Bac S – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On a $P(F)=0,0225$.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(M)&=\dfrac{P(F\cap M)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,06}{0,0225} \\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    La probabilité qu’il s’agisse d’un carreau avec motif sachant qu’il est fissuré est égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P_{\conj{M}}(F)&=\dfrac{P\left(\conj{M}\cap F\right)}{P\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,25\times 0,94}{0,75} \\
    &=\dfrac{47}{150}\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. On a :
    $\begin{align*} P(10,1<X<11,9)=0,99 &\ssi 1-P(X<10,1)-P(X>11,9)=0,99 \\
    &\ssi -2P(X<10,1)=-0,01 \\
    &\ssi P(X<10,1)=0,005\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P(10,1<X<11,9)=0,99 &\ssi P(-0,9 < X-11 <0,9)=0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,9}{\sigma} <\dfrac{X-11}{\sigma}<\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,99 \\
    &\ssi P\left(-\dfrac{0,9}{\sigma} <Z<\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)-1=0,99 \\
    &\ssi 2P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=1,99 \\
    &\ssi P\left(Z>-\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,995 \\
    &\ssi P\left(Z \pp -\dfrac{0,9}{\sigma}\right)=0,005\end{align*}$
    $\quad$
    c. À l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve :
    $\dfrac{-0,9}{\sigma}\approx -2,576$ et donc $\sigma \approx 0,35$.
    $\quad$

Partie C

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;2\pi]$ on a :
    $\begin{align*} -1\pp \cos x\pp 1 &\ssi -1,5 \pp -1,5\cos x \pp 1,5\\
    &\ssi 0 \pp -1,5\cos x +1,5 \pp 3 \end{align*}$
    Donc $f(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[0;2\pi]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;2\pi]$.
    Ainsi l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_1$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=2\pi$ (il n’est pas nécessaire de rajouter cette information sur les droites puisque la fonction $f$ s’annule en $0$ et $2\pi$; il faut dans ce cas spécifier ces valeurs) est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_1&=\ds \int_0^{2\pi} f(x)\dx \\
    &=\left[-1,5\sin(x)+1,5x\right]_0^{2\pi} \\
    &=3\pi \end{align*}$
    Par symétrie, on a $\mathscr{A}=2\times 3\pi=6\pi$ u.a.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après la limite des termes de plus haut degré on a : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3x+1}{x+1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3x}{x}=3$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\ln 3$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ positif on a $f(x)=\ln\left(u(x)\right)$ avec $u(x)=\dfrac{3x+1}{x+1}$.
    $u$ est dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    $u'(x)=\dfrac{3(x+1)-1\times(3x+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{2}{(x+1)^2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{u'(x)}{u(x)} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{2}{(x+1)^2}~~}{\dfrac{3x+1}{x+1}} \\
    &=\dfrac{2}{(x+1)^2}\times \dfrac{x+1}{3x+1} \\
    &=\dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ positif on a $x+1>0$ et $3x+1>0$
    Ainsi $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. Initialisation : on a $u_0=3$ et $u_1=f(3)=\ln 2,5 \approx 0,92$.
    Donc $\dfrac{1}{2}\pp u_1 \pp u_0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_n$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$.
    Soit $\ln \dfrac{5}{3} \pp u_ {n+2} \pp u_{n+1}$
    Or $\ln \dfrac{5}{3} > 0,51>\dfrac{1}{2}$.
    On a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$.
    La propriété est ainsi vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $\dfrac{1}{2}$.
    Elle converge donc vers un réel $\ell$ vérifiant $\ell \pg \dfrac{1}{2}>0$.
    $\quad$

Partie C

  1. La fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left[0;x_0\right]$ et $g(0)=0$.
    Par conséquent pour tout réel $x$ de l’intervalle $\left[0;x_0\right]$ on a $g(x)>0$ et l’équation $g(x)=0$ n’admet pas de solution strictement positive sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue (somme de fonctions continue) et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[x_0;+\infty\right[$.
    $g\left(x_0\right) \approx 0,088>0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=-\infty$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\left[x_0;+\infty\right[$.
    $\quad$
    L’équation $g(x)=0$ admet donc une unique solution strictement positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    x\leftarrow 0,22 \\
    \text{Tant que $\ln\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)-x>0$ faire}\\
    \hspace{1cm} x\leftarrow x+0,01\\
    \text{Fin de Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. On $g(0,52)\approx 0,001>0$ et $g(0,53)\approx -0,004<0$
    Par conséquent la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l’exécution de l’algorithme est $0,53$.
    $\quad$
  3. On a $g(0,522) \approx 0,000~3>0$ et $g(0,523)\approx -0,0002<0$
    Une valeur approchée de la limite $\ell$ à $0,01$ près est donc $0,52$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $I$ est le milieu de $[ED]$.
    Par conséquent $\begin{cases} x_I=\dfrac{0+0}{2}\\y_I=\dfrac{1+0}{2} \\z_I=\dfrac{0+1}{2}\end{cases}$ ainsi $I$ a pour coordonnées $(0;0,5;0,5)$.
    $\quad$
    a. Les coordonnées du point $F$ sont $(1;0;1)$.
    On a donc $\vect{FI}(-1;0,5;-0,5)$ et $\vect{FJ}(0;1;-0,6)$. Ces deux vecteurs sont clairement non colinéaires.
    Par conséquent $\vec{n}.\vect{FI}=1+1,5-2,5=0$ et $\vec{n}.\vect{FJ}=0+3-3=0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(FIJ)$. Il est par conséquent normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc de la forme $-x+3y+5z+d=0$.
    Le point $F(1;0;1)$ appartient à ce plan.
    Donc $-1+5+d=0 \ssi d=-4$.
    Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc $-x+3y+5z-4=0$.
    $\quad$
  2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
    Une représentation paramétrique de cette droite est donc $\begin{cases} x=1-t\\y=3t\\z=5t\end{cases} \quad t\in\R$.
    $\quad$
    b. Prenons, dans la représentation paramétrique précédente $t=\dfrac{1}{7}$.
    On a alors $\begin{cases} x=1-\dfrac{1}{7}\\y=\dfrac{3}{7}\\z=\dfrac{5}{7}\end{cases}$ soit $\begin{cases} x={6}{7}\\y=\dfrac{3}{7}\\z=\dfrac{5}{7}\end{cases}$
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ appartient donc à la droite $d$.
    $\quad$
    $-\dfrac{6}{7}+3\times \dfrac{3}{7}+5\times \dfrac{5}{7}-4=-\dfrac{6}{7}+\dfrac{9}{7}+\dfrac{25}{7}-\dfrac{28}{7}=0$
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ appartient donc au plan $(FIJ)$.
    $\quad$
    La droite $d$ est par définition orthogonale au plan $(FIJ)$; elle n’est donc pas incluse dans ce celui-ci.
    Le point $M\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$est donc le point d’intersection de la droite $(d)$ et du plan $(FIJ)$.
    $\quad$
  3. a. On a $\vect{BM}\left(-\dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$ et $\vect{BF}(0;0;1)$.
    Par conséquent $\vect{BM}.\vect{BF}=0+0+\dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{7}$.
    $\quad$
    b. On a $BM=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{7}\right)^2+\left(\dfrac{3}{7}\right)^2+\left(\dfrac{5}{7}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{5}{7}}$ et $BF=1$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{BM}.\vect{BF}=\dfrac{5}{7}&\ssi BM\times BF\times \cos \widehat{MBF}=\dfrac{5}{7} \\
    &\ssi \sqrt{\dfrac{5}{7}}\times \cos \widehat{MBF}=\dfrac{5}{7} \\
    &\ssi \cos \widehat{MBF} = \dfrac{\dfrac{5}{7}}{\sqrt{\dfrac{5}{7}}} \\
    &\ssi \cos \widehat{MBF} = \sqrt{\dfrac{5}{7}}\end{align*}$
    Et $\widehat{MBF}\approx 32$°.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé la section du cube par le plan $(FIJ)$ est le quadrilatère $FKLJ$.
    Les plans $(FGC)$ et $(EHG)$ sont parallèles. Le plan $(FIJ)$ coupe ces plans selon les droites $(FJ)$ et $(KL)$. Elles sont donc parallèles.
    Les plans $(FEA)$ et $(GHD)$ sont parallèles. Le plan $(FIJ)$ coupe ces plans selon les droites $(FK)$ et $(JL)$. Elles sont donc parallèles.
    Les côtés du quadrilatère $FKLJ$ sont deux à deux parallèles. C’est donc un parallélogramme.
    $\quad$
  2. On a $\vect{FL}\left(-1;1;\dfrac{a}{2}-1\right)$.
    On appelle $N$ le milieu de $[FL]$. Le point $N$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1+\dfrac{a}{2}}{2}\right)$.
    Ainsi $\vect{NJ}\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};a-\dfrac{1+\dfrac{a}{2}}{2}\right)$ soit $\vect{NJ}\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{3a-2}{4}\right)$
    $FKLJ$ est un parallélogramme si, et seulement si, ses diagonales sont perpendiculaires.
    $\ssi \vect{NJ}.\vect{FL}=0$
    $\ssi -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{a}{2}-1\right)\left(\dfrac{3a-2}{4}\right)=0$
    $\ssi \left(\dfrac{a}{2}-1\right)\left(\dfrac{3a-2}{4}\right)=0$
    $\ssi \dfrac{a}{2}-1=0$ ou $\dfrac{3a-2}{4}=0$
    $\ssi a=2$ ou $a=\dfrac{2}{3}$
    Or $2\notin [0;1]$ et $\dfrac{2}{3}\in [0;1]$.
    Le quadrilatère $FKLJ$ est un losange si, et seulement si, $a=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$

Ex 4 obl

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

  1. $25z^2-14z+25=0$
    Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta = (-14)^2-4\times 25\times 25=-2~304<0$
    Les solutions complexes de cette équation sont donc :
    $z_1=\dfrac{14-\ic\sqrt{2~304}}{50}=\dfrac{7-24\ic}{25}$ et $z_2=\conj{z_1}=\dfrac{7+24\ic}{25}$
    $\quad$
  2. On a $\left|z_1\right|=\sqrt{\left(\dfrac{7}{25}\right)^2+\left(\dfrac{24}{25}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{49}{625}+\dfrac{576}{625}}=1$
    Puisque $z_2=\conj{z_1}$ alors $\left|z_2\right|=1$.
    Les solutions de $(E)$ sont donc de module $1$.
    $\quad$
  3. On a donc $z_2=\dfrac{7}{24}+\dfrac{24}{25}\ic=\cos \alpha+\ic \sin \alpha=\e^{\ic \alpha}$
    Ainsi $z_1=\e^{-\ic \alpha}$.
    $\quad$
  4. $\dfrac{7}{24}>0$ donc on ne s’intéresse qu’au point dont l’abscisse est positive.
    De plus $\dfrac{7}{24}<\dfrac{1}{2}$ ce qui exclut les points $B$ et $C$.
    Les points $A$ et $D$ ont par conséquent une affixe solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B

  1. On appelle $a=\dfrac{1}{2}+\ic\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\e^{\ic \pi /3}$
    Par conséquent $a^{2~019}=\e^{2~019\ic \pi/3}=\e^{673\ic\pi}=-1$ car $673$ est impair.
    Affirmation A fausse
    $\quad$
  2. $z=\dfrac{1}{6}(2+5\ic)$
    Par conséquent $|z|=\dfrac{\sqrt{2^2+5^2}}{6}=\dfrac{\sqrt{29}}{6}$
    Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=|z|^n$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt{29}}{6}$.
    Or $0<q<1$ donc $\lim\limits_{n\to +infty}u_n=0$.
    Affirmation B vraie
    $\quad$
  3. $a\in[-\pi;0]$ donc $\sin (a)<0$.
    Pour tout réel $a$ on a $\cos^2 (a)+\sin^2(a)=1$ donc $\cos^2(a)=1-\sin^2(a)$.
    $\begin{align*} \cos(2a)=\dfrac{7}{25}&\ssi \cos^2(a)-\sin^2(a)=\dfrac{7}{25} \\
    &\ssi 1-\sin^2(a)-\sin^2(a)=\dfrac{7}{25} \\
    &\ssi -2\sin^2(a)=-\dfrac{18}{25} \\
    &\ssi \sin^2(a)=\dfrac{9}{25} \\
    &\ssi \sin(a)=\dfrac{3}{5} \text{ ou } \sin(a)=-\dfrac{3}{5}\end{align*}$
    Puisque $\sin (a)<0$ on a donc $\sin(a)=-\dfrac{3}{5}$.
    Affirmation C vraie
    $\quad$

Ex 4 spé

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. $a_2=\dfrac{4^{4+1}+1}{5}=205$ et $a_3=\dfrac{4^{6+1}+1}{5}=3~277$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=\dfrac{4^{2(n+1)}+1}{5}\\
    &=\dfrac{4^{2n+2+1}+1}{5}\\
    &=\dfrac{4^{2n+1}\times 4^2+1}{5} \\
    &=\dfrac{4^{2n+1}\times 16+16-16+1}{5} \\
    &=16\times\dfrac{4^{2n+1}+1}{5}+\dfrac{1-16}{5}\\
    &=16a_n-5\end{align*}$
    $\quad$
  3. Montrons par récurrence sur $n$ que $a_n$ est un entier naturel non nul.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $a_0=\dfrac{4^1+1}{5}=1 \in \N$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $a_n$ est un entier naturel non nul.
    Montrons qu’elle est vraie au rang suivant, c’est-à-dire que $a_{n+1}$ est un entier naturel non nul.
    $16a_n$ est un entier naturel non nul donc $16a_n-3$ est un entier relatif.
    Or $a_n \pg 1 \ssi 16a_n\pg 16 \ssi 16a_n-3\pg 13$.
    Ainsi $a_{n+1}=16a_n-3$ est un entier naturel non nul.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ est un entier naturel non nul.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $a_{n+1}=16a_n-3 \ssi a_{n+1}-16a_n=-3$.
    Par conséquent $d_n$ divise $-3$.
    Donc $d_n$ est égal à $1$ ou $3$.
    $\quad$
    b. $16 \equiv 1~~[3]$ et $-3\equiv 0~~[3]$
    Donc $a_{n+1}\equiv 16a_n-3~~[3]$
    Soit $a_{n+1}\equiv a_n~~[3]$
    $\quad$
    c. $a_0=1$ donc $a_0\equiv 1~~[3]$.
    $a_0$ n’est donc pas divisible par $3$. Par conséquent $d_0$ ne peut pas être égal à $3$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_n\equiv 1~~[3]$.
    Par conséquent $a_n$ n’est pas divisible par $3$.
    $\quad$
    d. Cela signifie donc que pour tout entier naturel $n$ on a $d_n=1$ et donc que les nombres $a_n$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égale à $2$ on a $5a_n=b_nc_n$.
    D’après le théorème de Gauss, $5$ divise donc $b_n$ ou $c_n$.
    $\quad$
    b. On considère un entier naturel $n$ supérieur supérieur ou égal à $2$
    $2^n-1 \pg 2^2-1$ soit $2^n-1 \pg 3$
    Donc $2^{n+1}\left(2^n-1\right)\pg 2^3\times 3$ soit $2^{n+1}\left(2^n-1\right) \pg 24$
    Par conséquent $b_n\pg 25 >5$
    $\quad$
    $2^n+1 \pg 2^2+1$ soit $2^n+1 \pg 5$
    Donc $2^{n+1}\left(2^n+1\right)\pg 2^3\times 5$ soit $2^{n+1}\left(2^n-1\right) \pg 40$
    Par conséquent $c_n\pg 41 >5$
    $\quad$
    c. Si $5$ divise $b_n$ il existe alors, d’après la question précédente, un entier naturel $k_n$ supérieur ou égal à $2$ tel que $b_n=5k_n$.
    On a alors $5a_n=5k_nc_n$ soit $a_n=k_nc_n$
    D’après le théorème de Gauss, le nombre $k_n$ divise donc $a_n$.
    Or $k_n \pg 2$ donc $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$
    Si $5$ divise $c_n$ il existe alors, d’après la question précédente, un entier naturel $k_n$ supérieur ou égal à $2$ tel que $c_n=5k_n$.
    On a alors $5a_n=5k_nb_n$ soit $a_n=k_nb_n$
    D’après le théorème de Gauss, le nombre $k_n$ divise donc $a_n$.
    Or $k_n \pg 2$ donc $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Une entreprise est spécialisée dans la vente de carrelage.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

On suppose dans cette partie que l’entreprise vend des lots de carrelage contenant $25\%$ de carreaux avec motif et $75\%$ de carreaux blancs.
Lors d’un contrôle qualité on observe que:

  • $2,25 \%$ des carreaux sont fissurés ;
  • $6\%$ des carreaux avec motif sont fissurés.

On prélève au hasard un carreau.
On note $M$ l’évènement « le carreau a un motif » et $F$ l’évènement « le carreau est fissuré ».

  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. On sait que le carreau prélevé est fissuré.
    Démontrer que la probabilité qu’il s’agisse d’un carreau avec motif est $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  3. Calculer $P_{\conj{M}}(F)$, probabilité de $F$ sachant $\conj{M}$.
    $\quad$

Partie B

On modélise l’épaisseur en millimètre d’un carreau pris au hasard par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 11$ et d’écart type $\sigma$.
Un carreau est commercialisable si son épaisseur mesure entre $10,1$ mm et $11,9$ mm.
On sait que $99\%$ des carreaux sont commercialisables.

  1. Démontrer que $P(X < 10,1) = 0,005$.
    $\quad$
  2. On introduit la variable aléatoire $Z$ telle que $$Z = \dfrac{X-11}{\sigma}$$
    a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire $Z$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $P\left(Z \pp-\dfrac{0,9}{\sigma}\right) = 0,005$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie au centième.
    $\quad$

Partie C

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2\pi]$ par $$f(x) = -1,5 \cos(x) + 1,5$$

On admet que la fonction $f$ est continue sur $[0;2\pi]$.
On note $\mathscr{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

 

  1. Démontrer que la fonction $f$ est positive sur $[0;2\pi]$.
    $\quad$
  2. Sur la figure ci-dessus, la courbe tracée en tiretés, notée $\mathscr{C}_2$, est la courbe symétrique de $\mathscr{C}_1$ par rapport à l’axe des abscisses.
    La forme d’un carreau est celle de la zone délimitée par les courbes $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$.
    On note $\mathscr{A}$ son aire, exprimée en unité d’aire.
    Calculer $\mathscr{A}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2      5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $$f(x) = \ln \left(\dfrac{3x+ 1}{x + 1}\right)$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

 

 

 

  1. Déterminer $\ds\lim_{x \to + \infty}f(x)$ et en donner une interprétation graphique.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ positif ou nul, $$f'(x) = \dfrac{2}{(x + 1)(3x + 1)}$$
    $\quad$
    b. En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$

Partie B

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $$u_0 = 3\quad \text{et, pour tout entier naturel }n,~~ u_{n+1} = f\left(u_n\right)$$

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite strictement positive.
    $\quad$

Partie C

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On admet que $f(\ell) = \ell$.

L’objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de $\ell$.
On introduit pour cela la fonction $g$ définie sur $[0; +\infty[$ par $g(x) = f(x)-x$.

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0;+\infty[$ où $x_0 = \dfrac{-2+ \sqrt{7}}{3} \approx 0,215$ et $g\left(x_0\right) \approx 0,088$, en arrondissant à $10^{-3}$.

  1. Démontrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive. On la note $\alpha$.
    $\quad$
  2. a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin que la dernière valeur prise par la variable $x$ soit une valeur approchée de $\alpha$ par excès à $0,01$ près.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    x \gets 0,22\\
    \text{Tant que }\ldots \ldots \ldots \text{ faire}\\
    \hspace{1.cm}x \gets x + 0,01\\
    \text{Fin de Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Donner alors la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l’exécution de l’algorithme.
    $\quad$
  3. En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soit $ABCDEFGH$ un cube et I le centre du carré $ADHE$, c’est-à-dire, le milieu du segment $[AH]$ et du segment $[ED]$. Soit $J$ un point du segment $[CG]$.
La section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(FIJ)$ est le quadrilatère $FKLJ$.

 

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}; \vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
On a donc $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$ et $E(0;0;1)$.

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Dans cette partie, le point $J$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{2}{5}\right)$

  1. Démontrer que les coordonnées du point I sont $\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(FIJ)$.
    $\quad$
    b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est $$-x + 3y + 5z-4 = 0$$
    $\quad$
  3. Soit $d$ la droite orthogonale au plan $(FIJ)$ et passant par $B$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    $\quad$
    b. On note $M$ le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(FIJ)$.
    Démontrer que M $\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$.
    $\quad$
    $\quad$
    4. a. Calculer $\vect{BM} . \vect{BF}$.
    $\quad$
    b. En déduire une valeur approchée au degré près de l’angle $\widehat{MBF}$.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, $J$ est un point quelconque du segment $[CG]$.
Ses coordonnées sont donc $(1;1; a)$, où $a$ est un réel de l’intervalle $[0;1]$.

  1. Montrer que la section du cube par le plan $(FIJ)$ est un parallélogramme.
    $\quad$
  2. On admet alors que $L$ a pour coordonnées $\left(0; 1;\dfrac{a}{2}\right)$.
    Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ le quadrilatère $FKLJ$ est-il un losange ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère l’équation $(E)$ : $$25z^2-14z + 25 = 0$$

  1. Résoudre dans $\C$ l’équation $(E)$. On écrira les solutions sous forme algébrique.
    $\quad$
  2. Démontrer que les solutions de $(E)$ sont de module $1$.
    $\quad$
  3. On note $\alpha$ le réel de l’intervalle $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $$\cos \alpha = \dfrac{7}{25} \quad \text{ et }\quad \sin \alpha = \dfrac{24}{25}$$
    Écrire les solutions de $(E)$ sous forme exponentielle en fonction de $\alpha$.
  4. La figure ci-dessous fait apparaître huit points du cercle unité. Deux de ces huit points ont une affixe solution de l’équation $(E)$. Lesquels ?

$\quad$

Partie B

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. Affirmation A : $$\left(\dfrac{1}{2} + \ic\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2~019} = 1$$
    $\quad$
  2. Soit $z$ le nombre complexe $\dfrac{1}{6}(2 + 5\ic)$.
    Affirmation B : $$\ds\lim_{n \to + \infty} |z|^n = 0$$
    $\quad$
  3. On rappelle que, pour tout nombre réel $x$, $$\cos(2x) = \cos^2 (x)-\sin^2 (x)$$
    Affirmation C : Pour tout nombre réel $a$ de $[-\pi; 0]$ tel que $\cos (2a) = \dfrac{7}{25}$, on a $\sin (a) = -\dfrac{3}{5}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$a_n = \dfrac{4^{2n+1} +1}{5}$$

  1. Calculer $a_2$ et $a_3$.
    $\quad$
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 16a_n – 3$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ est un nombre entier naturel.
    $\quad$
  4. Dans cette question on utilise l’égalité de la question 2. afin de démontrer plusieurs propriétés des termes de la suite $\left(a_n\right)$.
    a. Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le plus grand diviseur commun de $a_n$ et $a_{n+1}$.
    Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $d_n$ est égal à $1$ ou à $3$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} \equiv a_n~~[3]$.
    $\quad$
    c. Vérifier que $a_0 \equiv 1~~[3]$.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $a_n$ n’est pas divisible par $3$.
    $\quad$
    d. Démontrer alors que, pour tout entier naturel $n$, $a_n$ et $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.
    $\quad$
  5. L’objectif de cette question est de démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, le nombre $a_n$ n’est pas premier.
    On pose, pour tout entier naturel $n$, $$b_n = 2^{n+1}\left(2^n-1\right) +1\quad \text{et}\quad c_n = 2^{n+1}\left(2^n + 1\right) +1.$$
    On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, $$5a_n = b_nc_n$$
    a. Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$, $$5\text{ divise } b_n \quad \text{ou} \quad 5 \text{ divise } c_n$$
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Démontrer que $b_n > 5$ et $c_n > 5$.
    $\quad$
    c. En déduire que $a_n$ n’est pas un nombre premier.
    $\quad$