Bac S – Métropole – Juin 2019

Métropole – Juin 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. On a $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right)=-\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. Le fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    De plus, pour tout réel $x$ on a : $ f'(x)=-\dfrac{1}{2}\left(\e^x-\e^{-x}\right)$
    Pour tout réel $x$ strictement positif on a $x>-x$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ donc $\e^x>\e^{-x}$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $\e^x-\e^{-x}>0$ et $f'(x)<0$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $f(0)=2,5$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
    Or $0\in ]-\infty;2,5]$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ positif on a :
    $\begin{align*} f(-x)&=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^{-x}+\e^x\right) \\
    &=f(x)\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc paire.
    L’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$. Par conséquent l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $-\alpha$ sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=0$ possède donc exactement deux solutions sur $\R$ : $\alpha$ et $-\alpha$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    On sait que pour tout réel $x$ positif on a $f(-x)=f(x)$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$.
    Par conséquent la fonction $f$ atteint son maximum en $0$.
    Ainsi la hauteur d’un arceau est $h=f(0)=2,5$ m.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} 1+\left(f'(x)\right)^2&=1+\left(-\dfrac{1}{2}\left(\e^x-\e^{-x}\right)\right)^2 \\
    &=1+\dfrac{1}{4}\left(\e^x-\e^{-x}\right)^2\\
    &=1+\dfrac{1}{4}\left(\e^{2x}-2+\e^{-2x}\right) \\
    &=\dfrac{1}{4}\e^{2x}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\e^{-2x}\\
    &=\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Pour tout réel $x$ on a donc $\e^x+\e^{-x}>0$.
    On a donc :
    $\begin{align*} \ds I&=\int_0^{\alpha}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\dx \\
    &=\int_0^{\alpha} \sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2}\dx \\
    &=\int_0^{\alpha}\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right) \dx \\
    &=\dfrac{1}{2}\left[\e^x-\e^{x-}\right]_0^{\alpha}\\
    &=\dfrac{1}{2}\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}-0\right)\\
    &=\dfrac{\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}}{2}\end{align*}$
    La longueur d’un arceau est $L=2I=\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
    $\quad$

Partie C

  1. L’aire de la bâche recouvrant la façade nord est l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$ et l’axe des abscisses sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$ soit, puisque la fonction $f$ est continue et positive sur cet intervalle :
    $J=\ds \int_{-\alpha}^{\alpha} f(x)\dx=2\int_0^{\alpha} f(x)\dx$.
    L’aire de la porte est $P=2\times 1=2$.
    Ainsi la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les deux façades est :
    $\mathscr{A}=2J-2=4\int_0^{\alpha} f(x)\dx-2$.
    $\quad$
  2. Le rectangle recouvrant la serre a pour dimensions : $4,5$ et $\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
    Son aire est donc $4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)$.
    L’aire totale de la bâche est donc :
    $T=4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+4\int_0^{\alpha} f(x)\dx-2$.
    Or :
    $\begin{align*}\ds \int_0^{\alpha} f(x)\dx &=\left[\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^x-\e^{-x}\right)\right]_0^{\alpha} \\
    &=\dfrac{7\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} T&=4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+4\int_0^{\alpha} f(x)\dx-2 \\
    &=4,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+4\left(\dfrac{7\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)\right)-2\\
    &=2,5\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}\right)+14\alpha-2\\
    &\approx 41,57\end{align*}$
    Il faut donc prévoir environ $42$ m$^2$ de bâche pour réaliser cette serre.a.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9;25]$ donc $E\left(X_A\right)=\dfrac{9+25}{2}=17$.
    Une partie de type $A$ dure donc en moyenne $17$ minutes.
    $\quad$
    b. L’axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction de densité semble avoir pour équation $x=17$.
    Une partie de type $B$ dure donc en moyenne $17$ minutes également.
    $\quad$
  2. On a $P\left(X_A\pp 20\right)=\dfrac{20-9}{25-9}=0,687~5$.
    et
    $\begin{align*} P\left(X_B\pp 20\right)&=P\left(X_B\pp 17\right)+P\left(17\pp X_B\pp 20\right) \\
    &=0,5+P\left(17\pp X_B\pp 20\right) \\
    &\approx 0,841~3\end{align*}$
    On choisit de manière équiprobable un type de jeu.
    La probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à $20$ minutes est donc :
    $\begin{align*} p&=\dfrac{1}{2}\left(P\left(X_A\pp 20\right)+P\left(X_B\pp 20\right) \right) \\
    &\approx 0,76\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, d’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=P\left(A_{n+1}\right) \\
    &=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
    &=0,8a_n+0,3\left(1-a_n\right) \\
    &=0,5a_n+0,3\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Initialisation : si $n=1$ alors $a_1=0,5 \in[0;0,6]$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$.
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $0\pp a_n\pp 0,6$.
    Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0\pp a_{n+1}\pp 0,6$.
    $\begin{align*} 0\pp a_n\pp 0,6&\ssi 0\pp 0,5a_n\pp 0,3\\
    &\ssi 0,3\pp 0,5a_n+0,3\pp 0,6\\
    &\ssi 0,3\pp a_{n+1}\pp 0,6\end{align*}$
    Par conséquent $0\pp a_{n+1}\pp 0,6$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $0\pp a_n\pp 0,6$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ :
    $\begin{align*} a_{n+1}-a_n&=0,5a_n+0,3-a_n \\
    &=0,3-0,5a_n \\
    &\pg 0,3-0,5\times 0,6\\
    &\pg 0\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(a_n\right)$ est croissante et majorée; elle converge donc vers un réel $\ell$.
    Le réel $\ell$ est solution de l’équation :
    $\ell=0,5\ell+0,3 \ssi 0,5\ell=0,3\ssi \ell =0,6$.
    La suite $\left(a_n\right)$ converge donc vers $0,6$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a $u_n=a_n-0,6 \ssi a_n=u_n+0,6$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,6\\
    &=0,5a_n+0,3-0,6\\
    &=0,5a_n-0,3\\
    &=0,5\left(u_n+0,6\right)-0,3\\
    &=0,5u_n+0,3-0,3\\
    &=0,5u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=a_0-0,6=a-0,6$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $u_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}$.
    Donc $a_n=u_n+0,6=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
    $\quad$
    c. $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=0,6$.
    Cette limite ne dépend donc pas de $a$.
    $\quad$
    d. Sur le long terme, la probabilité que le joueur fasse une partie de type A est égale à $0,6$ et celle qu’il fasse une partie de type B est égale à $0,4$.
    Il verra donc plus souvent la publicité insérée au début des parties de type A.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On considère l’équation $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.
    Son discriminant est $\Delta=\left(-2\sqrt{3}\right)^2-4\times 1\times 4=-4<0$
    Les solutions complexes de cette équation sont donc :
    $z_1=\dfrac{2\sqrt{3}-2\ic}{2}=\sqrt{3}-\ic$ et $z_2=\conj{z_2}=\sqrt{3}+\ic$.
    On note $A$ le point d’affixe $z_1$ et $B$ celui d’affixe $z_2$.
    $OA=\left|z_1\right|=2$ et $OB=\left|z_2\right|=2$
    $AB=\left|z_2-z_1\right|=|2\ic|=2$.
    Ainsi $AB=OA=OB$. Le triangle $OAB$ est équilatéral.
    Affirmation  1 vraie.
    $\quad$
  2. On a $|u|=2$ donc $u=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\ic}{2}\right)=2\e^{\ic \pi/6}$.
    Ainsi $\conj{u}=2\e^{-\ic\pi/6}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u^{2019}+\conj{u}^{2019}&=2^{2019}\e^{336,5\ic\pi}+2^{2019}\e^{-336,5\ic\pi} \\
    &=2^{2019}\left(\e^{(168\times 2\pi +\pi/2)\ic}+\e^{-(168\times 2\pi +\pi/2}\ic)\right)\\
    &=2^{2019}\left(\ic-\ic\right)\\
    &=0\end{align*}$
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    La fonction $f_n$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} {f_n}'(x)&=\e^{-nx+1}+x\times \left(-n\e^{-nx+1}\right) \\
    &=(1-nx)\e^{-nx+1}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de ${f_n}'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-nx$.
    Or $1-nx=0 \ssi x=\dfrac{1}{n}$ et $1-nx>0 \ssi x<\dfrac{1}{n}$.
    La fonction $f_n$ est ainsi croissante sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{n}\right]$ et décroissante sur l’intevalle $\left[\dfrac{1}{n};+\infty\right[$.
    Pour tout entier naturel $n\pg 1$, la fonction $f_n$ admet donc un maximum en $\dfrac{1}{n}$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ on a $-1\pp \cos x\pp 1$.
    Donc $-\e^{-x}\pp f(x)\pp \e^{-x}$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$
    D’après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    La courbe $\mathcal{C}$ admet donc une asymptote en $+\infty$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. D’après l’algorithme on a : $2^{14} \pp A < 2^{15}$
    Donc, en utilisant la strictement croissance de la fonction $\ln$ sur $]0;+\infty[$ on a :
    $14\ln(2) \pp \ln(A) < 15\ln(2)$.
    Affirmation 5 fausse
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. Les droites $(AE)$ et $(HK)$ sont incluses dans le plan $(EAH)$. Le point $M$ est donc le point d’intersection de ces deux droites.
    Voir la figure à la fin de l’exercice.
    $\quad$
  2. D’après le théorème des milieux, appliqué dans le triangle $EFH$, les droites $(IJ)$ et $(FH)$ sont parallèles.
    La droite $(FM)$ est l’intersection des plans $(AEF)$ et $(FHK)$.
    L’intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la face $ABFE$ est donc la droite parallèle à la droite $(FM)$ passant par le point $I$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Les coordonnées du point :
    – $F$ sont $(1;0;1)$
    – $H$ sont $(0;1;1)$
    – $K$ sont $(0;0,25;0)$.
    Ainsi $\vect{FH}(-1;1;0)$ et $\vect{FK}(-1;0,25;-1)$. Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires.
    Donc $\vec{n}.\vect{FH}=-4+4+0=0$ et $\vec{n}.\vect{FK}=-4+1+3=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(FHK)$.
    C’est un vecteur normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est donc de la forme $4x+4y-3z+d=0$.
    Le point $F(1;0;1)$ appartient à ce plan donc $4+0-3+d=0\ssi d=-1$.
    Une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est dp,c $4x+4y-3z-1=0$.
    $\quad$
    c. Les plans $^\mathcal{P}$ et $(FHK)$ sont parallèles. Par conséquent, le vecteur $\vec{n}$ est aussi un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donc de la forme $4x+4y-3z+d=0$.
    Le point $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;1)$.
    Ainsi $2+0-3+d=0 \ssi d=1$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $4x+4y-3z+1=0$.
    $\quad$
    d. On a $\vect{AE}(0;0;1)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(AE)$ est donc $\begin{cases} x=0\\y=0\\z=t\end{cases} \quad, t\in \R$.
    Les coordonnées du point d’intersection de la $(AE)$ et du plan $\mathscr{P}$ sont solutions du système :
    $\begin{cases} 4x+4y-3z+1=0 \\x=0\\y=0\\z=t\end{cases} \ssi \begin{cases} -3t+1=0\\x=0\\y=0\\z=t\end{cases}\ssi \begin{cases} t=\dfrac{1}{3}\\x=0\\y=0\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}$.
    Le point $M’$ a donc pour coordonnées $\left(0;0;\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est donc un vecteur directeur de $\Delta$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est : $$\begin{cases} x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\quad ,k\in \R$$
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $z=0$.
    Les coordonnées du point $L$ sont donc solution du système :
    $\begin{cases}z=0\\x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\ssi\begin{cases}1-3k=0\\x=4k\\y=4k\\z=1-3k\end{cases}\ssi \begin{cases} k=\dfrac{1}{3}\\x=\dfrac{4}{3}\\y=\dfrac{4}{3}\\z=0\end{cases}$.
    Donc $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};0\right)$.
    $\quad$
    c. Voir figure.
    $\quad$
    d. Le point $L$ n’appartient pas au plan $(ABE)$ tandis que les points $E, B$ et $F$ y appartiennent.
    Par conséquent les droites $\Delta$ et $(BF)$ ne sont pas sécantes.
    $\quad$
    Si, dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on prend $k=\dfrac{1}{4}$ on obtient le point de coordonnées $(1;1;0,25)$ qui appartient à la droite $(CG)$. Les droites $\Delta$ et $(CG)$ sont donc sécantes.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l’ensemble $S$

  1. On a $6\times (-4)-5\times (-5)=-24+25=1$. Donc $A\in S$.
    $\quad$
  2. On veut que $ad-6=1 \ssi ad=7$ avec $a$ et $d$ entiers relatifs.
    $7$ est un nombre premier.
    Par conséquent $a=1$ et $d=7$
    ou $a=7$ et $d=1$
    ou $a=-1$ et $d=-7$
    ou $a=-7$ et $d=-1$.
    Il existe donc exactement quatre matrices de la forme souhaitée qui sont $\begin{pmatrix} 1&2\\3&7\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 7&2\\3&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1&2\\3&-7\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -7&2\\3&-1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. On a $5\times 1-2\times 2=5-4=1$. Le couple $(1;2)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    On considère une autre solution $(x;y)$ de $(E)$
    Ainsi : $5\times 1-2\times 2=1$ et $5x-2y=1$.
    Par différence on a $5(1-x)-2(2-y)=0$ soit $5(1-x)=2(2-y)$.
    $5$ et $2$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe un entier relatif $k$ tel que $1-x=2k$ et $2-y=5k$ soit $x=1-2k$ et $y=2-5k$.
    $\quad$
    Réciproquement : soit $k$ un entier relatif.
    $5(1-2k)-2(2-5k)=5-10k-4+10k=1$.
    Les solutions de $(E)$ sont les couples de la forme $(1-2k;2-5k)$ pour $k\in\Z$.
    $\quad$
    b. $A\in S\ssi 5a-2b=1$
    D’après la question précédente $(a,b)=(1-2k;2-5k)$ pour $k\in\Z$ sont solutions de cette équation.
    Il existe ainsi une infinité de matrices solutions qui s’écrivent alors :
    $$\begin{pmatrix}1-2k&2-5k\\2&5\end{pmatrix} \quad k\in\Z$$
    $\quad$

Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l’ensemble $S$

  1. On a $ad-bc=1 \ssi a\times d+b\times (-x)=1$. D’après le théorème de Bezout les nombres $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  2. a. On a $AB=\begin{pmatrix} ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}=I$.
    $\quad$
    b. Ainsi $A$ est inversible et $A^{-1}=B$.
    $\quad$
    c. On a $da-(-b)\times (-c)=ad-bc=1$.
    Donc $A^{-1}\in S$.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $\begin{align*} \begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} &\ssi
    \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}x’\\y’\end{pmatrix} \\
    &\ssi \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}dx’-by’\\-cx’+ay’\end{pmatrix}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $D’$ divise à la fois $x’$ et $y’$ il divise donc également $x=dx’-by’$ et $y=ay’-cx’$.
    Par conséquent $D$ divise $D’$.
    On a également $x’=ax+by$ et $y’=cx+dy$
    Donc, pour la même raison, $D$ divise également $x’$ et $y’$.
    Ainsi $D’$ divise $D$.
    Par conséquent $D=D’$.
    $\quad$
  4. On a: $2019=3\times 673$.
    Le PGCD de $x_0$ et $y_0$ est donc $673$.
    D’après la question précédente $673$ est également le PGCD des entiers $x_n$ et $y_n$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par : $$f(x)=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right)$$

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en  $+\infty$.
    $\quad$
    b. Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0; +\infty[$.
    $\quad$
    c. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet, sur l’intervalle $[0;+\infty[$, une unique solution, qu’on note $\alpha$.
    $\quad$
  2. En remarquant que, pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$, justifier que l’équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\R$ et qu’elles sont opposées.
    $\quad$

Partie B

Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.
Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 mètre. La fonction $f$ et le réel $\alpha$ sont définis dans la partie A. Dans la suite de l’exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ sur
l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$.
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$.

On admettra que la courbe $\mathscr{C}$ admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

  1. Calculer la hauteur d’un arceau.
    $\quad$
  2. a. Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe $\mathscr{C}$ sur l’intervalle $[0; \alpha]$. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l’intégrale : $$I=\int_0^{\alpha} \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\dx$$
    Montrer que pour tout réel $x$, on a $1+\left(f'(x)\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2$.
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de l’intégrale $I$ en fonction de $\alpha$.
    Justifier que la longueur d’un arceau, en mètre, est égale à : $\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
    $\quad$

Partie C

On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.
On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de $1,5$ mètre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle $ABCD$ de largeur $1$ mètre et de longueur $2$ mètres.

On souhaite connaître la quantité, exprimée en m², de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
Cette bâche est constituée de trois parties, l’une recouvrant la façade nord, l’autre la façade sud (sauf l’ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le dessus de la serre.

  1. Montrer que la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en m$^2$ , par : $$\mathscr{A}=4\int_0^{\alpha}f(x)\dx-2$$
    $\quad$
  2. On prend $1,92$ pour valeur approchée de $\alpha$. Déterminer, au m$^2$ près, l’aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.

Partie A

Les durées des parties de type A et de type B, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées $X_A$ et $X_B$.
La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9; 25]$.
La variable aléatoire $X_B$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart type $3$. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

  1. a. Calculer la durée moyenne d’une partie de type A.
    $\quad$
    b. Préciser à l’aide du graphique la durée moyenne d’une partie de type B.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à $20$ minutes ? On donnera le résultat arrondi au centième.
    $\quad$

Partie B

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

  • si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de $0,8$ ;
  • si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de $0,7$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :
$A_n$ : « la $n$-ième partie est une partie de type A. »
$B_n$ : « la $n$-ième partie est une partie de type B. »
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$.

  1. a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

    $\quad$
    b. Montrer que pour tout entier naturel $n \pg 1$, on a : $$a_{n+1}=0,5a_n+0,3$$
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu A lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0; 1]$. La suite $\left(a_n\right)$ est donc définie par :
$a_1=a$, et pour tout entier naturel $n\pg 1, $a_{n+1}=0,5a_n+0,3$.

  1. Étude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que $a = 0,5$.
    a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a : $0\pg a_n \pg 0,6$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
    c. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est convergente et préciser sa limite.
    $\quad$
  2. Étude du cas général : Dans cette question, le réel $a$ appartient à l’intervalle $[0; 1]$.
    On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n>1 1$ par : $u_n=a_n-0,6$.
    a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a : $a_n= (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$ ?
    $\quad$
    d. La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A et une autre publicité insérée en début des parties de type B. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s’adonnant intensivement aux jeux vidéo ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes, on considère l’équation $(E)~~ :~~  z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.
    On note $A$ et $B$ les points du plan dont les affixes sont les solutions de $(E)$.
    Affirmation 1 : Le triangle $OAB$ est équilatéral.
    $\quad$
  2. On note $u$ le nombre complexe : $u=\sqrt{3}+\ic$ et on note $\conj{u}$ son conjugué.
    Affirmation 2 : $u^{2019}+\conj{u}^{2019}=2^{2019}$.
    $\quad$
  3. Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l’intervalle $[0; +\infty[$ par : $$f_n(x)=x\e^{-nx+1}$$
    Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n\pg 1$, la fonction $f_n$ admet un maximum.
    $\quad$
  4. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\cos(x)\e^{-x}$.
    Affirmation 4 : La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$.
    $\quad$
  5. Soit $A$ un nombre réel strictement positif.
    On considère l’algorithme ci-dessous.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    I\leftarrow 0\\
    \text{Tant que }2^I\pp A\\
    \hspace{1cm} I\leftarrow I+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On suppose que la variable $I$ contient la valeur $15$ en fin d’exécution de cet algorithme.
    Affirmation 5 : $15 \ln(2) \pp ln(A) \pp 16 \ln(2)$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

On considère un cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur $1$, dont la figure est donnée en annexe.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu du segment $[EH]$ et $K$ le point du segment $[AD]$ tel que $\vect{AK}=\dfrac{1}{4}\vect{AD}$.
On note $\mathcal{P}$ le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.
$\quad$

Partie A

Dans cette partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.

  1. Le plan $(FHK)$ coupe la droite $(AE)$ en un point qu’on note $M$. Construire le point $M$.
    $\quad$
  2. Construire la section du cube par le plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.
On rappelle que $\mathcal{P}$ est le plan passant par $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.

  1. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\4\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(FHK)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est : $4x+4y-3z-1=0$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$
    d. Calculer les coordonnées du point $M′$, point d’intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $(AE)$.
    $\quad$
  2. On note $\Delta$ la droite passant par le point $E$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    b. Calculer les coordonnées du point $L$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Tracer la droite $\Delta$ sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
    d. Les droites $\Delta$ et $(BF)$ sont-elles sécantes ? Qu’en est-il des droites $\Delta$ et $(CG)$ ? Justifier.
    $\quad$

Annexe


$\quad$

Exercice 4     5 points

pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On note $\Z$ l’ensemble des entiers relatifs.
Dans cet exercice, on étudie l’ensemble $S$ des matrices $A$ qui s’écrivent sous la forme $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ appartiennent à l’ensemble $\Z$ et vérifient : $ad-bc=1$.
On note $I$ la matrice identité $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l’ensemble $S$

  1. . Vérifier que la matrice $A=\begin{pmatrix}6&5\\-5&-4\end{pmatrix}$
    appartient à l’ensemble $S$.
    $\quad$
  2. Montrer qu’il existe exactement quatre matrices de la forme $A=\begin{pmatrix}a&2\\3&d\end{pmatrix}$ appartenant à l’ensemble $S$ ; les expliciter.
    $\quad$
  3. a. Résoudre dans $\Z$ l’équation $(E) ∶ 5x-2y=1$. On pourra remarquer que le couple $(1;2)$ est une solution particulière de cette équation.
    $\quad$
    b. En déduire qu’il existe une infinité de matrices de la forme $A=\begin{pmatrix}a&b\\2&5\end{pmatrix}$ qui appartiennent à l’ensemble $S$. Décrire ces matrices.
    $\quad$

Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l’ensemble $S$

Dans cette partie, on note $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ une matrice appartenant à l’ensemble $S$. On rappelle que $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres entiers relatifs tels que $ad-bc=1$.

  1. Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  2. Soit $B$ la matrice : $B=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.
    a. Calculer le produit $AB$. On admet que l’on a $AB = BA$.
    $\quad$
    b. En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
    $\quad$
    c. Montrer que la matrice $A^{-1}$ appartient à l’ensemble $S$.
    $\quad$
  3. Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On note $x’$ et $y’$ les entiers relatifs tels que $\begin{pmatrix} x’\\y’\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
    a. Montrer que $x=dx’-by’$. On admet de même que $y=ay’-cx’$.
    $\quad$
    b. On note $D$ le PGCD de $x$ et $y$ et on note $D’$ le PGCD de $x’$ et $y’$. Montrer que $D=D’$.
    $\quad$
  4. On considère les suites d’entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par : $x_0= 2019$, $y_0 = 673$ et pour tout
    entier naturel $n$ : $\begin{cases}x_{n+1}=2x_n+3y_n\\y_{n+1}=x_n+2y_n\end{cases}$.
    En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel $n$, le PGCD des entiers$x_n$ et $y_n$.
    $\quad$