Bac S – Métropole – Septembre 2019

Métropole La Réunion – Septembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 10)&=P(10\pp X\pp 11,3)+P(X\pg 11,3)\\
    &=P(10\pp X\pp 11,3)+0,5 \\
    &\approx 0,67\end{align*}$
    La probabilité que le dossier soit celui d’un candidat reçu à l’examen est environ égale à $0,67$.
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(A\cap R)+P(B\cap R) \\
    &\approx 0,6\times 0,67+0,4\times 0,7 \\
    &\approx 0,68 \end{align*}$
    La probabilité que le dossier choisi soit celui d’un candidat reçu à l’examen est environ égale à $0,68$.
    $\quad$
  3. On a $n=500$ et $p=0,68$.
    Par conséquent $n=500\pg 30$, $np=340\pg 5$ et $n(1-p)=160\pg 5$
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de $95\%$ de la proportion d’élèves reçu à l’examen est :
    $\begin{align*} I_{500}&=\left[0,68-1,96\sqrt{\dfrac{0,68\times 0,32}{500}};0,68+1,96\sqrt{\dfrac{0,68\times 0,32}{500}} \right] \\
    &\approx [0,63;0,73]\end{align*}$
    La fréquence observée est $f=\dfrac{368}{500}=0,736 \notin I_{500}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, cela confirme l’affirmation du membre du jury.
    $\quad$
  4. On a :
    D’après la formule des probabilités totales, la probabilité que le dossier choisi obtienne le « prix du jury » est, en supposant que $N\pg 13$ :
    $\begin{align*} a&=0,6P(X\pg N)+0,4P(Y\pg N) \\
    &=0,6\left(P(X\pg 11,3)-P(11,3\pp X\pp N)\right) +0,4\left(P(Y\pg 12,4)-P(12,4\pp Y\pp N)\right) \\
    &=0,6\left(0,5-P(11,3\pp X\pp N)\right) +0,4\left(0,5-P(12,4\pp Y\pp N)\right) \\
    &=0,5-0,6P(11,3\pp X\pp N)-0,4P(12,4\pp Y\pp N)\end{align*}$
    À l’aide de la calculatrice, on obtient, arrondi au centième :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&a\\
    \hline
    13&0,35\\
    \hline
    14&0,26\\
    \hline
    15&0,38\\
    \hline
    16&0,12\\
    \hline
    \end{array}$
    Par conséquent $N=16$
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La courbe $\mathscr{C}_g$ se situe dans le demi-plan $y>0$. Cela signifie donc que, pour tout réel $x$ on a $g(x)>0$.
    Par définition de la fonction $G$, la fonction $g$ est la dérivée de la fonction $G$.
    Ainsi, $G$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $G(1)=\ds\int_0^1 g(u)\mathrm{d}u$.
    La fonction $g$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;1]$.
    Par conséquent $G(1)$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    Graphiquement, on constate que ce domaine est inclus dans un carré de côté $1$  auquel on a retiré un rectangle de taille $0,5\times 0,2$ (le rectangle dont les abscisses sont comprises entre $0,5$ et $1$ et dont les ordonnées sont comprises entre $0,8$ et $1$).
    Donc $G(1)\pp 1\times 1-0,5\times 0,2$ soit $g(1) \pp 0,9$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
    Par conséquent, pour tout réel $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} \ds G(-t)&= \int_0^{-t} g(u)\mathrm{d}u\\
    &=-\int_{-t}^0 g(u)\mathrm{d}u\\
    &=-\int_0^{t}g(u)\mathrm{d}u\\
    &= -G(t)\end{align*}$
    Par définition, la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ qui s’annule en $0$.
    D’après la question A.1. la fonction $G$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Comme $G(0)=0$, cela signifie donc que $G(t)> 0$ pour tout réel $t$ strictement positif.
    Par conséquent $G(-t) < 0$.
    La fonction $G$ n’est donc pas positive sur $\R$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $\lim\limits_{u\to -\infty} -u^2=-\infty$  or $\lim\limits_{U\to -\infty} \e^U=0$
    Donc $\lim\limits_{u\to -\infty} g(u)=0$.
    $\lim\limits_{u\to +\infty} -u^2=-\infty$  or $\lim\limits_{U\to -\infty} \e^U=0$
    Donc $\lim\limits_{u\to -\infty} g(u)=0$.
    $\quad$
    b. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $u$ on a donc $g'(u)=-2u\e^{u^2}$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $g'(u)$ ne dépend donc que de celui de $-2x$.
    $-2x=0 \ssi x=0$ et $-2x>0 \ssi x<0$
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations précédent, le maximum de la fonction $g$ est $1$ atteint en $0$.
    Cela signifie donc que, pour tout réel $u$ on a $g(u)\pp 1$.
    En particulier $g(1)\pp 1$.
    $\quad$
  2. a. $23$ points n’appartiennent pas à l’ensemble $E$.
    Par conséquent $f=\dfrac{100-23}{100}=0,77$
    $\quad$
  3. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    c\leftarrow 0\\
    \text{Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire :} \hspace{1cm}\\
    \hspace{1cm} x\leftarrow \text{ALEA}\\
    \hspace{1cm} y\leftarrow \text{ALEA}\\
    \hspace{1cm} \text{Si }y\pp \e^{-x^2} \text{ alors}\\
    \hspace{2cm}c\leftarrow c+1\\
    \hspace{1cm}\text{fin Si}\\
    \text{fin Pour}\\
    f\leftarrow \dfrac{c}{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. On a $n=1~000$ et $f=0,757$.
    Par conséquent $n=1~000\pg 30$, $nf=757\pg 5$ et $n(1-f)=0,243\pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la valeur exacte de $I$ est donc :
    $\begin{align*}I_{1~000}&=\left[0,757-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,757+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
    &\approx [0,725;0,789]\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

  1. Pour tout réel $t\pg 1$ on a :
    $\begin{align*} \ds \int_1^t g(u)\mathrm{d}u &\pp \ds \int_1^t \dfrac{1}{u^2}\mathrm{d}u \\
    &\pp \left[-\dfrac{1}{u}\right]_1^t \\
    &\pp -\dfrac{1}{t}+1\end{align*}$
    $\quad$
  2. Par conséquent, pour tout réel $t \pg 1$ on a :
    $\begin{align*} G(t)&=\ds \int_0^t g(u) \mathrm{d}u \\
    &=\int_0^1 g(u) \mathrm{d}u + \int_1^t g(u) \mathrm{d}u  \qquad (*)\\
    &\pp \int_0^1 1\mathrm{d}u+1-\dfrac{1}{t} \\
    &\pp 1+1-\dfrac{1}{t}\\
    &\pp 2-\dfrac{1}{t}\end{align*}$
    $(*)$ en effet, la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et $g(1)=1$. Donc pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $g(x)\pp 1$.
    $\quad$
    On a $\lim\limits_{t\to +\infty}2-\dfrac{1}{t}=2$.
    D’après la partie A, la fonction $G$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$ et positive.
    Par conséquent, la limite éventuelle de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$ est comprise entre $0$ et $2$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. On a donc l’équation $2z^2-3z+4=0$
    Le discriminant de cette équation du second degré est :
    $\Delta=(-3)^2-4\times 2\times 4=-23<0$
    L’équation possède donc deux solutions complexes non réelles.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
    b. Si l’équation $(E)$ admet des solutions complexes non réelles alors celles-ci sont de la forme :
    $z_1=\dfrac{-(m-5)-\sqrt{-\Delta}}{4}$ et $z_2=\dfrac{-(m-5)+\sqrt{-\Delta}}{4}$ où $\Delta$ est le discriminant de ce polynôme du second degré.
    Ces solutions sont des imaginaires purs si, et seulement si, $-(m-5)=0 \ssi m=5$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $A$ le point d’affixe $6$ et $B$ celui d’affixe $-5\ic$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} |z-6|=|z+5\ic| &\ssi |z-6|=\left|z-(-5\ic)\right| \\
    &\ssi AM=BM\end{align*}$
    Le point $M$ appartient donc à la médiatrice du segment $[AB]$
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}(1;-1;1)$.
    $\dfrac{1}{5} \neq \dfrac{-1}{2}$
    Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont donc pas colinéaires.
    Cela signifie par conséquent que les droites $d$ et $d’$ ne sont pas parallèles.
    Une représentation paramétrique de la droite $d’$ est : $\begin{cases}x=4+5k\\y=4+2k\\z=-6-9k\end{cases} \quad k\in \R$.
    Si les droites $d$ et $d’$ sont sécantes alors les coordonnées du point d’intersection sont solutions su système.
    $\begin{align*} \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\x=4+5k\\y=4+2k\\z=-6-9k\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\-1+t=4+5k\\2-t=4+2k\\3+t=-6-9k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\t=-2-2k\\t=-9-9k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\5+5k=-2-2k\\5+5k=-9-9k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-1+t\\y=2-t\\z=3+t\\t=5+5k\\k=-1\\k=-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} k=-1\\t=0\\ x=-1\\y=2\\z=3\t=5+5k\\k=-1\\k=-1\end{cases} \\
    \end{align*}$
    Par conséquent les droites $d$ et $d’$ sont sécantes donc coplanaires.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  4. Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires.
    Cela signifie donc que les vecteurs $\vect{BG}$ et ${FC}$ sont orthogonaux
    Or les vecteurs $\vect{FC}$ et $\vect{DE}$ sont colinéaires
    Donc les vecteurs $\vect{BG}$ et $\vect{DE}$ sont orthogonaux.
    Les plants $(ABE)$ et $(AED)$ sont perpendiculaires. Tout vecteur du plan $(ABE)$ est donc orthogonal à tout vecteur du plan $(AED)$. En particulier $\vect{AB}$ et \vect{DE}$ sont orthogonaux.
    Le vecteur $\vect{DE}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non orthogonaux du plan $(ABG)$. Il est par conséquent normal à ce plan.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$

 

Ex 4 obl

Exercice 4

Partie A

  1. $u_1=f(3)=\dfrac{11}{7}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;4]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;4]$ on a:
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3(4+x)-(2+3x)}{(4+x)^2} \\
    &=\dfrac{12+3x-2-3x}{(4+x)^2} \\
    &=\dfrac{10}{(4+x)^2}\\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    $\quad$
  3. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors on a $u_0=3$ et $u_1=\dfrac{11}{7}$
    Donc $1\pp u_1\pp u_0\pp 3$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ donc $1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 3$
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1} \pp 3$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;4]$.
    Par conséquent $f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)\pp f(3)$
    soit $1\pp u_{n+2}\pp u_{n+1} \pp \dfrac{11}{7} \pp 3$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$  et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 3$.
    $\quad$
  4. a. D’après la question précédente, la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. Elle converge donc.
    $\quad$
    b. la fonction $f$ est continue sur $[0;4]$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;4]$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\in[1;3]$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} f\left(u_n\right)=f(\ell)$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge vers le réel $\ell$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_{n+1}=\ell$.
    Or, pour tout entier naturel, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    D’après l’unicité de la limite d’une suite on a alors $\ell=f(\ell)$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} \ell=\dfrac{2+3\ell}{4+\ell} &\ssi \dfrac{2+3\ell}{4+\ell}-\ell=0 \\
    &\ssi \dfrac{2+3\ell-\ell(4+\ell)}{4+\ell}=0 \\
    &\ssi \dfrac{2+3\ell-4\ell-\ell^2}{4+\ell}=0 \\
    &\ssi \dfrac{-\ell^2-\ell+2}{4+\ell}=0\end{align*}$
    On considère le polynôme du second dégré $P$ défini sur $\R$ par $P(x)=-x^2-x+2$.
    $\Delta=(-1)^2-4\times (-1)\times 2=9>0$.
    Les racines sont $x_1=\dfrac{1-\sqrt{9}}{-2}=1$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{9}}{-2}=-2$.
    Or $\ell\in[1;3]$.
    Donc $\ell =1$.
    $\quad$

Partie B

  1. On obtient le graphique suivant :

    La suite $\left(v_n\right)$ semble donc croissante et converger vers $1$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} 1-v_{n+1}&=1-\dfrac{2+3v_n}{4+v_n} \\
    &=\dfrac{4+v_n-2-3v_n}{4+v_n} \\
    &=\dfrac{2-2v_n}{4+v_n} \\
    &=\dfrac{2}{4+v_n}(1-v_n)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Initialisation : Si $n=0$ alors $1-v_0=0,9$ et $\left(\dfrac{1}{2}\right)^0=1$.
    Par conséquent $0\pp 1-v_0 \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $0\pp 1-v_{n+1} \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$
    $1-v_{n+1}=\dfrac{2}{4+v_n}(1-v_n)$
    Donc $0 \pp 1-v_{n+1} \pp \dfrac{2}{4+v_n}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \quad (*)$
    Par hypothèse $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ donc $v_n\pg 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\pg 0$
    Ainsi $4+v_n\pg 4 \ssi 0\pp \dfrac{1}{4+v_n} \pp \dfrac{1}{4}$
    Par conséquent, en reprenant la relation $(*)$ on obtient :
    $0 \pp 1-v_{n+1} \pp \dfrac{2}{4}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$
    Soit $0\pp 1-v_{n+1} \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang$0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp 1-v_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
    $\quad$
  3. $-1<\dfrac{1}{2}<1$ par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1-v_n=0$ ce qui signifie que $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=1$.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A

  1. Chaque semaine, il reste donc $25\%$ des adultes et $50\%$ des larves deviennent des adultes.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1}=0,25a_n+0,5\ell_n$
    Chaque semaine, chaque adulte donne naissance à $2$ larves et $25\%$ ($100-50-25$) restent au stade larvaire.
    Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n+1}=2a_n+0,25\ell_n$.
    Ainsi $\begin{pmatrix} \ell_{n+1}\\a_{n+1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,25\ell_n+2a_n\\0,5\ell_n+ 0,25a_n\end{pmatrix}$
    Soit $X_{n+1}=AX_n$ où $A=\begin{pmatrix}0,25&2\\0,5&0,25\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. a. $AU=\begin{pmatrix}0,25\times 2+2\times 1\\2\times 0,5+1\times 0,25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2,5\\1,25\end{pmatrix}=1,25U$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $a$ on a :
    $AV=\begin{pmatrix}0,25a+2\\0,5a+0,25\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} AV=-0,75V&\ssi \begin{cases} 0,25a+2=-0,75a\\0,5a+0,25=-0,75\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 2=-a\\0,5a=-1\end{cases} \\
    &\ssi a=-2\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Montrons la propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $X_0=\alpha U+\beta V$
    Et $\alpha (1,25)^0U+\beta(-0,75)^0V=\alpha U+\beta V=X_0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$, $X_n=\alpha(1,25)^nU+\beta(-0,75)^nV$
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $X_{n+1}=\alpha(1,25)^{n+1}U+\beta(-0,75)^{n+1}V$.
    $\begin{align*} X_{n+1}&=AX_n \\
    &=A\left(\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V\right) \\
    &=\alpha(1,25)^nAU+\beta(-0,75)^nAV \\
    &=\alpha(1,25)^n\times 1,25U+\beta(-0,75)^n\times (-0,75V) \\
    &=\alpha(1,25)^{n+1}U+\beta(-0,75)^{n+1}V\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $X_n=\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, on a, puisque $a=-2$ :
    $\begin{align*} X_n&=X_n=\alpha(1,25)^{n}U+\beta(-0,75)^{n}V \\
    &=\begin{pmatrix} 2\alpha(1,25)^n-2\beta(-0,75)^n \\\alpha(1,25)^n+\beta(-0,75)^n\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} 2(1,25)^n\alpha-2\beta\times (1,25)^n\times \dfrac{(-0,75)^n}{2(1,25)^n} \\(1,25)^n\alpha+(1,25)^n\beta\times \dfrac{(-0,75)^n}{(1,25)^n} \end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right) \\(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)\end{pmatrix}\end{align*}$
    Par conséquent $\begin{cases} \ell_n &=&2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right) \\a_n&=&(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)\end{cases}$
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, on a, si $a_n\neq 0$,
    $\begin{align*} \dfrac{\ell_n}{a_n}&=\dfrac{2(1,25)^n\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right)}{(1,25)^n\left(\alpha+\beta(-0,6)^n\right)} \\
    &=\dfrac{2\left(\alpha-\beta(-0,6)^n\right)}{\alpha+\beta(-0,6)^n}\end{align*}$
    Or $-1<-0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} (-0,6)^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\ell_n}{a_n}=\dfrac{2\alpha}{\alpha}=2$.
    Cela signifie donc que, sur le long terme, il y a deux plus de larves que d’adultes.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $19\times 1-6\times 3=19-18=1$.
    Le couple $(1;3)$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    On considère un autre couple $(x;y)$ de cette équation.
    On a alors :
    $19\times 1-6\times 3=1$ et $19x-6y=1$
    Par différence, on obtient : $19(1-x)-6(3-y)=0 \ssi 19(1-x)=6(3-y)$.
    $19$ et $6$ sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, il existe donc un entier relatif $k$ tel que $1-x=6k$ et $3-y=19k$.
    Ainsi $x=1-6k$ et $y=3-19k$.
    $\quad$
    Réciproquement, soit $k$ un entier relatif. Alors :
    $19(1-6k)-6(3-19k)=19-114k-18+114k=1$.
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont donc les couples $(1-6k;3-19k)$ pour tout entier relatif $k$.
    On cherche les entiers relatifs $k$ tels que :
    $\begin{align*} 2~000\pp x \pp 2~100 &\ssi 2~000\pp 1-6k\pp 2~100 \\
    &\ssi 1~999 \pp 6k \pp 2~099 \\
    &\ssi  \dfrac{1~999}{6}\pp k \pp \dfrac{2~099}{6}\end{align*}$
    Or $\dfrac{1~999}{6}\approx 333,2$ et $\dfrac{2~099}{6}\approx 349,8$.
    $k$ peut donc prendre toutes les valeurs entières comprises entre $334$ et $349$ toutes les deux incluses. Cela  représente donc $16$ valeurs.
    Il existe donc $16$ couples d’entiers $(x;y)$ solutions de l’équation $(E)$ vérifiant $2~000\pp x\pp 2~100$.
    $\quad$
  2. On suppose qu’il existe un entier naturel $a$ strictement supérieur à $1$ qui divise à la fois $n+3$ et $2n+3$.
    Il existe donc des entiers naturels $b$ et $c$ tels que $n+3=ab$ et $2n+3=ac$
    Par conséquent $n=ab-3$
    Ainsi :
    $\begin{align*} 2n+3=ac &\ssi 2(ab-3)+3=ac \\
    &\ssi 2ab-6+3=ac \\
    &\ssi 2ab-3=ac \\
    &\ssi 2ab-ac=3 \\
    &\ssi a(2b-c)=3\end{align*}$
    $a$ divise donc $3$. Par conséquent $a=1$ (ce qui est interdit puisque $a>1$) ou $a=3$.
    Si $a=3$ on a alors $n=ab-3=3b-3=3(b-1)$ et $n$ est un multiple de $3$.
    $\quad$
    Réciproquement, si $n$ est un multiple de $3$ il existe alors un entier naturel $k$ tel que $n=3k$.
    Ainsi $n+3=3k+3=3(k+1)$ et $2n+3=6k+3=3(2k+1)$
    $n+3$ et $2n+3$ sont divisibles également par $3$ et ne sont pas premiers entre-eux.
    $\quad$
    Par conséquent $n+3$ et $2n+3$ ne sont pas premiers entre-eux si, et seulement si, $n$ est divisible par $3$.
    Donc $n+3$ et $2n+3$ sont premiers entre-eux si, et seulement si, $n$ n’est pas un multiple de $3$.
    $\quad$

 

Énoncé

Télécharger (PDF, 116KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.