Exercice 1

Partie A

1. On a $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}\approx 18$.
   La durée de vie moyenne d’un chronomètre est d’environ $18$ mois.
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $P(12 \pp T\pp 24)=\e^{-12\times \lambda}-\e^{-24\times \lambda} \approx 0,250$.
   La probabilité qu’un chronomètre ait une durée de vie comprise entre un et deux ans est environ égale à $0,250$.
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{T\pg 24}(T\pg 36)&= P_{T\pg 24}(T\pg 24+12) \\
   &=P(T\pg 12) \qquad (*)\\
   &=\e^{-12\lambda}\\
   &\approx 0,514\end{align*}$
   $(*)$ car la loi exponentielle est à durée de vie sans vieillissement.
   Sachant que l’entraîneur n’a pas changé son chronomètre depuis deux ans, la probabilité qu’il soit encore en état de fonctionner au moins un an de plus est environ égale à $0,514$.
   $\quad$

Partie B

1. a. On a donc $p(A)=0,4$ et $p_A(D)=0,03$.
   Par conséquent $P(A\cap D)=0,4\times 0,03=0,012$.
   La probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux est égale à $0,012$.
   $\quad$
   b. On a $p(B)=1-0,4=0,6$ et $p_B(D)=0,05$.
   Par conséquent $p(B\cap D)=0,6\times 0,05=0,03$.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
   &=0,012+0,03\\
   &=0,042\end{align*}$
   Ainsi :
   $\begin{align*} p_D(B)&=\dfrac{p(B\cap D)}{p(D)} \\
   &=\dfrac{0,03}{0,042} \\
   &\approx 0,714\end{align*}$
   La probabilité que le roulement provienne du fournisseur B sachant qu’il est défectueux est environ égale à $0,714$.
   $\quad$
2. On note $p(A)=x$ donc $p(B)=1-x$.
   D’après la formule des probabilités totales on a donc :
   $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\
   &=0,03x+0,05(1-x) \\
   &=0,05-0,02x\end{align*}$
   On veut donc résoudre l’inéquation :
   $\begin{align*} p(D)\pp 0,035 &\ssi 0,05-0,02x \pp 0,035 \\
   &\ssi -0,02x \pp -0,015 \\
   &\ssi x \pg 0,75\end{align*}$
   La proportion de roulements commandés au fournisseur A doit donc au être égale à $0,75$ pour que moins de $3,5\%$ des roulements soient défectueux.
   $\quad$

Partie C

1. On veut calculer $P(7,8 \pp X \pp 8,2) \approx 0,954$.
   On pouvait remarquer que $P(7,8 \pp X \pp 8,2)=P(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma)$.
   La probabilité qu’un roulement soit conforme est environ égale à $0,954$.
   $\quad$
2. On a $n=30\times 16=480\pg 30$, $np=24 \pg 5$ et $n(1-p)=456\pg 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de roulements non conforme est donc :
   $\begin{align*} I_{480}&=\left[0,05-1,96\sqrt{\dfrac{0,05\times 0,95}{480}};0,05+1,96\sqrt{\dfrac{0,05\times 0,95}{480}}\right] \\
   &\approx [0,030;0,070]\end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{38}{480}\approx 0,079 \notin I_{480}$
   Ce contrôle remet donc en cause, au risque de $5\%$, l’affirmation du fournisseur B.
   $\quad$
3. a. La variable aléatoire $Z=\dfrac{X-8}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
   $\quad$
   b. On a donc :
   $\begin{align*} P(7,8 \pp X\pp 8,2)=0,96 &\ssi P(-0,2\pp X-8 \pp 0,2)=0,96 \\
   &\ssi P\left(-\dfrac{0,2}{\sigma} \pp \dfrac{X-8}{\sigma} \pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=0,96\\
   &\ssi P\left(-\dfrac{0,2}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=0,96\\
   &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)-1=0,96 \\
   &\ssi 2P\left(Z\pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=1,96 \\
   &\ssi P\left(Z\pp \dfrac{0,2}{\sigma}\right)=0,98 \end{align*}$
   À l’aide de la fonction Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $\dfrac{0,2}{\sigma} \approx 2,054$.
   Par conséquent $\sigma \approx 0,097$.
   $\quad$

 

Exercice 2

1. a. $f(0)=3\times 0\e^0+2=2$.
   À l’instant $t=0$ le taux de vasopressine dans le sang est de $2$ µg/mL.
   $\quad$
   b. $12$ s $= 0,2$ min
   $f(0,2)=3\times 0,2\e^{-0,2/4}+2 \approx 2,57 > 2,5$.
   Douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
   $\quad$
   c. Pour tout réel $t$ positif ou nul on a :
   $\begin{align*} f(t)&=3t\e^{-t/4}+2 \\
   &=\dfrac{3t}{\e^{t/4}}+2 \\
   &=\dfrac{12\dfrac{t}{4}}{\e^{t/4}}+2 \\
   &=12\times \dfrac{1}{~~\dfrac{\e^{t/4}~~}{\dfrac{t}{4}}}+2\end{align*}$
   Or $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{t}{4}=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{\e^X}{X}=+\infty$
   Par conséquent $\lim\limits{t \to +\infty}\dfrac{\e^{t/4}}{\dfrac{t}{4}}=+\infty$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{1}{~~\dfrac{\e^{t/4}~~}{\dfrac{t}{4}}}=0$
   Ainsi $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=2$.
   Sur le long terme le taux de vasopressine dans le sang sera donc de $2$ µg/mL.
   $\quad$
2. Pour tout réel $t$ positif on a :
   $\begin{align*} f'(t)&=3\e^{-t/4}+3t\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)\e^{-t/4} \\
   &=\left(3-\dfrac{3t}{4}\right)\e^{-t/4} \\
   &=\dfrac{3}{4}(4-t)\e^{-t/4}\end{align*}$
   $\quad$
3. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $4-t$.
   Or $4-t=0 \ssi t=4$ et $4-t>0 \ssi t<4$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   b. La fonction $f$ atteint son maximum pour $t=4$.
   Le taux de vasopressine dans le sang est donc maximal au bout de $4$ minutes.
   $f(4)=\dfrac{12}{\e}+2 \approx 6,41$.
   Ce taux est alors d’environ $6,41$ µg/mL.
   $\quad$
4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[0;4]$.
   De plus $f(0)=2<2,5$ et $f(4) > 2,5$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=2,5$ admet une unique solution $t_0$ sur l’intervalle $[0;4]$.
   D’après la calculatrice, on a $t_0\approx 0,174$.
   $\quad$
   b. Le taux de vasopressine reste supérieur à $2,5$ µg/mL dans le sang chez une personne victime d’une hémorragie pendant $t_1-t_0 \approx 18,756$ minutes.
   $\quad$
5. a. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que somme, produit et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $t$ positif on a :
   $\begin{align*} F'(t)&=-12\e^{-t/4}-12(t+4)\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)\e^{-t/4}+2 \\
   &=\left(-12+\dfrac{12(t+4)}{4}\right)\e^{-t/4}+2 \\
   &=(-12+3t+12)\e^{-t/4}+2\\
   &=3t\e^{-t/4}+2\\
   &=f(t)\end{align*}$
   Par conséquent $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$
   Ainsi :
   $\ds \begin{align*} \int_{t_0}^{t_1}f(t)\dt&=F\left(t_1\right)-F\left(t_0\right) \\
   &\approx 83\end{align*}$
   $\quad$
   b. Le taux moyen de vasopressine lors d’un accident hémorragique durant la période où ce taux est supérieur à $2,5$ µg/ml est :
   $m=\ds \dfrac{\int_{t_0}^{t_1}f(t)\dt}{t_1-t_0} \approx 4,4$.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. D’une part:
   $\begin{align*} \vect{MI}&=\vect{MB}+\vect{BI} \\
   &=\dfrac{1}{2}\vect{FB}+\dfrac{1}{2}\vect{BC} \\
   &=\dfrac{1}{2}\left(\vect{FB}+\vect{BC}\right) \\
   &=\dfrac{1}{2}\vect{FC}\end{align*}$
   D’autre part :
   $\begin{align*} \vect{IN}&=\vect{IC}+\vect{CN} \\
   &=\dfrac{1}{2}\vect{BC}+\dfrac{1}{2}\vect{GC} \\
   &=\dfrac{1}{2}\left(\vect{BC}+\vect{GC}\right) \\
   &=\dfrac{1}{2}\left(\vect{BC}+\vect{FB}\right) \\
   &=\dfrac{1}{2}\vect{FC} \\
   &=\vect{MI}\end{align*}$
   Ainsi $I$ est le milieu de $[MN]$ et de $[BC]$.
   La droite $(MN)$ coupe le segment $[BC]$ en son milieu $I$.
   Autre méthode :
   On a $\vect{CN}=\dfrac{1}{2}\vect{GC}=\dfrac{1}{2}\vect{FB}=\vect{MB}$
   Ainsi le quadrilatère $MBNC$ est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu.
   La droite $(MN)$ coupe le segment $[BC]$ en son milieu $I$.
   $\quad$
2. On obtient la figure suivante :
   
   On trace la droite parallèle à la droite $(MI)$ passant par $P$.
   $\quad$

Partie B

1. On a $M(1;0;0,5)$, $N(1;1;-0,5)$ et $P(0;0,5;0,5)$
   Ainsi $\vect{MN}(0;1;-1)$ et $\vect{MP}(-1;0,5;0)$
   Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
   De plus $\vec{n}.\vect{MN}=0+2-2=0$ et $\vec{n}.\vect{MP}=-1+1+0=0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(MNP)$.
   Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(MNP)$.
   $\quad$
   Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc de la forme $x+2y+2z+d=0$.
   Or $M(1;0;0,5)$ appartient au plan $(MNP)$.
   Donc $1+0+1+d=0 \ssi d=-2$.
   Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc $x+2y+2z-2=0$.
   $\quad$
2. On a $G(1;1;1)$.
   $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
   Un système d’équations paramétriques de la droite $(d)$ est donc $\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+2t\end{cases} ,\qquad t\in \R$.
   $\quad$
3. Si $t=-\dfrac{1}{3}$ dans le système précédent on obtient les coordonnées suivantes $\begin{cases} x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}$. Donc $K$ appartient à la droite $d$.
   De plus $\dfrac{2}{3}+2\times \dfrac{1}{3}+2\times \dfrac{1}{3}-2=2-2=0$ et le point $K$ appartient au plan $(MNP)$.
   La droite $d$ n’est pas incluse, par définition, dans le plan $(MNP)$.
   Par conséquent le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(MNP)$ est le point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
   $\quad$
   On a $\vect{GK}\left(\dfrac{2}{3}-1;\dfrac{1}{3}-1;\dfrac{1}{3}-1\right)$ soit $\vect{GK}\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3}\right)$.
   $\begin{align*} GK&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}}\\
   &=1\end{align*}$
   $\quad$
4. Les points $M$, $E$, $D$ et $I$ appartiennent au plan $(MNP)$ d’après la question A.2. Par conséquent $(GK)$ est la hauteur issue du point $G$ de la pyramide $GMEDI$.
   Ainsi, le volume de cette pyramide est :
   $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{GK\times \dfrac{9}{8}}{3} \\
   &=\dfrac{1\times \dfrac{9}{8}}{3} \\
   &=\dfrac{3}{8}\end{align*}$
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A

1. $u_1=3-\dfrac{10}{5+4}=\dfrac{17}{9}$
   $u_2=3-\dfrac{10}{\dfrac{17}{9}+4}=\dfrac{69}{53}$
   $\quad$
2. Initialisation : $u_0=5 \pg 1$.
   La propriété est donc vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $u_n \pg 1$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \pg 1$.
   $\begin{align*} u_{n} \pg 1 &\ssi u_n+4 \pg 5 \\
   &\ssi 0<\dfrac{1}{u_n+4}\pp \dfrac{1}{5} \\
   &\ssi 0<\dfrac{10}{u_n+4} \pp 2 \\
   &\ssi 0> -\dfrac{10}{u_n+4} \pg -2 \\
   &\ssi 3>3-\dfrac{10}{u_n+4} \pg 1 \\
   &\ssi 3>u_{n+1} \pg 1\end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{10}{u_n+4}-u_n \\
   &=\dfrac{3\left(u_n+4\right)}{u_n+4}-\dfrac{10}{u_n+4}-\dfrac{u_n\left(u_n+4\right)}{u_n+4} \\
   &=\dfrac{3u_n+12-10-{u_n}^2-4u_n}{u_n+4} \\
   &=\dfrac{-{u_n}^2-u_n+2}{u_n+4}\end{align*}$
   Or $\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)=u_n+2-{u_n}^2-2u_n=-{u_n}^2-u_n+2$.
   Par conséquent $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$.
   $\quad$
4. D’après la question A.2. on a $u_n\pg 1$
   Donc $1-u_n\pp 0$, $u_n+2 \pg 3>0$ et $u_n+4 \pg 5>0$.
   Ainsi $u_{n+1}-u_n \pp 0$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
   $\quad$
5. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. Elle est donc convergente.
   $\quad$

Partie B

1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2} \\
   &=\dfrac{3-\dfrac{10}{u_n+4}-1}{3-\dfrac{10}{u_n+4}+2} \\
   &=\dfrac{2-\dfrac{10}{u_n+4}}{5-\dfrac{10}{u_n+4}} \\
   &=\dfrac{~~\dfrac{2\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}~~}{\dfrac{5\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}} \\
   &=\dfrac{2u_n+8-10}{5u_n+20-10} \\
   &=\dfrac{2u_n-2}{5u_n+10}\\
   &=\dfrac{2\left(u_n-1\right)}{5\left(u_n+2\right)} \\
   &=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{u_n-1}{u_n+2} \\
   &=\dfrac{2}{5}v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+2}=\dfrac{4}{7}$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=\dfrac{4}{7}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.
   On a $-1<\dfrac{2}{5}<1$ et $v_0>0$ : la suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
   Pour tout entier naturel $n$, on a ainsi $v_n \pp v_0$ soit $v_n \pp \dfrac{2}{3}<1$.
   Donc $v_n \neq 1$.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}&\ssi v_n\left(u_n+2\right)=u_n-1 \\
   &\ssi v_n\times u_n+2v_n=u_n-1 \\
   &\ssi v_n\times u_n-u_n=-1-2v_n \\
   &\ssi u_n\left(v_n-1\right)=-1-2v_n \\
   &\ssi u_n=\dfrac{-1-2v_n}{v_n-1} \quad \text{ car } v_n \neq 1\\
   &\ssi u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}\end{align*}$
   $\quad$
3. On a $-1<\dfrac{2}{5}<1$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$
   Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{0+1}{1-0}=1$.
   $\quad$

Partie C

1. Voici les différentes valeurs prises par les variables $u$, arrondie à $10^{-3}$ et $n$.
   $\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   n& un \\
   \hline
   0& 5\\
   \hline
   1& 1,889\\
   \hline
   2& 1,302\\
   \hline
   3& 1,114\\
   \hline
   4& 1,04\\
   \hline
   5& 1,018\\
   \hline
   6& 1,008\\
   \hline
   \end{array}$
   Donc, après l’exécution de cet algorithme, la variable $n$ contient la valeur $6$.
   $\quad$
2. Cela signifie donc qu’à partir du rang $6$ on a $u_n < 1,01$.
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A

1. Si $m$ est le PGCD de $a$ et $b$ alors il divise également $a-b$ et $b$.
   Réciproquement, si $m$ est le PGCD de $a-b$ et $b$ alors c’est également un diviseur de $(a-b)+b$ et $b$ c’est-à-dire de $a$ et $b$.
   Par conséquent PGCD$(a,b)=$PGCD$(a-b,b)$.
   $\quad$
2. On a $4^3-1=63$ et $4^2-1=15$
   Ainsi
   PGCD$(63,15)=$PGCD$(48,15)=$PGCD$(33,15)$
   $=$PGCD$(18,15)=$PGCD$(3,15)=3$
   $\quad$
3. On obtient l’algorithme suivant :
   $\begin{array}{|l|}
   \hline
   A\leftarrow 4^3-1\\
   B\leftarrow 4^2-1\\
   \text{Tant que } A\neq B :\\
   \hspace{1cm} \text{Si $A>B$, alors } :\\
   \hspace{2cm} A\leftarrow A-B\\
   \hspace{1cm} \text{Sinon}:\\
   \hspace{2cm} B\leftarrow B-A\\
   \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
   \text{Fin Tant que} \\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$

Partie B

1. On a $V_{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+2}\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5u_{n+1}-4u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-4\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$
   Donc en notant $A=\begin{pmatrix}5&-4\\1&0\end{pmatrix}$ on a $V_{n+1}=AV_n$.
   $\quad$
2. a. On a $1\times 1-4\times 1=-3\neq 0$
   La matrice $P$ est donc inversible.
   Et $P^{-1}=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-4\\-1&1\end{pmatrix}$
   $\quad$
   b. On a :
   $P^{-1}A=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-4\\-4&4\end{pmatrix}$
   Donc $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$
   $\quad$
3. Initialisation : On a $P^{-1}AP=D$ donc $A=PDP^{-1}$
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a donc $A^n=PD^nP^{-1}$.
   Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-çà-dire que $A^{n+1}=PD^{n+1}P^{-1}$.
   $\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n\\
   &=PDP^{-1}PD^nP^{-1} \\
   &=PDD^nP^{-1}\\
   &=PD^{n+1}P^{-1}\end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $A^n=PD^nP^{-1}$.
   $\quad$
4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
   $PD^n=\begin{pmatrix}1&4^{n+1}\\1&4^n\end{pmatrix}$
   Par conséquent :
   $A^n=PD^nP^{-1}=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1-4^{n+1}&-4+4^{n+1}\\1-4^n&-4+4^n\end{pmatrix}$.
   $\quad$
5. On a $V_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$.
   Pour tout entier naturel $n$ non nul,
   $V_n=A^nV_0=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1-4^{n+1}\\1-4^n\end{pmatrix}$
   Par conséquent $u_n=\dfrac{4^n-1}{3}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times 4^n$.
   $\quad$
6. a. Pour tout entier naturel $n$, on a :
   $\begin{align*}4u_n+1&=-\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}\times 4^{n+1}+1 \\
   &=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times 4^{n+1} \\
   &=-u_{n+1}\end{align*}$
   $\quad$b. Pour tout entier naturel $n$, on a :
   PGCD$\left(u_{n+1},u_n\right)=$PGCD$\left(4u_n+1,u_n\right)=$PGCD$\left(3u_n+1,u_n\right)$
   $=$PGCD$\left(2u_n+1,u_n\right)=$PGCD$\left(u_n+1,u_n\right)=$PGCD$\left(1,u_n\right)=1$
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$, on a :
   PGCD$\left(4^{n+1}-1,4^n-1\right)=3\times$PGCD$\left(u_{n+1},u_n\right)=3$.
   $\quad$

 

 

 

Exercice 1     6 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

Le roller de vitesse est un sport qui consiste à parcourir une certaine distance le plus rapidement possible en rollers. Dans le but de faire des économies, un club de roller de vitesse s’intéresse à la gestion de ses chronomètres et des roulements de ses rollers.

Partie A :

On note $T$ la variable aléatoire égale à la durée de vie, en mois, d’un chronomètre et on admet qu’elle suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda= 0,055~5$.

1. Calculer la durée de vie moyenne d’un chronomètre (arrondie à l’unité).
   $\quad$
2. Calculer la probabilité qu’un chronomètre ait une durée de vie comprise entre un et deux ans.
   $\quad$
3. Un entraîneur n’a pas changé son chronomètre depuis deux ans. Quelle est la probabilité qu’il soit encore en état de fonctionner au moins un an de plus ?
   $\quad$

Partie B :

Ce club fait des commandes groupées de roulements pour ses adhérents auprès de deux fournisseurs A et B.

• Le fournisseur A propose des tarifs plus élevés mais les roulements qu’il vend sont sans défaut avec une probabilité de $0,97$.
• Le fournisseur B propose des tarifs plus avantageux mais ses roulements sont défectueux avec une probabilité de $0,05$.

On choisit au hasard un roulement dans le stock du club et on considère les évènements:

$A$ : « le roulement provient du fournisseur A »,
$B$ : « le roulement provient du fournisseur B »,
$D$ : « le roulement est défectueux ».

1. Le club achète $40\%$ de ses roulements chez le fournisseur A et le reste chez le fournisseur B.
   a. Calculer la probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux.
   $\quad$
   b. Le roulement est défectueux. Calculer la probabilité qu’il provienne du fournisseur B.
   $\quad$
2. Si le club souhaite que moins de $3,5\%$ des roulements soient défectueux, quelle proportion minimale de roulements doit-il commander au fournisseur A ?
   $\quad$

Partie C :

Le diamètre intérieur standard d’un roulement sur une roue de roller est de $8$ mm.
On note $X$ la variable aléatoire donnant en mm le diamètre d’un roulement et on admet que $X$ suit une loi normale d’espérance $8$ et d’écart type $0,1$.
Un roulement est dit conforme si son diamètre est compris entre $7,8$ mm et $8,2$ mm.

1. Calculer la probabilité qu’un roulement soit conforme.
   $\quad$
2. Le fournisseur B vend ses roulements par lots de $16$ et affirme que seulement $5\%$ de ses roulements sont non conformes.
   Le président du club, qui lui a acheté $30$ lots, constate que $38$ roulements sont non conformes. Ce contrôle remet-il en cause l’affirmation du fournisseur B ?
   On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
   $\quad$
3. Le fabricant de roulements de ce fournisseur décide d’améliorer la production de ses roulements. Le réglage de la machine qui les fabrique est modifié de sorte que $96\%$ des roulements soient conformes. On suppose qu’après réglage la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d’espérance $8$ et d’écart-type $\sigma$.
   a. Quelle est la loi suivie par $\dfrac{X-8}{\sigma}$ ?
   $\quad$
   b. Déterminer $\sigma$ pour que le roulement fabriqué soit conforme avec une probabilité égale à $0,96$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l’eau par l’organisme.

Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s’il est inférieur à $2,5$ $\mu$g/mL.
Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.

On utilisera dans la suite la modélisation suivante: $$f(t) = 3t\e^{-t/4} +2 ~~ \text{ avec } t \pg 0$$
où $f(t)$ représente le taux de vasopressine (en $\mu$g/mL) dans le sang en fonction du temps $t$ (en minute) écoulé après le début d’une hémorragie.

1. a. Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l’instant $t = 0$ ?
   $\quad$
   b. Justifier que douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n’est pas normal.
   $\quad$
   c. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter ce résultat.
   $\quad$
2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0; +\infty[$.
   Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif, $$f'(t) = \dfrac{3}{4}(4-t)\e^{-t/4}$$
   $\quad$
3. a. Étudier le sens de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ (en incluant la limite en $+\infty$ ).
   $\quad$
   b. À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ?
   Quel est alors ce taux? On en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
   $\quad$
4. a. Démontrer qu’il existe une unique valeur $t_0$ appartenant à $[0;4]$ telle que $f\left(t_0\right) = 2,5$.
   En donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
   $\quad$
   On admet qu’il existe une unique valeur $t_1$ appartenant à $[4;+\infty[$ vérifiant $f\left(t_1\right) = 2,5$.
   On donne une valeur approchée de $t_1$ à $10^{-3}$ près: $t_1 \approx 18,930$.
   b. Déterminer pendant combien de temps, chez une personne victime d’une hémorragie, le taux de vasopressine reste supérieur à $2,5$ $\mu$g/mL dans le sang.
   $\quad$
5. Soit $F$ la fonction définie sur $[0; +\infty[$ par $F(t) = -12(t + 4)\e^{-t/4} + 2t$.
   a. Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ et en déduire une valeur approchée de $\ds\int_{t_0}^{t_1} f(t)\dt$ à l’unité près.
   $\quad$
   b. En déduire une valeur approchée à $0,1$ près du taux moyen de vasopressine, lors d’un accident hémorragique durant la période où ce taux est supérieur à $2,5$ $\mu$g/mL.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

On considère un cube $ABCDEFGH$.
Le point $M$ est le milieu de [BF], I est le milieu de [BC], le point N est défini par la relation $\vect{CN} =\dfrac{1}{2}\vect{GC}$ et le point $P$ est le centre de la face $ADHE$.

Partie A :

1. Justifier que la droite $(MN)$ coupe le segment $[BC]$ en son milieu $I$.
   $\quad$
2. Construire, sur la figure fournie en annexe, la section du cube par le plan $(MNP)$.
   $\quad$

Partie B :

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A; \vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

1. Justifier que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(MNP)$.
   En déduire une équation cartésienne du plan $(MNP)$.
   $\quad$
2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite $(d)$ passant par $G$ et orthogonale au plan $(MNP)$.
   $\quad$
3. Montrer que la droite $(d)$ coupe le plan $(MNP)$ au point $K$ de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
   En déduire la distance $GK$.
   $\quad$
4. On admet que les quatre points $M$, $E$, $D$ et $I$ sont coplanaires et que l’aire du quadrilatère $MEDI$ est $\dfrac{9}{8}$ unités d’aire.
   Calculer le volume de la pyramide $GMEDI$.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n \pg 0$ par: $\begin{cases}u_{n+1}&=&3-\dfrac{10}{u_n + 4}\\u_0&=&5\end{cases}.$

Partie A :

1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
   $\quad$
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1$.
   $\quad$
3. Démontrer que, pour tout entier nature $n$, $u_{n + 1}-u_n = \dfrac{\left(1-u_n \right)\left(u_n +2\right)}{u_n + 4}$.
   $\quad$
4. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
5. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
   $\quad$

Partie B :

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{u_n-1}{u_n + 2}$.

1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
   $\quad$
   b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n \ne 1$.
   $\quad$
2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1-v_n}$.
   $\quad$
3. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$

Partie C :

On considère l’algorithme ci-dessous.

$$\begin{array}{|l|}\hline
u \gets 5\\
n \gets 0\\
\text{Tant que }u \pg 1,01\\
\hspace{1cm} n \gets n+1\\
\hspace{1cm} u \gets 3-\dfrac{10}{u+4}\\
\text{Fin du Tant que}\\ \hline
\end{array}$$

1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable $n$ ?
   $\quad$
2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A :

Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que $a > b$.

1. Démontrer que PGCD$(a,b) =$ PGCD$(a-b,b)$.
   $\quad$
2. En utilisant l’égalité précédente, calculer PGCD$\left(4^3 -1,4^2-1\right)$.
   $\quad$
3. Compléter l’algorithme fourni en annexe de telle sorte qu’après exécution, la variable $A$ contienne PGCD$\left(4^3 -1,4^2 -1\right)$.
   $\quad$

Partie B :

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$, $u_1 =1$ et pour tout entier naturel $n$ par : $$u_{n+2} = 5u_{n+1}-4u_n$$
On admettra que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ est un entier naturel non nul.
On note $V_n=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\u_{n}\end{pmatrix}$.

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1}= AV_n$ où $A$ est une matrice carrée d’ordre $2$ dont on précisera les coefficients.
   $\quad$
2. On pose $P= \begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix}$.
   a. Justifier que $P$ est inversible et donner $P^{-1}$.
   $\quad$
   b. Vérifier que $P^{-1}AP$ est la matrice diagonale $D = \begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$.
   $\quad$
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n = PD^nP^{-1}$.
   $\quad$
4. Soit un entier naturel $n$ non nul. Calculer les coefficients de la matrice $A^n$.
   $\quad$
5. On admettra que pour tout entier naturel $n$ non nul, $V_n= A^n V_0$.
   Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_n = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \times 4^n$.
   $\quad$
6. a. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 4u_n +1$.
   $\quad$
   b. En déduire PGCD$\left(u_{n+1}, u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$
   c. Déterminer pour tout entier naturel $n$, PGCD$\left(4^{n+1} – 1,4^n -1\right)$.
   $\quad$

$\quad$

Annexe

$\begin{array}{|l|}
\hline
A \gets 4^3-1\\
B \gets 4^2-1\\
\text{Tant que }\ldots\ldots :\\
\hspace{1cm} \text{Si } A > B, \text{alors }:\\
\hspace{1.5cm} A \gets \ldots\\
\hspace{1cm} \text{Sinon}:\\
\hspace{1.5cm}B \gets \ldots\\
\hspace{1cm}\text{Fin Si} \\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$