Bac S – Antilles Guyane – juin 2017

Antilles Guyane – Juin 2017

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Si $z=1$ alors $1^4+2\times 1^3-1-2=1+2-1-2=0$.
    Donc $1$ est une solution entière de $(E)$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} \left(z^2+z-2\right)\left(z^2+z+1\right)&=z^4+z^3+z^2+z^3+z^2+z-2z^2-2z-2 \\
    &=z^4+2z^3-z-2
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $(E) \ssi \left(z^2+z-2\right)\left(z^2+z+1\right)=0$
    $\ssi \left(z^2+z-2\right) = 0$ ou $\left(z^2+z+1\right)=0$
    $\bullet$ On a $(z-1)(z+2)=z^2+2z-z-2=z^2+z-2$
    Ainsi les solutions de l’équation $ \left(z^2+z-2\right) = 0$ sont $1$ et $-2$
    $\bullet$ On considère maintenant l’équation $\left(z^2+z+1\right)=0$
    $\Delta=1^2-4=-3<0$
    L’équation possède donc deux racines complexes :
    $z_1=\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc $1$, $-2$, $\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}$$\quad$
  4. On note $A$ le point d’affixe $1$, $B$ le point d’affixe $\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}$ , $C$ le point d’affixe $-2$ et $D$ celui d’affixe $\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}$.
    On sait que $z_2=\conj{z_1}$ par conséquent le milieu du segment $[BD]$ a pour affixe $-\dfrac{1}{2}$.
    De plus $\dfrac{1+(-2)}{2}=-\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi les diagonales du quadrilatère $ABCD$ se croisent en leur milieu : c’est un parallélogramme.
    $\begin{align*} AB^2&=\left|z_B-z_A\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-1+\ic\sqrt{3}}{2}-1\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-3+\ic\sqrt{3}}{2}\right|^2 \\
    &=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\\
    &=3
    \end{align*}$
    $\begin{align*} AD^2&=\left|z_D-z_A\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-1-\ic\sqrt{3}}{2}-1\right|^2 \\
    &=\left|\dfrac{-3-\ic\sqrt{3}}{2}\right|^2 \\
    &=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\\
    &=3
    \end{align*}$
    Ainsi $AB=AD$
    Deux côtés consécutifs du parallélogramme ont la même longueur : c’est un losange.
    Remarque : on pouvait également remarquer que l’axe des abscisses est la médiatrice du segment $[BD]$ et donc que $AB=AD$.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On sait $P(X>27,2)=0,023$. Puisque $\mu_1=25$ cela signifie donc que $P(X<22,8)=0,023$
    Ainsi $P(22,8<X<27,2)=1-2\times 0,023=0,954$
    $\quad$
    b. On sait que $P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx 0,954$.
    Par conséquent $27,2\approx 25-2\sigma_1$ soit $\sigma_1\approx 1,1$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{(22,8<X<27,2)}(X<24)&=\dfrac{P\left((22,8<X<27,2)\cap (X<24)\right)}{P(22,28<X<27,2)} \\
    &=\dfrac{P(22,8<X<24)}{P(22,28<X<27,2)} \\
    &\approx \dfrac{0,159}{0,954} \\
    &\approx 0,167
    \end{align*}$
  2. a. On sait que $P(22,8<Y<27,2)=0,98>P(22,8<X<27,2)$
    Donc $\sigma_1>\sigma_2$
    $\quad$
    b. On sait que $n=500\pg 30$ et $p=0,98$ donc $np=490\pg 5$ et $n(1-p)=10\pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{500}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{500}}\right] \\
    &\approx [0,967;0,993]
    \end{align*}$
    Sur les $500$ pièces testées, $485$ sont conformes.
    La fréquence observée est donc $f=\dfrac{485}{500}=0,97\in I_{500}$
    Au seuil de $95\%$ on ne peut donc pas rejeter l’affirmation de l’équipe d’ingénieurs.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ donc les fonctions $f$ et $g$ le sont également.
    $f'(x)=\e^x$ et $g(x)=-\e^{-x}$.
    Le coefficient directeur de la tangente $T_a$ en $M$ à $\mathscr{C}_f$ est $f'(a)=\e^a$.
    Le coefficient directeur de la tangente $T’_a$ en $N$ à $\mathscr{C}_g$ est $g'(a)=-\e^{-a}$.
    Par conséquent un vecteur directeur de $T_a$ est $\vec{u}\left(1;\e^a\right)$ et un vecteur directeur de $T’_a$ est $\vec{v}\left(1;-\e^{-a}\right)$.
    Ainsi $\vec{u}.\vec{v}=1\times 1+\e^a\times \left(-\e^{-a}\right)=1-1=0$.
    Donc la tangente en $M$ à $\mathscr{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ en $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  2. a. Il semblerait que la longueur $PQ$ soit toujours égale à $2$.
    $\quad$
    b. Cherchons une équation de $(PM)$.
    Elle est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
    Soit $y=\e^a(x-a)+\e^a$
    D’où $y=\e^a(x-a+1)$.
    L’abscisse du point $P$ est solution de l’équation $\e^a(x-a+1)=0 \ssi x-a+1=0 \ssi x=a-1$
    Par conséquent le point $P$ a pour coordonnées $(a-1;0)$.
    $\quad$
    Cherchons maintenant une équation de $(QN)$
    Elle est de la forme $y=g'(a)(x-a)+g(a)$
    Soit $y=-\e^{-a}(x-a)+\e^{-a}$
    D’où $y=-\e^{-a}(-x+a+1)$
    L’abscisse du point $Q$ est solution de l’équation $\e^a(-x+a+1)=0 \ssi -x+a+1=0 \ssi x=a+1$
    Par conséquent le point $Q$ a pour coordonnées $(a+1;0)$.
    $\quad$
    On en déduit alors :
    $PQ=\sqrt{\left(1+a-(a-1)\right)^2+0^2}=\sqrt{2^2}=2$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule.
    $f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2}=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$
    $\quad$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui le $1-\ln(x)$.
    Or $1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1 \ssi x=\e$
    $1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
    Donc la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]0;\e]$ et décroissante sur l’intervalle $[\e;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Son maximum est donc atteint pour $x=\e$ et $f(\e)=\dfrac{\ln(\e)}{\e}=\e^{-1}$.
    $\quad$

Partie B

  1. On considère un entier naturel $n\pg 3$.
    La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[1;\e]$.
    $f(1)=0<\dfrac{1}{n}$ et $f(\e)=\e^{-1}\approx 0,37$ donc $f(\e)>\dfrac{1}{n}$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=\dfrac{1}{n}$ possède une unique solution $\alpha_n$ sur l’intervalle $[1;\e]$.
    $\quad$
  2. a. Il semblerait que la suite $\left(\alpha_n\right)$ soit décroissante.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n\pg 3$.
    On sait que $f\left(\alpha_n\right)=\dfrac{1}{n}$ et $f\left(\alpha_{n+1}\right)=\dfrac{1}{n+1}$
    Or $\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}$ donc $f\left(\alpha_n\right)>f\left(\alpha_{n+1}\right)$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[1;\e]$. Par conséquent $\alpha_n>\alpha_{n+1}$.
    La suite $\left(\alpha_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(\alpha_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$ (les $\alpha_n$ appartiennent à l’intervalle $[1;\e]$); elle converge donc.
    $\quad$
  3. a. D’une part $\dfrac{\ln\left(\beta_n\right)}{\beta_n}=\dfrac{1}{n}$ soit $\ln\left(\beta_n\right)=\dfrac{\beta_n}{n}$.
    D’autre part la suite $\left(\beta_n\right)$ est croissante.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 3$ on a :
    $\beta_n\pg \beta_3$ donc $ \ln\left(\beta_n\right)\pg \ln\left(\beta_3\right)$ puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    Ainsi $\dfrac{\beta_n}{n}\pg \dfrac{\beta_3}{3}$
    D’où $\beta_n\pg n\dfrac{\beta_3}{3}$
    $\quad$
    b. Puisque $\beta_3>0$ on a $\lim\limits_{n\to +\infty} n\dfrac{\beta_3}{3}=+\infty$.
    On sait que $\beta_n\pg n\dfrac{\beta_3}{3}$
    D’après le théorème de comparaison $\lim\limits_{n\to +\infty} \beta_n=+\infty$.
    $\quad$

 

 

Ex 5 obl

Exercice 5

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $\vect{AB}(2;0;4)$ et $\vect{AC}(0;-1;1)$
    $\dfrac{0}{2}\neq \dfrac{1}{4}$
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
    Par conséquent les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
    b. $\vect{AB}.\vect{AC}=0+0+4=4$
    $\quad$
    c. On a également $\vect{AB}.\vect{AC}=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}$
    Or $AB=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{20}$
    et $AC=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}$
    Donc $\vect{AB}.\vect{AC}=\sqrt{20}\times \sqrt{2}\times \cos \widehat{BAC}$
    On en déduit donc $\sqrt{40}\times \cos \widehat{BAC}=4$
    Soit $ \cos \widehat{BAC}=\dfrac{4}{\sqrt{40}}$
    et $\widehat{BAC}\approx 51$°.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}.\vect{AB}=4+0-4=0$
    $\vec{n}.\vect{AC}=0+1-1=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$; il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme :
    $2x-y-z+d=0$
    Le point $A(-1;2;0)$ appartient à ce plan donc :
    $-2-2-0+d=0\ssi d=4$
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x-y-z+4=0$.
    $\quad$
  3. a. Le plan $\mathscr{P}_2$ est parallèle au plan d’équation $x-2z+6=0$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}_2$ est donc de la forme $x-2z+d=0$.
    Le point $O$ appartient à ce plan donc $0-0+d=0 \ssi d=0$.
    Une équation cartésienne de $\mathscr{P}_2$ est donc $x-2z=0$ soit $x=2z$.
    $\quad$
    b. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_1$ est $\vec{n}_1(3;1;-2)$ et un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_2$ est $\vec{n}_2(1;0;-2)$.
    Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont par conséquent sécants.
    $\quad$
    c. Montrons que la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    Pour tout réel $t$ on a :
    $\bullet$ $3\times 2t+(-4t-3)-2t+3=6t-4t-3-2t+3=0$ : la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_1$
    $\bullet$ $2t-2t=0$ : la droite $\mathscr{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_2$
    La droite $\mathscr{D}$ est donc incluse dans les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    $\mathscr{D}$ est par conséquent l’intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    $\quad$
  4. Résolvons le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\2x-y-z+4=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\2(2t)-(-4t-3)-t+4=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\4t+4t+3-t+4=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\7t+7=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2t\\y=-4t-3\\z=t\\t=-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=-1\\x=-2\\y=1\\z=-1\end{cases}
    \end{align*}$
    La droite $\mathscr{D}$ coupe donc le plan au point $I(-2;1;-1)$.
    $\quad$

 

 

Ex 5 spé

Exercice 5

  1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=9\times 2^n-6$
    Initialisation : $u_0=3$ et $9\times 2^0-6=9-6=3$
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=9\times 2^n-6$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n+6\\
    &=2\left(9\times 2^n-6\right)+6\\
    &=9\times 2^{n+1}-12+6\\
    &=9\times 2^{n+1}-6
    \end{align*}$
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=9\times 2^n-6$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier $n\pg 1$ on a
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6\\
    &=3\times 3\times 2\times 2^{n-1}-6 (*)\\
    &=6 \left(3\times 2^{n-1}-1\right)
    \end{align*}$
    $(*)$ $2^{n-1}$ est un nombre entier puisque $n\pg 1$
    Ainsi $u_n$ est divisible par $6$.
    $\quad$
  3. On a $u_6=9\times 2^6-6=570$ donc $v_6=\dfrac{570}{6}=95$ qui est divisible par $5$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} v_{n+1}-2v_n&=\dfrac{u_{n+1}}{6}-\dfrac{2u_n}{6} \\
    &=\dfrac{9\times 2^{n+1}-6}{6}-\dfrac{9\times 2^{n+1}-12}{6} \\
    &=\dfrac{9\times 2^{n+1}-6-9\times 2^{n+1}+12}{6}\\
    &=\dfrac{6}{6}\\
    &=1
    \end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après le théorème de Bezout cela signifie donc que les nombres $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
    c. Pour tout entier $n\pg 1$ on a $u_n=6v_n$ et $u_{n+1}=6v_{n+1}$
    Comme $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux et que $6$ divise $u_n$  alors le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$ est $6$.
    $\quad$
  5. a. $2^4=16=15+1\equiv 1~~[5]$
    $\quad$
    b. S’il existe un entier naturel $k$ tel que $n=4k+2$ alors :
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k+2}-6\\
    &=9\times 2^{4k}\times 2^2-6\\
    &=36\times \left(2^4\right)^k-6\\
    &\equiv 1\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv -5~~[5] \\
    &\equiv 0~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ est donc divisible par $5$ si $n$ est de la forme $4k+2$.
    $\quad$
    c. $\bullet$ Si $n$ est de la forme $4k$ alors
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k}-6\\
    &=9\times 2^{4k}-6\\
    &\equiv 9\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv 4-6~~[5]\\
    &\equiv -2~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ n’est pas divisible par $5$
    $\quad$
    $\bullet$ Si $n$ est de la forme $4k+1$ alors
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k+1}-6\\
    &=9\times 2^{4k}\times 2-6\\
    &=18\times 2^{4k}\times 2-6\\
    &\equiv 18\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv 3-6~~[5]\\
    &\equiv -3~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ n’est pas divisible par $5$
    $\quad$
    $\bullet$ Si $n$ est de la forme $4k+3$ alors
    $\begin{align*} u_n&=9\times 2^n-6 \\
    &=9\times 2^{4k+3}-6\\
    &=9\times 2^{4k}\times 2^3-6\\
    &=72\times 2^{4k}\times 2-6\\
    &\equiv 72\times 1^k-6~~[5]\\
    &\equiv 2-6~~[5]\\
    &\equiv -4~~[5]
    \end{align*}$
    $u_n$ n’est pas divisible par $5$
    $\quad$
    par conséquent $u_n$ n’est pas divisible par $5$ pour les autres valeurs de $n$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1    3 points

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct.
On considère l’équation $$(E) :\quad z^4 + 2z^3 – z – 2 = 0$$ ayant pour inconnue le nombre complexe $z$.

  1. Donner une solution entière de $(E)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, $$z^4 + 2z^3-z-2 = \left(z^2 + z-2\right)\left(z^2 + z + 1\right).$$
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $(E)$ dans l’ensemble des nombres complexes.
    $\quad$
  4. Les solutions de l’équation $(E)$ sont les affixes de quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ du plan complexe tels que $ABCD$ est un quadrilatère non croisé.
    Le quadrilatère $ABCD$ est-il un losange ? Justifier.
    $\quad$

Exercice 2    4 points

Dans une usine automobile, certaines pièces métalliques sont recouvertes d’une fine couche de nickel qui les protège contre la corrosion et l’usure. Le procédé utilisé est un nickelage par électrolyse.

On admet que la variable aléatoire $X$, qui à chaque pièce traitée associe l’épaisseur de nickel déposé, suit la loi normale d’espérance $\mu_1 = 25$ micromètres (µm) et d’écart type $\sigma_1$.

Une pièce est conforme si l’épaisseur de nickel déposé est comprise entre $22,8$ µm et $27,2$ µm.

La fonction de densité de probabilité de $X$ est représentée ci-dessous. On a pu déterminer que $P(X > 27,2) = 0,023$.

 

  1. a. Déterminer la probabilité qu’une pièce soit conforme.
    $\quad$
    b. Justifier que $1,1$ est une valeur approchée de $\sigma_1$ à $10^{-1}$ près.
    $\quad$
    c. Sachant qu’une pièce est conforme, calculer la probabilité que l’épaisseur de nickel déposé sur celle-ci soit inférieure à $24$ µm. Arrondir à $10^{-3}$.
    $\quad$
  2. Une équipe d’ingénieurs propose un autre procédé de nickelage, obtenu par réaction chimique sans aucune source de courant. L’équipe affirme que ce nouveau procédé permet théoriquement d’obtenir $98\%$ de pièces conformes.
    La variable aléatoire $Y$ qui, à chaque pièce traitée avec ce nouveau procédé, associe l’épaisseur de nickel déposé suit la loi normale d’espérance $\mu_2 = 25 $ µm et d’écart-type $\sigma_2$.
    a. En admettant l’affirmation ci-dessus, comparer $\sigma_1$ et $\sigma_2$.
    $\quad$
    b. Un contrôle qualité évalue le nouveau procédé; il révèle que sur 500 pièces testées, $15$ ne sont pas conformes.
    Au seuil de $95\%$, peut-on rejeter l’affirmation de l’équipe d’ingénieurs ?
    $\quad$

Exercice 3    3 points

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par $$f(x) = e^x\text{ et } g(x) = \e^{- x}$$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_g$ celle de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.
Pour tout réel $a$, on note $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$ et $N$ le point de $\mathcal{C}_g$ d’abscisse $a$.
La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ coupe l’axe des abscisses en $P$, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ coupe l’axe des abscisses en $Q$.
À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes valeurs de $a$ et on a relevé dans un tableur la longueur du segment $[PQ]$ pour chacune de ces valeurs de $a$.

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante.

  1. Démontrer que la tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$.
    $\quad$
  2. a. Que peut-on conjecturer pour la longueur $PQ$ ?
    $\quad$
    b. Démontrer cette conjecture.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Dans tout l’exercice, $n$ désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l’exercice est d’étudier l’équation $$\left(E_n\right) :  \dfrac{\ln (x)}{x} = \dfrac{1}{n}$$ ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif $x$.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $$f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
On a donné en ANNEXE, qui n’est pas à rendre, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

  1. Étudier les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer son maximum.
    $\quad$

Partie B

  1. Montrer que, pour $n \pg 3$, l’équation $f(x) = \dfrac{1}{n}$ possède une unique solution sur $[1;\e]$ notée $\alpha_n$.
    $\quad$
  2. D’après ce qui précède, pour tout entier $n \pg 3$, le nombre réel $\alpha_n$ est solution de l’équation $\left(E_n\right)$.
    a. Sur le graphique sont tracées les droites $D_3$, $D_4$ et $D_5$ d’équations respectives $y= \dfrac{1}{3}$, $y= \dfrac{1}{4}$, $y= \dfrac{1}{5}$.
    Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
    b. Comparer, pour tout entier $n \pg 3$, $f\left(\alpha_n\right)$ et $f\left(\alpha_{n+1}\right)$.
    Déterminer le sens de variation de la suite $\left(\alpha_n\right)$.
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(\alpha_n\right)$ converge.
    Il n’est pas demandé de calculer sa limite.
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier $n \pg 3$, l’équation $\left(E_n\right)$ possède une autre solution $\beta_n$ telle que $$1 \pp \alpha_n \pp \e \pp \beta_n$$
    a. On admet que la suite $\left(\beta_n\right)$ est croissante.
    Établir que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $3$, $$\beta_n \pg n\dfrac{\beta_3}{3}$$
    $\quad$
    b. En déduire la limite de la suite $\left(\beta_n\right)$.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On note $\R$ l’ensemble des nombres réels.
L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(- 1;2;0)$, $B(1;2;4)$ et $C(-1;1;1)$.

  1. a. Démontrer que les points $A, B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
    b. Calculer le produit scalaire $\vect{AB} \cdot \vect{AC}$.
    $\quad$
    c. En déduire la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$, arrondie au degré.
    $\quad$
  2. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}$.
    a. Démontrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  3. Soient $\mathcal{P}_1$ le plan d’équation $3x+y-2z+3 = 0$ et $\mathscr{P}_2$ le plan passant par $O$ et parallèle au plan d’équation $x-2z+6 = 0$.
    a. Démontrer que le plan $\mathscr{P}_2$ a pour équation $x = 2z$.
    $\quad$
    b. Démontrer que les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont sécants.
    $\quad$
    c. Soit la droite $\mathscr{D}$ dont un système d’équations paramétriques est $$\begin{cases}x=2t\\y=-4t-3\\z=t\end{cases}, t \in \R$$
    Démontrer que $\mathscr{D}$ est l’intersection des plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$.
    $\quad$
  4. Démontrer que la droite $\mathscr{D}$ coupe le plan $(ABC)$ en un point $I$ dont on déterminera les coordonnées.
    $\quad$

Exercice 5    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite définie par son premier terme $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par $$u_{n+1} = 2u_n + 6$$

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n = 9 \times 2^n-6$$
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier $n \pg 1$, $u_n$ est divisible par $6$.
    $\quad$

On définit la suite d’entiers $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n \pg 1$, $v_n = \dfrac{u_n}{6}$.

  1. On considère l’affirmation : “pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_n$ est un nombre premier”.
    Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout entier $n \pg 1$, $v_{n+1}-2v_n = 1$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier $n \pg 1$, $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
    c. En déduire, pour tout entier $n \pg 1$, le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $2^4 \equiv 1~~[5]$.
    $\quad$
    b. En déduire que si $n$ est de la forme $4k + 2$ avec $k$ entier naturel, alors $u_n$ est divisible par $5$.
    $\quad$
    c. Le nombre $u_n$ est-il divisible par 5 pour les autres valeurs de l’entier naturel $n$ ?
    Justifier.
    $\quad$