Exercice 1

Partie A

1. On a : $D(0;0;0)$, $F(1;1;1)$, $B(1;1;0)$, $E(1;0;1)$ et $G(0;1;1)$.
   Ainsi $\vect{DF}(1;1;1)$, $\vect{BE}(0;-1;1)$ et $\vect{BG}(-1;0;1)$.
   Les vecteurs $\vect{BE}$ et $\vect{BG}$ ne sont clairement pas colinéaires.
   De plus :
   $\vect{DF}.\vect{BE}=0-1+1=0$ et $\vect{DF}.\vect{BG}=-1+0+1=0$.
   Le vecteur $\vect{DF}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EBG)$. Il est par conséquent normal au plan $(EBG)$.
   $\quad$
2. Une équation cartésienne du plan $(EBG)$ est donc de la forme : $x+y+z+d=0$.
   Le point $E(1;0;1)$ appartient au plan donc $1+0+1+d=0 \ssi d=-2$.
   Une équation cartésienne du plan $(EBG)$ est donc :
   $$x+y+z-2=0$$
   $\quad$
3. Une représentation paramétrique de la droite $(DF)$ est :
   $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \qquad t\in \R$.
   Les coordonnées du point $I$ sont solution du système :
   $\begin{align*} \begin{cases}x+y+z-2=0\\ x=t\\y=t\\z=t\end{cases} &\ssi \begin{cases} t+t+t-2=0\\x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}3t=2\\x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{2}{3} x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{2}{3}\end{cases} \end{align*}$
   Ainsi $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
   $\quad$

Partie B

1. Les côtés $[ED]$, $[DB]$ et $[EB]$ du triangle $EDB$ sont les diagonales de carré de côté de longueur $1$.
   Le triangle $EDB$ est donc équilatéral et tous ses angles mesurent $\dfrac{\pi}{3}$ radian.
   Si le point $M$ est confondu avec le point $D$ alors l’angle $\widehat{EMB}=\dfrac{\pi}{3}$.
   $\quad$
   Le triangle $EFB$ est rectangle en $F$.
   Si le point $M$ est confondu avec le point $F$ alors l’angle $\widehat{EMB}=\dfrac{\pi}{2}$.
   $\quad$
2. a. On a $\vect{DM}=x\vect{DF}$ avec $\vect{DF}(1;1;1)$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} \vect{DM}=x\vect{DF} &\ssi \begin{cases} x_M-0=x\times 1\\y_M-0=x\times 1\\z_M-0=x\times 1 \end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x_M=x\\y_M=x\\z_m=x\end{cases}\end{align*}$.
   Ainsi les coordonnées du point $M$ sont $(x;x;x)$.
   $\quad$
   b. On a $\vect{ME}(1-x;-x;1-x)$ et $\vect{MB}(1-x;1-x;-x)$.
   $\begin{align*} \vect{ME}.\vect{MB}&= (1-x)^2-x(1-x)+(1-x)\times -x \\
   &=1-2x+x^2-x+x^2-x+x^2\\
   &=1-4x+3x^2
   \end{align*}$
   $ME=\sqrt{(1-x)^2+(-x)^2+(1-x)^2}$ et $MB=\sqrt{(1-x)^2+(1-x)^2+(-x)^2}$.
   Donc
   $\begin{align*} ME\times MB &= (1-x)^2+(-x)^2+(1-x)^2 \\
   &=1-2x+x^2+x^2+1-2x+x^2 \\
   &=2-4x+3x^2
   \end{align*}
   $\begin{align*} \vect{ME}.\vect{MB}=ME\times MB\times \cos(\theta) &\ssi 1-4x+3x^2=\left(2-4x+3x^2\right)\cos(\theta) \\
   &\ssi \cos(\theta)=\dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}
   \end{align*}$
   $\quad$
3. a. Le triangle $MEB$ est rectangle en $M$ si, et seulement si, $\cos(\theta)=0$.
   $\bullet$ La fonction $f$ est strictement décroissante et continue  sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$.
   $f(0)=\dfrac{1}{2}>0$ et $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}<0$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$.
   Or $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$. Le point $M$ est confondu avec le point $J$.
   $\bullet$ Sur l’intervalle $\left[\dfrac{2}{3};1\right[$, on a $f(x)<0$.
   L’équation $f(x)=0$ ne possède aucune solution sur l’intervalle $\left[\dfrac{2}{3};1\right[$.
   $\bullet$ $f(1)=0$. Le point $M$ est confondu avec le point $F$.
   $\bullet$ Les seules positions du point $M$ sur le segment $[DF]$ pour lesquelles le triangle $MEB$ est rectangle en $M$ sont lorsque $M$ est confondu avec le point $J$ ou confondu avec le point $F$.
   $\quad$
   b. La fonction $\cos$ est décroissante sur l’intervalle $[0;\pi]$.
   Ainsi l’angle $\theta$ est maximal quand $\cos(\theta)$ est minimal.
   La fonction $f$ atteint son minimum pour $x=\dfrac{2}{3}$.
   L’angle $\theta$ est maximal quand $M$ est confondu avec le point $I$.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A – Durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain

1. Pour déterminer une estimation de la durée moyenne d’attente on va utiliser le centre des classes.
   $\begin{align*} \dfrac{1\times 75+3\times 19+5\times 10+7\times 5}{75+19+10+5}&=\dfrac{217}{109} \\
   &\approx 1,991
   \end{align*}$
   Une voiture à l’entrée du parking attend en moyenne environ $2$ minutes.
   $\quad$
2. a. On a  :
   $\begin{align*} E(T)=\dfrac{1}{\lambda}&\ssi 2=\dfrac{1}{\lambda} \\
   &\ssi \lambda =\dfrac{1}{2}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. On veut  calculer
   $\begin{align*} P(T\pp 2)&= 1-\e^{-0,5\times 2}\\
   &=1-\e^{-1} \\
   &\approx 0,632~1
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{T\pg 1}(T\pp 2)&=\dfrac{P(1\pp T\pp 2)}{P(T\pg 1)} \\
   &=\dfrac{\e^{-0,5\times 1}-\e^{-0,5 \times 2}}{\e^{-0,5\times 1}} \\
   &=\dfrac{\e^{-0,5}-\e^{-1}}{\e^{-0,5}} \\
   &\approx 0,393~5
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B – Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

1. a. D’après l’énoncé $E(D)=70$.
   La durée moyenne de stationnement d’une voiture est donc de $70$ minutes.
   $\quad$
   b. On veut calculer :
   $P(D\pg 120)=0,5-P(70\pp D\pp 120) \approx 0,047~8$
   $\quad$
   c. On veut trouver la valeur de $d$ telle que $P(D\pp d)=0,99$.
   En utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $d\approx 140$.
   $99\%$ des voitures stationnement au plus environ $140$ minutes dans le parking.
   $\quad$
2. $P(D\pp 15)=0,5-P(15\pp D\pp 70)\approx 0,033~4$.
   $P(15\pp D\pp 60)\approx 0,336~1$
   $P(60 \pp D\pp 120) \approx 0,582~8$ : première heure supplémentaire
   $P(120 \pp D\pp 180) \approx 0,047~8$ : deuxième heure supplémentaire
   Le gestionnaire veut que :
   $\begin{align*} E(D)=5&\ssi 0,336~1\times 3,5+0,582~8\times (3,5+t)+0,047~8\times (3,5+2t)=5 \\
   &\ssi 1,176~35+2,0398+0,582~8t+0,167~3+0,095~6t=5\\
   &\ssi 0,678~4t=1,616~55 \\
   &\ssi t=\dfrac{1,616~55}{0,678~4}
   \end{align*}$
   Ainsi $t\approx 2,38$ euros.
   L’heure supplémentaire doit donc être facturée environ $2,38$ euros.
   $\quad$

Partie C

On a donc $\mu=30$ et :
$\begin{align*} P(T’ \pp 37)=0,75 &\ssi P(T’-30\pp 7)=0,75 \\
&\ssi P\left(\dfrac{T’-30}{\sigma’}\pp \dfrac{7}{\sigma’}\right)=0,75
\end{align*}$

Or la variable aléatoire $X=\dfrac{T’-30}{\sigma’}$ suit la loi normale centrée réduite.

Ainsi, d’après la touche inverse loi normale de la calculatrice on a :
$\begin{align*} P\left(X\pp \dfrac{7}{\sigma’}\right)=0,75 &\ssi \dfrac{7}{\sigma’} \approx 0,674~5 \\
&\ssi \sigma’ \approx 10,378~2
\end{align*}$

On a alors $P(10 \pp T’\pp 50) \approx 0,946~0 < 0,95$

L’objectif n’est donc pas atteint.

Exercice 3

La fonction $f_k$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
On a, pour tout réel $x$, $f’_k(x)=1-k\e^{-x}$.
Ainsi
$\begin{align*} f’_k(x)=0 &\ssi k\e^{-x}=1 \\
&\ssi \e^{-x}=\dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=\ln \dfrac{1}{k} \\
&\ssi -x=-\ln k\\
&\ssi x=\ln k
\end{align*}$

$f(\ln k)=\ln k+k\e^{-\ln k}=1+\ln k$

Les points $A_k$ ont donc pour coordonnées $(\ln k;1+\ln k)$

 

Par conséquent les points $A_k$ appartiennent à la droite d’équation $y=1+x$.
Ils sont donc alignés.

Exercice 4

Partie A – Modélisation de l’âge d’un épicéa

1. On appelle $g$ la fonction définie sur $]0;1[$ par $g(x)=\dfrac{20x}{1-x}$.
   Cette fonction est dérivable sur $]0;1[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
   $g'(x)=20\times \dfrac{1-x+x}{(1-x)^2}=\dfrac{20}{(1-x)^2}$.
   La fonction $f$ est dérivable sur $]0;1[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
   Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;1[$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=30\times \dfrac{\dfrac{20}{(1-x)^2}}{\dfrac{20x}{1-x}} \\
   &=30\times \dfrac{20}{(1-x)^2}\times \dfrac{1-x}{20x} \\
   &=\dfrac{30}{x(1-x)}
   \end{align*}$
   Si $x$ appartient à l’intervalle $]0;1[$ alors $x$ et $1-x$ sont positifs.
   Ainsi $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} 20 \pp f(x) \pp 120 &\ssi 20 \pp 30\ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \pp 120 \\
   &\ssi \dfrac{2}{3} \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \pp 4 \\
   &\ssi \e^{\frac{2}{3}}\pp \dfrac{20x}{1-x} \pp \e^4
   \end{align*}$
   D’une part :
   $\begin{align*} \e^{\frac{2}{3}} \pp \dfrac{20x}{1-x} &\ssi (1-x)\e^{\frac{2}{3}} \pp 20 x \\
   &\ssi \e^{\frac{2}{3}}-\e^{\frac{2}{3}}x \pp 20x \\
   &\ssi \e^{\frac{2}{3}}\pp \left(20+\e^{\frac{2}{3}}\right)x \\
   &\ssi \dfrac{\e^{\frac{2}{3}}}{20+\e^{\frac{2}{3}}} \pp x
   \end{align*}$
   Soit, en arrondissant au cm près, $x\pg 0,09$ mètre.
   $\quad$
   D’autre part :
   $\begin{align*} \dfrac{20x}{1-x} \pp \e^4  &\ssi 20x \pp (1-x)\e^4 \\
   &\ssi 20x \pp \e^4-\e^4 x \\
   &\ssi \left(20+\e^4\right)x \pp \e^4 \\
   &\ssi x \pp \dfrac{\e^4}{20+\e^4}
   \end{align*}$
   Soit, en arrondissant au cm près, $x \pp 0,73$ mètre.
   La fonction $f$ étant strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$, on en déduit donc que le diamètre doit être compris entre $0,08$ mètre et $0,73$ mètre pour que ce modèle.
   $\quad$

Partie B

1. a. Ce nombres signifie que chaque année, sur la période $70$ ans à $80$ ans, l’arbre a grandi de $0,245$ mètre.
   $\quad$
   b. En $C3$ on a saisi $=(C2-B2)/(C1-B1)$
   $\quad$
2. $f(0,27)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,27}{1-0,27}\right)\approx 60$
   L’arbre a donc $60$ ans.
   Sur la période allant de $50$ ans à $70$ ans l’arbre a grandi de $0,22$ mètre par an.
   A $60$ ans, il mesure donc $11,2+10\times 0,22 = 13,4$ mètres.
   $\quad$
3. a. On calcule les vitesse de croissance manquantes.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Âges}&50&70&80&85&90&95&100&105&110&120&130&150\\
   \hline
   \text{Vitesse}&&0,22&0,245&0,25&0,25&0,25&0,24&0,24&0,24&0,22&0,205&0,167~5\\
   \hline
   \end{array}$
   La vitesse de croissance est donc maximale entre $80$ et $95$ ans : la vitesse de croissance concerne un intervalle; donc ici les intervalles $[80;85]$, $[85;90]$ et $[90;95]$.
   $\quad$
   b. $f(0,7)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,7}{1-0,7}\right)\approx 115$
   Il est cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$ cm car la période durant laquelle la vitesse de croissance est maximale (et donc la qualité du bois est la meilleure) est dépassée.
   $\quad$

Exercice 4

1. a.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
   \hline
   a_{2k+1}&5&3&4&0&9&6&3&1\\
   \hline
   2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&12&6&2\\
   \hline
   R&1&6&8&0&0&3&6&2\\
   \hline
   I&1&7&15&15&15&18&24&26\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. On a :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   a_{2k}&6&5&0&2&5&1&4\\
   \hline
   P&6&11&11&13&18&19&23\\
   \hline
   \end{array}$
   Donc $S=26+23+c=26+23+1=50$
   $50$ est bien un multiple de $10$. Le numéro est donc correct
   $\quad$
   c.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
   \hline
   a_{2k+1}&6&3&4&0&9&6&3&1\\
   \hline
   2a_{2k+1}&12&6&8&0&18&12&6&2\\
   \hline
   R&31&6&8&0&0&3&6&2\\
   \hline
   I&3&9&17&17&17&20&26&28\\
   \hline
   \end{array}$
   De plus $P=a+17$
   On veut donc que $a+17+28+1$ soit un multiple de $10$
   Soit :
   $a+17+28+1\equiv 0~~[10] \ssi a+46\equiv 0~~[10]$
   Puisque $a$ est un entier compris entre $0$ et $9$, la seule possibilité est $a=4$.
   $\quad$
2. Si $S$ est un multiple de $10$ alors on prend $c=0$
   Si $S$ n’est pas un multiple de $10$, il existe alors un entier naturel $n$ tel que $n<S<n+1$.
   Ainsi $0<n+1-S<10$.
   Et on note $c=n+1-S$.
   Il existe donc bien une clé $c$ rendant ce numéro correct.
   $\quad$
   Supposons qu’il existe deux clés valides : $c$ et $c’$.
   On a ainsi $I+P+c\equiv I+P+c’~~[10]$ soit $c\equiv c’~~[10]$.
   Or $c$ et $c’$ sont deux entiers naturels compris entre $0$ et $9$.
   Cela signifie donc que $c=c’$ et la clé est unique.
   $\quad$
3. Supposons que tous les chiffres soient égaux à $n$
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
   \hline
   2a_1&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18\\
   \hline
   R&0&2&4&6&8&1&3&5&7&0\\
   \hline
   I&0&16&32&48&64&8&24&40&56&0\\
   \hline
   P&0&7&14&21&28&35&42&49&56&63\\
   \hline
   S&0&24&48&72&96&48&72&96&120&72\\
   \hline
   \end{array}$
   Les seuls numéros possibles de ce type sont :
   $0000~0000~0000~0000$ et $8888~8888~8888~8888$
   $\quad$
4. D’après la question 1. le numéro $5635~4002~9561~3411$ est valide.
   $\bullet$ Si on échange le $1$ et le $6$ : $5635~4002~9516~3411$
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
   \hline
   a_{2k+1}&5&3&4&0&9&1&3&1\\
   \hline
   2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&2&6&2\\
   \hline
   R&1&6&8&0&0&2&6&2\\
   \hline
   I&1&7&15&15&15&17&23&25\\
   \hline
   \end{array}$
   et
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   a_{2k}&6&5&0&2&5&6&4\\
   \hline
   P&6&11&11&13&18&24&28\\
   \hline
   \end{array}$
   Donc $S=25+28+1=54$
   Le numéro n’est donc pas valide.
   $\quad$
   $\bullet$ Si on échange le $1$ et le $3$ : $5635~4002~9563~1411$
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
   \hline
   a_{2k+1}&5&3&4&0&9&6&1&1\\
   \hline
   2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&12&2&2\\
   \hline
   R&1&6&8&0&0&3&2&2\\
   \hline
   I&1&7&15&15&15&18&20&22\\
   \hline
   \end{array}$
   et
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   a_{2k}&6&5&0&2&5&3&4\\
   \hline
   P&6&11&11&13&18&21&25\\
   \hline
   \end{array}$
   Donc $S=22+25+1=48$
   Le numéro n’est donc pas valide.
   $\quad$
   Par conséquent si on permutte le $1$ et le $6$ ou le $1$ et le $3$ alors dans les deux cas le numéro n’est pas correct.
   On ne peut donc pas déterminer l’autre chiffre permuté.
   $\quad$

Exercice 1    6 points

On considère un cube $ABCDEFGH$ dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-dessous.
Les arêtes sont de longueur $1$.
L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(D;\vect{DA},\vect{DC},\vect{DH}\right)$.

Partie A

1. Montrer que le vecteur $\vect{DF}$ est normal au plan $(EBG)$.
   $\quad$
2. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EBG)$.
   $\quad$
3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite $(DF)$ et du plan $(EBG)$.
   On démontrerait de la même manière que le point $J$ intersection de la droite $(DF)$ et du plan $(AHC)$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
   $\quad$

Partie B

À tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, on associe le point $M$ du segment $[DF]$ tel que $\vect{DM} = x\vect{DF}$. On s’intéresse à l’évolution de la mesure $\theta$ en radian de l’angle $\widehat{EMB}$ lorsque le point $M$ parcourt le segment $[DF]$. On a $0 \pp  \theta \pp \pi$.

1. Que vaut $\theta$ si le point $M$ est confondu avec le point $D$ ? avec le point $F$ ?
   $\quad$
2. a. Justifier que les coordonnées du point $M$ sont $(x;x;x)$.
   $\quad$
   b. Montrer que $\cos (\theta) = \dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}$. On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs $\vect{ME}$ et $\vect{MB}$.
   $\quad$
3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}$
   
   Pour quelles positions du point $M$ sur le segment $[DF]$ :
   a. le triangle $MEB$ est-il rectangle en $M$ ?
   $\quad$
   b. l’angle $\theta$ est-il maximal ?
   $\quad$

Exercice 2    6 points

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d’une ville. Dans tout l’exercice, les probabilités seront données avec une précision de $10^{-4}$.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A – Durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain

On appelle durée d’attente le temps qui s’écoule entre le moment où la voiture se présente à l’entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d’entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Durée d’attente en minute}  &[0;2[ &[2;4[ &[4;6[ &[6;8[\\
\hline
\text{Nombre de voitures}   & 75 &19 &10 &5\\
\hline
\end{array}$

1. Proposer une estimation de la durée d’attente moyenne d’une voiture à l’entrée du parking.
   $\quad$
2. On décide de modéliser cette durée d’attente par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (exprimé en minute).
   a. Justifier que l’on peut choisir $\lambda = 0,5$ min.
   $\quad$
   b. Une voiture se présente à l’entrée du parking. Quelle est la probabilité qu’elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?
   $\quad$
   c. Une voiture attend à l’entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu’elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?
   $\quad$

Partie B – Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

Une fois garée, la durée de stationnement d’une voiture est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 70$ min et d’écart-type $\sigma = 30$ min.

1. a. Quelle est la durée moyenne de stationnement d’une voiture ?
   $\quad$
   b. Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?
   $\quad$
   c. À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins $99\%$ des voitures ?
   $\quad$
2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.
   $\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline
   \text{Durée de stationnement}& \text{Inférieure à }15 \text{ min} &\text{Entre } 15\text{ min et }1 \text{ h} &\begin{array}{c}\text{Heure}\\ \text{supplémentaire}\end{array}\\
   \hline
   \text{Tarif en euros} &\text{Gratuit} &3,5 &t\\
   \hline
   \end{array}$
   Déterminer le tarif $t$ de l’heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d’une voiture soit de $5$ euros.
   $\quad$

Partie C – Temps d’attente pour se garer dans un parking de centre-ville

La durée de stationnement d’une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire $T’$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu’$ et d’écart-type $\sigma’$. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à $30$ minutes et que $75\%$ des voitures ont un temps de stationnement inférieur à $37$ minutes.
Le gestionnaire du parking vise l’objectif que $95\%$ des voitures aient un temps de stationnement entre $10$ et $50$ minutes. Cet objectif est-il atteint ?
$\quad$

Exercice 3    3 points

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\R$ par : $$f_k(x) = x + k\e^{- x}$$

On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathscr{C}_k$. il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés.
Est-ce le cas ?
$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’épicéa commun est une espèce d’arbre résineux qui peut mesurer jusqu’à $40$ mètres de hauteur et vivre plus de $150$ ans.

L’objectif de cet exercice est d’estimer l’âge et la hauteur d’un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à $1,30$ m du sol.

Partie A – Modélisation de l’âge d’un épicéa

Pour un épicéa dont l’âge est compris entre $20$ et $120$ ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$ m du sol par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;1[$ par : $$f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right)$$
où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l’âge en années.

1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$.
   $\quad$
2. Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l’âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c’est-à-dire compris entre $20$ et $120$ ans.
   $\quad$

Partie B

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d’arbres âgés de $50$ à $150$ ans. Le tableau suivant, réalisé à l’aide d’un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d’un épicéa.

1. a. Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule $D3$.
   $\quad$
   b. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule $C3$ afin de compléter la ligne $3$ en recopiant la cellule $C3$ vers la droite ?
   $\quad$
2. Déterminer la hauteur attendue d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$ m du sol vaut $27$ cm.
   $\quad$
3. La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
   a. Déterminer un intervalle d’âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.
   $\quad$
   b. Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$ cm ?
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un numéro de carte bancaire est de la forme: $$a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}c$$

où $a_{1},a_{2},\ldots,a_{15}$ et $c$ sont des chiffres compris entre $0$ et $9$.
Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire.
$c$ est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres.
L’algorithme suivant permet de valider la conformité d’un numéro de carte donné.

Initialisation :
$\quad$ $I$ prend la valeur $0$
$\quad$ $P$ prend la valeur $0$
$\quad$ $R$ prend la valeur $0$
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $7$ :
$\qquad$ $R$ prend la valeur du reste de la division euclidienne de $2a_{2k+1}$ par 9
$\qquad$ $I$ prend la valeur $I + R$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Pour $k$ allant de $1$ à $7$ :
$\qquad$ $P$ prend la valeur $P + a_{2k}$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ $S$ prend la valeur $I + P + c$
Sortie :
$\quad$ Si $S$ est un multiple de $10$ alors :
$\qquad$ Afficher “Le numéro de la carte est correct.”
$\quad$ Sinon :
$\qquad$ Afficher “Le numéro de la carte n’est pas correct.”
$\quad$ Fin Si

 

1. On considère le numéro de carte suivant: $5635~4002~9561~3411$.
   $\quad$
   a. Compléter le tableau en annexe permettant d’obtenir la valeur finale de la variable $I$.
   $\quad$
   b. Justifier que le numéro de la carte $5635~4002~9561~3411$ est correct.
   $\quad$
   c. On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement $5$) est changé en $6$.
   Quel doit être le deuxième chiffre $a$ pour que le numéro de carte obtenu $6a35~4002~9561~3411$ reste correct ?
   $\quad$
2. On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d’une carte bancaire.
   Montrer qu’il existe une clé $c$ rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.
   $\quad$
3. Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.
   $\quad$
4. On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct.
   On a trouvé une situation où ce n’est pas le cas, l’un des deux chiffres permutés valant $1$.
   Peut-on déterminer l’autre chiffre permuté ?
   $\quad$

Annexe

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
a_{2k+1}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}\\
\hline
2a_{2k+1}&&&&&&&&\\
\hline
R&&&&&&&&\\
\hline
I&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}$