Exercice 1

1. On veut calculer :
   $\begin{align*} P(X\pg 10)&=P(10\pp X\pp 11,3)+P(X\pg 11,3)\\
   &=P(10\pp X\pp 11,3)+0,5 \\
   &\approx 0,67\end{align*}$
   La probabilité que le dossier soit celui d’un candidat reçu à l’examen est environ égale à $0,67$.
   $\quad$
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(R)&=P(A\cap R)+P(B\cap R) \\
   &\approx 0,6\times 0,67+0,4\times 0,7 \\
   &\approx 0,68 \end{align*}$
   La probabilité que le dossier choisi soit celui d’un candidat reçu à l’examen est environ égale à $0,68$.
   $\quad$
3. On a $n=500$ et $p=0,68$.
   Par conséquent $n=500\pg 30$, $np=340\pg 5$ et $n(1-p)=160\pg 5$
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de $95\%$ de la proportion d’élèves reçu à l’examen est :
   $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,68-1,96\sqrt{\dfrac{0,68\times 0,32}{500}};0,68+1,96\sqrt{\dfrac{0,68\times 0,32}{500}} \right] \\
   &\approx [0,63;0,73]\end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{368}{500}=0,736 \notin I_{500}$.
   Au risque d’erreur de $5\%$, cela confirme l’affirmation du membre du jury.
   $\quad$
4. On a :
   D’après la formule des probabilités totales, la probabilité que le dossier choisi obtienne le « prix du jury » est, en supposant que $N\pg 13$ :
   $\begin{align*} a&=0,6P(X\pg N)+0,4P(Y\pg N) \\
   &=0,6\left(P(X\pg 11,3)-P(11,3\pp X\pp N)\right) +0,4\left(P(Y\pg 12,4)-P(12,4\pp Y\pp N)\right) \\
   &=0,6\left(0,5-P(11,3\pp X\pp N)\right) +0,4\left(0,5-P(12,4\pp Y\pp N)\right) \\
   &=0,5-0,6P(11,3\pp X\pp N)-0,4P(12,4\pp Y\pp N)\end{align*}$
   À l’aide de la calculatrice, on obtient, arrondi au centième :
   $\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   N&a\\
   \hline
   13&0,35\\
   \hline
   14&0,26\\
   \hline
   15&0,38\\
   \hline
   16&0,12\\
   \hline
   \end{array}$
   Par conséquent $N=16$
   $\quad$

 

Exercice 2

Partie A

1. La courbe $\mathscr{C}_g$ se situe dans le demi-plan $y>0$. Cela signifie donc que, pour tout réel $x$ on a $g(x)>0$.
   Par définition de la fonction $G$, la fonction $g$ est la dérivée de la fonction $G$.
   Ainsi, $G$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$
2. $G(1)=\ds\int_0^1 g(u)\mathrm{d}u$.
   La fonction $g$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;1]$.
   Par conséquent $G(1)$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
   Graphiquement, on constate que ce domaine est inclus dans un carré de côté $1$  auquel on a retiré un rectangle de taille $0,5\times 0,2$ (le rectangle dont les abscisses sont comprises entre $0,5$ et $1$ et dont les ordonnées sont comprises entre $0,8$ et $1$).
   Donc $G(1)\pp 1\times 1-0,5\times 0,2$ soit $g(1) \pp 0,9$.
   $\quad$
3. La fonction $g$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
   Par conséquent, pour tout réel $t\pg 0$ on a :
   $\begin{align*} \ds G(-t)&= \int_0^{-t} g(u)\mathrm{d}u\\
   &=-\int_{-t}^0 g(u)\mathrm{d}u\\
   &=-\int_0^{t}g(u)\mathrm{d}u\\
   &= -G(t)\end{align*}$
   Par définition, la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ qui s’annule en $0$.
   D’après la question A.1. la fonction $G$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   Comme $G(0)=0$, cela signifie donc que $G(t)> 0$ pour tout réel $t$ strictement positif.
   Par conséquent $G(-t) < 0$.
   La fonction $G$ n’est donc pas positive sur $\R$.
   $\quad$

Partie B

1. a. $\lim\limits_{u\to -\infty} -u^2=-\infty$  or $\lim\limits_{U\to -\infty} \e^U=0$
   Donc $\lim\limits_{u\to -\infty} g(u)=0$.
   $\lim\limits_{u\to +\infty} -u^2=-\infty$  or $\lim\limits_{U\to -\infty} \e^U=0$
   Donc $\lim\limits_{u\to +\infty} g(u)=0$.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait montrer que la fonction $g$ est paire et en déduire ainsi la limite en $+\infty$ connaissant celle en $-\infty$.
   $\quad$
   b. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction composée de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $u$ on a donc $g'(u)=-2u\e^{u^2}$.
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $g'(u)$ ne dépend donc que de celui de $-2u$.
   $-2u=0 \ssi u=0$ et $-2u>0 \ssi u<0$
   On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :
   
   $\quad$
   c. D’après le tableau de variations précédent, le maximum de la fonction $g$ est $1$ atteint en $0$.
   Cela signifie donc que, pour tout réel $u$ on a $g(u)\pp 1$.
   En particulier $g(1)\pp 1$.
   $\quad$
2. a. $23$ points n’appartiennent pas à l’ensemble $E$.
   Par conséquent $f=\dfrac{100-23}{100}=0,77$
   $\quad$
   b. On obtient l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   c\leftarrow 0\\
   \text{Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire :} \hspace{1cm}\\
   \hspace{1cm} x\leftarrow \text{ALEA}\\
   \hspace{1cm} y\leftarrow \text{ALEA}\\
   \hspace{1cm} \text{Si }y\pp \e^{-x^2} \text{ alors}\\
   \hspace{2cm}c\leftarrow c+1\\
   \hspace{1cm}\text{fin Si}\\
   \text{fin Pour}\\
   f\leftarrow \dfrac{c}{n}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   c. On a $n=1~000$ et $f=0,757$.
   Par conséquent $n=1~000\pg 30$, $nf=757\pg 5$ et $n(1-f)=243\pg 5$
   Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la valeur exacte de $I$ est donc :
   $\begin{align*}I_{1~000}&=\left[0,757-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,757+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
   &\approx [0,725;0,789]\end{align*}$
   $\quad$

Partie C

1. Pour tout réel $t\pg 1$ on a :
   $\begin{align*} \ds \int_1^t g(u)\mathrm{d}u &\pp \ds \int_1^t \dfrac{1}{u^2}\mathrm{d}u \\
   &\pp \left[-\dfrac{1}{u}\right]_1^t \\
   &\pp -\dfrac{1}{t}+1\end{align*}$
   $\quad$
2. Par conséquent, pour tout réel $t \pg 1$ on a :
   $\begin{align*} G(t)&=\ds \int_0^t g(u) \mathrm{d}u \\
   &=\int_0^1 g(u) \mathrm{d}u + \int_1^t g(u) \mathrm{d}u  \qquad (*)\\
   &\pp \int_0^1 1\mathrm{d}u+1-\dfrac{1}{t} \\
   &\pp 1+1-\dfrac{1}{t}\\
   &\pp 2-\dfrac{1}{t}\end{align*}$
   $(*)$ en effet, la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et $g(1)=1$. Donc pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $g(x)\pp 1$.
   $\quad$
   On a $\lim\limits_{t\to +\infty}2-\dfrac{1}{t}=2$.
   D’après la partie A, la fonction $G$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ et positive.
   Par conséquent, la limite éventuelle de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ est comprise entre $0$ et $2$.
   $\quad$

Exercice 3

1. a. On a donc l’équation $2z^2-3z+4=0$
   Le discriminant de cette équation du second degré est :
   $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 4=-23<0$
   L’équation possède donc deux solutions complexes non réelles.
   Affirmation 1 fausse
   $\quad$
   b. Si l’équation $(E)$ admet des solutions complexes non réelles alors celles-ci sont de la forme :
   $z_1=\dfrac{-(m-5)-\ic\sqrt{-\Delta}}{4}$ et $z_2=\dfrac{-(m-5)+\ic\sqrt{-\Delta}}{4}$ où $\Delta$ est le discriminant de ce polynôme du second degré.
   Ces solutions sont des imaginaires purs si, et seulement si, $-(m-5)=0 \ssi m=5$.
   Si $m=5$ alors $(E)$ devient $2z^2+5=0 \ssi z^2=-\dfrac{5}{2}$.
   Les solutions de cette équation sont $ -\ic \sqrt{\dfrac{5}{2}}$ et $\ic \sqrt{\dfrac{5}{2}}$.
   Affirmation 2 vraie
   $\quad$
2. On appelle $A$ le point d’affixe $6$ et $B$ celui d’affixe $-5\ic$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} |z-6|=|z+5\ic| &\ssi |z-6|=\left|z-(-5\ic)\right| \\
   &\ssi AM=BM\end{align*}$
   Le point $M$ appartient donc à la médiatrice du segment $[AB]$
   Affirmation 3 fausse
   $\quad$
3. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}(1;-1;1)$.
   $\dfrac{1}{5} \neq \dfrac{-1}{2}$
   Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont donc pas colinéaires.
   Cela signifie par conséquent que les droites $d$ et $d’$ ne sont pas parallèles.
   Une représentation paramétrique de la droite $d’$ est : $\begin{cases}x=4+5k\\y=4+2k\\z=-6-9k\end{cases} \quad k\in \R$.
   Si les droites $d$ et $d’$ sont sécantes alors les coordonnées du point d’intersection sont solutions su système.
   $\begin{align*} \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\x=4+5k\\y=4+2k\\z=-6-9k\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\-1+t=4+5k\\2-t=4+2k\\3+t=-6-9k\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\t=-2-2k\\t=-9-9k\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\5+5k=-2-2k\\5+5k=-9-9k\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\k=-1\\k=-1\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} k=-1\\t=0\\ x=-1\\y=2\\z=3\\t=5+5k\\k=-1\\k=-1\end{cases} \\
   \end{align*}$
   Par conséquent les droites $d$ et $d’$ sont sécantes donc coplanaires.
   Affirmation 4 vraie
   $\quad$
4. On se place dans le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD};\vect {AE}\right)$.
   On a $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $G(1;1;1)$, $D(0;1;0)$ et $E(0;0;1)$.
   Ainsi $\vect{AB}(1;0;0)$, $\vect{AG}(1;1;1)$ et $\vect{DE}(0;-1;1)$.
   $\vect{AB}$ et $\vect{AG}$ ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas les mêmes composantes nulles.
   De plus $\vect{AB}.\vect{DE}=0+0+0=0$ et $\vect{AG}.\vect{DE}=0-1+1=0$.
   Ainsi $\vect{DE}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABG)$. Il est donc normal à ce plan.
   Affirmation 5 vraie
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A

1. $u_1=f(3)=\dfrac{11}{7}$
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;4]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
   Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;4]$ on a:
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3(4+x)-(2+3x)}{(4+x)^2} \\
   &=\dfrac{12+3x-2-3x}{(4+x)^2} \\
   &=\dfrac{10}{(4+x)^2}\\
   &>0\end{align*}$
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;4]$.
   $\quad$
3. Montrons cette propriété par récurrence.
   Initialisation : Si $n=0$ alors on a $u_0=3$ et $u_1=\dfrac{11}{7}$
   Donc $1\pp u_1\pp u_0\pp 3$
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ donc $1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 3$
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1} \pp 3$.
   La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;4]$.
   Par conséquent $f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)\pp f(3)$
   soit $1\pp u_{n+2}\pp u_{n+1} \pp \dfrac{11}{7} \pp 3$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$  et est héréditaire.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc $1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 3$.
   $\quad$
4. a. D’après la question précédente, la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. Elle converge donc.
   $\quad$
   b. la fonction $f$ est continue sur $[0;4]$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;4]$.
   La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\in[1;3]$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} f\left(u_n\right)=f(\ell)$.
   La suite $\left(u_n\right)$ converge vers le réel $\ell$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_{n+1}=\ell$.
   Or, pour tout entier naturel, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
   D’après l’unicité de la limite d’une suite on a alors $\ell=f(\ell)$.
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} \ell=\dfrac{2+3\ell}{4+\ell} &\ssi \dfrac{2+3\ell}{4+\ell}-\ell=0 \\
   &\ssi \dfrac{2+3\ell-\ell(4+\ell)}{4+\ell}=0 \\
   &\ssi \dfrac{2+3\ell-4\ell-\ell^2}{4+\ell}=0 \\
   &\ssi \dfrac{-\ell^2-\ell+2}{4+\ell}=0\end{align*}$
   On considère le polynôme du second dégré $P$ défini sur $\R$ par $P(x)=-x^2-x+2$.
   $\Delta=(-1)^2-4\times (-1)\times 2=9>0$.
   Les racines sont $x_1=\dfrac{1-\sqrt{9}}{-2}=1$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{9}}{-2}=-2$.
   Or $\ell\in[1;3]$.
   Donc $\ell =1$.
   $\quad$

Partie B

1. On obtient le graphique suivant :
   
   La suite $\left(v_n\right)$ semble donc croissante et converger vers $1$.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} 1-v_{n+1}&=1-\dfrac{2+3v_n}{4+v_n} \\
   &=\dfrac{4+v_n-2-3v_n}{4+v_n} \\
   &=\dfrac{2-2v_n}{4+v_n} \\
   &=\dfrac{2}{4+v_n}(1-v_n)\end{align*}$
   $\quad$
   b. Initialisation : Si $n=0$ alors $1-v_0=0,9$ et $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0=1$.
   Par conséquent $0\pp 1-v_0 \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
   Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $0\pp 1-v_{n+1} \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$
   $1-v_{n+1}=\dfrac{2}{4+v_n}(1-v_n)$
   Donc $0 \pp 1-v_{n+1} \pp \dfrac{2}{4+v_n}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \quad (*)$
   Par hypothèse $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ donc $v_n\pg 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\pg 0$
   Ainsi $4+v_n\pg 4 \ssi 0\pp \dfrac{1}{4+v_n} \pp \dfrac{1}{4}$
   Par conséquent, en reprenant la relation $(*)$ on obtient :
   $0 \pp 1-v_{n+1} \pp \dfrac{2}{4}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
   Soit $0\pp 1-v_{n+1} \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang$0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
   $\quad$
3. $-1<\dfrac{1}{2}<1$ par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
   D’après le théorème des gendarmes, on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1-v_n=0$ ce qui signifie que $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=1$.
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A

1. Chaque semaine, il reste donc $25\%$ des adultes et $50\%$ des larves deviennent des adultes.
   Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1}=0,25a_n+0,5\ell_n$
   Chaque semaine, chaque adulte donne naissance à $2$ larves et $25\%$ ($100-50-25$) restent au stade larvaire.
   Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n+1}=2a_n+0,25\ell_n$.
   Ainsi $\begin{pmatrix} \ell_{n+1}\\a_{n+1}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0,25\ell_n+2a_n\\0,5\ell_n+ 0,25a_n\end{pmatrix}$
   Soit $X_{n+1}=AX_n$ où $A=\begin{pmatrix}0,25&2\\0,5&0,25\end{pmatrix}$.
   $\quad$
2. a. $AU=\begin{pmatrix}0,25\times 2+2\times 1\\2\times 0,5+1\times 0,25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2,5\\1,25\end{pmatrix}=1,25U$
   $\quad$
   b. Pour tout réel $a$ on a :
   $AV=\begin{pmatrix}0,25a+2\\0,5a+0,25\end{pmatrix}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} AV=-0,75V&\ssi \begin{cases} 0,25a+2=-0,75a\\0,5a+0,25=-0,75\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} 2=-a\\0,5a=-1\end{cases} \\
   &\ssi a=-2\end{align*}$
   $\quad$
3. a. Montrons la propriété par récurrence.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $X_0=\alpha U+\beta V$
   Et $\alpha (1,25)^0U+\beta(-0,75)^0V=\alpha U+\beta V=X_0$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, $X_n=\alpha(1,25)^nU+\beta(-0,75)^nV$
   Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $X_{n+1}=\alpha(1,25)^{n+1}U+\beta(-0,75)^{n+1}V$.
   $\begin{align*} X_{n+1}&=AX_n \\
   &=A\left(\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V\right) \\
   &=\alpha(1,25)^nAU+\beta(-0,75)^nAV \\
   &=\alpha(1,25)^n\times 1,25U+\beta(-0,75)^n\times (-0,75V) \\
   &=\alpha(1,25)^{n+1}U+\beta(-0,75)^{n+1}V\end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $X_n=\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V$
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$, on a, puisque $a=-2$ :
   $\begin{align*} X_n&=X_n=\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V \\
   &=\begin{pmatrix} 2\alpha(1,25)^n-2\beta(-0,75)^n \\\alpha(1,25)^n+\beta(-0,75)^n\end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix} 2(1,25)^n\alpha-2\beta\times (1,25)^n\times \dfrac{(-0,75)^n}{2(1,25)^n} \\(1,25)^n\alpha+(1,25)^n\beta\times \dfrac{(-0,75)^n}{(1,25)^n} \end{pmatrix} \\
   &=\begin{pmatrix}2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right) \\(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)\end{pmatrix}\end{align*}$
   Par conséquent $\begin{cases} \ell_n &=&2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right) \\a_n&=&(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)\end{cases}$
   $\quad$
4. Pour tout entier naturel $n$, on a, si $a_n\neq 0$,
   $\begin{align*} \dfrac{\ell_n}{a_n}&=\dfrac{2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right)}{(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)} \\
   &=\dfrac{2\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right)}{\alpha+\beta(-0,6)^n}\end{align*}$
   Or $-1<-0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} (-0,6)^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\ell_n}{a_n}=\dfrac{2\alpha}{\alpha}=2$.
   Cela signifie donc que, sur le long terme, il y a deux fois plus de larves que d’adultes.
   $\quad$

Partie B

1. On a $19\times 1-6\times 3=19-18=1$.
   Le couple $(1;3)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
   On considère un autre couple $(x;y)$ de cette équation.
   On a alors :
   $19\times 1-6\times 3=1$ et $19x-6y=1$
   Par différence, on obtient : $19(1-x)-6(3-y)=0 \ssi 19(1-x)=6(3-y)$.
   $19$ et $6$ sont premiers entre eux.
   D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $1-x=6k$ et $3-y=19k$.
   Ainsi $x=1-6k$ et $y=3-19k$.
   $\quad$
   Réciproquement, soit $k$ un entier relatif. Alors :
   $19(1-6k)-6(3-19k)=19-114k-18+114k=1$.
   Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(1-6k;3-19k)$ pour tout entier relatif $k$.
   On cherche les entiers relatifs $k$ tels que :
   $\begin{align*} 2~000\pp x \pp 2~100 &\ssi 2~000\pp 1-6k\pp 2~100 \\
   &\ssi 1~999 \pp 6k \pp 2~099 \\
   &\ssi  \dfrac{1~999}{6}\pp k \pp \dfrac{2~099}{6}\end{align*}$
   Or $\dfrac{1~999}{6}\approx 333,2$ et $\dfrac{2~099}{6}\approx 349,8$.
   $k$ peut donc prendre toutes les valeurs entières comprises entre $334$ et $349$ toutes les deux incluses. Cela  représente donc $16$ valeurs.
   Il existe donc $16$ couples d’entiers $(x;y)$ solutions de l’équation $(E)$ vérifiant $2~000\pp x\pp 2~100$.
   $\quad$
2. On suppose qu’il existe un entier naturel $a$ strictement supérieur à $1$ qui divise à la fois $n+3$ et $2n+3$.
   Il existe donc des entiers naturels $b$ et $c$ tels que $n+3=ab$ et $2n+3=ac$
   Par conséquent $n=ab-3$
   Ainsi :
   $\begin{align*} 2n+3=ac &\ssi 2(ab-3)+3=ac \\
   &\ssi 2ab-6+3=ac \\
   &\ssi 2ab-3=ac \\
   &\ssi 2ab-ac=3 \\
   &\ssi a(2b-c)=3\end{align*}$
   $a$ divise donc $3$. Par conséquent $a=1$ (ce qui est interdit puisque $a>1$) ou $a=3$.
   Si $a=3$ on a alors $n=ab-3=3b-3=3(b-1)$ et $n$ est un multiple de $3$.
   $\quad$
   Réciproquement, si $n$ est un multiple de $3$ il existe alors un entier naturel $k$ tel que $n=3k$.
   Ainsi $n+3=3k+3=3(k+1)$ et $2n+3=6k+3=3(2k+1)$
   $n+3$ et $2n+3$ sont divisibles également par $3$ et ne sont pas premiers entre-eux.
   $\quad$
   Par conséquent $n+3$ et $2n+3$ ne sont pas premiers entre-eux si, et seulement si, $n$ est divisible par $3$.
   Donc $n+3$ et $2n+3$ sont premiers entre-eux si, et seulement si, $n$ n’est pas un multiple de $3$.
   $\quad$

 

Exercice 1     4 points

Lors d’un examen professionnel, chaque candidat doit présenter un dossier de type A ou un dossier de type B; $60 \%$ des candidats présentent un dossier de type A, les autres présentant un dossier de type B.
Le jury attribue à chaque dossier une note comprise entre $0$ et $20$. Un candidat est reçu si la note attribuée à son dossier est supérieure ou égale à $10$.
On choisit au hasard un dossier.
On admet qu’on peut modéliser la note attribuée à un dossier de type A par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $11,3$ et d’écart-type $3$, et la note attribuée à un dossier de type B par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d’espérance $12,4$ et d’écart type $4,7$.
On pourra noter $A$ l’évènement : « le dossier est un dossier de type A », $B$ l’évènement : « le dossier est un dossier de type B », et $R$ l’évènement : « le dossier est celui d’un candidat reçu à l’examen ».
Les probabilités seront arrondies au centième.

1. Le dossier choisi est de type A. Quelle est la probabilité que ce dossier soit celui d’un candidat reçu à l’examen ? On admet que la probabilité que le dossier choisi, sachant qu’il est de type B, soit celui d’un candidat reçu est égale à $0,70$.
   $\quad$
2. Montrer que la probabilité, arrondie au centième, que le dossier choisi soit celui d’un candidat reçu à l’examen est égale à $0,68$.
   $\quad$
3. Le jury examine $500$ dossiers choisis aléatoirement parmi les dossiers de type B. Parmi ces dossiers, $368$ sont ceux de candidats reçus à l’examen.
   Un membre du jury affirme que cet échantillon n’est pas représentatif. Il justifie son affirmation en expliquant que dans cet échantillon, la proportion de candidats reçus est trop grande.
   Quel argument peut-on avancer pour confirmer ou contester ses propos ?
   $\quad$
4. Le jury décerne un « prix du jury » aux dossiers ayant obtenu une note supérieure ou égale à $N$, où $N$ est un nombre entier. La probabilité qu’un dossier choisi au hasard obtienne le « prix du jury » est comprise entre $0,10$ et $0,15$.
   Déterminer le nombre entier $N$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathscr{C}_g$ dans un repère orthogonal d’une fonction $g$ définie et continue sur $R$. La courbe $\mathscr{C}_g$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et se situe
dans le demi-plan $y > 0$.

Pour tout $t\in \R$ on pose $$G(t)=\ds \int_0^t g(u)\mathrm{d}u$$

Partie A

Les justifications des réponses aux questions suivantes pourront s’appuyer sur des considérations graphiques.

1. La fonction $G$ est-elle croissante sur $[0 ; +\infty[$ ? Justifier.
   $\quad$
2. Justifier graphiquement l’inégalité $G(1) \pp 0,9$.
   $\quad$
3. La fonction $G$ est-elle positive sur R? Justifier.
   $\quad$

Dans la suite du problème, la fonction $\boldsymbol{g}$ est définie sur $\boldsymbol{R}$ par $\boldsymbol{g (u) = e^{-u^2}}$.

Partie B

1. Étude de $g$
   a. Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
   $\quad$
   b. Calculer la fonction dérivée de $g$ et en déduire le tableau de variations de $g$ sur $\R$.
   $\quad$
   c. Préciser le maximum de $g$ sur $R$. En déduire que $g(1) \pp 1$.
   $\quad$
2. On note $E$ l’ensemble des points $M$ situés entre la courbe $\mathscr{C}_g$ , l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = 0$ et $x = 1$. On appelle $I$ l’aire de cet ensemble.
   On rappelle que : $$I=G(1)=\ds \int_0^1g(u)\mathrm{d}u$$
   On souhaite estimer l’aire $I$ par la méthode dite « de Monte-Carlo » décrite ci-dessous.
   $\bullet$ On choisit un point $M(x ; y)$ en tirant au hasard de façon indépendante ses coordonnées $x$ et $y$ selon la loi uniforme sur l’intervalle $[0 ; 1]$. On admet que la probabilité que le point $M$ appartienne à l’ensemble $E$ est égale à $I$.
   $\bullet$ On répète $n$ fois l’expérience du choix d’un point $M$ au hasard. On compte le nombre $c$ de points appartenant à l’ensemble $E$ parmi les $n$ points obtenus.
   $\bullet$ La fréquence $f =\dfrac{c}{n}$ est une estimation de la valeur de $I$.
   $\quad$
   a. La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour $n = 100$. Déterminer la valeur de $f$ correspondant à ce graphique.
   
   b. L’exécution de l’algorithme ci-dessous utilise la méthode de Monte-Carlo décrite précédemment pour déterminer une valeur du nombre $f$ .
   Recopier et compléter cet algorithme.
   $f$ , $x$ et $y$ sont des nombres réels, $n$, $c$ et $i$ sont des entiers naturels.
   ALEA est une fonction qui génère aléatoirement un nombre compris entre $0$ et $1$. $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   c\leftarrow 0\\
   \text{Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire :}\\
   \hspace{1cm} x\leftarrow \text{ALEA}\\
   \hspace{1cm} y\leftarrow \text{ALEA}\\
   \hspace{1cm} \text{Si $y\pp \ldots$ alors }\\
   \hspace{2cm} c\leftarrow \ldots\\
   \hspace{1cm} \text{Fin Si}\\
   \text{Fin Pour}\\
   f\leftarrow \ldots \\
   \hline
   \end{array}$$
   c. Une exécution de l’algorithme pour $n = 1~000$ donne $f = 0,757$.
   En déduire un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95 \%$, de la valeur exacte de $I$.
   $\quad$

Partie C

On rappelle que la fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(u) = e^{-u^2}$ et que la fonction $G$ est définie sur $\R$ par : $$G(t)=\ds \int_0^tg(u)\mathrm{d}u$$
On se propose de déterminer une majoration de $G(t)$ pour $t \pg 1$.

1. Un résultat préliminaire.
   On admet que, pour tout réel $u \pg 1$, on a $g(u) \pp \dfrac{1}{u^2}$.
   En déduire que, pour tout réel $t \pg 1$, on a : $$\ds \int_1^t g(u)\mathrm{d}u \pp 1-\dfrac{1}{t}$$.
   $\quad$
2. Montrer que, pour tout réel $t \pg 1$, $$G(t)\pp 2-\dfrac{1}{t}$$
   Que peut-on dire de la limite éventuelle de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Préciser si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.

1. Soit $m$ un nombre réel et soit l’équation $(E) : \quad 2z^2+(m-5)z+m=0$.
   a. Affirmation 1 :
   « Pour $m = 4$, l’équation $(E)$ admet deux solutions réelles. »
   $\quad$
   b. Affirmation 2:
   « Il n’existe qu’une seule valeur de $m$ telle que $(E)$ admette deux solutions complexes qui soient des imaginaires purs. »
   $\quad$
2. Dans le plan complexe, on considère l’ensemble $S$ des points $M$ d’affixe $z$ vérifiant : $$|z-6|=|z+5\ic|$$
   Affirmation 3 :
   « L’ensemble $S$ est un cercle. »
   $\quad$
3. On munit l’espace d’un repère orthonormé $\Oijk$. On note $d$ la droite dont une représentation paramétrique est :  $$d:\begin{cases} x&=&-1+t\\y&=&2-t\\z&=&3+t\end{cases} \quad t\in \R$$
   On note $d’$ la droite passant par le point $B(4 ; 4 ;−6)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(5 ; 2 ; −9)$.
   Affirmation 4 :
   « Les droites $d$ et $d’$ sont coplanaires. »
   $\quad$
4. On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.
   
   Affirmation 5 :
   « Le vecteur $\vect{DE}$ est un vecteur normal au plan $(ABG)$. »
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 4]$ par $$f(x)=\dfrac{2+3x}{4+x}$$

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
$\hspace{3cm} u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

On admet que cette suite est bien définie.

1. Calculer $u_1$.
   $\quad$
2. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0; 4]$.
   $\quad$
3. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$1 \pp u_{n+1} \pp u_n\pp 3$$
   $\quad$
4. a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
   $\quad$
   b. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$; montrer l’égalité : $$\ell=\dfrac{2+3\ell}{4+\ell}$$
   $\quad$
   c. Déterminer la valeur de la limite $\ell$.
   $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par :
$\hspace{3cm} v_0=0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$.

1. On donne en Annexe, à rendre avec la copie, la courbe représentative, $\mathscr{C}_f$, de la fonction $f$ et la droite $D$ d’équation $y = x$.
   Placer sur l’axe des abscisses par construction géométrique les termes $v_1$, $v_2$ et $v_3$ sur l’annexe, à rendre avec la copie.
   Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite $\left(v_n\right)$ quand $n$ tend vers l’infini ?
   $\quad$
2. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$1-v_{n+1}=\left(\dfrac{2}{4+v_n}\right)\left(1-v_n\right)$$
   $\quad$
   b. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
   $\quad$
3. La suite $\left(v_n\right)$ converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.
   $\quad$

Annexe

 

$\quad$

 

Exercice 4     5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un laboratoire étudie l’évolution d’une population d’insectes parasites de plantes.
Cette évolution comporte deux stades : un stade larvaire et un stade adulte qui est le seul au cours duquel les insectes peuvent se reproduire.
L’observation de l’évolution de cette population conduit à proposer le modèle suivant.
Chaque semaine :

• Chaque adulte donne naissance à $2$ larves puis $75 \%$ des adultes meurent.
• $25 \%$ des larves meurent et $50 \%$ des larves deviennent adultes.

Pour tout entier naturel $n$, on note $\ell_n$ le nombre de larves et $a_n$ le nombre d’adultes au bout de $n$ semaines.
Pour tout entier naturel $n$, on note $X_n$ la matrice colonne définie par : $X_n =\begin{pmatrix} \ell_n\\a_n\end{pmatrix}$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_n$ où $A$ est la matrice : $$A=\begin{pmatrix}0,25&2\\0,5&0,25\end{pmatrix}$$
   $\quad$
2. On note $U$ et $V$ les matrices colonnes : $U = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}$, où $a$ est un nombre réel.
   a. Montrer que $AU = 1,25U$.
   $\quad$
   b. Déterminer le réel $a$ tel que $AV = -0,75V$.

Dans les questions 3 et 4, le réel $a$ est fixé de sorte qu’il est la solution de $AV = -0,75V$ .

3. On admet qu’il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : $X_0 = \alpha U +\beta V$ et $\alpha > 0$.
   a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_n = \alpha(1,25)^n U+\beta(-0,75)^n V$.
   $\quad$
   b. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $\begin{cases} \ell_n&=&2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right)\\a_n&=&(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)\end{cases}$.
   $\quad$
4. Montrer que $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\ell_n}{a_n}=2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Partie B

1. On considère l’équation $(E) :~~ 19x-6y = 1$. Déterminer le nombre de couples d’entiers $(x ; y)$ solutions de l’équation $(E)$ et vérifiant $2~000 \pp x \pp 2~100$.
   $\quad$
2. Soit $n$ un entier naturel. Montrer que les entiers $(2n + 3)$ et $(n + 3)$ sont premiers entre eux si et seulement si $n$ n’est pas un multiple de $3$.
   $\quad$