Bac S – Nouvelle Calédonie – Mars 2019

Nouvelle Calédonie – mars 2019

Bac TS – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. D’après l’arbre précédent on a $P(G\cap R)=0,2\times 0,01=0,002$.
    $\quad$
    c. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}P(R)&=P(G\cap R)+P\left(\conj{G}\cap R\right)\\
    &=0,002+0,8\times 0,1\\
    &=0,082\end{align*}$
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*}P_R(G)&=\dfrac{P(R\cap G)}{P(R)}\\
    &=\dfrac{0,002}{0,082}\\
    &\approx 0,024\end{align*}$
    $\quad$
  2. On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le coût d’entretien d’une voiture.
    La loi de probabilité de $X$ est donc :
    $P(X=0)=P(G)=0,2$
    $P(X=100)=P\left(\conj{G}\cap \conj{R}\right)=0,8\times 0,9=0,72$
    $P(X=500)=P\left(\conj{G}\cap R\right)=0,8\times 0,1=0,08$
    Ainsi $E(X)=0\times 0,2+100\times 0,72+500\times 0,08=112$.
    La société de location doit donc prévoir un budget annuel de $112\times 2~500=280~000$ euros pour l’entretien de l’ensemble des voitures.
    Le budget prévu est donc insuffisant.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=600 \pg 30$ et $p=0,8$ donc $np=480\pg 5$ et $n(1-p)=120\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence de courte durée est :
    $\begin{align*}I_{600}&=\left[0,8-1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{600}};0,8+1,96\sqrt{\dfrac{0,8\times 0,2}{600}}\right]\\
    &\approx [0,767;0,833]\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fréquence observée est $f=\dfrac{550}{600}\approx 0,917 \notin I_{600}$.
    Au risque d’erreur de $5\%$ on peut remettre en cause l’affirmation de la directrice.
    $\quad$

Partie C

  1. D’après la calculatrice $P(500 \pp Y\pp 600)\approx 0,242$.
    La probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre $500$ km et $600$ km est environ $0,242$.
    $\quad$
  2. On cherche la valeur du réel $d$ tel que $P(Y\pp d)=0,15$.
    À l’aide de la touche Inverse loi normale de la calculatrice on trouve $d\approx 346$.
    Un client sera concerné par cette offre s’il parcourt moins de $346$ km.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} x-4=+\infty$ et $\lim\limits_{X \to +\infty}\e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{x-4}=+\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x+2=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} g(x)&=(x-4+6)\e^{x-4}-2 \\
    &=(x-4)\e^{x-4}+6\e^{x-4}-2\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to -\infty}x-4=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty}X\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty}(x-4)\e^{x-4}=0$.
    $\lim\limits_{x\to -\infty}x-4=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty}\e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty}\e^{x-4}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=-2$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\e^{x-4}+(x+2)\e^{x-4}\\
    &=(1+x+2)\e^{x-4}\\
    &=(x+3)\e^{x-4}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+3$.
    Or $x+3=0\ssi x=-3$ et $x+3>0\ssi x>-3$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Avec $g(-3)\approx -2,000~91$.
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $]-\infty;-3]$ on a $g(x)\pp -2$.
    L’équation $g(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $[-3;+\infty[$ lafonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
    De plus $g(-3)<0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=+\infty$.
    D’après la théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ ne possède qu’une solution sur l’intervalle $[-3;+\infty[$.
    Finalement l’équation $g(x)=0$ ne possède qu’une seule solution $\alpha$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations de $g$ et la question précédente on a :
    – sur $]-\infty,\alpha[$, $g(x)<0$ ;
    – $g(\alpha)=0$ ;
    – sur  $]\alpha;+\infty[$, $g(x)>0$.
    $\quad$
  6. D’après la calculatrice on a $3,069 < \alpha < 3,070$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $f$

  1. Pour tout réel $x$ :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi x^2-x^2\e^{x-4}=0 \\
    &\ssi x^2\left(1-\e^{x-4}\right)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } \e^{x-4}=1 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x-4=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=4\end{align*}$
    Les solutions de l’équation $f(x)=0$ sont $0$ et $4$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=-xg(x)$.
    On obtient le tableau de variations suivant :

    La fonction $f$ est décroissante sur les intervalles $]-\infty;0]$ et $[\alpha;+\infty[$. Elle est croissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ admet donc un maximum en $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Or :
    $\begin{align*} g(\alpha)=0&\ssi (\alpha+2)\e^{\alpha-4}-2=0\\
    &\ssi\e^{\alpha-4}=\dfrac{2}{\alpha+2}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f(\alpha)&=\alpha^2-\alpha^2\e^{\alpha-4} \\
    &=\alpha^2\left(1-\e^{\alpha-4}\right) \\
    &=\alpha^2\left(1-\dfrac{2}{\alpha+2}\right) \\
    &=\alpha^2\times \dfrac{\alpha+2-2}{\alpha+2} \\
    &=\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}\end{align*}$
    $\quad$

Partie C : Aire d’un domaine

  1. Pour tout réel $x$ on a $f(x)-x^2=-x^2\e^{x-4}\pp 0$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc toujours située sous la parabole $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x^2-f(x)=x^2\e^{x-4}$ est donc continue, comme produit de fonctions continues sur $\R$, et positive.
    Ainsi l’aire du domaine $\mathscr{D}$ est:
    $\begin{align*}\mathscr{A}&=\int_0^4 h(x)\dx\\
    &=\left[\dfrac{x^3}{3}-F(x)\right]_0^4\\
    &=\left[\left(x^2-2x+2\right)\e^{x-4}\right]_0^4\\
    &=(16-8+2)\e^0-2\e^{-4}\\
    &=10-2\e^{-4} \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. $z\left(z^2-8z+32\right)=0\ssi z=0$ ou $z^2-8z+32=0$.
    Or $z^2=0 \ssi z=0$
    Calculons le discriminant de $z^2-8z+32=0$
    $\Delta=(-8)^2-4\times 32=-64<0$
    Les solutions de l’équation $z^2-8z+32=0$ sont donc
    $z_1=\dfrac{8-\ic\sqrt{64}}{2}=4-4\ic$ et $z_2=\conj{z_1}=4+4\ic$.
    On appelle $A$ le point d’affixe $4+4\ic$ et $B$ celui d’affixe $4-4\ic$.
    Ces deux points sont donc symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Or $O$ appartient à cet axe.
    Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$.
    Le milieu de $[AB]$ est le point $C$ d’affixe $4$.
    Par conséquent $OC=4$ et $AB=\left|z_B-z_A\right|=\left|8\ic\right|=8$.
    L’aire du triangle $OAB$ est alors $\mathscr{A}=\dfrac{OC\times AB}{2}=\dfrac{4\times 8}{2}=16$ unités d’aire.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. On appelle $M$ le point d’affixe $z$, $A$ celui d’affixe $3$ et $B$ celui d’affixe $-3$.
    Ainsi $|z-3|=|z+3|\ssi AM=BM$
    $\mathscr{E}$ est donc la médiatrice du segment $[AB]$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. L’affixe du vecteur $\vect{OM_n}$ est $z_1=z_n-z_0=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^n$.
    L’affixe du vecteur $\vect{OM_{n+3}}$ est
    $\begin{align*} z_2&=z_{n+3}-z_0\\
    &=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{n+3}\\
    &=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{3}\times \left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{n}\\
    &=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^{3}z_n\end{align*}$
    Les vecteurs $\vect{OM_{n}}$ et $\vect{OM_{n+3}}$ sont donc colinéaires et les points $O$, $M_n$ et $M_{n+3}$ sont alignés.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x\in ]-\pi;\pi]$ on a :
    $\sin(x)\left(2\cos^2(x)-1\right)=0$
    $\ssi \sin(x)=0$ ou $2\cos^2(x)-1=0$
    Or $\sin(x)=0 \ssi x=0$ ou $x=\pi$ sur $]-\pi;\pi]$.
    $\begin{align*} 2\cos^2(x)-1=0&\ssi \cos^2(x)=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi \cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{ou } \cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
    &\ssi x=\dfrac{\pi}{4} \text{ ou } x=-\dfrac{\pi}{4} \text{ ou }x=\dfrac{3\pi}{4} \text{ ou }x=-3\dfrac{\pi}{4}\end{align*}$
    L’équation $\sin(x)\left(2\cos^2(x)-1\right)=0$ possède donc $6$ solutions sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$.
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$

Ex 4 obl

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Exercice 4

Partie A : Conjectures

  1. On peut écrire $=B2/(B2+8)$.
    $\quad$
  2. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante.
    $\quad$
  3. Il semblerait la suite converge vers $0$.
    $\quad$
  4. On peut utiliser l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 1\\
    \text{Pour $k$ allant de $1$ à $30$}\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \dfrac{U}{U+8}\\
    \text{Fin Pour}\\
    \text{Afficher }U\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie B : Étude générale

  1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=1>0$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a donc $u_n>0$.
    On veut montrer que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1}>0$.
    Or $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$
    Il s’agit d’un quotient de nombres strictement positifs. Par conséquent $u_{n+1}>0$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n>0$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{u_n}{u_n+8}-u_n\\
    &=\dfrac{u_n-{u_n}^2-8u_n}{u_n+8}\\
    &=\dfrac{-7u_n-{u_n}^2}{u_n+8}\end{align*}$
    Or, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n>0$. On a alors $-7u_n<0$ et $u_n+8>0$.
    De plus, pour tout entier naturel $n$ on a $-{u_n}^2<0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n$ est un quotient de nombres de signes contraires et $u_{n+1}-u_n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. Elle est donc convergente.
    $\quad$

Partie C : Recherche d’une expression du terme général

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=1+\dfrac{7}{u_{n+1}} \\
    &=1+\dfrac{7\left(u_n+8\right)}{u_n}\\
    &=1+7+\dfrac{56}{u_n}\\
    &=8+\dfrac{56}{u_n}\\
    &=8\left(1+\dfrac{7}{u_n}\right)\\
    &=8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $8$ et de premier terme $v_0=1+\dfrac{7}{u_0}=8$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=8\times 8^n=8^{n+1}$.
    De plus :
    $\begin{align*}v_n=1+\dfrac{7}{u_n}&\ssi v_n-1=\dfrac{7}{u_n}\\
    &\ssi u_n=\dfrac{7}{v_n-1}\\
    &\ssi u_n=\dfrac{7}{8^{n+1}-1}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $8>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}8^{n+1}=+\infty$
    Ainsi, $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=0$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que
    $\begin{align*} u_n<10^{-18} &\ssi \dfrac{7}{8^{n+1}-1}<10^{-18} \\
    &\ssi\dfrac{8^{n+1}-1}{7}>10^{18}\\
    &\ssi 8^{n+1}-1>7\times 10^{18}\\
    &\ssi 8^{n+1}>7\times 10^{18}+1\\
    &\ssi (n+1)\ln(8)>\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)\\
    &\ssi n+1>\dfrac{\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)}{\ln(8)}\\
    &\ssi n>\dfrac{\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)}{\ln(8)}-1\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\left(7\times 10^{18}+1\right)}{\ln(8)}-1\approx 19,87$.
    par conséquent $n_0=20$.
    Le plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$ on a $u_n<10^{-18}$ est $n_0=20$.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Une société de location de voitures s’intéresse à l’état mécanique de son parc automobile afin d’anticiper les frais d’entretien.
On dispose des données suivantes :

  • $20 \%$ des voitures sont sous garantie;
  • pour $1 \%$ des voitures sous garantie, une réparation est nécessaire;
  • pour $10 \%$ de celles qui ne sont plus sous garantie, une réparation est nécessaire.

On choisit une voiture au hasard dans le parc et on considère les événements suivants :

  • $G$ : « la voiture est sous garantie »;
  • $R$ : « une réparation est nécessaire ».
  1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que la voiture choisie soit sous garantie et nécessite une réparation.
    $\quad$
    c. Justifier que $P(R) = 0,082$.
    $\quad$
    d. Il s’avère que la voiture choisie nécessite une réparation.
    Quelle est la probabilité qu’elle soit sous garantie ? On arrondira le résultat à $10^{−3}$.
    $\quad$
  2. La société de location fait appel à un garage pour l’entretien de son parc automobile.
    L’entretien consiste en une révision à laquelle s’ajoutent d’éventuelles réparations. Les conditions commerciales du garage sont les suivantes :
    $\bullet$ si la voiture est encore sous garantie, l’entretien est gratuit;
    $\bullet$ si la voiture n’est plus sous garantie, l’entretien est facturé de la manière suivante : la révision coûte $100$ € et, si une réparation est nécessaire, il faut rajouter $400$ €.
    Sachant que son parc automobile compte $2~500$ voitures, est-il raisonnable pour la société de location de prévoir un budget annuel de $250~000$ euros pour l’entretien de l’ensemble des voitures ?
    On pourra introduire la variable aléatoire $X$ qui représente le coût d’entretien d’une voiture.
    $\quad$

Partie B

La société de location propose à ses clients deux contrats de location : un contrat de courte durée (inférieure à $2$ jours) et un contrat de longue durée (de $3$ à $7$ jours).
La directrice de cette société affirme que $80 \%$ des clients demandent un contrat de courte durée.
Sur les $600$ derniers contrats signés l’année précédente, $550$ étaient des contrats de courte durée.

  1. En supposant que l’affirmation de la directrice est correcte, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95 \%$ de la fréquence des contrats de courte durée.
    $\quad$
  2. Que peut-on penser de l’affirmation de la directrice ?
    $\quad$

Partie C

On modélise le nombre de kilomètres parcourus par les clients louant une voiture pour une semaine par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 450$ et d’écart-type $\sigma = 100$.

  1. Quelle est la probabilité que le client louant la voiture pour une semaine roule entre $500$ km et $600$ km ? On arrondira le résultat à $10^{−3}$.
    $\quad$
  2. La société de location souhaite faire une offre promotionnelle aux $15 \%$ de ses clients parcourant le moins de kilomètres en une semaine.
    En-dessous de quel kilométrage hebdomadaire, arrondi à l’unité, un client sera-t-il concerné par cette offre ?
    $\quad$

Exercice 2     6 points

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $$ g(x)=(x+2)\e^{x-4}-2$$

  1. Déterminer la limite de $g$ en $\infty$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la limite de $g$ en $-\infty$ vaut $-2$.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $R$ et on note $g’$ sa dérivée.
    Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ puis dresser le tableau de variations de $g$ .
    $\quad$
  4. Démontrer que l’équation $g (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
    $\quad$
  5. En déduire le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  6. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude $10^{−3}$ de $\alpha$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=x^2-x^2\e^{x-4}$$

  1. Résoudre l’équation $f(x) = 0$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    On admet par ailleurs que, pour tout réel $x$, $f'(x) = −xg(x)$ où la fonction $g$ est celle définie à la partie A.
    Étudier les variations de la fonction $f$ sur $R$.
    $\quad$
  3. Démontrer que le maximum de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ est égal à $\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}$.
    $\quad$

Partie C : Aire d’un domaine

Dans un repère orthonormé $\Oij$, on note $\mathscr{D}$ le domaine compris entre la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$, la parabole $\mathscr{P}$ d’équation $y=x^2$ et les droites d’équations $x=0$ et $x=4$.

  1. Déterminer la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{P}$.
    $\quad$
  2. . On admet qu’une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par : $$F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\left(x^2-2x+2\right)\e^{x-4}$$
    Calculer l’aire du domaine $\mathscr{D}$ en unité d’aire. On donnera la valeur exacte.
    $\quad$

Exercice 3     4 points

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué 1 point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
Pour les questions 1 à 3, on se place dans un plan muni du repère orthonormé direct $\Ouv$.

  1. Soit $(E)$ l’équation d’inconnue le nombre complexe $z$ $$z\left(z^2-8z+32\right)=0$$
    Affirmation 1 : Les points dont les affixes sont les solutions de l’équation $(E)$ sont les sommets d’un triangle d’aire égale à $16$ unités d’aire.
    $\quad$
  2. Soit $\mathscr{E}$ l’ensemble des points dont les affixes $z$ vérifient $$|z-3|=|z+3|$$
    Affirmation 2 : L’ensemble $\mathscr{E}$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $3$.
    $\quad$
  3. On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$z_n=\left(1-\ic\sqrt{3}\right)^2$$
    Pour tout entier naturel $n$, on note $M_n$ le point d’affixe $z_n$.
    Affirmation 3 : Pour tout entier naturel $n$, les points $M_n$, $O$ et $M_{n+3}$ sont alignés.
    $\quad$
  4. On considère l’équation d’inconnue le nombre réel $x$ $$\sin(x)\left(2\cos^2(x)-1\right)=0$$
    Affirmation 4 : Cette équation admet exactement quatre solutions sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$ qui sont $-\dfrac{\pi}{4}$; $0$; $\dfrac{\pi}{4}$ et $\pi$.
    $\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(u_n\right)$ à valeurs réelles définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}$$

Partie A : Conjectures

Les premières valeurs de la suite $\left(un\right)$ ont été calculées à l’aide d’un tableur dont voici une capture d’écran :

  1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule $B3$ et copier vers le bas pour obtenir les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  2. Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  3. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  4. Écrire un algorithme calculant $u_{30}$.
    $\quad$

Partie B : Étude générale

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier
    $\quad$

Partie C : Recherche d’une expression du terme général

On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$, $$v_n=1+\dfrac{7}{u_n}$$

  1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $8$ dont on déterminera le premier terme.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n =\dfrac{7}{8^{n+1}-1}$$
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$
    $\quad$
  4. On cherche dans cette question le plus petit entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $n_0$, $u_n < 10^{−18}$.
    Justifier l’existence d’un tel entier $n_0$ et déterminer sa valeur.
    $\quad$