Exercice 1

Partie A – Démonstration préliminaire

1. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} G'(t)&=-\e^{-0,2t}-0,2(-t-5)\e^{-0,2t} \\
   &=(-1+0,2t+1)\e^{-0,2t} \\
   &=0,2t\e^{-0,2t} \\
   &=g(t)
   \end{align*}$
   La fonction $G$ est bien une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$
2. On a :
   $\displaystyle \int_0^x 0,2t\e^{-0,2t}\dt=G(x)-G(0)=-x\e^{-0,2x}-5\e^{-0,2x}+5$.
   Or $\lim\limits_{x \to +\infty} x\e^{-0,2x}=0$.
   De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X = 0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}e^{-0,2x}=0$.
   Ainsi $E(X)=\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-0,2x}-5\e^{-0,2x}+5=5$.
   $\quad$

Partie B – Étude de la durée de présence d’un client dans le supermarché

1. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-40}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
   $\begin{align*} P(T<10)=0,067&\ssi P(T-40<-30)=0,067 \\
   &\ssi P\left(\dfrac{T-40}{\sigma}<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067 \\
   & \ssi P\left(Z<-\dfrac{30}{\sigma}\right)=0,067
   \end{align*}$
   À l’aide de la calculatrice, on trouve $-\dfrac{30}{\sigma}\approx -1,499$
   Donc $\sigma \approx 20$.
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $P(T>60)=0,5-P(40<T<60) \approx 0,159$.
   Environ $15,9\%$ des clients passent plus d’une heure dans le supermarché.
   $\quad$

Partie C – Durée d’attente pour le paiement

1. a. $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=5$.
   En moyenne un client attend $5$ min à une borne automatique.
   $\quad$
   b. $P(T>10)=\e^{-0,2\times 10}=\e^{-2}\approx 0,135$.
   La probabilité que la durée d’attente d’un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à $10$ minutes est environ égal à $0,135$.
   $\quad$
2. On appelle $x$ la probabilité qu’un client choisissent une borne automatique de paiement.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(S) \pg 0,75&\ssi p(S\cap B)+p\left( S\cap \conj{B}\right) \\
   &\ssi 0,86x+0,63(1-x)\pg 0,75 \\
   &\ssi 0,23x \pg 0,12 \\
   &\ssi x \pg \dfrac{12}{23}
   \end{align*}$
   Il faut donc que la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que l’objectif soit atteint est donc $\dfrac{12}{23}$.
   
   $\quad$

Partie D – Bons d’achat

1. On appelle $C$ la variable aléatoire comptant le nombre de cartes gagnantes.
   Le client effectue pour $158,02$ € d’achats. Il  obtient donc $15$ cartes.
   On effectue donc $15$ tirages aléatoires, identiques, indépendants. Chaque tirage possède deux issues : $G$, “la carte est gagnante”, et $\conj{G}$.
   De plus $p(G)=0,005$.
   La variable aléatoire $C$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,005$.
   Ainsi $P(C\pg 1)=1-P(C=0)=1-(1-0,005)^{15} \approx 0,07$.
   $\quad$
2. On appelle $D$ la variable aléatoire comptant le nombre de cartes gagnantes.
   On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques, indépendants. Chaque tirage possède deux issues : $G$, “la carte est gagnante”, et $\conj{G}$.
   De plus $p(G)=0,005$.
   La variable aléatoire $D$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,005$.
   $\begin{align*} P(D\pg 1)>0,5 &\ssi 1-(1-0,005)^n > 0,5 \\
   &\ssi 0,995^n<0,5 \\
   &\ssi n\ln(0,995)<\ln (0,5) \\
   &\ssi n>\dfrac{\ln (0,5)}{\ln(0,995)}
   \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)} \approx 138,3$.
   Il faut donc que $n \pg 139$.
   Cela signifie que le montant d’achats soit supérieur à $1~390$ €.
   $\quad$

Exercice 2

1. $f$ admet un maximum sur l’intervalle $[0;1[$ quand :
   $\begin{align*} f'(x)=0 &\ssi \dfrac{-bx+b-2}{1-x}=0 \\
   &\ssi -bx+b-2=0 \\
   &\ssi bx=b-2 \\
   &\ssi x=1-\dfrac{2}{b}
   \end{align*}$
   Le maximum est donc :
   $\begin{align*} f\left(1-\dfrac{2}{b}\right)&=b-2+2\ln\left(1-1+\dfrac{2}{b}\right)\\
   &=b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right)\end{align*}$
   $\quad$
2. On considère la fonction $g$ définie sur $[2;+\infty[$ par $g(x)=x-2+2\ln\left(\dfrac{2}{x}\right)$.
   La fonction $g$ est dérivable sur $[2;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $g'(x)=1+2\times \dfrac{-\dfrac{2}{x^2}}{\dfrac{2}{x}}=1-\dfrac{2}{x}$.
   $\begin{align*} g'(x) >0&\ssi 1-\dfrac{2}{x} > 0 \\
   &\ssi 1>\dfrac{2}{x} \\
   &\ssi 1 < \dfrac{x}{2} \\
   &\ssi 2<x
   \end{align*}$
   La fonction $g$ est donc strictement croissante et continue (car dérivable) sur l’intervalle $[2;+\infty[$.
   $g(2)=0<1,6$
   $g(x)=x\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x}\ln\left(\dfrac{2}{x}\right)\right)$
   $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x}= 0$ et $\lim\limits_{x \to 0} X\ln X=0$.
   Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$.
   Ainsi $1,6\in [0;+\infty[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=1,6$ possède donc, sur l’intervalle $[2;+\infty[$ une unique solution $\alpha \approx 5,69$.
   La fonction $g$ est strictement croissante.
   Ainsi la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre quand $b$ appartient à l’intervalle $[2;\alpha]$.
   $\quad$
3. On a $f'(x)=\dfrac{-5,69x+5,69-2}{1-x}$
   Donc $f'(0)=3,69$.
   Un vecteur directeur de la tangente est par conséquent $\vec{u}(1;3,69)$.
   Par conséquent $\tan \theta =\dfrac{3,69}{1}$ donc $\theta \approx 74,8$°.
   $\quad$

Exercice 3

1. a. Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vect{AB}(10;-8;2)$.
   Un vecteur directeur de $(CD)$ est $\vect{CD}(15;12;3)$.
   Une représentation paramétrique de $(AB)$ est :
   $\begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\end{cases} \quad, t\in \R$.
   Une représentation paramétrique de $(CD)$ est :
   $\begin{cases} x=-1+15k\\y=-8+12k\\z=5+3k\end{cases} \quad,k\in\R$
   Remarque : Attention à bien prendre deux paramètres différents pour la suite.
   $\quad$
   b. On a $\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$
   Et $\dfrac{-8}{12}=-\dfrac{2}{3}$.
   Les coordonnées ne sont pas proportionnelles.
   Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ ne sont pas colinéaires et les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.
   Regardons maintenant si les droites sont sécantes.
   Cherchons les solutions du système :
   $\begin{align*} \begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\\x=-1+15k\\y=-8+12k\\z=5+3k\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\\10t=-1+15k\\-8t=-8+12k\\2t=5+3k \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=10t\\y=-8t\\z=2t\\10t=-1+15k \quad (1)\\-8t=-8+12k\\10t=25+15k \quad (2) \end{cases}
   \end{align*}$
   Les lignes $(1)$ et $(2)$ sont incompatibles. Il n’y a donc pas de point d’intersection.
   Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas coplanaires.
   $\quad$
2. a. L’abscisse du point $I$ est $5$.
   Par conséquent $10t=5 \ssi t=0,5$.
   Ainsi les coordonnées du point $I$ sont $\begin{cases} x_I=5\\y_I=-4\\z_I=1\end{cases}$.
   $\quad$
   L’abscisse du point $J$ est $4$.
   par conséquent $-1+15k=4 \ssi 15k=5 \ssi k=\dfrac{1}{3}$.
   Ainsi les coordonnées du point $J$ sont $\begin{cases}x_J=4\\y_J=-4\\z_J=6\end{cases}$.
   $\quad$
   Donc :
   $\begin{align*} IJ&=\sqrt{(4-5)^2+\left(-4-(-4)\right)^2+(6-1)^2} \\
   &=\sqrt{1+0+25} \\
   &=\sqrt{26}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. On a $\vect{IJ}(-1;0;5)$, $\vect{AB}(10;-8;2)$ et $\vect{CD}(15;12;3)$
   D’une part $\vect{IJ}.\vect{AB}=-10+0+10=0$
   D’autre part $\vect{IJ}.\vect{CD}=-15+0+15=0$.
   Le vecteur $\vect{IJ}$ est donc normal aux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
   Les droites $(IJ)$ et $(AB)$ d’une part et $(IJ)$ et $(CD)$ d’autre part sont donc orthogonales.
   Mais $(IJ)$ et $(AB)$ sont sécantes en $I$ et les droites $(IJ)$ et $(CD)$ sont sécantes en $J$.
   La droite $(IJ)$ est donc perpendiculaire aux droites $(AB)$ et $(CD)$.
   $\quad$
3. a. Le point $I$ n’appartenant pas à la droite $(CD)$; le point $I$ et la droite $(CD)$ définissent le plan $(IJM’)$.
   La droite $\Delta$ est parallèle à $(CD)$ et passe par le point $I$ : elle est donc incluse dans le plan $(IJM’)$.
   Ainsi, dans le plan $(IJM’)$, les droites $(JM’)$ et $\Delta$ sont parallèles et la droite $(IJ)$ est perpendiculaire à la droite $\Delta$.
   La droite parallèle à la droite $(IJ)$ passant par le point $M’$ est donc également perpendiculaire à la droite $\Delta$ : ces deux droites ont bien un point d’intersection appelé $P$.
   $\quad$
   b. Les droites $(IJ)$ et $(M’P)$ sont parallèles par conséquent les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{M’P}$ sont colinéaires.
   Le vecteur $\vect{M’P}$ est alors orthogonal à $\vect{IP}$ ($(M’P)$ et $\Delta$ sont perpendiculaires) et à $\vect{IM}$ (car $\vect{IJ}$ et $\vect{AB}$ le sont).
   La droite $\Delta$ est parallèle à $(CD)$. D’après la question 1.b. elle n’est donc pas parallèle à la droite $(AB)$.
   Les droites $\Delta$ et $(AB)$ sont sécantes en $I$ : elles définissent le plan $(IMP)$.
   Le vecteur $\vect{M’P}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IMP)$. Il est par conséquent orthogonal à tous les vecteurs de ce plan en particulier à $\vect{MP}$.
   Le triangle $MPM’$ est ainsi rectangle en $P$.
   $\quad$
   c. Dans un triangle rectangle, la longueur de l’hypoténuse est plus grande que la longueur des deux côtés de l’angle droit.
   Ainsi $MM’> M’P$ or $IJ=M’P$.
   Par conséquent $MM’>IJ$.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

1. On obtient le graphique suivant :
   $\quad$
2. $d_0=5$
   $d_1=\sqrt{(5-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$
   $\quad$
3. Déterminons une équation de la droite $\left(M_1S_1\right)$.
   Les points $M_1$ et $S_1$ n’ont pas la même abscisse.
   Une équation de cette droite sera donc de la forme $y=ax+b$.
   $a=\dfrac{1-0}{5-1}=\dfrac{1}{4}$.
   Donc une équation de la droite est de la forme $y=\dfrac{1}{4}x+b$.
   Le point $M_1$ de coordonnées $(1;0)$ appartient à la droite.
   Ainsi $0=\dfrac{1}{4}+b \ssi b=-\dfrac{1}{4}$.
   Une équation de la droite $\left(M_1S_1\right)$ est donc $y=\dfrac{1}{4}(x-1)$
   Si $x=1+\dfrac{4}{\sqrt{17}}$ alors
   $y=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{4}{\sqrt{17}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}$.
   Le point $A\left(1+\dfrac{4}{\sqrt{17}};\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$ appartient bien à la droite.
   $\quad$
   Vérifions que $M_1A=1$.
   $M_1A=\sqrt{\left(\dfrac{4}{\sqrt{17}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{16}{17}+\dfrac{1}{17}}=1$.
   Le point $M_2$ a donc pour coordonnées $\left(1+\dfrac{4}{\sqrt{17}};\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$.
   $\quad$
4. a. En $C5$ on doit écrire $=C4+(A4-C4)/F4$
   En $F5$ on doit écrire $=\text{RACINE}((D5-B5)\hat{~}2+(E5-C5)\hat{~}2)$.
   $\quad$
   b. La suite $\left(d_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$ (une distance est positive). Cette suite est donc convergente.
   Il semblerait que sa limite soit $2,773~165~8$.
   $\quad$

Partie B – Modélisation à l’aide d’une fonction

1. a. On obtient le graphique suivant :
   
   Graphiquement, les coordonnées du point $S$ sont alors $(5;3,3)$.
   $\quad$
   b. On a $f'(3)=\dfrac{3(1-0,3)}{5-3}=1,05$.
   Une équation de la tangente en $M$ à la courbe est donc de la forme $y=1,05x+b$.
   $f(3)=-2,5\ln(1-0,6)-0,5\times 3+0,05\times 9=-2,5\ln(0,4)-1,05$.
   Le point $M$ de coordonnées $\left(3;f(3)\right)$ appartient à la tangente.
   Ainsi $-2,5\ln(0,4)-1,05=1,05\times 3+b \ssi b=-2,5\ln(0,4)-4,2$.
   Une équation de la tangente est donc $y=1,05x-2,5\ln(0,4)-4,2$.
   Le point $S$ a pour abscisse $5$.
   Son ordonnée est donc $y_S=1,05\times 5-2,5\ln(0,4)-4,2\approx 3,34$.
   $\quad$
2. $\lim\limits_{x \to 5}d(x)=0,1\times 5^2-5+5=2,5$.
   Par conséquent la distance $MS$ se rapproche de $2,5$.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A – Un modèle simple

1. a. On a
   $\begin{pmatrix} u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,1&2~000\\2\times 10^-5&0,6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$
   Donc $A=\begin{pmatrix} 1,1&2~000\\2\times 10^-5&0,6\end{pmatrix}$.
   Et $U_0=\begin{pmatrix}2~000~000\\120\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   b. Au $1\ier$ juillet 2018 on a $n=6$.
   Donc $U_6=A^6\times U_0 \approx \begin{pmatrix} 1~882~353\\96\end{pmatrix}$
   Il y aura donc environ $1~882~353$ campagnols et $96$ renards.
   $\quad$
2. a. Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : si $n=0$ alors $P\times D^n\times P^{-1}\times U_0=P\times I_2\times P^{-1}\times U_0=U_0$
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $U_{n+1}=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0$.
   $\begin{align*} U_{n+1}&=A\times U_n \\
   &=P\times D\times P^{-1} \times P\times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\
   &=P\times D \times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\
   &=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0
   \end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a $D_n=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,7^n\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $u_n=\dfrac{2,8\times 10^7}{15}+\dfrac{2\times 10^6}{15}\times 0,7^n$ et $v_n=\dfrac{1400}{15}+\dfrac{400}{15}\times 0,7^n$.
   Puisque $0<0,7<1$, cela signifie que la suite géométrique de raison $0,7$ est décroissante et que $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,7^n=0$
   Par conséquent les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont décroissantes.
   De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{2,8\times 10^7}{15}$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=\dfrac{1400}{15}=\dfrac{280}{3}$
   $\quad$
   Le nombre de renards et de campagnols va donc décroître pour se stabiliser à environ $93$ individus pour les renards et environ $1~866~667$ pour les campagnols.
   $\quad$

Partie B – Un modèle plus conforme à la réalité

1. En $B4$ on a pu écrire $=1,1\times B3-0,001\times B3\times C3$.
   En $C4$ on a pu écrire $=2\times 10^{-7}\times B3\times C3+0,6\times C3$.
   $\quad$
2. En utilisant le menu table de la calculatrice on constate qu’à partir de $n=104$ on observe le phénomène décrit, soit à partir de l’année 2116.
   $\quad$

Partie C

On appelle $\begin{pmatrix} U&V\end{pmatrix}$ l’état stable
On veut donc résoudre le système
$\begin{align*} \begin{cases} U=1,1U\times -0,001U\times V\\V=2\times 10^{-7}U\times V+0,6V\end{cases}&\ssi \begin{cases} 0,1U=0,001U\times V \\0,4V=2\times 10^{-7}U\times V \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 0,1U(1-0,01V)=0\\2V\left(0,2-10^{-7}V\right)=0\end{cases} \quad (*)\\
&\ssi \begin{cases} V=100\\U=2\times 10^6\end{cases}\end{align*}$
$(*)$ $U$ et $V$ ne sont pas nuls.
S’il y a $2~000~000$ campagnols et $100$ renards alors les deux populations sont stables.
$\quad$

Exercice 1     6 points

On étudie certaines caractéristiques d’un supermarché d’une petite ville.

Partie A – Démonstration préliminaire

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$.
On rappelle que l’espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$, est égale à : $$\lim\limits_{x \to +\infty} \ds \int_0^x 0,2t\e^{-0,2t}\dt$$

Le but de cette parte est de démontrer que $E(X)=5$.

1. On note $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $g(t)=0,2t\e^{-0,2t}$.
   On définit la fonction $G$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $G(t)=(-t-5)\e^{-0,2t}$.
   Vérifier que $G$ est une primitive de $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$
2. En déduire que la valeur exacte de $E(X)$ est $5$.
   Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant : $$\lim\limits_{x \to +\infty} x\e^{-0,2x}=0$$

Partie B – Étude de la durée de présence d’un client dans le supermarché

Une étude commandée par le gérant du supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire $T$.
Cette variable $T$ suit une loi normale d’espérance $40$ minutes et d’écart type un réel positif noté $\sigma$.
Grâce à cette étude, on estime que $P(T < 10) = 0,067$.

1. Déterminer une valeur arrondie du réel $\sigma$ à la seconde près.
   $\quad$
2. Dans cette question, on prend $\sigma = 20$ minutes. Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d’une heure dans le supermarché ?$\quad$

Partie C – Durée d’attente pour le paiement

Ce supermarché laisse le choix au client d’utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.

1. La durée d’attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,2$ min$^{-1}$.
   a. Donner la durée moyenne d’attente d’un client à une borne automatique de paiement.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, que la durée d’attente d’un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à $10$ minutes.
   $\quad$
2. L’étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante :
   $\bullet$ parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, $86 \%$ attendent moins de $10$ minutes ;
   $\bullet$ parmi les clients passant en caisse, $63 \%$ attendent moins de $10$ minutes.
   On choisit un client du magasin au hasard et on définit les événements suivants :
   $B$ : « le client paye à une borne automatique » ;
   $\conj{B}$ : « le client paye à une caisse avec opérateur » ;
   $S$ : « la durée d’attente du client lors du paiement est inférieure à $10$ minutes ».
   Une attente supérieure à dix minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de $75 \%$ des clients attendent moins de $10$ minutes.
   Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint ?
   $\quad$

Partie D – Bons d’achat

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de $10$€ d’achats.
Par exemple, si le montant des achats est $58,64$€, alors le client obtient $5$ cartes ; si le montant est $124,31$€, le client obtient $12$ cartes.
Les cartes gagnantes représentent $0,5 \%$ de l’ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d’une carte à un tirage avec remise.

1. Un client effectue des achats pour un montant de $158,02$€.
   Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu’il obtienne au moins une carte gagnante ?
   $\quad$
2. À partir de quel montant d’achats, arrondi à $10$€, la probabilité d’obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à $50 \%$ ?
   $\quad$

Exercice 2     4 points

Lors d’une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L’objectif est de déterminer pour quel angle de tir $\theta$ par rapport à l’horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.
Comme le projectile ne se déplace pas dans l’air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n’est pas adopté.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 1[$ par : $$f (x) = bx +2\ln(1-x)$$
où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l’abscisse du projectile, $f(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;1[$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
   On admet que a fonction $f$ possède un maximum sur l’intervalle $[0;1[$ et que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1[$ : $$f'(x)=\dfrac{-bx+b-2}{1-x}$$
   Montrer que le maximum de la fonction $f$ est égal à $b-2+2\ln\left(\dfrac{2}{b}\right)$.
   $\quad$
2. Déterminer pour quelles valeurs du paramètres $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.
   $\quad$
3. Dans cette question, on choisit $b=5,69$.
   L’angle de tir $\theta$ correspond à l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$ comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus.
   Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle $\theta$.
   $\quad$

Exercice 3     5 points

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé dont l’origine est le point $A$.
On considère les points $B(10 ; -8 ; 2)$, $C(-1 ; -8 ; 5)$ et $D(14 ; 4 ; 8)$.

1. a. Déterminer un système d’équations paramétriques de chacune des droites $(AB)$ et $(CD)$.
   $\quad$
   b. Vérifier que les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas coplanaires.
   $\quad$
2. On considère le point $I$ de la droite $(AB)$ d’abscisse $5$ et le point $J$ de la droite $(CD)$ d’abscisse $4$.
   a. Déterminer les coordonnées des points $I$ et $J$ et en déduire la distance $IJ$.
   $\quad$
   b. Démontrer que la droite $(IJ)$ est perpendiculaire aux droites $(AB)$ et $(CD)$.
   La droite $(IJ)$ est appelée perpendiculaire commune aux droites $(AB)$ et $(CD)$.
   $\quad$
3. Cette question a pour but de vérifier que la distance $IJ$ est la distance minimale entre les droites $(AB)$ et $(CD)$.
   Sur le schéma ci-dessous on a représenté les droites $(AB)$ et $(CD)$, les points $I$ et $J$, et la droite $\Delta$ parallèle à la droite $(CD)$ passant par $I$.
   On considère un point $M$ de la droite $(AB)$ distinct du point $I$.
   On considère un point $M’$ de la droite $(CD)$ distinct du point $J$.
   
   a. Justifier que la parallèle à la droite $(IJ)$ passant par le point $M’$ coupe la droite $\Delta$ en un point que l’on notera $P$.
   $\quad$
   b. Démontrer que le triangle $MPM’$ est rectangle en $P$.
   $\quad$
   c. Justifier que $MM’>IJ$ et conclure.
   $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les deux graphiques donnés en annexe seront à compléter et à rendre avec la copie.

Un scooter radiocommandé se déplace en ligne droite à la vitesse constante de $1$ m.s$^-1$. Il est poursuivi par un chien qui se déplace à la même vitesse. On représente la situation vue de dessus dans un repère orthonormé du plan d’unité $1$ mètre. L’origine de ce repère est la position initiale du
chien. Le scooter est représenté par un point appartenant à la droite d’équation $x = 5$. Il se déplace sur cette droite dans le sens des ordonnées croissantes.
Dans la suite de l’exercice, on étudie deux modélisations différentes de la trajectoire du chien.

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

La situation est représentée par le graphique n°1 donné en annexe.
À l’instant initial, le scooter est représenté par le point $S_0$. Le chien qui le poursuit est représenté par le point $M_0$. On considère qu’à chaque seconde, le chien s’oriente instantanément en direction du scooter et se déplace en ligne droite sur une distance de $1$ mètre.
Ainsi, à l’instant initial, le chien s’oriente en direction du point $S_0$, et une seconde plus tard il se trouve un mètre plus loin au point $M_1$. À cet instant, le scooter est au point $S_1$. Le chien s’oriente en direction de $S_1$ et se déplace en ligne droite en parcourant $1$ mètre, et ainsi de suite.
On modélise alors les trajectoires du chien et du scooter par deux suites de points notées $\left(M_n\right)$ et $\left(S_n\right)$.
Au bout de $n$ secondes, les coordonnées du point $S_n$ sont $(5 ; n)$. On note $\left(x_n ; y_n\right)$ les coordonnées du point $M_n$.

1. Construire sur le graphique n°1 donné en annexe les points $M_2$ et $M_3$.
   
   $\quad$
2. On note $d_n$ la distance entre le chien et le scooter $n$ secondes après le début de la poursuite.
   On a donc $d_n=M_nS_n$.
   Calculer $d_0$ et $d_1$.
   $\quad$
3. Justifier que le point $M_2$ a pour coordonnées $\left(1+\dfrac{4}{\sqrt{17}};\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right)$.
   $\quad$
4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $$\begin{cases} x_{n+1}=x_n+\dfrac{5-x_n}{d_n}\\y_{n+1}=y_n+\dfrac{n-y_n}{d_n} \end{cases}$$
   a. Le tableau ci-dessous, obtenu à l’aide d’un tableur, donne les coordonnées des points $M_n$ et $S_n$ ainsi que la distance $d_n$ en fonction de $n$. Quelles formules doit-on écrire dans les cellules $C5$ et $F5$ et recopier vers le bas pour remplir les colonnes $C$ et $F$ ?
   
   b. On admet que la suite $\left(d_n\right)$ est strictement décroissante.
   Justifier que cette suite est convergente et conjecturer sa limite à l’aide du tableau.
   $\quad$

Partie B – Modélisation à l’aide d’une fonction

On modéliser maintenant la trajectoire du chien à l’aide de la courbe $\mathscr{T}$ de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;5[$ par $$f(x)=-2,5\ln(1-0,2x)-0,5x+0,05x^2$$
Cela signifie que le chier se déplace sur la courbe $\mathscr{T}$ de la fonction $f$.

1. Lorsque le chien se trouve au point $M$ de coordonnées $\left(x ; f (x)\right)$ de la courbe $\mathscr{T}$ , où $x$ appartient à l’intervalle $[0 ; 5[$, le scooter se trouve au point $S$, d’ordonnée notée $y_S$. Ainsi le point $S$ a pour coordonnées $\left(5 ; y_S\right)$. La tangente à la courbe $\mathscr{T}$ au point $M$ passe par le point $S$. Cela traduit le fait que le chien s’oriente toujours en direction du scooter. On note $d(x)$ la distance $MS$ entre le chien et le scooter lorsque $M$ a pour abscisse $x$.
   a. Sur le graphique n°2 donné en annexe, construire, sans calcul, le point $S$ donnant la position du scooter lorsque le chien se trouve au point d’abscisse $3$ de la courbe $\mathscr{T}$ et lire les coordonnées du point $S$.
   $\quad$
   b. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 5[$ et on admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 5[$ : $$f'(x)=\dfrac{x(1-0,1x)}{5-x}$$
   Déterminer par le calcul une valeur approchée au centième de l’ordonnée du point $S$ lorsque le chien se trouve au point d’abscisse $3$ de la courbe $\mathscr{T}$.
   $\quad$
2. On admet que $d(x)=0,1x^2-x+5$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;5[$.
   Justifier qu’au cours du temps la distance $MS$ se rapproche d’une valeur limite que l’on déterminera.
   $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans une région, on s’intéresse à la cohabitation de deux espèces animales : les campagnols et les renards, les renards étant les prédateurs des campagnols. Au 1$\ier$ juillet 2012, on estime qu’il y a dans cette région approximativement deux millions de campagnols et cent-vingt renards.
On note $u_n$ le nombre de campagnols et $v_n$ le nombre de renards au 1$\ier$ juillet de l’année 2012$+n$.

Partie A – Un modèle simple

On modélise l’évolution des populations par les relations suivantes :

$\begin{cases} u_{n+1}=1,1u_n-2~000v_n\\v_{n+1}=2\times 10^{-5}u_n+0,6v_n \end{cases}$ $\quad$ pour tout entier $n \pg 0$, avec $u_0=2~000~000$ et $v_0=120$.

1. a. On considère la matrice colonne $U_n=\begin{pmatrix}U_n\\v_n\end{pmatrix}$ pour tout entier $n\pg 0$.
   Déterminer la matrice $A$ telle que $U_{n+1}=A \times U_n$ pour entier $n$ et donner la matrice $U_0$.
   $\quad$
   b. Calculer le nombre de campagnols et de renards estimés grâce à ce modèle au $1\ier$ juillet 2018.
   $\quad$
2. Soit les matrices $P=\begin{pmatrix} 20~000&5~000\\1&1\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,7\end{pmatrix}$ et $P^{-1}=\dfrac{1}{15~000}\times \begin{pmatrix}1&-5~000\\-1&20~000\end{pmatrix}$.
   On admet que $P^{-1}$ est la matrice inverse de la matrice $P$ et que $A=P\times D\times P^{-1}$.
   a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0$.
   $\quad$
   b. Donner sans justification l’expression de la matrice $D^n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   c. On admet que, pour tout entier naturel $n$ :
   $$\begin{cases} u_n=\dfrac{2,8\times 10^7+2\times 10^6\times 0,7^n}{15} \\v_n=\dfrac{1~400+400\times 0,7^n}{15}\end{cases}$$
   Décrire l’évolution des deux populations.
   $\quad$

Partie B – Un modèle plus conforme à la réalité

Dans la réalité, on observe que si le nombre de renards a suffisamment baissé, alors le nombre de campagnols augmente à nouveau, ce qui n’est pas le cas avec le modèle précédent. On construit donc un autre modèle, plus précis, qui tient compte de ce type d’observations à l’aide des relations suivantes :

$\begin{cases} u_{n+1}=1,1u_n-0,001u_n\times v_n \\v_{n+1}=2\times 10^{-7}u_n\times v_n+0,6v_n \end{cases}$ $\quad$ pour tout entier $n \pg 0$, avec $u_0=2~000~000$ et $v_0=120$.

Le tableau ci-dessous présente ce nouveau modèle sur les $25$ premières années en donnant les effectifs des populations arrondis à l’unité :

1. Quelles formules faut-il écrire dans les cellules $B4$ et $C4$ et recopier vers le bas pour remplir les colonnes $B$ et $C$ ?
   $\quad$
2. Avec le deuxième modèle, à partir de quelle année observe-t-on le phénomène décrit (baisse des renards et hausse des campagnols) ?
   $\quad$

Partie C

Dans cette partie on utilise le modèle de la partie B.
Est-il possible de donner à $u_0$ et $v_0$ des valeurs afin que les deux populations restent stables d’une année sur l’autre, c’est-à-dire telles que pour tout entier naturel $n$ on ait $u_{n+1} = u_n$ et $v_{n+1} = v_n$ ?
(On parle alors d’état stable.)

$\quad$