Exercice 1

1. La largeur de la chaînette est $MM’=2x$.
   La hauteur de la chaînette est $\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}-2\right)$.
   On veut donc résoudre :
   $\begin{align*} 2x=\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}-2\right)&\ssi 4x=\e^x+\e^{-x}-2 \\
   &=\e^x+\e^{-x}-4x-2 = 0\end{align*}$
   $\quad$
2. a. $x\left(\dfrac{\e^x}{x}-4\right)+\e^{-x}-2 =\e^x-4x+\e^{-x}-2=f(x)$.
   $\quad$
   b. $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$
   Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-x}=0$.
   De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} x\left(\dfrac{\e^x}{x}-4\right)=+\infty$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
   $\quad$
3. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $f'(x)=\e^x-\e^{-x}-4$.
   $\quad$
   b. $\quad$
   $\begin{align*} f'(x)=0 &\ssi \e^x-\e^{-x}-4=0 \\
   &\ssi \dfrac{\e^{2x}-1-4\e^x}{\e^x}=0 \\
   &\ssi \dfrac{\left(\e^x\right)^2-4\e^x-1}{\e^x}=0
   &\ssi \left(\e^x\right)^2-4\e^x-1=0 \quad \text{car } \e^x >0 \text{ sur } [0;+\infty[
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. On pose $X=\e^x$.
   On a alors
   $ \left(\e^x\right)^2-4\e^x-1=0 \ssi \begin{cases} X=\e^x\\X^2-4X-1=0 \end{cases} $
   Calculons le discriminant du polynôme $X^2-4X-1$
   $\Delta = (-4)^2-4\times 1\times (-1)=20>0$
   Il possède donc deux racines réelles : $X_1=\dfrac{4-\sqrt{20}}{2}=2-\sqrt{5} <0$
   et $X_2=\dfrac{4+\sqrt{20}}{2}=2+\sqrt{5}>0$.
   Ainsi :
   $\begin{cases} X=\e^x\\X^2-4X-1=0 \end{cases} \ssi \begin{cases} X=\e^x \\X=2-\sqrt{5} \text{ ou } X=2+\sqrt{5}\end{cases}$
   $X_1<0$ donc la seule solution possible est celle qui vérifie $2+\sqrt{5}=\e^x \ssi x=\ln \left(2+\sqrt{5}\right)$.
   $\quad$
4. a. On obtient le tableau de variation suivant :
   
   On a $f\left(\ln \left(2+\sqrt{5}\right)\right) \approx -3,3$.
   $\quad$
   b. Sur l’intervalle $\left]0;\ln \left(2+\sqrt{5}\right)\right[$ on a $f(x)<0$.
   Sur l’intervalle $\left[\ln \left(2+\sqrt{5}\right);+\infty\right[$, la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
   De plus $f\left(\ln \left(2+\sqrt{5}\right)\right) \approx -3,3<0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[\ln \left(2\sqrt{5}\right);+\infty\right[$.
   Ainsi l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$
5. a.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   m&a&b&b-a\\
   \hline
   &2&3&1\\
   \hline
   2,5&2&2,5&0,5\\
   \hline
   2,25&2,25&2,5&0,25\\
   \hline
   2,375&2,375&2,5&0,125\\
   \hline
   2,4375&2,4375&2,5&0,0625\\
   \hline
   \end{array}$
   À la fin de l’exécution de l’algorithme on a $a=2,437~5$ et $b=2,5$.
   $\quad$
   b. On a $f(2)\approx -2,48$ et $f(3)\approx 6,14$.
   Par conséquent $\alpha$ appartient à l’intervalle  $]2;3[$.
   L’algorithme (de dichotomie) précédent nous fournit un encadrement d’amplitude au plus $0,1$ de cette valeur.
   Donc $2,437~5 <\alpha < 2,5$.
   $\quad$
6. D’après la question précédente la solution de l’équation $(E’)$ vérifie :
   $2,437~5< \dfrac{t}{39}<2,5 \ssi 95,062~5<t<97,5$.
   Un encadrement de la largeur de cet arc est donc $190,125<2t<195$.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. a. D’après l’énoncé, on a $p(G)=0,2$.
   $\quad$
   b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. On veut calculer $p(V\cap G)=0,4\times 0,08=0,032$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*}p(G)=p(V\cap G)+p\left(\conj{V}\cap G\right) &\ssi 0,2=0,032+p\left(\conj{V}\cap G\right) \\
   &\ssi p\left(\conj{V}\cap G\right)=0,168
   \end{align*}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} p_{\conj{V}}(G)&=\dfrac{p\left(\conj{V}\cap G\right)}{p\left(\conj{V}\right)} \\
   &=\dfrac{0,168}{0,6} \\
   &=0,28
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. On effectue $n$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
   Chaque tirage possède deux issues $V$ et $\conj{V}$.
   De plus $p(V)=0,4$.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,4$.
   $\quad$
2. a. On a $p(X=15)=\ds \binom{40}{15}\times 0,4^{15}\times 0,6^{40-15} \approx 0,123$.
   La probabilité qu’exactement $15$ des $40$ personnes interrogées soient vaccinées est d’environ $12,3\%$.
   $\quad$
   b. On veut calculer $p(X \pg 20)=1-p(X\pp 19) \approx 0,130$
   La probabilité qu’au moins la moitié des personnes soit vaccinée est d’environ $13\%$.
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{align*} p(1~450 \pp X \pp 1~550) & = p(-50 \pp X-1~500 \pp 50) \\
   &=p\left(-\dfrac{50}{30} \pp \dfrac{X-1~500}{30} \pp \dfrac{50}{30} \right) \\
   &=p\left(-\dfrac{5}{3} \pp Z\pp \dfrac{5}{3}\right) \\
   &\approx 0,904
   \end{align*}$
   $\quad$

Exercice 3

Partie A – Étude de cas particulier

1. a. Dans le tétraèdre $ABCE$, la hauteur issue de $E$ est $[EA]$ et celle issue de $C$ est $[BC]$.
   $\quad$
   b. Les droites $(EA)$ et $(BC)$ ne sont pas coplanaires. Les quatre hauteurs du tétraèdre $ABCE$ ne sont donc pas concourantes.
   $\quad$
2. a. Dans le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ on a :
   $A(0;0;0)$ donc $0-0+0=0$ : les coordonnées du point $A$ sont solution de l’équation cartésienne fournie.
   $C(1;1;0)$  donc $1-1+0=0$ : les coordonnées du point $C$ sont solution de l’équation cartésienne fournie.
   $H(0;1;1)$ donc $0-1+1=0$ : les coordonnées du point $H$ sont solution de l’équation cartésienne fournie.
   Une équation cartésienne su plan $(ACH)$ est donc $x-y+z=0$.
   $\quad$
   b. Un vecteur normal à ce plan est donc $\vec{n}(1;-1;1)$.
   Or les coordonnées de $F$ sont $(1;0;1)$ et celles de $D$ sont $(0;1;0)$.
   On a donc $\vect{FD}(-1;1;-1)$. Ainsi $\vect{FD}=-\vec{n}$.
   Le vecteur $\vect{FD}$ est par conséquent normal au plan $(ACH)$ et la droite $(FD)$ est la hauteur issue de $F$ du tétraèdre $ACHF$.
   $\quad$
   c. La hauteur du tétraèdre $ACHF$ issue de $A$ est $[AG]$, celle issue de $C$ est $[CE]$ et celle issue de $H$ est $[BH]$.
   Ces quatre hauteurs se coupent en $O$ le centre du cube. Elles sont donc concourantes.
   $\quad$

Partie B – Une propriété des tétraèdre orthocentriques

1. a. La droite $(MK)$ est orthogonale au plan $(NPQ)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier $(PQ)$.
   $\quad$
   b. La droite $(PQ)$ est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan $(MNK)$. Elle est donc orthogonale à ce plan.
   $\quad$
2. La droite $(PQ)$ est orthogonale au plan $(MNK)$. Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à $(MN)$.
   Ainsi les arêtes $[MN]$ et $[PQ]$ sont orthogonales.
   $\quad$

Partie C – Application

On a $\vect{RT}(7;-6;3)$ et $\vect{SU}(3;3;5)$.
Donc $\vect{RT}.\vect{SU}=3\times 7-6\times 3+3\times 5=18\neq 0$.

D’après la contraposée de la propriété donnée à la fin de la partie B le tétraèdre $RSTU$ n’est pas orthocentrique.
$\quad$

 

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. a.
   $\begin{align*} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic\pi/6}&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+\ic \sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right) \\
   &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\ic}{2}\right) \\
   &=\dfrac{3}{4}-\dfrac{\ic\sqrt{3}}{4} \\
   &=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. On a donc :
   $z_1=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}  \times 8 =8 \times  \dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic\pi/6} = 4\sqrt{3}\e^{-\ic\pi/6}$
   $z_2=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}  \times 4\sqrt{3}\e^{-\ic\pi/6} = 4\sqrt{3}\e^{-\ic\pi/6} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic\pi/6} = 6\e^{-\ic \pi/3}$
   $z_3=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4} \times 6\e^{-\ic \pi/3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic\pi/6} \times 6\e^{-\ic \pi/3}=3\sqrt{3}\e^{-\ic\pi/2}$
   On a donc $z_3=-3\ic\sqrt{3}$ est un nombre imaginaire pur dont la partie imaginaire est $-3\sqrt{3}$.
   $\quad$
   c. On obtient :
   
2. a. Initialisation : Si $n=0$ alors $8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^0\e^{0}=8=z_0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons vraie la propriété au rang $n$ : $z_n=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\times \e^{-\ic n \pi/6}$.
   Montrons qu’elle est vraie au rang suivant : $z_{n+1}=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}\times \e^{-\ic (n+1) \pi/6}$
   $\begin{align*} z_{n+1}&= \dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}z_n \\
   &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic \pi/6} \times 8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\times \e^{-\ic n \pi/6}\\
   &=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}\times \e^{-\ic (n+1) \pi/6}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $z_n=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\times \e^{-\ic n \pi/6}$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $u_n=\left|z_n\right|=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et de premier terme $u_0=8$
   Or $-1< \dfrac{\sqrt{3}}{2} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=0$
   et $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0$.
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $k$ on a :
   $\begin{align*} \dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}} &=1-\dfrac{z_k}{z_{k+1}} \\
   &=1-\dfrac{ 8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^k\times \e^{-\ic k \pi/6}}{8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^(k+1)\times \e^{-\ic (k+1) \pi/6}} \\
   &=1-\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{\ic\pi/6}} \\
   &=1-\dfrac{2\e^{\ic \pi/6}}{\sqrt{3}} \\
   &=1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right) \\
   &=1-1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ic \\
   &=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ic
   \end{align*}$
   $\quad$
   Cela signifie donc que $\left|\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \ssi \dfrac{A_kA_{k+1}}{OA_{k+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
   Soit $A_kA_{k+1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_{k+1}$.
   $\quad$
   b. $u_1=\left|z_1\right|=4\sqrt{3}$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} \ell_n=\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_2+\ldots +\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_n \\
   &=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(u_1+u_2+\ldots+u_n\right) \\
   &=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times u_1\times \dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\
   &=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\
   &=4\times \dfrac{1-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}
   \end{align*}$
   Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=0$
   Donc $\lim\limits_{n \to \infty} \ell_n= \dfrac{4}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}} $
   La suite $\left(\ell_n\right)$ est bien convergente.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. $3^2-8\times 1^2=9-8=1$.
   Le couple $(3;1)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$
2. a.Initialisation :  Si $n=0$ alors $1^2-8\times 0^2=1$. Le couple $\left(x_0;y_0\right)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $\left(x_n;y_n\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $\left(x_{n+1};y_{n+1}\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
   On a $\begin{pmatrix} x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x_n+8y_n\\x_n+3y_n\end{pmatrix}$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} \left(x_{n+1}\right)^2-8\left(y_{n+1}\right)^2 &= \left(3x_n+8y_n\right)^2-8\left(x_n+3y_n\right)^2 \\
   &=9{x_n}^2+64{y_n}^2+48x_ny_n-8\left({x_n}^2+9{y_n}^2+6x_ny_n\right) \\
   &=9{x_n}^2+64{y_n}^2+48x_ny_n-8{x_n}^2-72{y_n}^2-48x_ny_n \\
   &={x_n}^2-8{y_n}^2 \\
   &=1
   \end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ le couple $\left(x_n;y_n\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $x_{n+1}-x_n=3x_n+8y_n-x_n=2x_n+8y_n>0$ puisque $x_n$ et $y_n$ sont des entiers naturels et $x_n>0$.
   $\quad$
3. La suite $\left(x_n\right)$ est donc une suite strictement croissante d’entiers naturels.
   L’équation $(E)$ admet donc une infinité de couples solutions.
   $\quad$

Partie B

1. Le seul nombre premier qui divise $8$ est $2$ et $8$ est divisible par $2^2=4$.
   Le seul nombre premier qui divise $9$ est $3$ et $9$ est divisible par $3^2=9$.
   Ces deux entiers consécutifs sont donc puissants.
   $\quad$
2. a. Les diviseurs premiers de $n$ sont les diviseurs premiers de $a$  ou de $b$.
   Soit $p$ un diviseur premier de $a$. Il existe alors un entier naturel $q$ tel que $a=pq$.
   Donc $n=p^2q^2b^3$ et $p^2$ divise $n$.
   Soit $r$ un diviseur premier de $b$. Il existe alors un entier naturel $s$ tel que $b=rs$.
   Donc $n=a^2r^3s^3=a^2r^2rs^3$ et $r^2$ divise $n$.
   $n$ est donc un nombre puissant.
   $\quad$
3. Soit $(x;y)$ un couple solution de l’équation $(E)$.
   Ainsi $x^2-8y^2=1$ soit $x^2-1=8y^2=2^3y^2$.
   D’après la question précédente, le nombre $x^2-1$ est puissant.
   Les seuls diviseurs premiers de $x^2$ sont les diviseurs premiers de $x$.
   Si $p$ est diviseur premier de $x$, il existe alors un entier naturel $q$ tel que $x=pq$.
   Donc $x^2=p^2q^2$ et $p^2$ divise $x^2$.
   $x^2$ est donc un nombre puissant.
   Remarque : On pouvait également dire que $x^2=1^3\times x^2$ et appliquer la propriété précédente.
   $\quad$
   Ainsi, $x^2-1$ et $x^2$ sont deux entiers naturels consécutifs puissants.
   $\quad$
4. D’après la question A.3. il existe une infinité de couples solutions à l’équation $(E)$.
   La question précédente nous indique que pour chaque couple solution on peut déterminer deux entiers consécutifs puissants.
   Il existe donc une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
   $\quad$
   On a, à l’aide de la calculatrice $\begin{pmatrix} x_3\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 99\\35\end{pmatrix}$
   Donc $99^2=9~801$ et $99^2-1=9~800$ sont puissants.
   $\quad$

Exercice 1     6 points

Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.

On a représenté ci-dessous la courbe d’équation ! $$y=\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}-2\right)$$
Cette courbe est appelée une «chaînette ».

On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points et $M$ et $M’$ comme indiqué sur le graphique.

Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point $M$ d’abscisse $x$ strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l’équation $(E) : e^x+e^{-x}-4x-2=0$.
   $\quad$
2. On note $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$f(x)=\e^x+\e^{-x}-4x-2$$
   a. Vérifier que pour tout $x>0$, $f(x)=x\left(\dfrac{\e^x}{x}-4\right)+\e^{-x}-2$.
   $\quad$
   b. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
   $\quad$
3. a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$, où $x$ appartient à l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$
   b. Montrer que l’équation $f'(x)=0$ équivaut à l’équation : $\left(\e^x\right)^2-4\e^x-1=0$.
   $\quad$
   c. En posant $X=\e^x$, montrer que l’équation $f'(x)=0$ admet pour unique solution réelle le nombre $\ln\left(2+\sqrt{5}\right)$.
   $\quad$
4. On donne ci-dessous le tableau de singes de la fonction dérive $f’$ de $f$ :
   
   a. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
   $\quad$
   b. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution strictement positive que l’on notera $\alpha$.
   $\quad$
5. On considère l’algorithme suivant où les variables $a,b$ et $m$ sont des nombres réels :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{Tant que } b-a>0,1 \text{ faire :}\\
   \hspace{1cm} m\leftarrow \dfrac{a+b}{2} \\
   \hspace{1cm} \text{Si } \e^m+\e^{-m}-4m-2>0, \text{ alors :} \\
   \hspace{3cm} b \leftarrow m \\
   \hspace{1cm} \text{Sinon :}\\
   \hspace{3cm} a \leftarrow m \\
   \hspace{1cm} \text{Fin Si} \\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   a. Avant l’exécution de cet algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent respectivement les valeurs $2$ et $3$.
   Que contiennent-elles à la fin de l’exécution de l’algorithme?
   On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-contre avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   m&a&b&b-a\\
   \hline
   \text{X}&2&3&1\\
   \hline
   2,5&&&\\
   \hline
   \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
   \hline
   &&&\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d’algorithme à la question précédente?
   $\quad$
6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux ÉtatsUnis, a l’allure ci-dessous.
   La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement positive de l’équation : $$(E’) : \e^{t/39}+\e^{-t/39}-4\dfrac{4}{39}-2=0$$
   Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.
   $\quad$

Exercice 2     4 points

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours
totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.
Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :

• $40\%$ de la population est vaccinée ;
• $8\%$ des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;
• $20\%$ de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :
$V$ : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;
$G$ : « la personne a contracté la grippe ».

1. a. Donner la probabilité de l’événement $G$.
   $\quad$
   b. Reproduire l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés indiqués sur quatre de ses branches.
   
2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.
   $\quad$
3. La personne choisie n’est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu’elle ait contracté la grippe est égale à $0,28$.
   $\quad$

Partie B
Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à $10{-3}$ près.

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.

Après la période hivernale, on interroge au hasard $n$ habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à $n$ tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à $0,4$.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les $n$ interrogées.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$?
   $\quad$
2. Dans cette question, on suppose que $n=40$.
   a. Déterminer la probabilité qu’exactement $15$ des $40$ personnes interrogées soient vaccinées.
   $\quad$
   b. Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
   $\quad$
3. On interroge un échantillon de $3~750$ habitants de la ville, c’est-à-dire que l’on suppose ici que $n=3~750$.
   On note $Z$ la variable aléatoire définie par : $Z=\dfrac{X-1~500}{30}$.
   $\quad$
   On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z$ peut être approchée par la loi normale centrée réduite.
   $\quad$
   En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu’il y ait entre $1~450$ et $1~550$ individus vaccinés dans l’échantillon interrogé.
   $\quad$

Exercice 5     5 points

Le but de cet exercice est d’examiner, dans différents cas, si les hauteurs d’un tétraèdre sont concourantes, c’est-à-dire d’étudier l’existence d’un point d’intersection de ses quatre hauteurs.

On rappelle que dans un tétraèdre $MNPQ$, la hauteur issue de $M$ est la droite passant par orthogonale au plan $(NPQ)$ .

Partie A – Étude de cas particuliers

On considère un cube $ABCDEFGH$.

On admet que les droites $(AG) $, $(BH)$ , $CE)$ et $(DF)$ , appelées « grandes diagonales » du cube, sont concourantes.

1. On considère le tétraèdre $ABCE$.
   a. Préciser la hauteur issue de $E$ et la hauteur issue de $C$ dans ce tétraèdre.
   $\quad$
   b. Les quatre hauteurs du tétraèdre $ABCE$ sont-elles concourantes?
   $\quad$
2. On considère le tétraèdre $ACHF$ et on travaille dans le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
   a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(ACH)$ est : $x-y+z=0$.
   $\quad$
   b. En déduire que $(FD)$ est la hauteur issue de $F$ du tétraèdre $ACHF$.
   $\quad$
   c. Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre  $ACHF$ issues respectivement des sommets $A,C$ et $H$.
   Les quatre hauteurs du tétraèdre $ACHF$ sont-elles concourantes?
   $\quad$

Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.

Partie B – Une propriété des tétraèdres orthocentriques

Dans cette partie, on considère un tétraèdre $MNPQ$ dont les hauteurs issues des sommets $M$ et $N$ sont sécantes en un point $K$. Les droites $(MK)$ et $(NK)$ sont donc orthogonales aux plans $(NPQ)$ et $(MPQ)$ respectivement.

1. a. Justifier que la droite $(PQ)$ est orthogonal à la droite $(MK)$; on admet de même que les droites $(PQ)$ et $(NK)$ sont orthogonales.
   $\quad$
   b. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite $(PQ)$ et au plan $(MNK)$? Justifier la réponse.
   $\quad$
2. Montrer que les arêtes $[MN]$ et $[PQ]$ sont orthogonales.
   $\quad$

Ainsi, on obtient la propriété suivante :
Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
(On dit que deux arêtes d’un tétraèdre sont « opposées » lorsqu’elles n’ont pas de sommet commun.)

$\quad$

Partie C – Application

Dans un repère orthonormé, on considère les points : $R(-3;5;2)$ , $S(1;4;-2)$ , $T(4;-1;5)$ et $U(4;7;3)$.

Le tétraèdre $RSTU$ est-il orthocentique? Justifier.

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.

On pose $z_0=8$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$z_{n+1}=\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}z_n$$
On note $A_n$ le point du plan d’affixe $z_n$.

1. a. Vérifier que : $$\dfrac{3-\ic\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\e^{-\ic\pi/6}$$
   $\quad$
   b. En déduire l’écriture de chacun des nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle et vérifier que $z_3$ est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.
   $\quad$
   c. Représenter graphiquement les points $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$; on prendre pour unité le centimètre.
   $\quad$
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$z_n=8\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\e^{-\ic n\pi/6}$$
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\left|z_n\right|$.
   Déterminer la naturel et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $k$, $$\dfrac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ic$$
   En déduire que, pour tout entier naturel $k$, on a l’égalité $A_kA_{k+1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}OA_{k+1}$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $\ell_n$ la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{n-1}$, $A_n$.
   On a ainsi : $\ell_n=A_0A_1+A_1A_2+\ldots+A_{n-1}A_n$.
   Démontrer que la suite $\left(\ell_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.
   $\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’équation suivante dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers naturels : $$x^2-8y^2=1 \qquad (E)$$

1. Déterminer un couple solution $(x;y)$ où $x$ et $y$ sont deux entiers naturels.
   $\quad$
2. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$.
   On définit les suites d’entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ par :
   $$x_0=1,y=0=0, \text{ et pour tout entier naturel }n, \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$$
   a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n;y_n\right)$ est solution de l’équation $(E)$.
   $\quad$
   b. En admettant que la suite $\left(x_n\right)$ est à valeur strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $x_{n+1}>x_n$.
   $\quad$
3. En déduire que l’équation $(E)$ admet une infinité de couples solutions.
   $\quad$

Partie B

Un entier naturel $n$ est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier $p$ de $n$, $p^2$ divise $n$.

1. Vérifier qu’il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à $10$ qui sont puissants.
   $\quad$
   L’objectif de cette partie est de démontrer, à l’aide des résultats de la partie A, qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d’en trouver quelques exemples.
   $\quad$
2. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels.
   Montrer que l’entier naturel $n=a^2b^3$ est un nombre puissant.
   Remarque : (oubli de l’énoncé) il faut que $n\neq 1$.
   $\quad$
3. Montrer que si $(x;y)$ est un couple solution de l’équation $(E)$ définie dans la partie A, alors $x^2-1$ et $x^2$ sont des entiers consécutifs puissants.
   $\quad$
4. Conclure quant à l’objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu’il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
   Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à $2018$.
   $\quad$