Bac S – Liban – Mai 2019

Liban – Mai 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac sera mise en ligne dès que le sujet sera disponible.
Il est important de s’entraîner sur les sujets de l’année pour bien préparer sa propre épreuve. On se fait ainsi une idée des tendances de l’année.
L’intégralité des sujets corrigés cette année et les années précédentes se trouve ici.

Les sujets tombés  les années précédentes sont dans les onglets situés en dessous. Pour les corrections, il suffit de suivre ces liens :

Année 2018

Exercice 1     3 points

Les quinze jours précédant la rentrée universitaire, le standard téléphonique d’une mutuelle étudiante enregistre un nombre record d’appels.
Les appelants sont d’abord mis en attente et entendent une musique d’ambiance et un message préenregistré.
Lors de cette première phase, le temps d’attente, exprimé en secondes, est modélisé par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0, 02$ s$^{−1}$.
Les appelants sont ensuite mis en relation avec un chargé de clientèle qui répond à leurs questions. Le temps d’échange, exprimé en secondes, lors de cette deuxième phase est modélisé par la variable aléatoire $Y$ , exprimée en secondes, qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 96$ s et d’écart-type
$\sigma = 26$ s.

  1. Quelle est la durée totale moyenne d’un appel au standard téléphonique (temps d’attente et temps d’échange avec le chargé de clientèle) ?
    $\quad$
  2. Un étudiant est choisi au hasard parmi les appelants du standard téléphonique.
    a. Calculer la probabilité que l’étudiant soit mis en attente plus de $2$ minutes.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité pour que le temps d’échange avec le conseiller soit inférieur à $90$ secondes.
    $\quad$
  3. Une étudiante, choisie au hasard parmi les appelants, attend depuis plus d’une minute d’être mise en relation avec le service clientèle. Lasse, elle raccroche et recompose le numéro. Elle espère attendre moins de trente secondes cette fois-ci.
    Le fait de raccrocher puis de rappeler augmente-t-il ses chances de limiter à $30$ secondes l’attente supplémentaire ou bien aurait-elle mieux fait de rester en ligne ?
    $\quad$

Exercice 2     3 points

  1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes $1+\ic$ et $1-\ic$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=(1+\ic)^n+(1-\ic)^n$.
    $\quad$
    a. Déterminer la forme trigonométrique de $S_n$.
    $\quad$
    b. Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.
    Affirmation A : Pour tout entier naturel $n$, le nombre complexe $S_n$ est un nombre réel.
    $\quad$
    Affirmation B : Il existe une infinité d’entiers naturels $n$ tels que $S_n=0$.
    $\quad$

Exercice 3     4 points

L’objectif de cet exercice est d’étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant t, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point $S_1(t)$ et le second sous-marin est repéré par le point $S_2(t)$ dans un repère orthonormé $\Oijk$ dont l’unité est le mètre.

Le plan défini par $\Oij$ représente la surface de la mer. La cote $z$ est nulle au niveau de la mer, négative sous l’eau.

  1. On admet que, pour tout réel $t \pg 0$, le point $S_1(t)$ a pour coordonnées :
    $$\begin{cases} x(t)=140-60t\\y(t)=105-90t\\z(t)=-170-30t\end{cases}$$
    a. Donner les coordonnées du sous-marin au début de l’observation.
    $\quad$
    b. Quelle est la vitesse du sous-marin?
    $\quad$
  2. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.

    Déterminer l’angle $\alpha$ que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal.
    On donnera l’arrondi de $\alpha$ à $0,1$ degré près.
    $\quad$
  3. Au début de l’observation, le second sous-marin est situé au point $S_2(0)$ de coordonnées $(68 ; 135 ; −68)$ et atteint au bout de trois  minutes le point $S_2(3)$ de coordonnées $(−202 ; −405 ; −248)$
    avec une vitesse constante.
    À quel instant $t$, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?
    $\quad$

Exercice 4     5 points

On considère, pour tout entier $n > 0$, les fonctions $f_n$ définies sur l’intervalle $[1;5]$ par : $$f_n(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^n}$$

Pour tout entier $n>0$, on note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal.
Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes $\mathscr{C}_n$ pour $n$ appartenant à $\lbrace 1;2;3;4\rbrace$.

  1. Montrer que, pour tout entier $n>0$ et tout réel $x$ de l’intervalle $[1;5]$ : $${f_n}'(x)=\dfrac{1-n\ln(x)}{x^{n+1}}$$
    $\quad$
  2. Pour tout entier $n > 0$, on admet que la fonction $f_n$ admet un maximum sur l’intervalle $[1 ; 5]$.
    On note $A_n$ le point de la courbe $\mathscr{C}_n$ ayant pour ordonnée ce maximum.
    Montrer que tous les points $A_n$ appartiennent à une même courbe $\Gamma$ d’équation $$y=\dfrac{1}{\e}\ln(x)$$
    $\quad$
  3. a. Montrer que, pour tout entier $n>1$ et tout réel $x$ de l’intervalle $[1;5]$ : $$0 \pp \dfrac{\ln(x)}{x^n}\pp \dfrac{\ln(5)}{x^n}$$
    $\quad$
    b. Montrer que pour tout entier $n>1$ :
    $$\ds \int_1^5 \dfrac{1}{x^n}\dx =\dfrac{1}{n-1}\left(1-\dfrac{1}{5^{n-1}}\right)$$
    $\quad$
    c. Pour tout entier $n>0$, on s’intéresse à l’aire, exprimée en unités d’aire, sous la courbe $\mathscr{C}_n$, c’est-à-dire l’aire du domaine du plan délimité par les droites d’équations $x=1$, $x=5$, $y=0$ et la courbe $\mathscr{C}_n$.
    Déterminer la valeur limite de cette aire quand $n$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

  • Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est $\dfrac{1}{4}$;
  • Si le joueur perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$;
  • La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l’événement “la $n^{\ieme}$ partie est gagnée” et on note $p_n$ la probabilité de cet événement. On a donc $p_1=\dfrac{1}{4}$.

  1. Montrer que $p_2=\dfrac{7}{16}$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&1&2&3&4&5&6&7\\
    \hline
    p_n&0,25&0,4375&0,3906&0,4023&0,3994&0,4001&0,3999\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle conjecture peut-on émettre?
    $\quad$
  4. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=p_n-\dfrac{2}{5}$.
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n=\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle? Interpréter ce résultat.
    $\quad$

Exercice 5     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit la suite de réels $\left(a_n\right)$ par : $$\begin{cases} a_0=0\\a_1=1\\a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\quad \text{pour } n\pg 1\end{cases}$$
On appelle cette suite la suite de Fibonnacci.

  1. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution la variable $A$ contienne le terme $a_n$.
  2. $\quad$
    $\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&A \leftarrow 0\\
    2&B \leftarrow 1 \\
    3&\text{Pour $i$ allant de $\color{red}{1}$ à $n$} \\
    4&| ~~C \leftarrow A+B \\
    5&|~~A \leftarrow \ldots \\
    6&|~~B \leftarrow \ldots \\
    7&\text{Fin Pour} \\
    \hline
    \end{array}$
    Remarque : Dans l’énoncé original à la ligne $3$, la boucle pour commençait à $1$. L’algorithme proposait ne répondait pas alors à la question posée.
    $\quad$
    On obtient ainsi les premières valeurs de la suite $a_n$ :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
    \hline
    a_n&0&1&1&2&3&5&8&13&21&34&55\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. Soit la matrice $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$.
    Calculer $A^2$, $A^3$ et $A_4$. Vérifier que $A^5=\begin{pmatrix}8&5\\5&3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $$A^n=\begin{pmatrix}a_{n+1}&a_n\\a_n&A_{n-1}\end{pmatrix}$$
    a. Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls. Calculer le produit $A^p\times A^q$ et en déduite que $$a_{p+q}=a_p\times a_{q+1}+a_{p-1}\times a_q$$
    $\quad$
    b. En déduire que si un entier $r$ divise les entiers $a_p$ et $a_q$, alors $r$ divise également $a_{p+q}$.
    $\quad$
    c. Soit $p$ un entier naturel non nul.
    Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrencesur $n$, que pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_p$ divise $a_{np}$.
    $\quad$
  5. a. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $5$. Montrer que si $n$ est entier naturel qui n’est pas premier, alors $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$
    b. On peut calculer $a_{19}=4~181=37\times 113$.
    Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4.a. ?
    $\quad$

Année 2017

Exercice 1    6 points

On considère un cube $ABCDEFGH$ dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-dessous.
Les arêtes sont de longueur $1$.
L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(D;\vect{DA},\vect{DC},\vect{DH}\right)$.

Partie A

  1. Montrer que le vecteur $\vect{DF}$ est normal au plan $(EBG)$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EBG)$.
    $\quad$
  3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite $(DF)$ et du plan $(EBG)$.
    On démontrerait de la même manière que le point $J$ intersection de la droite $(DF)$ et du plan $(AHC)$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
    $\quad$

Partie B

À tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, on associe le point $M$ du segment $[DF]$ tel que $\vect{DM} = x\vect{DF}$. On s’intéresse à l’évolution de la mesure $\theta$ en radian de l’angle $\widehat{EMB}$ lorsque le point $M$ parcourt le segment $[DF]$. On a $0 \pp  \theta \pp \pi$.

  1. Que vaut $\theta$ si le point $M$ est confondu avec le point $D$ ? avec le point $F$ ?
    $\quad$
  2. a. Justifier que les coordonnées du point $M$ sont $(x;x;x)$.
    $\quad$
    b. Montrer que $\cos (\theta) = \dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}$. On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs $\vect{ME}$ et $\vect{MB}$.
    $\quad$
  3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f : x \mapsto \dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}$

    Pour quelles positions du point $M$ sur le segment $[DF]$ :
    a. le triangle $MEB$ est-il rectangle en $M$ ?
    $\quad$
    b. l’angle $\theta$ est-il maximal ?
    $\quad$

Exercice 2    6 points

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d’une ville. Dans tout l’exercice, les probabilités seront données avec une précision de $10^{-4}$.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A – Durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain

On appelle durée d’attente le temps qui s’écoule entre le moment où la voiture se présente à l’entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d’entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Durée d’attente en minute}  &[0;2[ &[2;4[ &[4;6[ &[6;8[\\
\hline
\text{Nombre de voitures}   & 75 &19 &10 &5\\
\hline
\end{array}$

  1. Proposer une estimation de la durée d’attente moyenne d’une voiture à l’entrée du parking.
    $\quad$
  2. On décide de modéliser cette durée d’attente par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (exprimé en minute).
    a. Justifier que l’on peut choisir $\lambda = 0,5$ min.
    $\quad$
    b. Une voiture se présente à l’entrée du parking. Quelle est la probabilité qu’elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?
    $\quad$
    c. Une voiture attend à l’entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu’elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?
    $\quad$

Partie B – Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

Une fois garée, la durée de stationnement d’une voiture est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 70$ min et d’écart-type $\sigma = 30$ min.

  1. a. Quelle est la durée moyenne de stationnement d’une voiture ?
    $\quad$
    b. Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?
    $\quad$
    c. À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins $99\%$ des voitures ?
    $\quad$
  2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline
    \text{Durée de stationnement}& \text{Inférieure à }15 \text{ min} &\text{Entre } 15\text{ min et }1 \text{ h} &\begin{array}{c}\text{Heure}\\ \text{supplémentaire}\end{array}\\
    \hline
    \text{Tarif en euros} &\text{Gratuit} &3,5 &t\\
    \hline
    \end{array}$
    Déterminer le tarif $t$ de l’heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d’une voiture soit de $5$ euros.
    $\quad$

Partie C – Temps d’attente pour se garer dans un parking de centre-ville

La durée de stationnement d’une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire $T’$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu’$ et d’écart-type $\sigma’$. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à $30$ minutes et que $75\%$ des voitures ont un temps de stationnement inférieur à $37$ minutes.
Le gestionnaire du parking vise l’objectif que $95\%$ des voitures aient un temps de stationnement entre $10$ et $50$ minutes. Cet objectif est-il atteint ?
$\quad$

Exercice 3    3 points

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\R$ par : $$f_k(x) = x + k\e^{- x}$$

On note $\mathscr{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathscr{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$.

Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathscr{C}_k$. il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés.
Est-ce le cas ?
$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’épicéa commun est une espèce d’arbre résineux qui peut mesurer jusqu’à $40$ mètres de hauteur et vivre plus de $150$ ans.

L’objectif de cet exercice est d’estimer l’âge et la hauteur d’un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à $1,30$ m du sol.

Partie A – Modélisation de l’âge d’un épicéa

Pour un épicéa dont l’âge est compris entre $20$ et $120$ ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$ m du sol par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;1[$ par : $$f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right)$$
où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l’âge en années.

  1. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$.
    $\quad$
  2. Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l’âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c’est-à-dire compris entre $20$ et $120$ ans.
    $\quad$

Partie B

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d’arbres âgés de $50$ à $150$ ans. Le tableau suivant, réalisé à l’aide d’un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d’un épicéa.

  1. a. Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule $D3$.
    $\quad$
    b. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule $C3$ afin de compléter la ligne $3$ en recopiant la cellule $C3$ vers la droite ?
    $\quad$
  2. Déterminer la hauteur attendue d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$ m du sol vaut $27$ cm.
    $\quad$
  3. La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
    a. Déterminer un intervalle d’âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.
    $\quad$
    b. Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$ cm ?
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un numéro de carte bancaire est de la forme: $$a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}c$$

où $a_{1},a_{2},\ldots,a_{15}$ et $c$ sont des chiffres compris entre $0$ et $9$.
Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire.
$c$ est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres.
L’algorithme suivant permet de valider la conformité d’un numéro de carte donné.

Initialisation :
$\quad$ $I$ prend la valeur $0$
$\quad$ $P$ prend la valeur $0$
$\quad$ $R$ prend la valeur $0$
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ allant de $0$ à $7$ :
$\qquad$ $R$ prend la valeur du reste de la division euclidienne de $2a_{2k+1}$ par 9
$\qquad$ $I$ prend la valeur $I + R$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Pour $k$ allant de $1$ à $7$ :
$\qquad$ $P$ prend la valeur $P + a_{2k}$
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ $S$ prend la valeur $I + P + c$
Sortie :
$\quad$ Si $S$ est un multiple de $10$ alors :
$\qquad$ Afficher “Le numéro de la carte est correct.”
$\quad$ Sinon :
$\qquad$ Afficher “Le numéro de la carte n’est pas correct.”
$\quad$ Fin Si

 

  1. On considère le numéro de carte suivant: $5635~4002~9561~3411$.
    $\quad$
    a. Compléter le tableau en annexe permettant d’obtenir la valeur finale de la variable $I$.
    $\quad$
    b. Justifier que le numéro de la carte $5635~4002~9561~3411$ est correct.
    $\quad$
    c. On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement $5$) est changé en $6$.
    Quel doit être le deuxième chiffre $a$ pour que le numéro de carte obtenu $6a35~4002~9561~3411$ reste correct ?
    $\quad$
  2. On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d’une carte bancaire.
    Montrer qu’il existe une clé $c$ rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.
    $\quad$
  3. Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.
    $\quad$
  4. On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct.
    On a trouvé une situation où ce n’est pas le cas, l’un des deux chiffres permutés valant $1$.
    Peut-on déterminer l’autre chiffre permuté ?
    $\quad$

Annexe

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
a_{2k+1}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}&\phantom{a_{2k+1}}\\
\hline
2a_{2k+1}&&&&&&&&\\
\hline
R&&&&&&&&\\
\hline
I&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}$

Année 2016

Exercice 1    4 points

On considère un solide $ADECBF$ constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré $ABCD$ de centre $I$. Une représentation en perspective de ce solide est donnée en annexe (à rendre avec la copie). Toutes les arêtes sont de longueur $1$.

L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AK}\right)$.

  1. a. Montrer que $IE = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. En déduire les coordonnées des points $I$, $E$ et $F$.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}0\\- 2\\\sqrt{2}\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABE)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABE)$.
    $\quad$
  2. On nomme $M$ le milieu du segment $[DF]$ et $N$ celui du segment $[AB]$.
    a. Démontrer que les plans $(FDC)$ et $(ABE)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Déterminer l’intersection des plans $(EMN)$ et $(FDC)$.
    $\quad$
    c. Construire sur l’annexe (à rendre avec la copie) la section du solide $ADECBF$ par le plan $(EMN)$.
    $\quad$

 

$\quad$

Exercice 2    4 points

Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive.
Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.

Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.

Partie A

Le joueur s’apprête à recevoir une série de $20$ balles.

  1. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie $10$ balles à droite ?
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre $5$ et $10$ balles à droite ?
    $\quad$

Partie B

Le lance-balle est équipé d’un réservoir pouvant contenir $100$ balles. Sur une séquence de $100$ lancers, $42$ balles ont été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l’appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?

$\quad$

Partie C

Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit “liftées” soit “coupées”. La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.

Les réglages de l’appareil permettent d’affirmer que :

  • la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est $0,24$ ;
  • la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est $0,235$.

Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu’elle soit envoyée à droite ?

$\quad$

Exercice 3    4 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par : $$f(x) = \dfrac{1}{1 + \e^{1 – x}}$$

Partie A

  1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, $f(x) = \dfrac{\e^x}{\e^x + \e}$ (on rappelle que $\e = \e^1$).
    $\quad$
  3. Montrer alors que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\dx = \ln (2) + 1 – \ln (1 + \e)$.
    $\quad$

Partie B

Soit $n$ un entier naturel. On considère les fonctions $f_n$ définies sur $[0;1]$ par : $$f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n\e^{1 – x}}$$

On note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d’un repère orthonormé.
On considère la suite de terme général $$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\dx.$$

  1. On a tracé en annexe les courbes représentatives des fonctions $f_n$ pour $n$ variant de $1$ à $5$. Compléter le graphique en traçant la courbe $\mathscr{C}_0$ représentative de la fonction $f_0$.
    $\quad$
  2. Soit $n$ un entier naturel, interpréter graphiquement $u_n$ et préciser la valeur de $u_0$.
    $\quad$
  3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    Démontrer cette conjecture.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ admet-elle une limite ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

  • Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densité d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 20$. La probabilité que la variable aléatoire $X$ soit comprise entre $20$ et $21,6$ est égale à $0,34$.

    Affirmation 1
    La probabilité que la variable aléatoire $X$ appartienne à l’intervalle $[23,2;+\infty[$ vaut environ $0,046$.
    $\quad$
  • Soit $z$ un nombre complexe différent de $2$. On pose : $$Z = \dfrac{\ic z}{z-2}$$
    Affirmation 2 : L’ensemble des points du plan complexe d’affixe $z$ tels que $|Z| = 1$ est une droite passant par le point $A(1;0)$.
    $\quad$
    Affirmation 3 : $Z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z$ est réel.
    $\quad$
  • Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x) = \dfrac{3}{4 + 6\e^{-2x}}$$
    Affirmation 4 : L’équation $f(x) = 0,5$ admet une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
    Affirmation 5 : L’ algorithme suivant affiche en sortie la valeur $0,54$.
    $\quad$
    Variables :
    $\quad$  $X$ et $Y$ sont des réels
    Initialisation :
    $\quad$ $X$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{10}$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $Y < 0,5$
    $\qquad$ $X$ prend la valeur $X + 0,01$
    $\qquad$ $Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{4 + 6\e^{-2X}}$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $X$

$\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

  • On considère le système $\begin{cases} n \equiv  1 \quad [5]\\n \equiv  3 \quad[4] \end{cases}$ d’inconnue $n$ entier relatif.
    Affirmation 1 : Si $n$ est solution de ce système alors $n-11$ est divisible par $4$ et par $5$.
    $\quad$
    Affirmation 2 : Pour tout entier relatif $k$, l’entier $11 + 20k$ est solution du système.
    $\quad$
    Affirmation 3 : Si un entier relatif $n$ est solution du système alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n = 11 + 20k$.
    $\quad$
  • Un automate peut se trouver dans deux états $A$ ou $B$. À chaque seconde il peut soit rester dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la probabilité que l’automate se trouve dans l’état $A$ après $n$ secondes et $b_n$ la probabilité que l’automate se trouve dans l’état $B$ après $n$ secondes. Au départ, l’automate est dans l’état $B$.
    On considère l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $a$ et $b$ sont des réels
    Initialisation :
    $\quad$ $a$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $b$ prend la valeur $1$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $k$ allant de $1$ à $10$
    $\qquad$ $a$ prend la valeur $0,8a + 0,3b$
    $\qquad$ $b$ prend la valeur $1-a$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $a$
    $\quad$ Afficher $b$
    $\quad$
    Affirmation 4 : En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de $a_{10}$ et $b_{10}$.
    $\quad$
    Affirmation 3 : Après $4$ secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état $A$ que d’être dans l’état $B$.

$\quad$

Exercice 5    3 points

On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par : $$\begin{cases} z_0 = 0\\z_{n+ 1} = \dfrac{1}{2} \ic \times z_n + 5\end{cases}$$

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d’affixe $z_n$.
On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d’affixe $z_{\text{A}}$.

  1. Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n – z_A$.
    a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \ic \times u_n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = \left(\dfrac{1}{2} \ic\right)^n (- 4 – 2\ic)$$
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.
    $\quad$