Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A – Conjecture graphique

  1. Graphiquement, une solution de l’équation $f(x)=g(x)$ est $1$.
    $\quad$
  2. Graphiquement, une solution de l’équation $g'(x)=0$ est $0,5$ (la dérivée s’annule en l’abscisse d’un sommet).
    $\quad$

 

Partie B – Étude de la fonction $\boldsymbol{g}$

  1. $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{X \to 0} \e^X=0$ donc$\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-1/x}=0$.
    De plus $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$.
    Donc, par produit de limites, $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ strictement positif on a :
    $\begin{align*} h(x)&=\ln\left(g(x)\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x}\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+\ln\left(\e^{-1/x}\right)\\
    &=-\ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x} \\
    &=-2\ln(x)-\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{-2x\ln(x)-1}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+}-2x\ln(x)-1=-1$.
    De plus, $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
    Donc, par produit de limites, $\lim\limits_{x \to 0^+} h(x)=-\infty$.
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ strictement positif on a $h(x)=\ln\left(g(x)\right) \ssi g(x)=\e^{h(x)}$.
    Or $\lim\limits_{x \to 0^+} h(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} =0$.
    Donc, par composition de limite on a $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=0$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ d’après l’énoncé.
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{-2}{x^3}\e^{-1/x}+\dfrac{1}{x^2}\times \dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x} \\
    &=\left(\dfrac{-2}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}\right)\e^{-1/x} \\
    &=\dfrac{(-2x+1)\e^{-1/x}}{x^4} \end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. De plus, pour tout $x>0$, on a $x^4>0$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-2x$.
    Or $1-2x=0 \ssi x=1/2$ et $1-2x>0\ssi -2x>-1 \ssi x<\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $g'(x)<0$ sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
    $g\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$
    et $g'(x)>0$ sur l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{2}\right[$.
    Par conséquent, la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{2}\right[$ et décroissante sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$

Partie C – Aire des deux domaines compris entre les courbes $\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$ et $\boldsymbol{\mathscr{C}_g}$

  1. $f(1)=\e^{-1}$ et $g(1)=\dfrac{1}{1^2}\e^{-1/1}=\e^{-1}$.
    Ainsi le point $A$ de coordonnées $\left(1;\e^{-1}\right)$ est un point d’intersection de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $a$ et $b$ strictement positifs on a :
    $\begin{align*} \ds \int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\dx &=\int_a^b \left(\e^{-x}-\dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x}\right) \dx \\
    &=\left[-\e^{-x}-\e^{-1/x}\right]_a^b \\
    &=-\e^{-b}-\e^{-1/b}+\e^{-a}+\e^{-1/a} \\
    &=\e^{-a}+\e^{-1/a}-\e^{-b}-\e^{-1/b}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{a \to 0} \e^{-a}=\e^0=1$
    $\lim\limits_{a \to 0^+} -\dfrac{1}{a}=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^x=0$. Donc $\lim\limits_{a \to 0^+} \e^{-1/a}=0$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \ds \lim\limits_{a \to 0^+} \int_a^1 \left(f(x)-g(x)\right)\dx&=1+0-\e^{-1}-\e^{-1} \\
    &=1-2\e^{-1}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Cette égalité signifie que l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_f$, $\mathscr{C}_g$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$ est égale à celle du domaine compris entre $\mathscr{C}_g$ et  $\mathscr{C}_f$ pour tous les points dont l’abscisse est supérieure à $1$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Les vingt questions sont indépendantes. Les “tirages” sont aléatoires, identiques et possèdent deux issues :”Anselme répond correctement” ou non.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,25$.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(X\pg 10) =1-P(X\pp 9) \approx 0,014$.
    $\quad$
  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(M)&=p(M\cap A)+p(M\cap B)+p(M\cap C) \\
    &\approx \dfrac{1}{3}\times 0,014+\dfrac{1}{3}\times 0,588+\dfrac{1}{3}\times 0,962 \\
    &\approx 0,521 \end{align*}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} p_M(B)&=\dfrac{p(M\cap B)}{p(M)} \\
    &\approx \dfrac{\dfrac{1}{3}\times 0,588}{0,521} \\
    &\approx 0,376 \end{align*}$
    La probabilité qu’il s’agisse de la copie de Barbara sachant que la note est supérieure ou égale à $10$ est d’environ $0,376$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Le point $P$ a pour coordonnées $(1;0;1)$.
    Le point $F$ a pour coordonnées $(2;0;2)$ et le point $G$ a pour coordonnées $(2;2;2)$.
    Ainsi le point $Q$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2+2}{2};\dfrac{0+2}{2};\dfrac{2+2}{2}\right)$ soit $(2;1;2)$.
    Dans la représentation paramétrique proposée :
    $\bullet$ Si $t=0$ alors $\begin{cases} x=1\\y=0\\z=1\end{cases}$ et on obtient les coordonnées du point $P$.
    $\bullet$ Si $t=1$ alors $\begin{cases} x=2\\y=1\\z=2\end{cases}$ et on obtient les coordonnées du point $Q$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est donc bien $\begin{cases} x=1+t\\y=t\\z=1+t\end{cases}, \quad t\in \R$.
    $\quad$
  2. a. Les coordonnées du point $I$ sont $(0;1;0)$ et celles du point $J$ sont $(2;1;0)$.
    Ainsi les coordonnées du vecteur $\vect{IJ}$ sont $(2;0;0)$.
    On considère le point $K’$ de coordonnées $(1+t;1;0)$.
    Alors les coordonnées du vecteur $\vect{MK’}$ sont $(0;1-t;-1-t)$.
    $\vect{IJ}.\vect{MK’}=0+0+0=0$.
    Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{MK’}$ sont orthogonaux.
    $\quad$
    Une représentation paramétrique de la droite $(IJ)$ est $\begin{cases} x=r\\y=1\\z=0\end{cases}, \quad r\in \R$.
    En prenant $r=1+t$ on obtient le fait que $K’$ appartient à la droite $(IJ)$.
    $\quad$
    Le point $K’$ appartient à la droite $(IJ)$ et est tel que $(MK’)$ soit orthogonal à $(IJ)$. Un tel point est unique d’après l’énoncé.
    Par conséquent les coordonnées du point $K$ sont bien $(1+t;1;0)$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} MK&=\left\| \vect{MK}\right\| \\
    &=\sqrt{0^2+(1-t)^2+(-1-t)^2} \\
    &=\sqrt{1-2t+t^2+1+2t+t^2}\\
    &=\sqrt{2+2t^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Le point $H$ a pour coordonnées $(0;2;2)$ et $y_H-z_H=2-2=0$. Donc $H$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Le point $G$ a pour coordonnées $(2;2;2)$ et $y_G-z_G=2-2=0$. Donc $G$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Le point $B$ a pour coordonnées $(2;0;0)$ et $y_B-z_B=0-0=0$. Donc $B$ appartient au plan d’équation $y-z=0$.
    Ainsi, une équation cartésienne du plan $(HGB)$ est $y-z=0$.
    $\quad$
    b. On note $L’$ le point de coordonnées $\left(1+t;\dfrac{1}{2}+t;\dfrac{1}{2}+t\right)$.
    $y_L-z_L=\dfrac{1}{2}+t-\dfrac{1}{2}-t=0$ donc $L’$ appartient au plan $(HGB)$.
    $\quad$
    Les coordonnées du vecteur $\vect{ML’}$ sont $\left(0;\dfrac{1}{2}+t-t;\dfrac{1}{2}+t-1-t\right)$ soit $\left(0;\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$.
    Un vecteur normal au plan $(HGB)$ est $\vec{n}(0;1;-1)$.
    Par conséquent $\vect{ML’}=\dfrac{1}{2}\vec{n}$.
    Le vecteur $\vect{ML’}$ est bien orthogonal au plan $(HGB)$.
    $\quad$
    Le point $L’$ appartient au plan $(HGB)$ et est tel que $(ML’)$ soit orthogonal à $(HGB)$. Un tel point est unique.
    Les coordonnées du point $L$ sont donc $\left(0;\dfrac{1}{2}+t-t;\dfrac{1}{2}+t-1-t\right)$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} ML&=\left\| \vect{ML}\right\| \\
    &=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}\\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{2}}\\
    &=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut résoudre l’équation :
    $ ML=MK \ssi \sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2+2t^2}$
    Or, pour tout réel $t$ on a  $2+2t^2\pg 2>\dfrac{1}{2}$.
    Il n’existe donc pas de valeur de $t$ pour laquelle la distance $MK$ est égale à la distance $ML$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=z_{n+1}-\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}\ic-\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}z_n-\dfrac{1}{3}\ic \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(z_n-\ic\right)\\
    &=\dfrac{1}{3}u_n\end{align*}$
    $\quad$
  2. Démontrons, par récurrence sur $n$, que, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    Initialisation :
    Si $n=0$ alors $\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)=1-\ic=z_0-\ic=u_0$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie au rang $n$, c’est-à-dire que $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}(1-\ic)$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{3}u_n \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}(1-\ic) \end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*}\left|u_n\right|&=\left|\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)\right| \\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\left|1-\ic\right| \\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \sqrt{1^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{2}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-1 < \dfrac{1}{3} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} \left|u_n\right|=0$
    C’est-à-dire $\lim\limits_{n \to +\infty} \left|z_n-\ic\right|=0$.
    $\quad$
    c. Géométriquement, cela signifie que, pour de grandes valeur de $n$, le point $A_n$ est très proche du point $C$.
    $\quad$
  4. a. On a $|1-\ic|=\sqrt{2}$ donc $1-\ic=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ic\right)=\sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$.
    Par conséquent $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\times \sqrt{2}\e^{-\ic\pi/4}$.
    Un argument de $u_n$ est donc $-\dfrac{\pi}{4}$.
    $\quad$
    b. On considère deux entiers naturels non nuls $n$ et $m$.
    L’affixe du vecteur $\vect{B_0B_n}$ est
    $\begin{align*} c_n&=u_n-u_0\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)-(1-\ic) \\
    &=(1-\ic)\times \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1\right) \end{align*}$
    L’affixe du vecteur $\vect{B_0B_m}$ est
    $\begin{align*} d_n&=u_m-u_0\\
    &=\left(\dfrac{1}{3}\right)^m(1-\ic)-(1-\ic) \\
    &=(1-\ic)\times \left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^m-1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $d_n=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^m-1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1}c_n$.
    Les vecteurs $\vect{B_0B_n}$ et $\vect{B_0B_m}$ sont colinéaires.
    Les points $B_0$, $B_n$ et $B_m$ sont donc alignés.
    $\quad$
    Autre méthode :
    On considère deux entiers naturels $n$ et $m$.
    $\begin{align*} \left(\vect{OB_n},\vect{OB_m}\right)&=\left(\vec{u},\vect{OB_m}\right)-\left(\vect{OB_n},\vec{u}\right) \\
    &=-\dfrac{\pi}{4}-\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) ~~[2\pi] \\
    &=0~~[2\pi]\end{align*}$
    Les points $O$, $B_n$ et $B_M$ sont donc alignés.
    Cela signifie donc que tous les points $B_n$ appartiennent à la droite $\left(OB_0\right)$.
    $\quad$
    c. On a $u_0=1-\ic$. Une équation de la droite $\left(OB_0\right)$ est donc $y=-x$.
    Pour tout entier naturel $n$, il existe donc un réel $x_n$ tel que m’affixe du point $B_n$  soit $u_n=x_n(1-\ic)$.
    Or l’affixe du point $B_n$ est $u_n=z_n-\ic$.
    Par conséquent, en notant $a_n+\ic b_n$ la forme algébrique de $z_n$ on a :
    $\begin{align*} x_n(1-\ic)=a_n+\ic b_n-\ic &\ssi \begin{cases} a_n=x_n \\-x_n=b_n-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a_n=x_n \\b_n=-a_n+1\end{cases} \end{align*}$
    Le point $A_n$ appartient donc à la droite d’équation $y=-x+1$.
    $\quad$

 

Ex 4 spé

Exercice 4

Partie A

  1. a. On a :
    $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=1$, $u_3=2$, $u_4=3$, $u_5=5$, $u_6=8$, $u_7=13$, $u_8=21$, $u_9=34$ et $u_{10}=55$
    $\quad$
    b. Il semblerait que pour tout entier naturel $n$ le PGCD de $u_n$ et de $u_{n+1}$ soit égal à $1$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} v_{n+1}&={u_{n+1}}^2-u_{n+2}\times u_n \\
    &={u_{n+1}}^2-\left(u_{n+1}+u_n\right)\times u_n \\
    &={u_{n+1}}^2-u_{n+1}\times u_n-{u_n}^2 \\
    &=-{u_n}^2+u_{n+1}\left(u_{n+1}-u_n\right)\end{align*}$
    Or, $u_{n+1}=u_n+u_{n-1} \ssi u_{n-1}=u_{n+1}-u_n$.
    Par conséquent $v_{n+1}=-{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=-v_n$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $-1$ et de premier terme $v_1={u_1}^2-u_2\times u_0=1$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=(-1)^{n-1}$.
    Par conséquent ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=(-1)^{n-1}$.
    $\quad$
    c. Soit $n$ un entier naturel $n$ non nul.
    Si $n$ est impair alors $n-1$ est pair et
    ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    $\ssi u_n\times u_n-u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    D’après le théorème de Bezout les nombres $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
    Si $n$ est pair alors $n-1$ est impair et
    ${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=-1$
    $\ssi -{u_n}^2+u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    $\ssi -u_n\times u_n++u_{n+1}\times u_{n-1}=1$
    D’après le théorème de Bezout les nombres $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
    De plus le PGCD de $0$ et $1$ est $1$. La conjecture est également vraie pour $n=0$.
    La conjecture de la question est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $F^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ et $F^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  2. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=1$ alors $F^1=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_2&u_1\\u_1&u_0\end{pmatrix}$.
    La propriété est vraie au rang $1$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$, c’est à dire $F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$.
    Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, soit $F^{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_{n}\end{pmatrix}$.
    $\begin{align*} F^{n+1}&=F\times F_n \\
    &=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} u_{n+1}+u_n&u_n+u_{n-1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix} u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix}\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $F_n=\begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $F^{2n+2}=F^{n+2+n}=F^{n+2}\times F_n$.
    Par conséquent :
    $\begin{pmatrix} u_{2n+3}&u_{2n+2}\\u_{2n+2}&u_{2n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+3}&u_{n+2}\\u_{n+2}&u_{n+1}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$
    En identifiant les coefficients de la $2\ieme$ ligne, $1^{\text{ère}}$ colonne on obtient $u_{2n+2}=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ soit $u_{n+1}=u_{n+2}-u_n$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
    $\begin{align*} u_{2n+2}&=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n \\
    &=u_{n+1}\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
    &=\left(u_{n+2}-u_n\right)\left(u_{n+2}+u_n\right) \\
    &={u_{n+2}}^2-{u_n}^2\end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la question précédente on a, pour tout entier naturel $n$ non nul, ${u_{n+2}}^2=u_{2n+2}+{u_n}^2$
    La solution de l’équation $2n+2=12$ est $n=5$.
    Par conséquent :
    ${u_7}^2=u_{12}+{u_5}^2$
    $\ssi 13^2=144+5^2$
    $\ssi 13^2=12^2+5^2$
    D’après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle dont les côtés mesurent $5$, $12$ et $13$ unités est rectangle.
    $\quad$

 

 

Énoncé

Exercice 1     6 points

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $]0;+\infty[$ par $$f(x)=\e^{-x} \quad \text{et} \quad g(x)=\dfrac{1}{x^2}\e^{-1/x}$$

On admet que $f$ et $g$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$. On note $f’$ et $g’$ leurs fonctions dérivées respectives.

Les représentations graphiques de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal, nommées respectivement $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-dessous :

Partie A – Conjectures graphiques

Dans chacune des questions de cette partie, aucune justification n’est demandée.

  1. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation $f(x)=g(x)$ sur $]0:+\infty[$.
    $\quad$
  2. Conjecturer graphiquement une solution de l’équation $g'(x)=0$ sur $]0:+\infty[$.
    $\quad$

Partie B – Étude de la fonction 

  1. Calculer la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $g$ est strictement positive sur $]0;+\infty[$.
    Soit $h$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $h(x)=\ln\left(g(x)\right)$.
    a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $$h(x)=\dfrac{-1-2x\ln x}{x}$$
    $\quad$
    b. Calculer la limite de $h(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
    c. En déduire la limite de $g(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout nombre $x$ strictement positif, $$g'(x)=\dfrac{\e^{-1/x}(1-2x)}{x^4}$$
    $\quad$
  4. En déduire les variations de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie C – Aire des deux domaines compris entre les courbes $\boldsymbol{\mathcal{C}_f}$ et $\boldsymbol{\mathcal{C}_g}$

  1. Démontrer que le point $A$ de coordonnées $\left(1;\e^-1\right)$ est un point d’intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$
    $\quad$
    On admet que ce point est l’unique point d’intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, et que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur l’intervalle $]0;1[$ et e dessous sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontrer que $$\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\dx =\e^{-a}+\e^{-1/a}-\e^{-b}-\e^{-1/b}$$
    $\quad$
  3. Démontrer que $$\lim\limits_{a \to 0} \int_a^1 \left(f(x)-g(x)\right)\dx=1-2\e^{-1}$$
    $\quad$
  4. On admet que $$\lim\limits_{a \to 0} \int_a^1 \left(f(x)-g(x)\right)\dx=\lim\limits_{b \to +\infty} \int_1^{+\infty} \left(g(x)-f(x)\right)\dx$$
    Interpréter graphiquement cette égalité.
    $\quad$

Exercice 2     3 points

Une épreuve de culture générale consiste en un questionnaire à choix multiple (QCM) de vingt questions. Pour chacune d’entre elles, le sujet propose quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. À chaque question, le candidat ou la candidate doit nécessairement choisir une seule réponse. Cette personne gagne un point par réponse correcte et ne perd aucun point si sa réponse est fausse.

On considère trois candidats :

  • Anselme répond complètement au hasard à chacune des vingt questions.
    Autrement dit, pour chacune des questions, la probabilité qu’il réponde correctement est égale à $\dfrac{1}{4}$;
  • Barbara est un peu mieux préparée. On considère que pour chacune des vingt questions, la probabilité qu’elle réponde correctement est de $\dfrac{1}{2}$;
  • Camille fait encore mieux : pour chacune des questions, la probabilité qu’elle réponde correctement est égale à $\dfrac{2}{3}$.
  1. On note $X$, $Y$ et $Z$ les variables aléatoires égales aux notes respectivement obtenues par Anselme, Barbara et Camille.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice, donner l’arrondi au millième de la probabilité $P(X \pg 10)$.
    $\quad$
    Dans la suite, on admettra que $P(Y\pg 10) \approx 0,588$ et $P(Z \pg 10)\approx 0,962$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard la copie d’un de ces trois candidats.
    On note $A$, $B$, $C$ et $M$ les événements :
    $\bullet$ $A$ : « la copie choisie est celle d’Anselme » ;
    $\bullet$ $B$ : « la copie choisie est celle de Barbara » ;
    $\bullet$ $C$ : « la copie choisie est celle de Camille » ;
    $\bullet$ $M$ : « la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à $10$ ».
    On constate, après l’avoir corrigée, que la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à $10$ sur $20$.
    $\quad$
    Quelle est la probabilité qu’il s’agisse de la copie de Barbara ?
    On donnera l’arrondi au millième de cette probabilité.
    $\quad$

 

Exercice 3     6 points

Soit $ABCDEFGH$ le cube représenté ci-dessous.
On considère :

  • $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AD]$ et $[BC]$ ;
  • $P$ le centre de la face $ABFE$, c’est-à-dire l’intersection des diagonales $(AF)$ et $(BE)$ ;
  • $Q$ le milieu du segment $[FG]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\dfrac{1}{2}\vect{AB},\dfrac{1}{2}\vect{AD},\dfrac{1}{2}\vect{AE}\right)$.
Dans tout l’exercice, on pourra utiliser les coordonnées des points de la figure sans les justifier.
On admet qu’une représentation paramétrique de la droite $(IJ)$ est $$\begin{cases} x=r\\y=1\\z=0\end{cases}, \quad r\in \R$$

  1. Vérifier qu’une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est $$\begin{cases} x=1+t\\y=t\\z=1+t\end{cases}, \quad t\in \R$$
    $\quad$
    Soient 𝑡 un nombre réel et $M (1 + t;t; 1 + t)$ le point de la droite $(PQ)$ de paramètre $t$.
    $\quad$
  2. a. On admet qu’il existe un unique point $K$ appartenant à la droite $(IJ)$ tel que $(MK)$ soit orthogonale à $(IJ)$.
    Démontrer que les coordonnées de ce point $K$ sont
    $$(1 + t; 1; 0)$$
    $\quad$
    b. En déduire que $MK=\sqrt{2+2t^2}$.
    $\quad$
  3. a. Vérifier que $y=z = 0$ est une équation cartésienne du plan $(HGB)$.
    $\quad$
    b. On admet qu’il existe un unique point $L$ appartenant au plan $(HGB)$ tel que $(ML)$ soit orthogonale à $(HGB)$.
    Vérifier que les coordonnées de ce point $L$ sont $$\left(1+t;\dfrac{1}{2}+t;\dfrac{1}{2}+t\right)$$
    $\quad$
    c. En déduire que la distance $ML$ est indépendante de $t$.
    $\quad$
  4. Existe-t-il une valeur de $t$ pour laquelle la distance $MK$ est égale à la distance $ML$ ?
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ de la manière suivante : $𝑧_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$z_{n+1}=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}\ic$$

On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point du plan d’affixe $z_n$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = z_n−\ic$ et on note $B_n$ le point d’affixe $u_n$.
On note $C$ le point d’affixe $\ic$.

  1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $$u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n(1-\ic)$$
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$, calculer, en fonction de $n$, le module de $u_n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $$\lim\limits_{n \to +\infty} \left|z_n-\ic\right|=0$$
    $\quad$
    c. Quelle interprétation géométrique peut-on donner de ce résultat ?
    $\quad$
  4. a. Soit $n$ un entier naturel. Déterminer un argument de $u_n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, lorsque $n$ décrit l’ensemble des entiers naturels, les points $B_n$ sont alignés.
    $\quad$
    c. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $A_n$ appartient à la droite d’équation réduite $$
    y=-x+1$$
    $\quad$

 

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On appelle suite de Fibonacci la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$, $u_1=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$$
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est un entier naturel.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

  1. a. Calculer les termes de la suite de Fibonacci jusqu’à $u_{10}$
    $\quad$
    b. Que peut-on conjecturer sur le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$ ?
    $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n={u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_{n+1} = -v_n$ .
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
    $${u_n}^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=(-1)^{n-1}$$
    $\quad$
    c. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1.b.
    $\quad$

Partie B

On considère la matrice $F=\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix}$.

  1. Calculer $F^2$ et $F^3$. On pourra utiliser la calculatrice.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $$F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1} u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}$$
    $\quad$
  3. a. Soit $n$ un entier naturel non nul. En remarquant que $F^{2n+2}=F^{n+2}\times F^n$, démontrer que $$u_{2n+2}=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n$$
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $$u_{2n+2}={u_{n+2}}^2-{u_n}^2$$
    $\quad$
  4. On donne $u_{12} = 144$.
    Démontrer en utilisant la question 3. qu’il existe un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers, l’une étant égale à $12$.
    Donner la longueur des deux autres côtés.
    $\quad$