{0,159} \\
    &\approx 0,283\end{align*}$
    La probabilité qu’il utilise les transports en commun sachant que le trajet a duré moins de $30$ minutes.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice on a :
    $P(X\pp 30)=0,5-P(30\pp X\pp 40)\approx 0,159$
    On retrouve ainsi le résultat de la question A.2.b.
    $\quad$
  2. $P(20 \pp X \pp 40)=P(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,954$
    On a $P(X>60)=P(X<20)$
    et $P(X<20)+P(20\pp X \pp 60)+P(X>60)=1$
    Donc $2P(X>60)=1-P(20 \pp X \pp 60)$
    D’où $P(X>60)=\dfrac{1-P(20\pp X \pp 60)}{2} \approx 0,421$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow 60\\
    Y\leftarrow 0,023\\
    \text{Tant que } Y> 0,008\\
    \hspace{1cm}a\leftarrow a+1\\
    \hspace{1cm} P(X\pg a)\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On obtient alors le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a&60&61&62&63&64&65\\
    \hline
    Y&0,023&0,018&0,014&0,011&0,009&0,006\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. On obtient ainsi, à l’aide de l’algorithme, la valeur $a=65$.
    Cela signifie qu’environ $0,8\%$ des employés ont un trajet qui dure plus de $65$ minutes.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : lecture graphique

  1. Le coût de production de $200$ litres de peinture est, d’après le graphique, de $3~000$ euros.
    $\quad$
  2. D’après le graphique, il faut produire $500$ litres de peinture pour avoir une recette de $5~000$ euros.
    $\quad$
  3. L’entreprise réalise un bénéfice à partir de $320$ litres de peinture vendus.
    $\quad$
  4. Le plus grand bénéfice, d’après le graphique, est obtenu quand $800$ litres de peinture sont vendus. Le bénéfice est alors d’environ $2~000$ euros.
    L’entreprise ne peut donc pas réaliser un bénéfice de plus de $3~000$ euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

  1. $f(0)=0-150\e=-150\e$
    $f(8)=200-150\e^{-3}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;8]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=25-150\times (-0,5)\e^{-0,5x+1} \\
    &=25+75\e^{-0,5x+1}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)>25>0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;8]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;8]$.
    $f(0) \approx -408<0$ et $f(8) \approx 193>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;8]$.
    Et $\alpha \approx 3,24$
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise donc un bénéfice à partir de $324$ litres de peinture produite et vendue.
    $\quad$

 

Énoncé

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