Exercice 1

Partie A

1. $\quad$
   
   $\quad$
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(V)&=P(E\cap V)+P\left(\conj{E}\cap V\right) \\
   &=0,9p+0,6(1-p)\\
   &=0,3p+0,6
   \end{align*}$
   $\quad$
3. a. On résout l’équation $0,3p+0,6=0,675 \ssi 0,3p=0,075 \ssi p = 0,25$
   $\quad$
   b. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_V(E)&=\dfrac{P(E\cap V)}{P(V)} \\
   &=\dfrac{0,25 \times 0,9}{0,675} \\
   &=\dfrac{1}{3}
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. L’écart-type le plus petit fournit la courbe dont le maximum est le plus grand.
   La droite d’équation $x=\mu$ est l’axe de symétrie pour chacune des courbes.
   Donc $\mu_V= 14$ et $\mu_C=16$.
   $\quad$
2. On calculer $P\left(10 \pp T_V \pp 15\right) \approx 0,8413$
   $\quad$
3. $\mu_V<15<\mu_C$ donc $P\left(T_V\pp 15\right) > 0,5$ et $P\left(T_C\pp 15\right) <0,5$
   Romane doit donc privilégier les trajets en vélo.
   $\quad$

Partie C

1. $\quad$
   $\begin{align*} P(X \pp b)&= \int_0^b f(t) \dt \\
   &=\int_0^b \lambda \e^{-\lambda t} \dt \\
   &=\left[-\e^{-\lambda t}\right]_0^b \\
   &=-\e^{-\lambda b}+1
   \end{align*}$
2. a. On sait que :
   $\begin{align*} P(X \pg 50)=0,9 &\ssi P(X \pp 50)=0,1 \\
   &\ssi 1-\e^{-50\lambda}=0,1 \\
   &\ssi \e^{-50\lambda}=0,9 \\
   &\ssi -50\lambda =\ln 0,9 \\
   &\ssi \lambda =-\dfrac{\ln 0,9}{50}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. On veut calculer $P_{X \pg 200}(X \pg 250)=P_{X \pg 200}(X \pg 200+50)=P(X \pg 50)=0,9$
   Car la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
   $\quad$

Exercice 2

1. On a, pour tout entier naturel $n$ :
   $z_{n+2}=\dfrac{\ic}{3}z_{n+1}=\dfrac{\ic}{3}\times \dfrac{\ic}{3}z_n = -\dfrac{1}{9}z_n$
   Par conséquent $\vect{OM_{n+2}}=-\dfrac{1}{9}\vect{OM_n}$.
   Les points $O$, $M_n$ et $M_{n+2}$ sont donc alignés.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on note :
   $r_n=OM_n=\left|z_n\right|$
   Ainsi :
   $\begin{align*} r_{n+1}&=\left|\dfrac{\ic}{3}z_n\right| \\
   &=\left|\dfrac{\ic}{3}\right|\times \left|z_n\right| \\
   &=\dfrac{1}{3} r_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(r_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $r_0=100$.
   $-1 < \dfrac{1}{3} < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} r_n=0$.
   Il existe donc un rang $n_0$ à partir duquel $r_n<1$ c’est-à-dire à partir duquel tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre $O$ et de rayon $1$.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$. Par conséquent la courbe $\mathscr{C}$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=0$.
   $\quad$
2. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur $[1;+\infty[$.
   $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{1}{x^2}\ln(x)+\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{x^2} \\
   &=\dfrac{-\ln(x)+1}{x^2}
   \end{align*}$
   $\quad$
3. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-\ln(x)+1$.
   $-\ln(x)+1=0 \ssi \ln(x)=1 \ssi x=\e$
   $-\ln(x)+1>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
   Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;\e]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[\e;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B

1. $\quad$
   $\begin{align*} u_0&=\int_1^2 \dfrac{1}{x}\ln(x) \dx \\
   &=\left[\dfrac{1}{2}\left(\ln(x)\right)^2\right]_1^2 \\
   &=\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2
   \end{align*}$
   Cela signifie donc que l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=2$ a une aire de $\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2$ u.a.
   $\quad$
2. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
   Par conséquent :
   $0 \pp \ln(x) \pp \ln(2) \ssi 0 \pp \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \pp \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$, la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(x)$ est continue et positive sur l’intervalle $[1;2]$.
   Donc, d’après la question précédente, pour tout entier naturel $n$ non nul :
   $\begin{align*} 0 \pp \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln(x) \pp \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)& \ssi 0 \pp u_n \pp \int_0^n \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2) \dx \\
   &\ssi 0 \pp u_n \pp \left[-\dfrac{\ln(2)}{n}\times \dfrac{1}{x^n}\right]_1^2 \\
   &\ssi 0 \pp u_n \pp -\dfrac{\ln(2)}{n}\left(\dfrac{1}{2^n}-1\right)\\
   &\ssi 0 \pp u_n \pp \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)
   \end{align*}$
   $\quad$
4. $-1<\dfrac{1}{2} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right) = 0$.
   D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =0$.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}-1\\0\\-6\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-3\\1\\-10\end{pmatrix}$. ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (une coordonnée nulle). Les points $A,B$ et $C$ définissent donc un plan.
   $\quad$
   b. $\vec{n}.\vect{AB}=-6+0+6=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=-18+8+10=0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
   c. Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$; il est normal à ce plan.
   Une équation du plan $(ABC)$ est donc de la forme $$6x+8y-z+d=0$$
   Le point $A(1;1;14)$ appartient à ce plan donc :
   $6+8-14+d=0 \ssi d=0$.
   Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $6x+8y-z=0$.
   $\quad$
2. a. Un vecteur directeur de la droite $\Delta$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   b. Regardons si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux.
   $\vec{u}.\vec{n}=12+8-4=16\neq 0$.
   La droite $\Delta$ n’est donc pas parallèle au plan $(ABC)$; ils sont donc sécants.
   $\quad$
3. Soit $M(x;y;z)$ un éventuel point d’intersection de l’ensemble $(E)$ avec le plan $(ABC)$.
   Ses coordonnées sont donc solutions du système :
   $\begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6x+8y-z=0\end{cases} \ssi \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+6t+8t+8-2t=0\end{cases} \ssi \begin{cases} x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\\6t^3+12t+8=0\end{cases}$
   On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t)=6t^3+12t+8$.
   La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme (donc continue sur $\R$).
   $f'(t)=18t^2+12>0$ (somme de termes positifs).
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
   De plus, d’après la limite des termes de plus haut degré on a :
   $\lim\limits_{x \to -\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to -\infty} 6t^3=-\infty$
   $\lim\limits_{x \to +\infty} f(t)=\lim\limits_{x \to +\infty} 6t^3=+\infty$
   Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=0$ possède une unique solution sur $\R$.
   Il existe donc un unique point $M$ qui appartient à la fois à l’ensemble $(E)$ et au plan $(ABC)$.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. $3(-p)+4p=-3p+4p=p$
   $\quad$
   b. Soit $(x;y)$ un couple solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
   $3(-p)+4p=p$ et $3x+4y=p$
   Par différence :
   $3(-p-x)+4(p-y)=0$ soit $3(p+x)=4(p-y)$.
   $3$ et $4$ sont premiers entre eux. Donc d’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que :
   $p+x=4k$ et $p-y=3k$ soit $x=4k-p$ et $y=p-3k$.
   Réciproquement, on considère un entier relatif $k$.
   $3(-p+4k)+4(p-3k)=-3p+12k+4p-12k=p$.
   $\quad$
   Donc l’ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l’ensemble des couples de la forme $(-p+4k;p-3k)$ où $k$ est un entier relatif.
2. a. On a donc $6x_0+8y_0-z_0=0 \ssi z_0=6x_0+8y_0 \ssi 2(3x_0+4y_0)$.
   Donc $z_0$ est pair.
   $\quad$
   b.$6x_0+8y_0-2p=0 \ssi 6x_0+8y_0=2p \ssi 3x_0+4y_0=p$
   Donc $\left(x_0;y_0\right)$ est solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
   $\quad$
   c. D’après la question 1.b. l’ensemble des points du plans $P$ à coordonnées entières sont les points de coordonnées $(-p+4k;p-3k;2p)$ où $k$ et $p$ sont des entiers relatifs.
   $\quad$
3. a. On a donc :
   $\begin{cases} x’=31x+75y+180z\\y’=56x+41y-144z\\z’=28x-30y+29z\end{cases}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} 6x’+8y’-z’&=6(31x+75y+180z)+8(56x+41y-144z)-(28x-30y+29z) \\
   &=186x+450y+1~080z+448x+328y-1~152z-28x+30y-29z \\
   &=606x+808y-101z\\
   &=101(6x+8y-z)
   \end{align*}$
   b. Si $M$ est un point du plan $P$ alors $6x+8y-z=0$.
   Par conséquent $101(6x+8y-z)=0$ et $M’$ est donc un point du plan $P$.
   $\quad$
   c. Un vecteur directeur de $\Delta$ est donc $\vec{n}\begin{pmatrix}6\\8\\-1\end{pmatrix}$.
   Une représentation paramétrique de $\Delta$ est alors $\begin{cases} x=6t\\y=8t\\z=-t\end{cases} \quad, t\in \R$.
   Supposons que le point $M$ appartienne à la droite $\Delta$. Il existe un réel $t$ tel que :
   $\begin{cases} x’=31\times 6t+75\times 8t-180t\\y’=56\times 6t+41\times 8t+144t\\z’=28\times 6t-30\times 8t-29t\end{cases}$
   soit $\begin{cases} x’=606t\\y’=808t\\z’=-101t\end{cases}$
   par conséquent $\begin{cases} x’=6\times 101t\\y’=8\times 101t\\z’=-101t\end{cases}$
   Le point $M’$ est un point de $\Delta$ de paramètre $101t$.
   $\quad$

 

Exercice 1    7 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et
son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A
Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo $9$ fois sur $10$.
Lorsque la journée n’est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo $6$ fois sur $10$.
La probabilité qu’une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est
notée $p$.
Pour une journée donnée, on note :

• $E$ l’événement “La journée est ensoleillée”;
• $V$ l’événement  “Romane se déplace en vélo”.

1. Construire l’arbre pondéré représentant la situation.
   $\quad$
2. Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d’une journée donnée est : $$P(V ) = 0,3p +0,6$$
   On constate que dans $67,5\%$ des cas, c’est en vélo que Romane se déplace
   entre son domicile et son lieu de travail.
   a. Calculer la valeur de $p$.
   $\quad$
   b. Sachant que Romane s’est déplacée en vélo, montrer que la probabilité
   que la journée soit ensoleillée est $\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$

Partie B
Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en
minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire $T_V$ suivant une loi normale d’espérance $\mu_V$ et d’écart-type $1$ minute.
Lorsqu’elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de
trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire $T_C$ suivant une loi normale d’espérance $\mu_C$ et d’écart-type $3$ minutes.

1. On nomme $\mathscr{C}_C$ et $\mathscr{C}_V$ les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires $T_V$ et $T_C$ représentées dans la figure ci-dessous.
   Déterminer, en justifiant votre réponse, $\mu_V$ et $\mu_C$ .
   
2. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre $10$ et $15$ minutes. Arrondir la réponse à $10^{-4}$.
   $\quad$
3. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de $15$ minutes pour se rendre au travail?
   $\quad$

Partie C

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule
dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable
aléatoire, notée $X$, suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, réel strictement positif.
La fonction de densité associée est donc la fonction f définie sur $[0;+\inf[$ par $f (t) = \lambda \e^{-\lambda t}$.

1. Soit $b$ un réel positif.
   Démontrer, à l’aide d’une intégrale, que $P(X \pp b) = 1−\e^{\lambda b}$.
   $\quad$
2. On sait que la probabilité que l’ampoule fonctionne encore après $50$ heures
   d’utilisation est $0,9$.
   a. En déduire la valeur exacte de $\lambda$.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l’ampoule
   soit supérieure à $250$ heures sachant que l’ampoule a déjà fonctionné
   $200$ heures.
   $\quad$

Exercice 2    3 points

Soit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par : $\begin{cases} z_0=100\\z_{n+1}=\dfrac{\ic}{3}z_n\quad \text{pour tout entier natuel }n\end{cases}$.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direc $\Ouv$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d’affixe $z_n$.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points $O,M_n$ et $M_{n+2}$ sont alignés.
   $\quad$
2. On rappelle qu’un disque de centre $A$ et de rayon $r$, où $r$ est un nombre réel positif, est l’ensemble des points $M$ du plan tels que $AM\pp r$.
   Démontrer que, à partir d’un certain rang, tous les points $M_n$ appartiennent au disque de centre $O$ et de rayon $1$.
   $\quad$

Exercice 3    5 points

Partie A

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[1;+\infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à $1$, $f(x)=\dfrac{1}{x}\ln(x)$.

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe $\mathscr{C}$ admet une asymptote horizontale.
   $\quad$
2. Déterminer la fonction dérivée $f’$ de la fonction $f$ sur $[1;+\inf[$.
   $\quad$
3. . Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $u_n=\ds \int_1^2 \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(x)\dx$ pour tout entier naturel $n$.

1. Démontrer que $u_0=\dfrac{1}{2}\left[\ln(2)\right]^2$.
   Interpréter graphiquement ce résultat.
   $\quad$
2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[1;2]$, on a :
   $$0 \pp \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(x) \pp \dfrac{1}{x^{n+1}}\ln(2)$$
   $\quad$
3. En déduire que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a :
   $$0\pp u_n\pp \dfrac{\ln(2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)$$
   $\quad$
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On note $\R$ l’ensemble des nombres réels.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(1;1;14)$, $B(0;1;8)$ et $C(-2;2;4)$ ainsi que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}6\\8\\-1\end{pmatrix}$.

1. a. Justifier que les points $A,B$ et$C$ définissent un plan.
   $\quad$
   b. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$.
   $\quad$
   c. Démontrer que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $6x+8y-z=0$.
   $\quad$
2. On considère la droite $\Delta$ des points $M$ dont les coordonnées $(x;y;z)$ sont données par :
   $$\begin{cases}x=2t-3\\y=t-\dfrac{1}{2}\\z=4t+2\end{cases}, \quad t\in \R$$
   a. Donner un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
   $\quad$
   b. La droite $\Delta$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants?
   $\quad$
3. Dans cette question, on considère l’ensemble $(E)$ des points $M$ dont les coordonnées $(x;y;z)$ sont données par : $$\begin{cases}x=t^3+t\\y=t+1\\z=2t\end{cases}, \quad t\in\R$$.
   Démontrer qu’il existe un unique point $M$ qui appartient à la fois à $(E)$ et à $(ABC)$.
   Il n’est pas demandé de déterminer ses coordonnées.
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Soit $p$ un entier relatif donné.
   On s’intéresse dans cette question à l’équation $\left(E_p\right)$
   $$3x+4y=p$$
   où $(x;y)$ est un couple d’entier relatifs.
   a. Vérifier que le couple $(-p;p)$ est une solution particulière de l’équation.
   $\quad$
   b. Démontrer que l’ensemble des solutions de $\left(E_p\right)$ est l’ensemble des couples de la forme $(-p+4k;p-3k)$ où $k$ est un entier relatif.
   $\quad$

Dans la suite de l’exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$. On considère le plan $\mathscr{P}$ d’équation cartésienne $6x+8y-z=0$.

2. Soit $M_0$ un point de coordonnées $\left(x_0;y_0;z_0\right)$ qui appartient au plan $\mathscr{P}$ et dont les trois coordonnées sont des entiers relatifs.
   a. Démontrer que $z_0$ est pair.
   $\quad$
   b. On pose $z_0=2p$ o ù $p$ est un entier relatif.
   Prouver que le couple $\left(x_0;y_0\right)$ est solution de l’équation $\left(E_p\right)$.
   $\quad$
3. En utilisant la question 1., déterminer l’ensemble des points du plan $\mathscr{p}$ à coordonnées entières.
   $\quad$
4. À tout point $M$ de coordonnées $(x;y;z)$, on associe le point $M’$ de coordonnées $\left(x’;y’;z’\right)$ avec :
   $$\begin{pmatrix}x’\\y’\\z’\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}31&75&180\\56&41&-144\\28&-30&29\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$
   a. Montrer que $6x’+8y’-z’=101(6x+8y-z)$.
   $\quad$
   b. En déduire que si le point $M$ est un point du plan $\mathscr{P}$, alors le point $M’$ est aussi un point du plan $\mathscr{P}$.
   $\quad$
   c. Soit $\Delta$ la droite perpendiculaire à $\mathscr{P}$ passant par $O$.
   Montrer que si le point $M$ appartient à $\Delta$, alors le point $M’$ appartient aussi à $\Delta$.
   $\quad$