Bac S – Antilles Guyane – Septembre 2019

Antilles Guyane – Septembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. On veut calculer $P(A\cap F)=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$ d’après l’arbre pondéré.
    La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. On a $P\left(B\cap \conj{F}\right)=\dfrac{1}{4}\times \left(1-\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{1}{10}$.
    La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de taille moyenne et qu’il ne soit pas intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à $\dfrac{1}{10}$.
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(F)&=P(A\cap F)+P(B\cap F)+P(C\cap F) \\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{5}+P(C\cap F) \\
    &=0,65+P(C\cap F) \\
    &>0,6\end{align*}$
    On peut donc affirmer que cette livraison sera mise en place.
    $\quad$
  2. a. D’après la question précédente, on a :
    $P(F)=0,65+P(C\cap F) \ssi 0,675=0,65+P(C\cap F) \ssi P(C\cap F) =0,025$
    De plus $P(C)=1-P(A)-P(B)=1-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} P_C(F)&=\dfrac{P(C\cap F)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,025}{\dfrac{1}{12}} \\
    &=0,3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(C)&=\dfrac{P(F\cap C)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,025}{0,675} \\
    &=\dfrac{1}{27} \\
    &\approx 0,04\end{align*}$
    La probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille est donc environ égale à $0,04$.
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*}P(X\pp 4~500)&=P(X<5~000)-P(4~500<X<5~000) \\
    &=0,5-P(4~500<X<5~000) \\
    &\approx 0,12\end{align*}$
    La probabilité que le panier ne soit pas conforme est environ égale à $0,12$.
    $\quad$
  2. La variable aléatoire $Z=\dfrac{Y-5~000}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\begin{align*} P(Y<4~500)=0,04 &\ssi P(Y-5~000<-500)=0,04 \\
    &\ssi P\left(\dfrac{Y-5~000}{\sigma}<-\dfrac{500}{\sigma}\right)=0,04 \\
    &\ssi P\left(Z<-\dfrac{500}{\sigma}\right)=0,04 \end{align*}$
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $-\dfrac{500}{\sigma} \approx -1,75 \ssi \sigma \approx 286$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=120$ et $p=0,88$.
Par conséquent $n=120\pg 30$ , $np=105,6\pg 5$ et $n(1-p)=14,4\pg 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence des adhérents satisfaits est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,88-1,96\sqrt{\dfrac{0,12\times 0,88}{120}},0,88+1,96\sqrt{\dfrac{0,12\times 0,88}{120}}\right] \\
&\approx [0,821,0,939]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{100}{120}\approx 0,833$
Donc $f\in I_{120}$.

La contestation de l’auditeur n’est donc pas fondée.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $\vect{OA}(10;0;1)$ et $\vect{OB}(1;7;1)$.
    Par conséquent $\vect{OA}.\vect{OB}=10\times 1+0\times 7+1\times 1=11 \neq 0$.
    Cela signifie donc que les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux et que les droites $(OA)$ et $(OB)$ ne sont pas perpendiculaires.
    $\quad$
    b. $OA=\sqrt{10^2+0^2+1^2}=\sqrt{101}$ et $OB=\sqrt{1^2+7^2+1^2}=\sqrt{51}$.
    Ainsi $\vect{OA}.\vect{OB}=11$
    et $\vect{OA}.\vect{OB}=OA\times OB\times \cos \widehat{AOB}=\sqrt{101}\times \sqrt{51}\times \cos \widehat{AOB}$
    Par conséquent $\cos \widehat{AOB}=\dfrac{11}{\sqrt{101}\times \sqrt{51}}$
    On obtient alors $\widehat{AOB}\approx 81$°.
    $\quad$
  2. Nous allons vérifier que les coordonnées des points $O$, $A$ et $B$ vérifient bien l’équation proposée.
    Pour le point $O$ : $7\times 0+9\times 0-70\times 0=0 \quad \checkmark$
    Pour le point $A$ : $7\times 10+9\times 0-70\times 1=70-70=0 \quad \checkmark$
    Pour le point $B$ : $7\times 1+9\times 7-70\times 1=7+63-70=0 \quad \checkmark$
    Une équation du plan $(OAB)$ est donc $7x+9y-70z=0$.
    $\quad$
  3. On a $\vect{CA}(10;0;-4)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(CA)$ est donc $$\begin{cases} x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \quad, k\in \R$$
    $\quad$
  4. $D$ est le milieu du segment $[OC]$. Par conséquent $D(0;0;2,5)$.
    Le plan $P$ est parallèle au plan $(OAB)$.
    Une équation cartésienne de $P$ est donc de la forme $7x+9y-70z+d=0$
    Ainsi $0+0-70\times 2,5+d=0 \ssi d=175$.
    Une équation cartésienne du plan $P$ est par conséquent $7x+9y-70z+175=0$.
    $\quad$
  5. Les coordonnées du point $E$ sont solutions du système suivant :
    $\begin{align*}\begin{cases} 7x+9y-70z+175=0\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} &\ssi \begin{cases} 7\times 10k-70(5-4k)+175=0\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 70k-350+280k+175=0\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 350k=175\\x=10k\\y=0\\z=5-4k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=0,5\\x=5\\y=0\\z=3\end{cases} \end{align*}$
    Le point $F$ a donc pour coordonnées $(5;0;3)$.
    $\quad$
  6. On a donc $\vect{EF}\left(\dfrac{9}{2};-\dfrac{7}{2};0\right)$ et $\vect{AB}(-9;7;0)$
    Par conséquent $\vect{AB}=-2\vect{EF}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires et les droites $(EF)$ et $(AB)$ sont donc parallèles.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. Sur $]0;+\infty[$ on a $g(x)=0 \ssi 4x-x\ln x=0 \ssi x(4-\ln x)=0$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ (ce qui est impossible) ou $4-\ln x=0 \ssi x=\e^4$.
    La solution de l’équation $g(x)=0$ est donc $\e^4$.
    $\quad$
  2. $g(x)=x(4-\ln x)$
    Sur $]0;+\infty[$, le signe de $g(x)$ ne dépend donc que de celui de $4-\ln x$.
    Or $4-\ln x>0 \ssi -\ln x>-4 \ssi \ln x<4 \ssi x<\e^4$.
    Ainsi :
    $\bullet$ $g(x)>0$ sur l’intervalle $\left]0;\e^4\right[$
    $\bullet$ $g\left(\e^4\right)=0$
    $\bullet$ $g(x)<0$ sur l’intervalle $\left]\e^4;+\infty\right[$
    $\quad$
  3. D’après la question précédente, la fonction $g$ change de signe : la première conjecture est donc fausse.
    $g(x)$ est d’abord positif puis négatif : la fonction $g$ ne peux pas être strictement croissante. La seconde conjecture est également fausse.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On a, pour tout réel $x$ strictement positif, $x\ln x=-\dfrac{\ln \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}}$
    Or $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{\ln t}{t}=0$
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=0$.
    $\quad$
    b. On a $\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=0$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}4x=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+}g(x)=0$.
    $\quad$
  2. a. D’après l’énoncé, la fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$, on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=4-\ln x-x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=4-\ln x-1 \\
    &=3-\ln x\end{align*}$
    $\quad$
    b. $3-\ln x=0 \ssi x=\e^3$ et $3-\ln x>0 \ssi -\ln x>-3 \ssi x<\e^3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    On a $g(x)=x(4-\ln x)$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} 4-\ln x=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. a. D’après l’énoncé la fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} G'(x)&=\dfrac{1}{4}\left(2x(9-2\ln x)-2x^2\times \dfrac{1}{x}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\left(18x-4x\ln x-2x\right) \\
    &=4x-x\ln x \\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc bien une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $a>1$ on a :
    $\begin{align*} \ds \int_1^a g(x)\dx&=G(a)-G(1) \\
    &=\dfrac{1}{4}a^2\left(9-2\ln a\right)-\dfrac{9}{4}\\
    &=\dfrac{1}{4}\left(a^2\left(9-2\ln a\right)-9\right)\end{align*}$
    On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x^2(9-2\ln x)-9$.
    Cette fonction est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a :
    $f'(x)=2x(9-2\ln x)-2x^2\times \dfrac{1}{x}=18x-4x\ln x-2x=4g(x)$.
    Par conséquent, d’après la question A.2 la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\e^4;+\infty\right[$.
    De plus $f\left(\e^4\right)=\e^8-9>0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$ (produit de deux limites infinies de signes contraires).
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
    Cela signifie donc que $\ds \int_1^{\alpha} g(x)\dx =0$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. En calculant les premières valeurs de la suite $\left(p_n\right)$, on constate que $p_{21}=-437$ et $p_{22}=-436>p_{21}$.
    La suite $\left(p_n\right)$ n’est donc pas strictement décroissante.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&={u_{n+1}}^2-1 \\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2+8\right)-\dfrac{9}{9}\\
    &=\dfrac{1}{9}\left({u_n}^2-1\right) \\
    &=\dfrac{1}{9}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{9}$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $\dfrac{n^2}{(n+1)^2} \pp w_n \pp \dfrac{n^2+n}{(n+1)^2}$
    Or, d’après la limite des termes de plus haut degré, on a $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{n^2}=1$
    et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2+n}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n^2}{n^2}=1$
    D’après le théorème des gendarmes la suite $\left(w_n\right)$ converge donc vers $1$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$

Partie B

  1. $U_1=\dfrac{2U_0}{1+U_0}=\dfrac{1}{~~\dfrac{3}{2}~~}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  2. Initialisation : Si $n=0$ alors $\dfrac{2^n}{1+2^n}=\dfrac{1}{2}=U_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Par conséquent $U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire $U_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}}$
    $\begin{align*} U_{n+1}&=\dfrac{2U^n}{1+U_n} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{1+\dfrac{2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+2^n+2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+2\times 2^n}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{1+2^n}}{\dfrac{1+\times 2^{n+1}}{1+2^n}} \\\\
    &=\dfrac{2^{n+1}}{1+2^{n+1}} \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$.
    $\quad$
  3. L’algorithme 2 fournit le terme $U_{n+1}$ et non $U_n$ puisque la boucle Pour est effectuée $n+1$ fois.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=p\left(A_{n+1}\right)\\
    &=p\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+p\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n \end{align*}$
    et
    $\begin{align*} b_{n+1}&=p\left(B_{n+1}\right)\\
    &=p\left(A_n\cap B_{n+1}\right)+p\left(B_n\cap B_{n+1}\right) \\
    &=\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{15}b_n \end{align*}$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{cases} a_{n+1}=\dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n \\\\b_{n+1}=\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{15}b_n\end{cases}$
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a $MU_n=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n\\\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{2}b_n\end{pmatrix}=U_{n+1}$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=MU_n$.
    Donc $U_n=M^nU_0$.
    $\quad$
  2. a. On a $U_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $M^2=M\times M=\dfrac{1}{900}\begin{pmatrix}18^2+3\times 12&18\times 3+2\times 3\\12\times 18+2\times 2&12\times 3+2\times 2\end{pmatrix}=\dfrac{1}{45}\begin{pmatrix}18&3\\12&2\end{pmatrix}$
    On constate donc que $M^2=\dfrac{2}{3}M$.
    $\quad$
    c. Initialisation : Si $n=1$ alors $\left(\dfrac{2}{3}\right)^0M=M=M^1$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n\pg 1$. Ainsi $M^n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $M^{n+1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}M$.
    $\begin{align*} M^{n+1}&=M^n\times M \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M \times M \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M^2 \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \times \dfrac{2}{3}M \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}M\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $M^n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M$.
    $\quad$
    d. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} U_{n}&=M^nU_0 \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}MU_0 \\
    &=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\times \dfrac{1}{30}\begin{pmatrix}18\\12 \end{pmatrix}\\
    &=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\\dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $\begin{align*} c_n&=1-a_n-b_n \\
    &=1-\dfrac{3}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}-\dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \\
    &=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $c_6\approx 0,87$ et $c_7\approx 0,91$.
    Une fois l’algorithme terminé, la variable $n$ contient donc le nombre $7$.
    Cela signifie, qu’au bout de $7$ heures, la probabilité que la bouteille se trouve dans l’océan est supérieure à $0,9$.

$\quad$

 

 

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées indépendamment.

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier:

  • un panier de petite taille;
  • un panier de taille moyenne;
  • un panier de grande taille.

Partie A

L’association envisage de proposer en outre des livraisons d’œufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage.
On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants:

  • $A$ : « l’adhérent choisit un panier de petite taille »;
  • $B$ : « l’adhérent choisit un panier de taille moyenne »;
  • $C$ : « l’adhérent choisit un panier de grande taille »;
  • $F$ : « l’adhérent est intéressé par une livraison d’œufs frais ».

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l’arbre ci-dessous:

  1. Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l’arbre.
    a. Calculer la probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais.
    $\quad$
    b. Calculer $P\left(B \cap \overline{F}\right)$, puis interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
    $\quad$
    c. La livraison d’œufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l’évènement $F$ est supérieure à $0,6$. Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
    $\quad$
  2. Dans cette question, on suppose que $P(F) = 0,675$.
    a. Démontrer que la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$, notée $P_C(F)$, est égale à $0,3$.
    $\quad$
    b. L’adhérent interrogé est intéressé par la livraison d’œufs frais.
    Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le résultat à $10^{-2}$.
    $\quad$

Partie B

  1. La masse, en gramme, d’un panier de grande taille peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi normale d’espérance $5~000$ et d’écart- type $420$. Un panier de grande taille est déclaré non conforme lorsque sa masse est inférieure à $4,5$ kg.
    On choisit au hasard un panier de grande taille.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit non conforme ?
    $\quad$
  2. Les responsables de l’association décident de modifier la méthode de remplissage. Avec cette nouvelle méthode, la masse, en gramme, d’un panier de grande taille est désormais modélisée par une variable aléatoire, notée $Y$, suivant une loi normale d’espérance $5~000$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité qu’un panier de grande taille choisi au hasard soit non conforme est alors de $0,04$.
    Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l’unité.
    $\quad$

Partie C

Depuis plusieurs années, les associations distribuant des produits frais à leurs adhérents se développent dans tout le pays et connaissent un succès grandissant.
Lors d’une émission de radio consacrée à ce sujet, un journaliste annonce que $88\%$ des adhérents de ces associations sont satisfaits.
Un auditeur intervient dans l’émission pour contester le pourcentage avancé par le journaliste. à l’appui de son propos, l’auditeur déclare avoir réalisé un sondage auprès de $120$ adhérents de ces associations et avoir constaté que, parmi eux, seuls $100$ ont indiqué être satisfaits.
La contestation de l’auditeur est-elle fondée ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(10;0;1)$, $B(1;7;1)$ et $C(0;0;5)$.

  1. a. Démontrer que les droites $(OA)$ et $(OB)$ ne sont pas perpendiculaires.
    $\quad$
    b. Déterminer la mesure, en degré, de l’angle $\widehat{AOB}$, arrondie au dixième.
    $\quad$
  2. Vérifier que $7x+9y-70z = 0$ est une équation cartésienne du plan $(OAB)$.
    $\quad$
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(CA)$.
    $\quad$
  4. Soit $D$ le milieu du segment $[OC]$. Déterminer une équation du plan $P$ parallèle au plan $(OAB)$ passant par $D$.
    $\quad$
  5. Le plan $P$ coupe la droite $(CB)$ en $E$ et la droite $(CA)$ en $F$.
    Déterminer les coordonnées du point $F$.
    On admet que le point $E$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2};3\right)$.
    $\quad$
  6. Démontrer que la droite $(EF)$ est parallèle à la droite $(AB)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $$g(x) = 4x-x \ln x$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa dérivée.

Partie A

Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative de la fonction $g$ obtenue par un élève sur sa calculatrice.

Cet élève émet les deux conjectures suivantes :

  • il semble que la fonction $g$ soit positive ;
  • il semble que la fonction $g$ soit strictement croissante.

L’objectif de cette partie est de valider ou d’invalider chacune de ces conjectures.

  1. Résoudre l’équation $g(x) = 0$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$
  2. \item Déterminer le signe de $g(x)$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Les conjectures de l’élève sont-elles vérifiées ?
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on poursuit l’étude de la fonction $g$.

  1. a. On rappelle que $$\lim\limits_{t \to + \infty} \dfrac{\ln t}{t} = 0$$
    En déduire que $$\lim\limits_{x \to 0} x \ln x = 0$$
    $\quad$
    b. Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $g'(x) = 3-\ln x$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
    $\quad$
  3. On désigne par $G$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $$G(x) = \dfrac{1}{4}x^2(9-2\ln x)$$
    On admet que la fonction $G$ est dérivable sur $]0; +\infty[$.
    a. Démontrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur $]0; +\infty[$.
    $\quad$
    b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
    « Il n’existe aucun réel $\alpha$ strictement supérieur à $1$ tel que $\ds \int_1^{\alpha} g(x) \dx = 0$. »
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte, une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. On considère la suite $\left(p_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $$p_n = n^2-42n + 4$$
    Affirmation 1 : La suite $\left(p_n\right)$ est strictement décroissante.
    $\quad$
  2. Soit $a$ un nombre réel. On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
    $\quad$ $\bullet~~$ $U_0 = a$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\sqrt{{u_n}^2 + 8}$ ;
    $\quad$ $\bullet~~$ $v_n = {u_n}^2-1$ pour tout entier naturel $n$.
    Affirmation 2 : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
  3. On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vérifie, pour tout entier naturel $n$, $$n^2 \pp (n+1)^2w_n \pp n^2 +n.$$
    Affirmation 3 : La suite $\left(w_n\right)$ converge.
    $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0 = \dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $$U_{n+1} = \dfrac{2U_n}{1 + U_n}$$

  1. Calculer $U_1$ que l’on écrira sous la forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$U_n = \dfrac{2^n}{1 + 2^n}$$
    $\quad$
  3. On considère les trois algorithmes suivants dans lesquels les variables $n$, $p$ et $u$ sont du type nombre. Pour un seul de ces trois algorithmes la variable $u$ ne contient pas le terme $U_n$ en fin d’exécution.
    Déterminer lequel en justifiant votre choix.
    $$\begin{array}{|l|l|l|}
    \hline
    \textbf{Algorithme 1}&\textbf{Algorithme 2}&\textbf{Algorithme 3}\\
    \begin{array}{l}
    u\gets \dfrac{1}{2}\\
    i \gets 0\\
    \text{Tant que } i < n\\
    \hspace{1cm} u\gets \dfrac{2u}{u+1}\\
    \hspace{1cm} i \gets i + 1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \end{array}&
    \begin{array}{l}
    u\gets \dfrac{1}{2}\\
    \text{Pour $i$ allant de $0$ à $n$}\\
    \hspace{1cm} u\gets \dfrac{2u}{u+1}\\
    \text{Fin Pour}\\
    \end{array}&
    \begin{array}{l}
    p \gets 2^n\\
    u \gets \dfrac{p}{p + 1}\\
    \end{array}\\ \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une ville possède deux ports maritimes:

  • un port de plaisance A ;
  • un port de commerce B.

Le port de plaisance A n’a pas d’accès direct à l’océan mais est relié au port de commerce B qui, lui, est ouvert sur l’océan. Un passant, installé en terrasse sur le port de plaisance A, jette une bouteille dans l’eau.
À l’instant $0$, la bouteille se trouve dans le port A.
Soit $n$ un entier naturel.

On admet que :

  • quand la bouteille est dans le port A au bout de $n$ heures, la probabilité qu’elle y soit encore l’heure suivante est $\dfrac{3}{5}$ ;
  • quand la bouteille est dans le port B au bout de $n$ heures, la probabilité qu’elle soit dans le port A l’heure suivante est $\dfrac{1}{10}$ et la probabilité qu’elle se trouve toujours dans le port B l’heure suivante est $\dfrac{1}{15}$ ;
  • le port A n’ayant pas d’accès direct à l’océan, lorsque la bouteille est dans le port A, elle ne peut pas se trouver dans l’océan l’heure suivante;
  • une fois dans l’océan, la bouteille ne revient jamais dans les ports.

Soient les évènements :

  • $A_n$ : « la bouteille se trouve dans le port A au bout de $n$ heures »;
  • $B_n$ : « la bouteille se trouve dans le port B au bout de $n$ heures »;
  • $C_n$ : « la bouteille se trouve dans l’océan au bout de $n$ heures ».

On note $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités respectives de ces évènements.
Ainsi on a $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

  1. a. Compléter l’arbre fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$\begin{cases} a_{n+1}&=&\dfrac{3}{5}a_n + \dfrac{1}{10}b_n\\\\b_{n+1}&=&\dfrac{2}{5}a_n + \dfrac{1}{15}b_n\end{cases}$$
    $\quad$
    Soient les matrices suivantes : $$M = \dfrac{1}{30} \begin{pmatrix}18&3\\12& 2 \end{pmatrix}\quad \text{et}\quad U_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$$
    c. Démontrer que, pour tout entier strictement positif $n$, $U_n = M^nU_0$.
    $\quad$
  2. a. Donner $U_0$.
    $\quad$
    b. Calculer $M^2$ en détaillant les calculs de l’un des coefficients et en déduire qu’il existe un réel $k$ tel que $M^2 = kM$.
    $\quad$
    c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif, $$M^n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} M$$
    $\quad$
    d. En déduire que, pour tout entier $n$ strictement positif, $$U_n = \begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\
    \dfrac{2}{5}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier strictement positif.
    a. Démontrer que la probabilité que la bouteille soit dans l’océan au bout de $n$ heures est égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$.
    $\quad$
    b. On considère l’algorithme ci-dessous :
    $$ \begin{array}{|l|}
    \hline
    n\gets 1\\
    \text{Tant que } 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} < 0,9 \\
    \hspace{0.8cm} n \gets n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Indiquer sans justification le nombre contenu dans la variable $n$ de cet algorithme à la fin de son exécution.
    Interpréter ce nombre dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$