Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2018

Antilles Guyane – Juin 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(C)&=p(B\cap C)+p\left(\conj{B}\cap C\right) \\
    &=0,4\times 0,6+0,6\times 0,7 \\
    &=0,66
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_C(B)&=\dfrac{p(B\cap C)}{p(C)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,6}{0,66} \\
    &=\dfrac{4}{11}\\
    &\approx 0,364
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(X_1>247,5\right)&=p\left(247,5<X_1<251\right)+0,5 \\
    &\approx 0,960
    \end{align*}$
    La probabilité qu’un paquet prélevé au hasard dans la production soit conforme à la réglementation est donc environ égale à $0,96$.
    $\quad$
  2. La variable $Z=\dfrac{X_2-\mu_2}{2}$ suit la loi normale centrée réduite.
    On cherche donc la valeur de $\mu_2$ telle que :
    $\begin{align*} p\left(X_2>247,5\right)=0,9&\ssi p\left(247,5<X_2<\mu_2\right)+0,5=0,9 \\
    &\ssi p\left(247,5<X_2<\mu_2\right)=0,4 \\
    &\ssi p\left(247,5-\mu_2<X_2-\mu_2<0\right)=0,4\\
    &\ssi p\left(247,5-\mu_2<X_2-\mu_2<\mu_2-247,5\right)=0,8\\
    &\ssi p\left(\dfrac{247,5-\mu_2}{2}<\dfrac{X_2-\mu_2}{2}<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,8\\
    &\ssi p\left(\dfrac{247,5-\mu_2}{2}<Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,8\\
    &\ssi 2p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)+1=0,8\\
    &\ssi 2p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=1,8\\
    &\ssi p\left(Z<\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\right)=0,9
    \end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice on trouve $\dfrac{\mu_2-247,5}{2}\approx 1,282$.
    Donc $\mu_2 \approx 250,064$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=256$ et $p=0,98$.
Donc $n\pg 30$, $np=250,88\pg 5$ et $n(1-p)=5,12\pg 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :

$\begin{align*} I_{256}&=\left[0,98-1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{256}};0,98+1,96\sqrt{\dfrac{0,98\times 0,02}{256}}\right] \\
&\approx [0,962;0,998]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{248}{256}=0,968~75 \in I_{256}$.

Le résultat de ce contrôle ne remt donc pas en question l’affirmation de la dirigente.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après le graphique, il semblerait que $\lim\limits_{x\to -\infty} f_2(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}f_2(x)=0$.
    $\quad$
  2. On peut conjecturer le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. Il semblerait qu’une équation de $T_2$ soit $y=-x+2$.
    $\quad$
  4. Cf graphique
    $\quad$

Partie B

  1. $\lim\limits_{x \to -\infty} x+m=-\infty$
    Or $\lim\limits_{x \to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to -\infty} f_m(x)=-\infty$.
    $\quad$
    On a $f_m(x)=x\e^{-x}+m\e^{-x}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty} X\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} x\e^{-x}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f_m(x)=0$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} {f_m}'(x)&=\e^{-x}-(x+m)\e^{-x} \\
    &=(-x-m+1)\e^{-x} \end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent le signe de ${f_m}'(x)$ ne dépend que de celui de $-x-m+1$.
    Or $-x-m+1=0 \ssi x=1-m$ et $-x-m+1>0 \ssi x<1-m$.
    La fonction $f_m$ est donc croissante sur l’intervalle $]-\infty;1-m]$ et décroissante sur l’intervalle $[1-m;+\infty[$.
    $\quad$
  4. a. Une équation de $T_m$ est $y={f_m}'(0)x+f_m(0)$
    Soit $y=(-m+1)x+m$
    $\quad$
    b. Il semblerait que le point de coordonnées $(1;1)$ appartienne à toutes les droites $T_m$.
    Vérifions cette conjecture : $(1-m)\times 1+m=1-m+m=1$.
    Toutes les droites $T_m$ passent donc par le point de coordonnées $(1;1)$.
    $\quad$
  5. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f_m(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+m$.
    Or $x+m=0\ssi x=-m$ et $x+m>0 \ssi x>-m$.
    Ainsi :
    – sur l’intervalle $]-\infty;-m[$, on a $f_m(x)<0$;
    – on a $f_m(-m)=0$;
    – sur l’intervalle $]-m;+\infty[$, on a $f_m(x)>0$.
    $\quad$
  6. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\ds \begin{align*} \int_{-2}^x f_2(t)\dt &=F_2(x)-F_2(-2) \\
    &=-(x+3)\e^{-x}+\e^{2} \end{align*}$
    $\quad$
    b. On a ainsi $\ds\int_{-2}^x f_2(t)\dt = -f_3(x)+\e^{2}$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} f_3(x)=0$ donc $\ds \lim\limits_{x \to +\infty} \int_{-2}^x f_2(t)\dt=\e^2$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Le point $I$ a pour coordonnées $(0;0;z)$. Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_1$.
    Donc $15z-9=0 \ssi z=\dfrac{3}{5}$
    Ainsi $I$ a pour coordonnées $(0;0;0,6)$.
    $\quad$
    Le point $J$ a pour coordonnées $(1,0,z)$.
    Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_1$.
    Donc $4+15z-9=0 \ssi z=\dfrac{1}{3}$.
    Le point $J$ a pour coordonnées $\left(1;0;\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  2. Volume du prisme $BCKJADLI$ :
    $\begin{align*} V_1&=\dfrac{(BJ+AI)\times AB}{2}\times BC \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}}{2}
    &=\dfrac{7}{15}\end{align*}$
    $\quad$
    Volume du prisme $JKGFILHE$ : $V_2=V_{ABCDEFGH}-V_1=1-\dfrac{7}{15}=\dfrac{8}{15}$.
    $\quad$
  3. Une équation d’un plan parallèle à $\mathscr{P}_1$ est de la forme $4x+15z-m=0$.
    Le point $I’$ a pour coordonnées $(0;0;z)$. Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_2$.
    Donc $15z-m=0 \ssi z=\dfrac{m}{15}$
    Ainsi $I’$ a pour coordonnées $\left(0;0;\dfrac{m}{15}\right)$.
    $\quad$
    Le point $J’$ a pour coordonnées $(1,0,z)$.
    Il appartient de plus au plan $\mathscr{P}_2$.
    Donc $4+15z-m=0 \ssi z=\dfrac{m-4}{15}$.
    Le point $J’$ a pour coordonnées $\left(1;0;\dfrac{m-4}{15}\right)$.
    $\quad$
    Volume du prisme $BCKJ’ADLI’$ :
    $\begin{align*} V’_1&=\dfrac{(BJ’+AI’)\times AB}{2}\times BC \\
    &=\dfrac{\dfrac{m-4}{15}+\dfrac{m}{15}}{2}
    &=\dfrac{2m-4}{30}\\
    &=\dfrac{m-2}{15}\end{align*}$
    $\quad$
    On veut que :
    $\begin{align*} V’_1=\dfrac{1}{2}&\ssi \dfrac{m-2}{15}=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi 2(m-2)=15 \\
    &\ssi 2m-4=15\\
    &\ssi 2m=19\\
    &\ssi m=9,5
    \end{align*}$
    $\quad$
    Une équation de $\mathscr{P}_2$ est donc $4x+15z-9,5=0$.
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. Initialisation : On a $u_0=1 \pp \e^2$ puisque $\e^2 \approx 7,39$.
    Ainsi $1 \pp u_n \pp \e^2$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\pp u_n \pp \e^2$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\pp u_n \pp \e^2$.
    On a :
    $\begin{align*} 1\pp u_n \pp \e^2 &\ssi 1 \pp \sqrt{u_n} \pp \e \\
    &\ssi \e \pp \e \times \sqrt{u_n} \pp \e^2 \end{align*}$
    Or $1 \pp \e$.
    Donc $1 \pp u_{n+1} \pp \e^2$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_n \pp \e^2$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}-u_n &=\e\times \sqrt{u_n}-u_n \\
    &=\sqrt{u_n}\left(\e-\sqrt{u_n}\right)
    \end{align*}$
    On sait que $u_n \pp \e^2$ donc $\sqrt{u_n} \pp \e$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n \pg 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\e^2$. Elle converge donc.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}\right)-2 \\
    &=\ln\left(\e \times \sqrt{u_n}\right)-2 \\
    &=\ln \e+\ln\left(\sqrt{u_n}\right)-2 \\
    &=1+\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)-2 \\
    &=\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)-1\\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(u_n\right)-2\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}v_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=-2$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $v_n=-2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=-\dfrac{2}{2^n}=-\dfrac{1}{2^{n-1}}$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_n=\ln\left(u_n\right)-2 &\ssi v_n+2=\ln\left(u_n\right) \\
    &\ssi u_n=\e^{v_n+2}
    \end{align*}$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\e^{-\frac{1}{2^{n-1}}+2}$
    $\quad$
    d. On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\e^2$.
    $\quad$
  4. Affirmation 1 : fausse
    On a $u_0=2~018$ et $u_1=\e\times \sqrt{2~018} \approx 122 < u_0$.
    $\quad$
    Affirmation 2 : vraie
    On a $u_0=2$ donc $1 \pp u_0 \pp \e^2$.
    On peut donc reprendre l’hérédité du raisonnement par récurrence de la question 1.
    $\quad$
    Affirmation 3 : fausse
    La suite est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n$ soit $\e\times \sqrt{u_n}=u_n$.
    On est donc ramené à résoudre l’équation $x=\e\times \sqrt{x}$
    Soit $x^2=x\e^2$
    Ainsi $x^2-x\e^2=0$
    D’où $x\left(x-\e^2\right)=0$.
    Cette équation possède deux solutions $0$ et $\e^2$.
    Si on choisit $u_0=\e^2$ alors $u_1=\e\times \sqrt{\e^2}=\e\times \e=\e^2$ et la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
    $\quad$

Ex spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=3u_n+1 \ssi 1\times u_{n+1}-3\times u_n=1$.
    $1$ et $3$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, $u_n$ et $u_{n+1}$ le sont également.
    $\quad$
  2. Si $u_n$ est pair alors il existe un entier naturel $a$ tel que $u_n=2a$.
    Ainsi $u_{n+1}=3\times 2a+1= 2\times 3a+1$. $u_{n+1}$ est donc impair.
    Si $u_n$ est impair alors il existe un entier naturel $a$ tel que $u_n=2a+1$.
    Ainsi $u_{n+1}=3\times (2a+1)+1=6a+3+1=2\times (3a+2)$. $u_{n+1}$ est donc pair.
    Les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont donc alternativement pairs et impairs.
    $\quad$
  3. On a $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=4$, $u_3=13$, $u_4=40$ et $u_5=121$.
    $5$ est un nombre premier impair et $u_5=121=11^2$ n’est pas premier.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$
  4. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $2u_0=0$ et $3^n-1=1-1=0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $2u_n=3^n-1$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $2u_{n+1}=3^{n+1}-1$.
    $\begin{align*} 2u_{n+1}&=2\times 3u_n+2 \\
    &=3\times 2u_n+2 \\
    &=3\times \left(3^n-1\right)+2 \\
    &=3^{n+1}-3+2 \\
    &=3^{n+1}-1
    \end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $2u_n=3^n-1$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    n&3^n&3^n ~\text{modulo}~7 \\
    \hline
    1&3&3\\
    \hline
    2&9&2\\
    \hline
    3&27&6\\
    \hline
    4&81&4\\
    \hline
    5&243&5\\
    \hline
    6&729&1\\
    \hline
    \end{array}$
    Le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $3^n$ est congru à $1$ modulo $7$ est donc $6$.
    $\quad$
    c. On a $2u_{2~022}=3^{2~022}-1=3^{6\times 337}-1=\left(3^6\right)^{337}-1$.
    Par conséquent $2u_{2~022}\equiv 1^{337}-1 ~[7] \equiv 0~[7]$.
    Il existe donc un entier naturel $p$ tel que $2u_n=7q$.
    $2$ et $7$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss $7$ divise donc $u_{2~022}$.
    $\quad$
  5. a. On a $u_0=0 \equiv 0~[5]$
    $u_1=1\equiv 1~[5]$
    $u_2=4 \equiv 4~[5]$
    $u_3=13 \equiv 3~[5]$
    $u_4=40\equiv 0~[5]$
    $u_5=121 \equiv 1~[5]$
    $\quad$
    b. On obtient :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Reste de la division euclidienne de $m$ par p$5$}&0&1&2&3&4\\
    \hline
    \text{Reste de la division euclidienne de $3m+1$ par p$5$}&1&4&2&0&3\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    c. Si $u_n$ est congru à $4$ modulo $5$ alors $u_{n+1}=3u_n+1$ est congru à $3$ modulo $5$.
    Par conséquent $u_{n+2}=3u_{n+1}+1$ est congru à $0$ modulo $5$.
    Ainsi $u_{n+3}=3u_{n+2}+1$ est congru à $1$ modulo $5$.
    Donc $u_{n+4}=3u_{n+3}+1$ est congru à $4$ modulo $5$.
    $\quad$
    d. D’après les questions 5.a. et 5.b. le reste de la division euclidienne de $u_n$ par $5$ est successivement $0$,$1$,$4$ et $3$.
    Il n’existe donc d’entier naturel $n$ tel que le reste de la division euclidienne de $u_n$ par $5$ soit égal à $2$.
    $\quad$

Énoncé

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