Bac S – Antilles Guyane – Juin 2018

Antilles Guyane – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(C\cap H)=0,3\times 0,459=0,137~7$.
    La probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune est $0,137~7$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(H)&=p(C\cap H)+p(S\cap H)+p(E\cap H) \\
    &=0,3\times 0,459+0,5\times 0,8 +0,2\times 0,25 \\
    &=0,137~7+0,4+0,05 \\
    &=0,587~7
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_H(S)&=\dfrac{p(S\cap H)}{p(H)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,8}{0,587~7} \\
    &\approx 0,681
    \end{align*}$
    La probabilité qu’un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin est environ égale à $0,681$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $p(3~400  \pp X \pp 4~600)=p(\mu-2\sigma \pp X\pp \mu+2\sigma) \approx 0,954$
    $\quad$
  2. $p(X \pg 4~500)=0,5-p(4~000\pp X \pp 4~500) \approx 0,048$
    $\quad$

Partie C

On a $n=200$ et $p=0,5$.
Donc $n \pg 30$, $np=100 \pg 5$ et $n(1-p)=100 \pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{200} &=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}};0,5+1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}}\right] \\
&\approx [0,431;0,570]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{106}{200}=0,53 \in I_{200}$.

Ce résultat ne remet pas en cause l’affirmation de l’exploitant.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Les plans $(FGH)$ et $(BCD)$ sont parallèles.
    La droite $(LM)$ est l’intersection du plan $(FGH)$ avec le plan $(SLM)$.
    La droite $(BD)$ est l’intersection du plan $(BCD)$ avec le plan $(SLM)$.
    Par conséquent les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Dans le repère $\left(A;\vect{AI},\vect{AJ},\vect{AK}\right)$ on a :
    $F(6;0;6)$, $E(0;0;6)$.
    Par conséquent $\vect{FE}(-6;0;0)$.
    Donc :
    $$\begin{align*} \vect{FL}=\dfrac{2}{3}\vect{FE} &\ssi \begin{cases} x_L-6=\dfrac{2}{3}\times (-6) \\y_L-0=\dfrac{2}{3}\times 0 \\z_L-6=\dfrac{2}{3}\times 0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x_L-6=-4\\y_L=0\\z_L=6\end{cases}
    \end{align*}$$
    Les coordonnées du point $L$ sont donc $(2;0;6)$.
    $\quad$
  3. a. On a $B(6;0;0)$ et $\vect{BL}(-4;0;6)$
    Une représentation paramétrique de la droite $(BL)$ est :
    $$\begin{cases} x=6-4t\\y=0\\z=6t\end{cases}, \quad t \in \R$$
    $\quad$
    b. Le point $S$ appartient à la droite $(AE)$. Ses coordonnées sont donc $\left(0;0;z_S\right)$.
    De plus le point $S$ appartient à la droite $(BL)$.
    On a donc :
    $$\begin{align*} \begin{cases} 0=6-4t\\x_S=0\\y_S=0\\z_S=6t\end{cases} &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{3}{2}\\x_S=0\\y_S=0\\z_S=\dfrac{3}{2}\times 6\end{cases}
    \end{align*}$$
    Le point $S$ a donc pour coordonnées $(0;0;9)$.
    $\quad$
  4. a. On a $B(6;0;0)$ et $D(0;6;0)$. Par conséquent $\vect{BD}(-6;6;0)$.
    De plus $\vect{BL}(-4;0;6)$.
    Ainsi $\vec{n}.\vect{BD}=3\times (-6)+3\times 6+2\times 0=0$
    et $\vec{n}.\vect{BL}=3\times (-4)+3\times 0+2\times 6=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle) du plan $(BDL)$.
    $\vec{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(BDL)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est ainsi de la forme $$3x+3y+2z+d=0$$
    Le point $B(6;0;0)$ appartient à ce plan.
    Donc $3\times 6+0+0+d=0 \ssi d=-18$.
    Une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est par conséquent $$3x+3y+2z-18=0$$
    $\quad$
    c. Le point $M$ est le point d’intersection de la droite $(EH)$ et du plan $(BDL)$.
    Ses coordonnées sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x=0\\y=s\\z=6\\3x+3y+2z-18=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\\0+3s+12-18=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\\3s=6 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} s=2\\x=0\\y=2\\z=6\end{cases}
    \end{align*}$
    Le point $M$ a pour coordonnées $(0;2;6)$.
    $\quad$
  5. On a $\vect{EL}(2;0;0)$ donc $EL=2$
    et $\vect{EM}(0;2;0)$ donc $EM=2$
    L’aire du triangle $ELM$ est donc $\mathscr{A}=\dfrac{2\times 2}{2}=2$ m$^2$.
    De plus $\vect{ES}(0;0;3)$ donc $ES=3$.
    Le volume du tétraèdre $SELM$ est $V=\dfrac{2\times 3}{3}=2$ m$^3$.
    $\quad$
  6. On a $\vect{LS}(-2;0;3)$ et $\vect{LE}(-2;0;0)$.
    Par conséquent $LS=\sqrt{(-2)^2+0^2+3^2}=\sqrt{13}$ et $LE=2$
    D’une part $\vect{LS}.\vect{LE}=-2\times (-2)+0+0=4$
    D’autre part $\vect{LS}.\vect{LE}=2\sqrt{13}\cos\widehat{SLE}$
    Donc $\cos\widehat{SLE}=\dfrac{4}{2\sqrt{13}}$
    Ainsi $\widehat{SLE} \approx 56,3$°.
    La contrainte d’angle est respectée.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A – Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Pour tout réel $x$ on a $-1 \pp \cos x \pp 1$ donc $-1\pp -\cos x \pp 1$
    et $-1\pp \sin x \pp 1$
    Ainsi $-1-1+1 \pp -\cos x+\sin x+1 \pp 1+1+1 \ssi -1\pp -\cos x+\sin x+1 \pp 3$
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$.
    On a alors $-\e^{-x} \pp f(x) \pp 3\e^{-x}$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty}-\e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} 3\e^{-x}=0$.
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\e^{-x}\left(-\cos x+\sin x+1\right)+\e^{-x}\left(-(-\sin x)+\cos x\right) \\
    &=\left(\cos x-\sin x-1+\sin x+\cos x\right)\e^{-x} \\
    &=\left(2\cos x-1\right)\e^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $[-\pi;\pi]$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2\cos x-1$.
    Or, sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$ :
    $2\cos x-1=0 \ssi \cos x =0,5 \ssi \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{3}\\\text{ou}\\x=-\dfrac{\pi}{3}\end{cases}$
    et $2\cos x-1>0 \ssi \cos x>0,5 \ssi x \in \left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right[$.
    Ainsi sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$, $f'(x)<0$ sur $\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est donc décroissante sur les intervalles $\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right[$ et $\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$ et elle est croissante sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right[$.
    $\quad$

Partie B – Aire du logo

  1. Pour tout réel $x$ on a : $f(x)-g(x)=\e^{-x}\left(\sin x+1\right)$.
    Or $-1\pp \sin x\pp 1$ donc $0\pp \sin x +1 \pp 2$.
    Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$, cela signifie donc que $f(x)-g(x) \pg 0$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ est par conséquent toujours au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  2. a.

    $\quad$
    b. La fonction définie sur $\R$ par $f(x)-g(x)$ est positive (question B.1) et continue (somme de fonctions continues sur $\R$).
    Par conséquent l’aire du domaine $\mathcal{D}$ est :
    $\begin{align*} \ds \mathscr{A}&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \left(f(x)-g(x)\right) \dx \\
    &=H\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)-H\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \\
    &=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\e^{-3\pi/2}-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\e^{\pi/2} \\
    &=-\dfrac{1}{2}\e^{-3\pi/2}+\dfrac{1}{2}\e^{\pi/2} \text{ u.a.}
    \end{align*}$
    Or $1$ u.a. $=2^2=4$ cm$^2$.
    Ainsi $\mathscr{A}\approx 9,60$ cm$^2$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. On a $u_1=(1-0,05)\times (u_0+80)=0,95\times 3~080=2~926$.
    $\quad$
  2. $80$ cétacés arrivent dans la réserve sur la première période.
    On a ainsi $u_n+80$ cétacés.
    Il y a ensuite une de $5\%$ de son effectif sur une seconde période.
    Donc $u_{n+1}=0,95\left(u_n+80\right)=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=0,95*B2+76$.
    $\quad$
  4. a. Montrons ce résultat par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 3~000 \pg 1~520$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \pg 1~520$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \pg 1~520$
    $\begin{align*} u_n \pg 1~520 &\ssi 0,95u_n \pg 1~444 \\
    &\ssi 0,95u_n+76 \pg 1~520 \\
    &\ssi u_{n+1} \pg1~520
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 1~520$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel. On a alors :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,95u_n+76-u_n \\
    &=-0,05u_n+76 \\
    &\pp 0,05\times 1~520+76 \\
    &\pp 0
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~520$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~520 \ssi u_n=v_n+1~520$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~520 \\
    &=0,95u_n+76-1~520 \\
    &=0,95u_n-1~444 \\
    &=0,95\left(v_n+1~520\right)-1~444 \\
    &=0,95v_n+1~444-1~444 \\
    &=0,95v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-1~520=1~480$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $v_n=1~480\times 0,95^n$ et $u_n=v_n+1~520=1~480\times 0,95^n+1~520$.
    $\quad$
    c. On a $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~520$.
    $\quad$
  6. On obtient l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u \leftarrow 3~000 \\
    \text{Tant que } u>2~000 \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow n+1 \\u \leftarrow 0,95\times u+76 \end{array} \\
    \text{Fin de Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  7. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et tend vers $1~520<2~000$.
    La réserve marine fermera donc un jour.
    On veut déterminer la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que
    $\begin{align*} u_n \pp 2~000 &\ssi 1~480\times 0,95^n+1~520 \pp 2~000 \\
    &\ssi 1~480\times 0,95^n \pp 480 \\
    &\ssi 0,95^n \pp \dfrac{12}{37} \\
    &\ssi n\ln(0,95) \pp \ln \dfrac{12}{37} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}\approx 21,95$.
    Donc $n \pg 22$.
    La réserve marine fermera en 2039.
    $\quad$

Ex spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. On appelle $L$ l’état “le pêcheur possède une carte de pêche libre” et $Q$ l’état “le pêcheur possède une carte de pêche avec quota”.
    On obtient donc le graphe probabiliste suivant :

    Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\ell_{n+1}=0,65\ell_n+0,45q_n$ et $q_{n+1}=0,55q_n+0,35\ell$.
    Par conséquent $\begin{pmatrix} \ell_{n+1}\\q_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,65&0,45\\0,35&0,55 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ell_n\\ q_n \end{pmatrix}$
    Soit $P_{n+1}=MP_n$.
    $\quad$
  2. En 2019, on a $n=2$.
    Donc $P_2=M\times P_1=M^2P_0=\begin{pmatrix}0,556\\0,444\end{pmatrix}$.
    Ainsi $q_2=0,444$.
    $44,4\%$ des pêcheurs achètent une carte avec quota en 2019.
    $\quad$
  3. a. On a $TQ=QT=\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$.
    La matrice $Q$ est donc inversible et $Q^{-1}=T$.
    $\quad$
    b. On a $D=Q^{-1}MQ \ssi QDQ^{-1}=M$.
    $\quad$
    Montrons par récurrence sur $n$ que $M^n=QD^nQ^{-1}$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $QD^1Q^{-1}=QDQ^{-1}=M$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=QD^nQ^{-1}$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $M^{n+1}=QD^{n+1}Q^{-1}$.
    Alors
    $\begin{align*} M^{n+1}&=M\times M^n \\
    &=QDQ^{-1}\times QD^nQ^{-1} \\
    &=QDD^nQ^{-1} \\
    &=QD^{n+1}Q^{-1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $M^n=QD^nQ^{-1}$.
    $\quad$
  4. a. Montrons par récurrence sur $n$ que $P_n=M^nP_0$.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $P_1=MP_0$.
    La propriété est vraie ai rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $P_n=M^nP_0$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $P_{n+1}=M^{n+1}P_0$.
    $\begin{align*} P_{n+1}&=MP_n \\
    &=M\times M^nP_0 \\
    &=M^{n+1}P_0
    \end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $P_n+M^nP_0$.
    $\quad$
    b. Ainsi
    $P_{n}=M_n\begin{pmatrix}0,4\\0,6\end{pmatrix}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} \ell_n&=\dfrac{1}{16}\left[0,4\left(9+7\times 0,2^n\right)+0,6\left(9-9\times 0,2^n\right)\right] \\
    &=\dfrac{1}{16}\left(3,6+2,8\times 0,2^n+5,4-5,4\times 0,2^n\right) \\
    &=\dfrac{1}{16}\left(9-2,6\times 0,2^n\right) \\
    &=\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times 0,2^n
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ on a $\dfrac{13}{80}\times 0,2^n>0$
    Donc $\ell < \dfrac{9}{16}<0,6$
    La proportion de pêcheur achetant la carte de pêche libre ne dépassera jamais $60\%$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     5 points

L’exploitant d’une forêt communale décide d’abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants de la commune, soit à des entreprises. On admet que :

  • parmi les arbres abattus, $30 \%$ sont des chênes, $50 \%$ sont des sapins et les autres sont des arbres d’essence secondaire (ce qui signifie qu’ils sont de moindre valeur) ;
  • $45,9 \%$ des chênes et $80 \%$ des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune ;
  • les trois quarts des arbres d’essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.

Partie A

Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard.
On considère les événements suivants :

  • $C$ : « l’arbre abattu est un chêne » ;
  • $S$ : « l’arbre abattu est un sapin » ;
  • $E$ : « l’arbre abattu est un arbre d’essence secondaire » ;
  • $H$ : « l’arbre abattu est vendu à un habitant de la commune ».
  1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.
    $\quad$
  3. Justifier que la probabilité que l’arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à $0,587~7$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin ?
    On donnera le résultat arrondi à $10^{−3}$.
    $\quad$

Partie B

Le nombre d’arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d’espérance $\mu= 4~000$ et d’écart-type $\sigma = 300$.

  1. Déterminer la probabilité qu’il y ait entre $3~400$ et $4~600$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{−3}$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’il y ait plus de $4~500$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{−3}$.
    $\quad$

Partie C
L’exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de $1$ sapin pour $2$ arbres.
Sur une parcelle, on a compté $106$ sapins dans un échantillon de $200$ arbres.
Ce résultat remet-il en cause l’affirmation de l’exploitant ?
$\quad$

Exercice 2     5 points

Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d’un tétraèdre posé sur un cube de $6$ mètres d’arête.
Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AI},\vect{AJ},\vect{AK}\right)$ tel que : $I\in [AB]$, $J\in [AD]$, $K\in [AE]$ et $AI=AJ=AK=1$, l’unité graphique représentant $1$ mètre.
Les points $L,M$ et $S$ sont définis de la façon suivante :

  • $L$ est le point tel que $\vect{FL}=\dfrac{2}{3}\vect{FE}$;
  • $M$ est le point d’intersection du plan $(BDL)$ et de la droite $(EH)$;
  • $S$ est le point d’intersection des droites $(BL)$ et $(AK)$.
  1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2;0;6)$.
    $\quad$
  3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$ .
    $\quad$
    b. Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0; 0; 9)$.
    $\quad$
  4. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $(3;3;2)$.
    a. Vérifier que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(BDL)$.
    $\quad$
    b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est
    $$3x+3y+2z-18= 0$$
    $\quad$
    c. On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\end{cases}, \quad s\in\R$$
    Calculer les coordonnées du point $M$.
    $\quad$
  5. Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule suivante :
    $$V=\dfrac{1}{3}\times~Aire~de~la~base~\times~Hauteur$$
    $\quad$
  6. L’artiste souhaite que la mesure de l’angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre $55$° et $60$°.
    Cette contrainte d’angle est-elle respectée?
    $\quad$

Exercice 3     5 points

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt :

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par : $$f(x)=\e^{-x}(-\cos x+\sin x+1) \text{  et  } g(x)=-\e^{-x}\cos x$$
On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\R$.

Partie A – Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

  1. Justifier que, pour tout $x\in \R$ : $$-\e^{-x} \pp f(x) \pp 3\e^{-x}$$
    $\quad$
  2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout $x\in \R$, $f'(x)=\e^{-x}(2\cos x-1)$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  4. Dans cette question, on étudier la fonction $f$ sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$.
    a. Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l’intervalle $[-\pi;\pi]$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.
    $\quad$

Partie B – Aire du logo

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\Oij$. L’unité graphique est de $2$ centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

  1. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_g$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par : $$H(x)=\left(-\dfrac{\cos x}{2}-\dfrac{\sin x}{2}-1\right)\e^{-x}$$
    On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\e^{-x}$ sur $\R$.
    On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ et les droites d’équation $x=-\dfrac{\pi}{2}$ et $x=\dfrac{3\pi}{2}$.
    a. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^2$.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le directeur d’une réserve marine a recensé $3~000$ cétacés dans cette réserve au 1$\ier$ juin 2017.
Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine » ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2~000$.

Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

  • entre le 1$\ier$ juin et le 31 octobre, $80$ cétacés arrivent dans la réserve marine ;
  • entre le 1$\ier$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de $5 \%$ de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite $\left(u_n\right)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$\ier$ juin de l’année 2017$+n$. On a donc $u_0=3~000$.

  1. Justifier que $u_1=2~926$.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  3. À l’aide d’un tableur, on a calculé les $8$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l’unité.

    Quelle formule peut-on entrer dans la cellule $C2$ afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg 1~520$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
    $\quad$
  5. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-1~520$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1~480\times 0,95^n+1~520$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  6. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à $2~000$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 3~000\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n\leftarrow \ldots \ldots \\ u\leftarrow \ldots \ldots \end{array}\\
    \text{Fin de Tant que} \\
    \hline
    \end{array}$$
    La notation « $\leftarrow$ » correspond à une affectation de valeur, ainsi « n\leftarrow 0» signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$ ».
    $\quad$
  7. La réserve marine fermera-t-elle un jour? Si oui, déterminer l’année de la fermeture.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d’accréditation annuelle. Il existe deux types de carte :

  • une carte de pêche dite « libre » (le pêcheur n’est pas limité en nombre de poissons pêchés) ;
  • une carte de pêche dite « avec quota » (le pêcheur ne doit pas dépasser une certaine quantité hebdomadaire de poissons).

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d’année en année.
On note, pour l’année 2017$+?$ :

  • $\ell_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche libre ;
  • $q_n$ la proportion de pêcheurs possédant la carte de pêche avec quota.

On observe que :

  • chaque année, $65 \%$ des possesseurs de la carte de pêche libre achètent de nouveau une carte de pêche libre l’année suivante ;
  • chaque année, $45 \%$ des possesseurs de la carte de pêche avec quota achètent une carte de pêche libre l’année suivante ;
  • en 2017, $40 \%$ des pêcheurs ont acheté une carte de pêche libre. On a donc $\ell_0 = 0,4$ et $q_0 = 0,6$.

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} \ell_n\\q_n\end{pmatrix}$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix}0,65&0,45\\0,35&0,55\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

    En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
    a. Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.
    On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
    $\quad$
    b. Justifier que $M=QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $$M^n=QD^nQ^{-1}$$
    $\quad$
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
    $$M^n=\dfrac{1}{16}\begin{pmatrix}9+7\times 0,2^n&9-9\times 0,2^n\\7-7\times 0,2^n&7+9\times 0,2^n\end{pmatrix}$$
    a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
    $\quad$
    b. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ : $$\ell_n=\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times 0,2^n$$
    $\quad$
  5. La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle $60\%$?
    $\quad$