Exercice 1

Partie A

1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
   
   $\quad$
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(C)&=p(B\cap C)+p\left(\conj{B}\cap C\right) \\
   &=0,4\times 0,6+0,6\times 0,7 \\
   &=0,66
   \end{align*}$
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_C(B)&=\dfrac{p(B\cap C)}{p(C)} \\
   &=\dfrac{0,4\times 0,6}{0,66} \\
   &=\dfrac{4}{11}\\
   &\approx 0,364
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. On veut calculer :
   $\begin{align*} p\left(X_1>247,5\right)&=p\left(247,5<X_1<251\right)+0,5 \\
   &\approx 0,960
   \end{align*}$
   La probabilité qu’un paquet prélevé au hasard dans la production soit conforme à la réglementation est donc environ égale à $0,96$.
   $\quad$
2. La variable $Z=\dfrac{X_2-\mu_2}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
   On cherche donc la valeur de $\mu_2$ telle que :
   $\begin{align*} p\left(X_2>247,5\right)=0,9&\ssi p\left(247,5<X_2<\mu_2\right)+0,5=0,9 \\
   &\ssi p\left(247,5<X_2<\mu_2\right)=0,4 \\
   &\ssi p\left(247,5-\mu_2<X_2-\mu_2<0\right)=0,4\\
   &\ssi p\left(247,5-\mu_2<X_2-\mu_2<\mu_2-247,5\right)=0,8\\
   &\ssi p\left(\dfrac{247,5-\mu_2}{2}<\dfrac{X_2-\mu_2}{2}<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,8\\
   &\ssi p\left(\dfrac{247,5-\mu_2}{2}<Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,8\\
   &\ssi 2p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)+1=0,8\\
   &\ssi 2p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=1,8\\
   &\ssi p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,9
   \end{align*}$
   À l’aide de la calculatrice on trouve $\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\approx 1,282$.
   Donc $\mu_2 \approx 250,064$.
   $\quad$

Partie C

On a $n=256$ et $p=0,98$.
Donc $n\pg 30$, $np=250,88\pg 5$ et $n(1-p)=5,12\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :

$\begin{align*} I_{256}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{256}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{256}}\right] \\
&\approx [0,962;0,998]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{248}{256}=0,968~75 \in I_{256}$.

Le résultat de ce contrôle ne remt donc pas en question l’affirmation de la dirigente.
$\quad$

Exercice 2

Partie A

1. D’après le graphique, il semblerait que $\lim\limits_{x\to -\infty} f_2(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}f_2(x)=0$.
   $\quad$
2. On peut conjecturer le tableau de variations suivant :
   
   $\quad$
3. Il semblerait qu’une équation de $T_2$ soit $y=-x+2$.
   $\quad$
4. Cf graphique
   $\quad$

Partie B

1. $\lim\limits_{x \to -\infty} x+m=-\infty$
   Or $\lim\limits_{x \to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
   Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_m(x)=-\infty$.
   $\quad$
   On a $f_m(x)=x\e^{-x}+m\e^{-x}$
   Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$.
   De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} X\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} x\e^{-x}=0$.Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f_m(x)=0$.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} {f_m}'(x)&=\e^{-x}-(x+m)\e^{-x} \\
   &=(-x-m+1)\e^{-x} \end{align*}$
   $\quad$
3. La fonction exponentielle est strictement positive.
   Par conséquent le signe de ${f_m}'(x)$ ne dépend que de celui de $-x-m+1$.
   Or $-x-m+1=0 \ssi x=1-m$ et $-x-m+1>0 \ssi x<1-m$.
   La fonction $f_m$ est donc croissante sur l’intervalle $]-\infty;1-m]$ et décroissante sur l’intervalle $[1-m;+\infty[$.
   $\quad$
4. a. Une équation de $T_m$ est $y={f_m}'(0)x+f_m(0)$
   Soit $y=(-m+1)x+m$
   $\quad$
   b. Il semblerait que le point de coordonnées $(1;1)$ appartienne à toutes les droites $T_m$.
   Vérifions cette conjecture : $(1-m)\times 1+m=1-m+m=1$.
   Toutes les droites $T_m$ passent donc par le point de coordonnées $(1;1)$.
   $\quad$
5. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f_m(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+m$.
   Or $x+m=0\ssi x=-m$ et $x+m>0 \ssi x>-m$.
   Ainsi :
   – sur l’intervalle $]-\infty;-m[$, on a $f_m(x)<0$;
   – on a $f_m(-m)=0$;
   – sur l’intervalle $]-m;+\infty[$, on a $f_m(x)>0$.
   $\quad$
6. a. Pour tout réel $x$ on a :
   $\ds \begin{align*} \int_{-2}^x f_2(t)\dt &=F_2(x)-F_2(-2) \\
   &=-(x+3)\e^{-x}+\e^{2} \end{align*}$
   $\quad$
   b. On a ainsi $\ds\int_{-2}^x f_2(t)\dt = -f_3(x)+\e^{2}$
   Or $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)=0$ donc $\ds \lim\limits_{x \to +\infty} \int_{-2}^x f_2(t)\dt=\e^2$.
   $\quad$

Exercice 3

1. Le point $I$ a pour coordonnées $(0;0;z)$. Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_1$.
   Donc $15z-9=0 \ssi z=\dfrac{3}{5}$
   Ainsi $I$ a pour coordonnées $(0;0;0,6)$.
   $\quad$
   Le point $J$ a pour coordonnées $(1,0,z)$.
   Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_1$.
   Donc $4+15z-9=0 \ssi z=\dfrac{1}{3}$.
   Le point $J$ a pour coordonnées $\left(1;0;\dfrac{1}{3}\right)$.
   $\quad$
2. Volume du prisme $BCKJADLI$ :
   $\begin{align*} V_1&=\dfrac{(BJ+AI)\times AB}{2}\times BC \\
   &=\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}}{2}
   &=\dfrac{7}{15}\end{align*}$
   $\quad$
   Volume du prisme $JKGFILHE$ : $V_2=V_{ABCDEFGH}-V_1=1-\dfrac{7}{15}=\dfrac{8}{15}$.
   $\quad$
3. Une équation d’un plan parallèle à $\mathscr{P}_1$ est de la forme $4x+15z-m=0$.
   Le point $I’$ a pour coordonnées $(0;0;z)$. Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_2$.
   Donc $15z-m=0 \ssi z=\dfrac{m}{15}$
   Ainsi $I’$ a pour coordonnées $\left(0;0;\dfrac{m}{15}\right)$.
   $\quad$
   Le point $J’$ a pour coordonnées $(1,0,z)$.
   Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_2$.
   Donc $4+15z-m=0 \ssi z=\dfrac{m-4}{15}$.
   Le point $J’$ a pour coordonnées $\left(1;0;\dfrac{m-4}{15}\right)$.
   $\quad$
   Volume du prisme $BCKJ’ADLI’$ :
   $\begin{align*} V’_1&=\dfrac{(BJ’+AI’)\times AB}{2}\times BC \\
   &=\dfrac{\dfrac{m-4}{15}+\dfrac{m}{15}}{2}
   &=\dfrac{2m-4}{30}\\
   &=\dfrac{m-2}{15}\end{align*}$
   $\quad$
   On veut que :
   $\begin{align*} V’_1=\dfrac{1}{2}&\ssi \dfrac{m-2}{15}=\dfrac{1}{2} \\
   &\ssi 2(m-2)=15 \\
   &\ssi 2m-4=15\\
   &\ssi 2m=19\\
   &\ssi m=9,5
   \end{align*}$
   $\quad$
   Une équation de $\mathscr{P}_2$ est donc $4x+15z-9,5=0$.
   $\quad$

 

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. Initialisation : On a $u_0=1 \pp \e^2$ puisque $\e^2 \approx 7,39$.
   Ainsi $1 \pp u_n \pp \e^2$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\pp u_n \pp \e^2$.
   Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\pp u_n \pp \e^2$.
   On a :
   $\begin{align*} 1\pp u_n \pp \e^2 &\ssi 1 \pp \sqrt{u_n} \pp \e \\
   &\ssi \e \pp \e \times \sqrt{u_n} \pp \e^2 \end{align*}$
   Or $1 \pp \e$.
   Donc $1 \pp u_{n+1} \pp \e^2$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_n \pp \e^2$.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*}u_{n+1}-u_n &=\e\times \sqrt{u_n}-u_n \\
   &=\sqrt{u_n}\left(\e-\sqrt{u_n}\right)
   \end{align*}$
   On sait que $u_n \pp \e^2$ donc $\sqrt{u_n} \pp \e$.
   Par conséquent $u_{n+1}-u_n \pg 0$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
   $\quad$
   b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\e^2$. Elle converge donc.
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}\right)-2 \\
   &=\ln\left(\e \times \sqrt{u_n}\right)-2 \\
   &=\ln \e+\ln\left(\sqrt{u_n}\right)-2 \\
   &=1+\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)-2 \\
   &=\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)-1\\
   &=\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(u_n\right)-2\right) \\
   &=\dfrac{1}{2}v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=-2$.
   $\quad$
   b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
   $v_n=-2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=-\dfrac{2}{2^n}=-\dfrac{1}{2^{n-1}}$.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_n=\ln\left(u_n\right)-2 &\ssi v_n+2=\ln\left(u_n\right) \\
   &\ssi u_n=\e^{v_n+2}
   \end{align*}$
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\e^{-\frac{1}{2^{n-1}}+2}$
   $\quad$
   d. On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}}=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\e^2$.
   $\quad$
4. Affirmation 1 : fausse
   On a $u_0=2~018$ et $u_1=\e\times \sqrt{2~018} \approx 122 < u_0$.
   $\quad$
   Affirmation 2 : vraie
   On a $u_0=2$ donc $1 \pp u_0 \pp \e^2$.
   On peut donc reprendre l’hérédité du raisonnement par récurrence de la question 1.
   $\quad$
   Affirmation 3 : fausse
   La suite est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n$ soit $\e\times \sqrt{u_n}=u_n$.
   On est donc ramené à résoudre l’équation $x=\e\times \sqrt{x}$
   Soit $x^2=x\e^2$
   Ainsi $x^2-x\e^2=0$
   D’où $x\left(x-\e^2\right)=0$.
   Cette équation possède deux solutions $0$ et $\e^2$.
   Si on choisit $u_0=\e^2$ alors $u_1=\e\times \sqrt{\e^2}=\e\times \e=\e^2$ et la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=3u_n+1 \ssi 1\times u_{n+1}-3\times u_n=1$.
   $1$ et $3$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, $u_n$ et $u_{n+1}$ le sont également.
   $\quad$
2. Si $u_n$ est pair alors il existe un entier naturel $a$ tel que $u_n=2a$.
   Ainsi $u_{n+1}=3\times 2a+1= 2\times 3a+1$. $u_{n+1}$ est donc impair.
   Si $u_n$ est impair alors il existe un entier naturel $a$ tel que $u_n=2a+1$.
   Ainsi $u_{n+1}=3\times (2a+1)+1=6a+3+1=2\times (3a+2)$. $u_{n+1}$ est donc pair.
   Les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont donc alternativement pairs et impairs.
   $\quad$
3. On a $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=4$, $u_3=13$, $u_4=40$ et $u_5=121$.
   $5$ est un nombre premier impair et $u_5=121=11^2$ n’est pas premier.
   L’affirmation est donc fausse.
   $\quad$
4. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $2u_0=0$ et $3^n-1=1-1=0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $2u_n=3^n-1$.
   Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $2u_{n+1}=3^{n+1}-1$.
   $\begin{align*} 2u_{n+1}&=2\times 3u_n+2 \\
   &=3\times 2u_n+2 \\
   &=3\times \left(3^n-1\right)+2 \\
   &=3^{n+1}-3+2 \\
   &=3^{n+1}-1
   \end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $2u_n=3^n-1$.
   $\quad$
   b. $\quad$
   $\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   n&3^n&3^n ~\text{modulo}~7 \\
   \hline
   1&3&3\\
   \hline
   2&9&2\\
   \hline
   3&27&6\\
   \hline
   4&81&4\\
   \hline
   5&243&5\\
   \hline
   6&729&1\\
   \hline
   \end{array}$
   Le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $3^n$ est congru à $1$ modulo $7$ est donc $6$.
   $\quad$
   c. On a $2u_{2~022}=3^{2~022}-1=3^{6\times 337}-1=\left(3^6\right)^{337}-1$.
   Par conséquent $2u_{2~022}\equiv 1^{337}-1 ~[7] \equiv 0~[7]$.
   Il existe donc un entier naturel $p$ tel que $2u_n=7q$.
   $2$ et $7$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss $7$ divise donc $u_{2~022}$.
   $\quad$
5. a. On a $u_0=0 \equiv 0~[5]$
   $u_1=1\equiv 1~[5]$
   $u_2=4 \equiv 4~[5]$
   $u_3=13 \equiv 3~[5]$
   $u_4=40\equiv 0~[5]$
   $u_5=121 \equiv 1~[5]$
   $\quad$
   b. On obtient :
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Reste de la division euclidienne de $m$ par $5$}&0&1&2&3&4\\
   \hline
   \text{Reste de la division euclidienne de $3m+1$ par $5$}&1&4&2&0&3\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   c. Si $u_n$ est congru à $4$ modulo $5$ alors $u_{n+1}=3u_n+1$ est congru à $3$ modulo $5$.
   Par conséquent $u_{n+2}=3u_{n+1}+1$ est congru à $0$ modulo $5$.
   Ainsi $u_{n+3}=3u_{n+2}+1$ est congru à $1$ modulo $5$.
   Donc $u_{n+4}=3u_{n+3}+1$ est congru à $4$ modulo $5$.
   $\quad$
   d. D’après les questions 5.a. et 5.b. le reste de la division euclidienne de $u_n$ par $5$ est successivement $0$,$1$,$4$ et $3$.
   Il n’existe donc d’entier naturel $n$ tel que le reste de la division euclidienne de $u_n$ par $5$ soit égal à $2$.
   $\quad$

Exercice 1     5 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, à $10^{-3}$.

Partie A

Elsa a préparé un grand saladier de billes de chocolat pour son anniversaire.
On y trouve :

• $40\%$ de billes au chocolat blanc, les autres étant au chocolat noir ;
• parmi les billes au chocolat blanc, $60\%$ sont fourrées au café ; les autres sont fourrées au praliné ;
• parmi les billes au chocolat noir, $70 \%$ sont fourrées au café ; les autres sont fourrées au praliné.

Un invité prend une bille de chocolat au hasard dans le saladier.
On définit les événements suivants :

• $B$ :  « l’invité prend une bille au chocolat blanc » ;
• $C$ : « l’invité prend une bille fourrée au café ».

1. Représenter la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
   $\quad$
2. Montrer que la probabilité que l’invité prenne une bille fourrée au café vaut $0,66$.
   $\quad$
3. Sachant que la bille est fourrée au café, quelle est la probabilité que l’invité ait pris une bille au chocolat blanc ?
   $\quad$

Partie B

La société Chococéan commercialise des bonbons au chocolat, qui sont conditionnés en paquets d’environ $250$ g par une machine. La réglementation exige qu’un tel paquet de bonbons au chocolat ait une masse supérieure à $247,5$ g.
La dirigeante de l’entreprise constate que, lorsqu’on prélève au hasard un paquet de bonbons au chocolat dans la production, sa masse, en grammes, peut être modélisée par une variable aléatoire $X_1$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu_1 = 251$ et d’écart-type $\sigma = 2$.

1. Calculer la probabilité qu’un paquet prélevé au hasard dans la production soit conforme à la réglementation.
   $\quad$
2. La dirigeante souhaiterait que $98 \%$ des paquets soient conformes à la réglementation. Cela nécessite un nouveau réglage de la machine, afin que la masse, en grammes, du paquet prélevé au hasard soit modélisée par une variable aléatoire $X_2$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu_2$ inconnue et d’écart-type $\sigma = 2$.
   Déterminer la valeur de $\mu_2$ répondant au souhait de la dirigeante.
   $\quad$

Partie C

La société procède à un réglage de la machine. La dirigeante affirme que désormais $98 \%$ des paquets produits sont conformes à la réglementation.
Une association de consommateurs fait peser $256$ paquets de bonbons au chocolat et en dénombre $248$ qui sont conformes à la réglementation.
Le résultat de ce contrôle remet-il en question l’affirmation de la dirigeante ? Justifier la réponse.
$\quad$

 

Exercice 2     6 points

On note $\R$ l’ensemble des nombres réels.

Partie A

Soit $f_2$ la fonction définie sur $\R$ par $f_2(x)=(x+2)\e^{-x}$. La courbe représentative de $f_2$, notée $\mathscr{C}_2$ est tracée dans un repère orthonormé sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.

Aucun justification ni aucun calcul ne sont attendus dans cette partie.

1. Conjecture les limites de $f_2$ en $-\infty$ et $+\infty$.
   $\quad$
2. Conjecturer le tableau de variations de $f_2$ à l’aide du graphique.
   $\quad$
3. Soit $T_2$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}_2$ au point d’abscisse $0$. Tracer cette tangente sur l’ANNEXE à rendre avec la copie, puis en conjecturer une équation par lecture graphique.
   $\quad$
4. Sur l’ANNEXE à rendre avec la copie, hachurer un domaine dont l’aire est donnée par l’intégrale $$\int_{-2}^6 f_2(t)\dt$$
   $\quad$

Partie B

Pour tout réel $m$, on note $f_m$ a fonction définie sur $\R$ par $f_m(x)=(x+m)\e^{-x}$ et $\mathscr{C}_m$ da courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Calculer les limites de $f_m$ en $-\infty$ et $+\infty$.
   $\quad$
2. On admet que $f_m$ est dérivable sur $\R$ et on note ${f_m}’$ sa dérivée.
   Montrer que, pour tout réel $x$, ${f_m}'(x)=(-x-m+1)\e^{-x}$.
   $\quad$
3. En déduire les variations de $f_m$ sur $\R$.
   $\quad$
4. a. Pour tout réel $m$, on note $T_m$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}_m$ au point d’abscisse $0$.
   Démontrer que $T_m$ a pour équation réduite $y=(1-m)x+m$.
   $\quad$
   b. Démontrer que toutes les droites $T_m$ passent par un même point dont on précisera les coordonnées.
   $\quad$
5. Étudier le signe de $f_m(x)$ pour tout réel $x$.
   $\quad$
6. On admet que la fonction $F_2$ définie sur $\R$ par $F_2(x)=-(x+3)\e^{-x}$ est une primitive de $f_2$ sur $\R$.
   a. Déterminer, en fonction de $x$, l’expression de $$\int_{-2}^x f_2(t)\dt$$
   $\quad$
   b. En déduire la valeur de $\lim\limits_{x \to +\infty}  \int_{-2}^x f_2(t) \dt$$
   $\quad$

ANNEXE

$\quad$

Exercice 3     4 points

On considère un cube $ABCDEFGH$. L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
La figure est donnée ci-dessous.

On note $\mathscr{P}_1$ le plan d’équation $4x+15z-9=0$.
La section $IJKL$ du cube $ABCDEFGH$ par le plan $\mathscr{P}_1$ est représentée sur la figure.

1. Déterminer les coordonnées des points $I$ et $J$.
   $\quad$
2. Le plan $\mathscr{P}_1$ partage le cube en deux prismes.
   Calculer le volume de chacun de ces deux prismes.
   $\quad$
3. Soit $M$ un point du segment $[EI]$.
   On cherche un plan $\mathscr{P}_2$ parallèle à $\mathscr{P}_1$ et passant par $M$ qui partage le cube en deux prismes de même volume.
   Déterminer une équation cartésienne de $\mathscr{P}_2$.
   $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$, et pour tout entier naturel $n$ $$u_{n+1}=\e\times \sqrt{u_n}$$

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$1 \pp u_n \pp \e^2$$
   $\quad$
2. a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   $\quad$
   b. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $$v_n=\ln\left(u_n\right)-2$$
   a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
   b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $$v_n=-\dfrac{1}{2^{n-1}}$$
   $\quad$
   c. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de l’entier naturel $n$.
   $\quad$
   d. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
4. Dans cette question, on s’interroge sur le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ si l’on choisit d’autres que $1$ pour $u_0$.
   Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.
   $\quad$
   Affirmation 1 : « Si $u_0 = 2~018$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. »
   $\quad$
   Affirmation 2 : « Si $u_0 = 2$, alors pour tout entier naturel $n$, $1 \pp u_n \pp \e^2$. »
   $\quad$
   Affirmation 3 : « La suite $\left(u_n\right)$ est constante si et seulement si $u_0 = 0$. »
   $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Soit $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n+1$.
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est entier.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
   $\quad$
2. Démontrer que les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont alternativement pairs et impairs.
   $\quad$
3. L’affirmation suivante est-elle vraie ? Justifier.
   Affirmation : « Si $p$ est un nombre premier impair, alors $u_p$ est premier. »
   $\quad$
4. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $2u_n = 3n − 1$.
   $\quad$
   b. Déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $3n$ est congru à $1$ modulo $7$.
   $\quad$
   c. En déduire que $u_{2~022}$ est divisible par $7$.
   $\quad$
5. a. Calculer le reste de la division euclidienne par $5$ de chacun des cinq premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
   b. Sans justification, recopier et compléter le tableau suivant : $\quad$
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Reste de la division euclidienne de $m$ par $5$}&0&1&2&3&4\\
   \hline
   \text{Reste de la division euclidienne de $3m+1$ par $5$}& \phantom{000}&\phantom{000}&\phantom{000}&\phantom{000}&\phantom{000}\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, si $u_n$ est congru à $4$ modulo $5$, alors $u_n+4$ est congru à $4$ modulo $5$.
   $\quad$
   d. Existe-t-il un entier naturel $n$ tel que le reste de la division euclidienne de $u_n$ par $5$ soit égal à $2$ ?
   $\quad$