Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a $P(F)=0,0225$.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(M)&=\dfrac{P(F\cap M)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,06}{0,0225} \\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    La probabilité qu’il s’agisse d’un carreau avec motif sachant qu’il est fissuré est égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P_{\conj{M}}(F)&=\dfrac{P\left(\conj{M}\cap F\right)}{P\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,94}{0,75} \\
    &=\dfrac{47}{150}\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a :
    $\begin{align*} P(10,1<X<11,9)=0,99 &\ssi 1-P(X<10,1)-P(X>11,9)=0,99 \\
    &\ssi -2P(X<10,1)=-0,01 \\
    &\ssi P(X<10,1)=0,005\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P(10,1<X<11,9)=0,99 &\ssi P(-0,9 < X-11 <0,9)=0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,9}{\sigma} <\dfrac{X-11}{\sigma}<\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,9}{\sigma} <Z<\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)-1=0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=1,99 \\
    &\ssi P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,995 \\
    &\ssi P\left(Z \pp -\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,005\end{align*}$
    $\quad$
    c. À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve :
    $\dfrac{-0,9}{\sigma}\approx -2,576$ et donc $\sigma \approx 0,35$.
    $\quad$

Partie C

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;2\pi]$ on a :
    $\begin{align*} -1\pp \cos x\pp 1 &\ssi -1,5 \pp -1,5\cos x \pp 1,5\\
    &\ssi 0 \pp -1,5\cos x +1,5 \pp 3 \end{align*}$
    Donc $f(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[0;2\pi]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;2\pi]$.
    Ainsi l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_1$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=2\pi$ (il n’est pas nécessaire de rajouter cette information sur les droites puisque la fonction $f$ s’annule en $0$ et $2\pi$; il faut dans ce cas spécifier ces valeurs) est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_1&=\ds \int_0^{2\pi} f(x)\dx \\
    &=\left[-1,5\sin(x)+1,5x\right]_0^{2\pi} \\
    &=3\pi \end{align*}$
    Par symétrie, on a $\mathscr{A}=2\times 3\pi=6\pi$ u.a.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après la limite des termes de plus haut degré on a : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3x+1}{x+1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3x}{x}=3$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\ln 3$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ positif on a $f(x)=\ln\left(u(x)\right)$ avec $u(x)=\dfrac{3x+1}{x+1}$.
    $u$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $u'(x)=\dfrac{3(x+1)-1\times(3x+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{2}{(x+1)^2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{u'(x)}{u(x)} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{2}{(x+1)^2}~~}{\dfrac{3x+1}{x+1}} \\
    &=\dfrac{2}{(x+1)^2}\times \dfrac{x+1}{3x+1} \\
    &=\dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ positif on a $x+1>0$ et $3x+1>0$
    Ainsi $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. Initialisation : on a $u_0=3$ et $u_1=f(3)=\ln 2,5 \approx 0,92$.
    Donc $\dfrac{1}{2}\pp u_1 \pp u_0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_n$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$.
    Soit $\ln \dfrac{5}{3} \pp u_ {n+2} \pp u_{n+1}$
    Or $\ln \dfrac{5}{3} > 0,51>\dfrac{1}{2}$.
    On a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    La propriété est ainsi vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $\dfrac{1}{2}$.
    Elle converge donc vers un réel $\ell$ vérifiant $\ell \pg \dfrac{1}{2}>0$.
    $\quad$

Partie C

  1. La fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left[0;x_0\right]$ et $g(0)=0$.
    Par conséquent pour tout réel $x$ de l’intervalle $\left[0;x_0\right]$ on a $g(x)>0$ et l’équation $g(x)=0$ n’admet pas de solution strictement positive sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue (somme de fonctions continue) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[x_0;+\infty\right[$.
    $g\left(x_0\right) \approx 0,088>0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[x_0;+\infty\right[$.
    $\quad$
    L’équation $g(x)=0$ admet donc une unique solution strictement positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    x\leftarrow 0,22 \\
    \text{Tant que $\ln\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)-x>0$ faire}\\
    \hspace{1cm} x\leftarrow x+0,01\\
    \text{Fin de Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. On $g(0,52)\approx 0,001>0$ et $g(0,53)\approx -0,004<0$
    Par conséquent la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l’exécution de l’algorithme est $0,53$.
    $\quad$
  3. On a $g(0,522) \approx 0,000~3>0$ et $g(0,523)\approx -0,0002<0$
    Une valeur approchée de la limite $\ell$ à $0,01$ près est donc $0,52$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $I$ est le milieu de $[ED]$.
    Par conséquent $\begin{cases} x_I=\dfrac{0+0}{2}\\y_I=\dfrac{1+0}{2} \\z_I=\dfrac{0+1}{2}\end{cases}$ ainsi $I$ a pour coordonnées $(0;0,5;0,5)$.
    $\quad$
    a. Les coordonnées du point $F$ sont $(1;0;1)$.
    On a donc $\vect{FI}(-1;0,5;-0,5)$ et $\vect{FJ}(0;1;-0,6)$. Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires.
    Par conséquent $\vec{n}.\vect{FI}=1+1,5-2,5=0$ et $\vec{n}.\vect{FJ}=0+3-3=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(FIJ)$. Il est par conséquent normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc de la forme $-x+3y+5z+d=0$.
    Le point $F(1;0;1)$ appartient à ce plan.
    Donc $-1+5+d=0 \ssi d=-4$.
    Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc $-x+3y+5z-4=0$.
    $\quad$
  2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc $\begin{cases} x=1-t\\y=3t\\z=5t\end{cases} \quad t\in\R$.
    $\quad$
    b. Prenons, dans la représentation paramétrique précédente $t=\dfrac{1}{7}$.
    On a alors $\begin{cases} x=1-\dfrac{1}{7}\\y=\dfrac{3}{7}\\z=\dfrac{5}{7}\end{cases}$ soit $\begin{cases} x={6}{7}\\y=\dfrac{3}{7}\\z=\dfrac{5}{7}\end{cases}$
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ appartient donc à la droite $d$.
    $\quad$
    $-\dfrac{6}{7}+3\times \dfrac{3}{7}+5\times \dfrac{5}{7}-4=-\dfrac{6}{7}+\dfrac{9}{7}+\dfrac{25}{7}-\dfrac{28}{7}=0$
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ appartient donc au plan $(FIJ)$.
    $\quad$
    La droite $d$ est par définition orthogonale au plan $(FIJ)$; elle n’est donc pas incluse dans ce celui-ci.
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$est donc le point d’intersection de la droite $(d)$ et du plan $(FIJ)$.
    $\quad$
  3. a. On a $\vect{BM}\left(-\dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ et $\vect{BF}(0;0;1)$.
    Par conséquent $\vect{BM}.\vect{BF}=0+0+\dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{7}$.
    $\quad$
    b. On a $BM=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{7}\right)^2+\left(\dfrac{3}{7}\right)^2+\left(\dfrac{5}{7}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{5}{7}}$ et $BF=1$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{BM}.\vect{BF}=\dfrac{5}{7}&\ssi BM\times BF\times \cos \widehat{MBF}=\dfrac{5}{7} \\
    &\ssi \sqrt{\dfrac{5}{7}}\times \cos \widehat{MBF}=\dfrac{5}{7} \\
    &\ssi \cos \widehat{MBF} = \dfrac{\dfrac{5}{7}}{\sqrt{\dfrac{5}{7}}} \\
    &\ssi \cos \widehat{MBF} = \sqrt{\dfrac{5}{7}}\end{align*}$
    Et $\widehat{MBF}\approx 32$°.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé la section du cube par le plan $(FIJ)$ est le quadrilatère $FKLJ$.
    Les plans $(FGC)$ et $(EHG)$ sont parallèles. Le plan $(FIJ)$ coupe ces plans selon les droites $(FJ)$ et $(KL)$. Elles sont donc parallèles.
    Les plans $(FEA)$ et $(GHD)$ sont parallèles. Le plan $(FIJ)$ coupe ces plans selon les droites $(FK)$ et $(JL)$. Elles sont donc parallèles.
    Les côtés du quadrilatère $FKLJ$ sont deux à deux parallèles. C’est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  2. On a $\vect{FL}\left(-1;1;\dfrac{a}{2}-1\right)$.
    On appelle $N$ le milieu de $[FL]$. Le point $N$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1+\dfrac{a}{2}}{2}\right)$.
    Ainsi $\vect{NJ}\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};a-\dfrac{1+\dfrac{a}{2}}{2}\right)$ soit $\vect{NJ}\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{3a-2}{4}\right)$
    $FKLJ$ est un parallélogramme si, et seulement si, ses diagonales sont perpendiculaires.
    $\ssi \vect{NJ}.\vect{FL}=0$
    $\ssi -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{a}{2}-1\right)\left(\dfrac{3a-2}{4}\right)=0$
    $\ssi \left(\dfrac{a}{2}-1\right)\left(\dfrac{3a-2}{4}\right)=0$
    $\ssi \dfrac{a}{2}-1=0$ ou $\dfrac{3a-2}{4}=0$
    $\ssi a=2$ ou $a=\dfrac{2}{3}$
    Or $2\notin [0;1]$ et $\dfrac{2}{3}\in [0;1]$.
    Le quadrilatère $FKLJ$ est un losange si, et seulement si, $a=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $25z^2-14z+25=0$
    Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta = (-14)^2-4\times 25\times 25=-2~304<0$
    Les solutions complexes de cette équation sont donc :
    $z_1=\dfrac{14-\ic\sqrt{2~304}}{50}=\dfrac{7-24\ic}{25}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{7+24\ic}{25}$
    $\quad$
  2. On a $\left|z_1\right|=\sqrt{\left(\dfrac{7}{25}\right)^2+\left(\dfrac{24}{25}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{49}{625}+\dfrac{576}{625}}=1$
    Puisque $z_2=\conj{z_1}$ alors $\left|z_2\right|=1$.
    Les solutions de $(E)$ sont donc de module $1$.
    $\quad$
  3. On a donc $z_2=\dfrac{7}{24}+\dfrac{24}{25}\ic=\cos \alpha+\ic \sin \alpha=\e^{\ic \alpha}$
    Ainsi $z_1=\e^{-\ic \alpha}$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{7}{24}>0$ donc on ne s’intéresse qu’au point dont l’abscisse est positive.
    De plus $\dfrac{7}{24}<\dfrac{1}{2}$ ce qui exclut les points $B$ et $C$.
    Les points $A$ et $D$ ont par conséquent une affixe solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $a=\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\e^{\ic \pi /3}$
    Par conséquent $a^{2~019}=\e^{2~019\ic \pi/3}=\e^{673\ic\pi}=-1$ car $673$ est impair.
    Affirmation A fausse
    $\quad$
  2. $z=\dfrac{1}{6}(2+5\ic)$
    Par conséquent $|z|=\dfrac{\sqrt{2^2+5^2}}{6}=\dfrac{\sqrt{29}}{6}$
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=|z|^n$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt{29}}{6}$.
    Or $0<q<1$ donc $\lim\limits_{n\to +infty}u_n=0$.
    Affirmation B vraie
    $\quad$
  3. $a\in[-\pi;0]$ donc $\sin (a)<0$.
    Pour tout réel $a$ on a $\cos^2 (a)+\sin^2(a)=1$ donc $\cos^2(a)=1-\sin^2(a)$.
    $\begin{align*} \cos(2a)=\dfrac{7}{25}&\ssi \cos^2(a)-\sin^2(a)=\dfrac{7}{25} \\
    &\ssi 1-\sin^2(a)-\sin^2(a)=\dfrac{7}{25} \\
    &\ssi -2\sin^2(a)=-\dfrac{18}{25} \\
    &\ssi \sin^2(a)=\dfrac{9}{25} \\
    &\ssi \sin(a)=\dfrac{3}{5} \text{ ou } \sin(a)=-\dfrac{3}{5}\end{align*}$
    Puisque $\sin (a)<0$ on a donc $\sin(a)=-\dfrac{3}{5}$.
    Affirmation C vraie
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. $a_2=\dfrac{4^{4+1}+1}{5}=205$ et $a_3=\dfrac{4^{6+1}+1}{5}=3~277$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=\dfrac{4^{2(n+1)}+1}{5}\\
    &=\dfrac{4^{2n+2+1}+1}{5}\\
    &=\dfrac{4^{2n+1}\times 4^2+1}{5} \\
    &=\dfrac{4^{2n+1}\times 16+16-16+1}{5} \\
    &=16\times\dfrac{4^{2n+1}+1}{5}+\dfrac{1-16}{5}\\
    &=16a_n-5\end{align*}$
    $\quad$
  3. Montrons par récurrence sur $n$ que $a_n$ est un entier naturel non nul.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $a_0=\dfrac{4^1+1}{5}=1 \in \N$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $a_n$ est un entier naturel non nul.
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $a_{n+1}$ est un entier naturel non nul.
    $16a_n$ est un entier naturel non nul donc $16a_n-3$ est un entier relatif.
    Or $a_n \pg 1 \ssi 16a_n\pg 16 \ssi 16a_n-3\pg 13$.
    Ainsi $a_{n+1}=16a_n-3$ est un entier naturel non nul.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ est un entier naturel non nul.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_{n+1}=16a_n-3 \ssi a_{n+1}-16a_n=-3$.
    Par conséquent $d_n$ divise $-3$.
    Donc $d_n$ est égal à $1$ ou $3$.
    $\quad$
    b. $16 \equiv 1~~[3]$ et $-3\equiv 0~~[3]$
    Donc $a_{n+1}\equiv 16a_n-3~~[3]$
    Soit $a_{n+1}\equiv a_n~~[3]$
    $\quad$
    c. $a_0=1$ donc $a_0\equiv 1~~[3]$.
    $a_0$ n’est donc pas divisible par $3$. Par conséquent $d_0$ ne peut pas être égal à $3$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_n\equiv 1~~[3]$.
    Par conséquent $a_n$ n’est pas divisible par $3$.
    $\quad$
    d. Cela signifie donc que pour tout entier naturel $n$ on a $d_n=1$ et donc que les nombres $a_n$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égale à $2$ on a $5a_n=b_nc_n$.
    D’après le théorème de Gauss, $5$ divise donc $b_n$ ou $c_n$.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n$ supérieur supérieur ou égal à $2$
    $2^n-1 \pg 2^2-1$ soit $2^n-1 \pg 3$
    Donc $2^{n+1}\left(2^n-1\right)\pg 2^3\times 3$ soit $2^{n+1}\left(2^n-1\right) \pg 24$
    Par conséquent $b_n\pg 25 >5$
    $\quad$
    $2^n+1 \pg 2^2+1$ soit $2^n+1 \pg 5$
    Donc $2^{n+1}\left(2^n+1\right)\pg 2^3\times 5$ soit $2^{n+1}\left(2^n-1\right) \pg 40$
    Par conséquent $c_n\pg 41 >5$
    $\quad$
    c. Si $5$ divise $b_n$ il existe alors, d’après la question précédente, un entier naturel $k_n$ supérieur ou égal à $2$ tel que $b_n=5k_n$.
    On a alors $5a_n=5k_nc_n$ soit $a_n=k_nc_n$
    D’après le théorème de Gauss, le nombre $k_n$ divise donc $a_n$.
    Or $k_n \pg 2$ donc $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$
    Si $5$ divise $c_n$ il existe alors, d’après la question précédente, un entier naturel $k_n$ supérieur ou égal à $2$ tel que $c_n=5k_n$.
    On a alors $5a_n=5k_nb_n$ soit $a_n=k_nb_n$
    D’après le théorème de Gauss, le nombre $k_n$ divise donc $a_n$.
    Or $k_n \pg 2$ donc $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$

 

Énoncé

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