Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;5]$ on a $f(x)=x\ln(x)+1$.
    D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;5]$.
    On a $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$
    et $v(x)=\ln(x)$ soit $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. Il semblerait que la courbe $C$ possède un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Sur $\R$ une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=3\e^x$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=3\e^x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}I&= \ds \int_0^{\ln 2} 3\e^x \dx \\
    &= F(\ln 2)-F(0)\\
    &=3\e^{\ln 2}-3 \\
    &=3\times 2-3 \\
    &=3\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. $P(X=3)=\ds\binom{10}{3}0,3^3\times (1-0,3)^{10-3}=120\times 0,3^3\times 0,7^7$
    $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,7^{10}\approx 0,972 \checkmark$
    $E(X)=np=3$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

  1. $u_1=490$
    Donc $u_2=(1-0,375)u_1+123 \approx 429$
    et $u_3=(1-0,375)u_2+123 \approx 391$
    Ainsi il y avait $429$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre et $391$ au début du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. $37,5\%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes. Il en reste donc $62,5\%$ d’un trimestre sur l’autre. Cela représente donc $0,625u_n$.
    Chaque trimestre $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=0,625u_n+123$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=u_n-328$ soit $u_n=v_n+328$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-328 \\
    &=0,625u_n+123-328 \\
    &=0,625u_n-205 \\
    &=0,625\left(v_n+328\right)-205\\
    &=0,625v_n+205-205\\
    &=0,625v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,625$ et de premier terme $v_1=u_1-328=162$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=162\times 0,625^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Ainsi pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $u_n=v_n+328=162\times 0,625^{n-1}+328$.
    $\quad$
  4. Au début du deuxième trimestre 2019 on a  $n=10$ :
    $u_{10}=162\times 0,625^9+328\approx 330$
    Il y aura donc environ $330$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. On veut donc qu’il y ait au plus $0,7\times 490=343$ demandeurs d’emploi.
    On veut ainsi déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pp 343 &\ssi 162\times 0,625^{n-1}+328 \pp 343 \\
    &\ssi 162\times 0,625^{n-1} \pp 15 \\
    &\ssi 0,625^{n-1} \pp \dfrac{15}{162} \\
    &\ssi (n-1)\ln(0,625) \pp \ln \left(\dfrac{15}{162}\right) \\
    &\ssi n-1 \pg \dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \\
    &\ssi n \pg 1+\dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \end{align*}$
    Or $1+\dfrac{\ln \left(\dfrac{15}{162}\right)}{\ln(0,625)} \approx 6,06$.
    C’est donc à partir de $n=7$ que $u_n \pp 343$.
    Son objectif sera donc atteint à partir du troisième trimestre 2018.
    Remarque : on pouvait également calculer les sept premiers termes de la suite.
    $\quad$

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. Les sommets $A$ et $D$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est donc pas complet.
    $\quad$
    b. La chaîne $A-S-B-D-C-B-E-A$ contient tous les sommets du graphe.
    Le graphe est donc connexe.
    $\quad$
  2. Déterminons le degré des sommets :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|s|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&S \\
    \hline
    \text{Degré}&2&4&2&4&3&3\\
    \hline
    \end{array}$
    Il existe donc exactement deux sommets ($E$ et $S$) de degré impair. Le graphe étant connexe, il possède donc une chaîne eulérienne.
    Naïma pourra déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable.
    Il y a par exemple le trajet $E-D-B-C-D-S-B-E-A-S$.
    $\quad$
  3. La matrice d’adjacence est :
    $$M=\begin{pmatrix}
    0&1&1&0&1&0\\
    1&0&0&0&0&1\\
    1&0&0&1&1&1\\
    0&0&1&0&1&0\\
    1&0&1&1&0&1\\
    0&1&1&0&1&0\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  4. a. On a ${M^2}_{(1,4)}=0\times 0+1\times 0+1\times 1+0\times 0+1\times 1+0\times 0=2$
    Puisqu’il y a autant de chemins permettant de se rendre du panneau $C$ à l’école de musique en empruntant exactement deux pistes cyclables que de chemins permettant de se rendre de l’école de musique au panneau $C$ en empruntant exactement deux pistes cyclables on a ${M^2}_{(4,1)}=2$.
    $\quad$
    b. D’après le coefficient de la matrice $M^2$ de la première ligne, sixième colonne est $3$. Il existe donc $3$ chemins permettant de se rendre de l’école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cyclables.
    $\quad$
  5. On va utiliser l’algorithme de Dijsktra
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    E&A&B&C&D&S&\text{Sommet}\\
    \hline
    0&  &   &   &   &  & E\\
    \hline
    \phantom{9(E)}  &9(E) &4(E) & &7(E)&  & B \\
    \hline
    &9(E) &  &6(B) &5(B)&12(B)  & D \\
    \hline
    &9(E) &  &6(B) & &8(D)  & C \\
    \hline
    &9(E) &  & & &8(D)  & S \\
    \hline
    &9(E) &  & & &  & A \\
    \hline
    \end{array}$
    Le chemin le plus court est donc $E-B-D-S$. Il a une durée de $8$ minutes.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. a. On a $P(C\cap R)=0,6\times 0,075=0,045$.
    $4,5\%$ des employés utilise les transports en commun et ont un trajet d’une durée inférieure à $30$ minutes.
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(C\cap R)+P\left(\conj{C}\cap R\right) \\
    &=0,6\times 0,075+0,4\times 0,285 \\
    &=0,159\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(C)&=\dfrac{P(R\cap C)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{0,045}{0,159} \\
    &\approx 0,283\end{align*}$
    La probabilité qu’il utilise les transports en commun sachant que le trajet a duré moins de $30$ minutes.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice on a :
    $P(X\pp 30)=0,5-P(30\pp X\pp 40)\approx 0,159$
    On retrouve ainsi le résultat de la question A.2.b.
    $\quad$
  2. $P(20 \pp X \pp 40)=P(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,954$
    On a $P(X>60)=P(X<20)$
    et $P(X<20)+P(20\pp X \pp 60)+P(X>60)=1$
    Donc $2P(X>60)=1-P(20 \pp X \pp 60)$
    D’où $P(X>60)=\dfrac{1-P(20\pp X \pp 60)}{2} \approx 0,421$.
    $\quad$
  3. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow 60\\
    Y\leftarrow 0,023\\
    \text{Tant que } Y> 0,008\\
    \hspace{1cm}a\leftarrow a+1\\
    \hspace{1cm} P(X\pg a)\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On obtient alors le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    a&60&61&62&63&64&65\\
    \hline
    Y&0,023&0,018&0,014&0,011&0,009&0,006\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  4. On obtient ainsi, à l’aide de l’algorithme, la valeur $a=65$.
    Cela signifie qu’environ $0,8\%$ des employés ont un trajet qui dure plus de $65$ minutes.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : lecture graphique

  1. Le coût de production de $200$ litres de peinture est, d’après le graphique, de $3~000$ euros.
    $\quad$
  2. D’après le graphique, il faut produire $500$ litres de peinture pour avoir une recette de $5~000$ euros.
    $\quad$
  3. L’entreprise réalise un bénéfice à partir de $320$ litres de peinture vendus.
    $\quad$
  4. Le plus grand bénéfice, d’après le graphique, est obtenu quand $800$ litres de peinture sont vendus. Le bénéfice est alors d’environ $2~000$ euros.
    L’entreprise ne peut donc pas réaliser un bénéfice de plus de $3~000$ euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

  1. $f(0)=0-150\e=-150\e$
    $f(8)=200-150\e^{-3}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;8]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} f'(x)&=25-150\times (-0,5)\e^{-0,5x+1} \\
    &=25+75\e^{-0,5x+1}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)>25>0$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;8]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;8]$.
    $f(0) \approx -408<0$ et $f(8) \approx 193>0$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;8]$.
    Et $\alpha \approx 3,24$
    $\quad$
    b. L’entreprise réalise donc un bénéfice à partir de $324$ litres de peinture produite et vendue.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Aucune justification n’est demandée.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

  1. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0;5]$ par $f(x)=x\ln(x)+1$. Pour tout $x\in]0;5]$,
    a. $f'(x)=\dfrac{1}{x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{1}{x}+1$
    c. $f'(x)=\ln(x)+2$
    d. $f'(x)=\ln(x)+1$
    $\quad$
  2. On donne ci-dessous la courbe $C$ représentant une fonction $g$ sur $[0;2]$.

    a. $g$ est concave sur l’intervalle $[0;2]$.
    b. $g\dsec(x) \pg 0$ pour tout $x\in[0;2]$.
    c. La courbe $C$ admet un point d’inflexion sur $[0;2]$.
    d. $g'(1)>0$.
    $\quad$
  3. Soit $I=\ds\int_0^{\ln(2)} 3\e^x \dx$. On a :
    a. $I=3$
    b. $I=6$
    c. $I=-3$
    d. $I=3\ln(2)$
    $\quad$
  4. Pour tout événement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=0,3$.
    a. $P(X=3)=120\times 0,3^2\times 0,7^8$
    b. $P(X=3)=12\times 0,3^3\times 0,7^7$
    c. $P(X\pg 1)\approx 0,972$
    d. L’espérance de $X$ est $5,15$
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Dans un quartier d’une petite ville, les services de Pôle Emploi ont relevé le nombre de demandeurs d’emploi chaque trimestre.
Après observations, ils constatent que, chaque trimestre, $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent tandis que $37,5 \%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des
listes.
Au début du premier trimestre 2017 (1$\ier$ janvier 2017), le nombre de demandeurs d’emploi était de $490$.

On note $u_n$ le nombre de demandeurs d’emploi au début du $n$-ième trimestre après le 1$\ier$ janvier 2017.
Ainsi, $u_1 = 490$.

Dans tout l’exercice, les valeurs seront arrondies à l’unité.

  1. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième et du troisième trimestre 2017.
    $\quad$
  2. Justifier que l’on peut modéliser la situation précédente par la relation, pour tout entier $n\in\N^*$ : $$ u_{n+1}= 0,625u_n + 123$$
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier $n\in \N^*$, $v_n=u_n-328$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier $n\in\N^*$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier $n\in\N*$, on a $u_n = 162 × 0,625^{n-1} + 328$.
    $\quad$
  4. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
    $\quad$
  5. Le directeur de l’agence pourra-t-il atteindre son objectif de diminuer le nombre de demandeurs d’emploi de $30 \%$ par rapport au premier trimestre 2017 ? Si oui, indiquer à quelle date son objectif sera atteint. Justifier la réponse.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Naïma fait partie d’une école de musique. En vue du spectacle de fin d’année, elle souhaite déposer à vélo des affiches publicitaires sur les panneaux de sa ville. Les pistes cyclables reliant
ces panneaux sont représentées sur le graphe $\mathscr{G}$ ci-dessous.
Le sommet $E$ désigne son école de musique, le sommet $S$ la salle de spectacle et les sommets $A$, $B$, $C$, et $D$ les panneaux d’affichage.

  1. Déterminer, en justifiant la réponse, si le graphe $\mathscr{G}$ est :
    a. complet;
    $\quad$
    b. connexe.
    $\quad$
  2. Naïma pourra-t-elle déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable ?
    Justifier la réponse. Si un tel trajet existe, en citer un.
    $\quad$
  3. Donner la matrice d’adjacence $M$ liée à ce graphe dans laquelle les sommets seront classés dans l’ordre suivant : $E$, $A$, $B$, $C$, $D$, $S$.
    $\quad$
  4. On donne la matrice incomplète $M^2$ : $M^2 =\begin{pmatrix}3&0&1&\ldots&1&3\\0&2&2&0&2&0\\1&2&4&1&3&1\\\ldots&0&1&2&1&2\\1&2&3&1&4&1\\3&0&1&2&1&3\end{pmatrix}$.
    a. Déterminer les coefficients manquants de la matrice $M^2$, en détaillant les calculs.
    $\quad$
    b. Combien existe-t-il de chemins permettant de se rendre de l’école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cyclables ?
    $\quad$
  5. Lorsqu’elle a déposé ses affiches, Naïma a relevé le temps de trajet entre chaque panneau d’affichage. Le graphe ci-dessous indique ces durées, exprimées en minutes.

    Indiquer, à l’aide d’un algorithme, le chemin permettant à Naïma de se rendre le plus rapidement possible de son école de musique à la salle de spectacle le soir de la représentation.
    Donner la durée de ce parcours.
    $\quad$

Exercice 3     6 points

Dans une entreprise, $60 \%$ des salariés viennent au travail en transports en commun et parmi eux, seulement $7,5 \%$ ont un trajet d’une durée inférieure à $30$ minutes. Parmi les employés qui n’utilisent pas les transports en commun, $28,5 \%$ ont un trajet d’une durée inférieure à $30$ minutes.

Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

On interroge au hasard un employé de l’entreprise et on considère les événements suivants :

  • $C$ : « l’employé utilise les transports en commun » ;
  • $R$ : « le trajet de l’employé a une durée inférieure à $30$ minutes ».

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

Partie A

  1. Construire l’arbre pondéré représentant la situation et le compléter.
    $\quad$
  2. a. Calculer $P(C\cap R)$ et interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$
    b. Montrer que $P(R)=0,159$
    $\quad$
  3. On interroge un employé choisi au hasard dont la durée du trajet est inférieure à $30$ minutes. Calculer la probabilité qu’il utilise les transports en commun.
    $\quad$

Partie B

Une étude a montré que la durée du trajet en minutes d’un employé peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 40$ et d’écart type $\sigma = 10$.

  1. Déterminer $P(X\pp 30)$. Indiquer si ce résultat est cohérent avec la partie A, en justifiant la réponse.
    $\quad$
  2. Déterminer $P(20 \pp X\pp 60)$ et en déduire $P(X>60)$.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on se propose de déterminer le plus petit entier $a$ tel que $P(X\pg a)\approx 0,008$.
    a. On admet que lorsque la valeur de $a$ augmente, la valeur de $P(X\pg a)$ diminue.
    On considère l’algorithme ci-dessous, où $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 40$ et d’écart type $\sigma = 10$.
    Recopier et compléter l’algorithme afin qu’il permette de répondre à la question.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    a\leftarrow 60\\
    Y\leftarrow 0,023\\
    \text{Tant que }Y>0,008\\
    \hspace{1cm} a\leftarrow \ldots\\
    \hspace{1cm} Y\leftarrow P(X\pg a)\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On exécute cet algorithme.
    Recopier et compléter le tableau suivant, en utilisant autant de colonnes que nécessaire.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    ~~a~~&60&61&62&&&\\
    \hline
    ~~Y~~&0,023&0,018&0,014&\phantom{0,023}&\phantom{0,023}&\phantom{0,023}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. Donner la valeur de $a$ obtenue après exécution de l’algorithme.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

L’entreprise ECOLOR est spécialisée dans la production et la vente de peinture écoresponsable. La production quotidienne varie entre 0 et 800 litres. Toute la production est vendue. Les montants de la recette et du coût sont exprimés en dizaine d’euros.

 

Partie A : lecture graphique

À l’aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes.

  1.  Déterminer le coût de production de $200$ litres de peinture.
    $\quad$
  2. Quelle est la production de peinture pour avoir une recette de $5~000$ euros ?
    $\quad$
  3. À partir de combien de litres de peinture vendus l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
    $\quad$
  4. L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice de plus de $3~000$ euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres ? Justifier.
    $\quad$

Partie B : étude du bénéfice

Le bénéfice en dizaine d’euros correspondant à la vente de $x$ centaines de litres de peinture est donné par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 8]$ par :

$$f(x) = 25x−150\e^{-0,5x+1}$$

  1. Donner les valeurs exactes de $f(0)$ et de $f(8)$, puis en donner les valeurs arrondies au centième.
    $\quad$
  2. Montrer que la dérivée $f’$ de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 8]$ est : $$f'(x) = 25 + 75\e^{-0,5x+1}$$
    $\quad$
  3. Déterminer le signe de $f’$ et en déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 8]$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que l’équation $f(x)= 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0 ; 8]$ puis en donner la valeur arrondie au centième.
    $\quad$
    b. En déduire la quantité de peinture produite et vendue à partir de laquelle l’entreprise ECOLOR réalisera un bénéfice. Donner le résultat au litre près.
    $\quad$