Exercice 1

1. a. On veut calculer :
   $P(T\pg 140) = 0,5+P(140 \pp T \pp 165) \approx 0,894~4$.
   La probabilité qu’un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit est environ $0,894~4$.
   $\quad$
   b. On veut calculer :
   $P(10 \pp X \pp 70) \approx 0,871~0$
   La probabilité qu’un visiteur ait l’âge requis pour accéder à ce grand huit est environ $0,871~0$.
   $\quad$
   c. On appelle $A$ l’événement “le visiteur à l’âge requis” et $B$ l’événement “le visiteur à la taille requise”.
   On sait donc que $p(A\cup B) = 1-0,08=0,92$
   De plus $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
   $\ssi 0,92=0,89+0,87-P(A\cap B)$
   $\ssi P(A\cap B)=0,84$
   $84\%$ des visiteurs vérifient donc les 2 conditions.
   $\quad$
2. a. On peut représenter la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant :
   
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(S)&=P(S\cap A)+P\left(S\cap \conj{A}\right) \\
   &=0,75 \times 0,78+0,25\times 0,95 \\
   &=0,822~5
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. On veut calculer la probabilité :
   $\begin{align*} P_{\conj{S}}\left(\conj{A}\right) &=\dfrac{P\left(\conj{S}\cap\conj{A}\right)}{P\left(\conj{S}\right)} \\
   &=\dfrac{0,25\times 0,05}{1-0,822~5} \\
   &\approx 0,070~4
   \end{align*}$
   La probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ minutes est environ $0,070~4$.
   $\quad$
3. On a $n=200 \pg 30$ et $p=0,822~5$ donc $np=164,5 \pg 5$ et $n(1-p)=35,5 \pg 5$
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de visiteurs satisfaits est donc :
   $\begin{align*} I_{200}&=\left[0,822~5-1,96\sqrt{\dfrac{0,822~5\times 0,177~5}{200}};0,822~5+1,96\sqrt{\dfrac{0,822~5\times 0,177~5}{200}}\right] \\
   &\approx [0,655~0;0,990~0]
   \end{align*}$
   La fréquence observée de visiteurs satisfaits est donc $f=\dfrac{200-46}{200}=0,77 \in I_{200}$.
   Le directeur peut donc être rassuré.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. On sait que
   $\begin{align*} N(14)=2N_0 &\ssi 2N_0=N_0\e^{14a} \\
   &\ssi 2=e^{14a} \\
   &\ssi \ln(2)=14a \\
   &\ssi a=\dfrac{\ln(2)}{14}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On veut résoudre l’inéquation :
   $\begin{align*} N(t)\pg 10^9 &\ssi 10^4\e^{0,05t} \pg 10^9 \\
   &\ssi e^{0,05t}\pg 10^5 \\
   &\ssi 0,05t \pg \ln\left(10^5\right) \\
   &\ssi t \pg \dfrac{ \ln\left(10^5\right)}{0,05}
   \end{align*}$
   C’est donc entre la $230^{\e}$ et la $231^{\e}$ semaine que la tumeur pourrait redevenir détectable au toucher.
   $\quad$

Partie B

1. Détermination de la clairance
   a. Avec $D=112$, $k$ est solution de l’équation :
   $\begin{align*}c(6)=6,8 &\ssi \dfrac{112}{k}\left(1-\e^{-\frac{6k}{80}}\right)=6,8 \\
   &\ssi 112\left(1-\e^{-\frac{3k}{40}}\right)=6,8k \\
   &\ssi 112\left(1-\e^{-\frac{3k}{40}}\right)-6,8k=0
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=112\left(1-\e^{-\frac{3x}{40}}\right)-6,8x$.
   Cette fonction est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonction dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} f'(x)&=112\times \dfrac{3}{40}\e^{-\frac{3x}{40}}-6,8 \\
   &=8,4\e {-\frac{3x}{40}}-6,8
   \end{align*}$
   $\begin{align*} f'(x)=0 &\ssi 8,4\e {-\frac{3x}{40}}-6,8 = 0 \\
   &\ssi \e^{-\frac{3x}{40}}=\dfrac{17}{21} \\
   &\ssi -\dfrac{3x}{40}=\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)\\
   &\ssi x=-\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)
   \end{align*}$
   et
   $\begin{align*} f'(x)>0 &\ssi 8,4\e {-\frac{3x}{40}}-6,8 > 0 \\
   &\ssi \e^{-\frac{3x}{40}}>\dfrac{17}{21} \\
   &\ssi -\dfrac{3x}{40}>\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)\\
   &\ssi x<-\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)
   \end{align*}$
   On note $\alpha = -\dfrac{40}{3}\ln\left(\dfrac{17}{21}\right)$.
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;\alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.
   $f(0)=0$ donc, puisque la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;\alpha]$, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;\alpha[$ on a $f(x)>0$ et l’équation $f(x)=0$ ne possède pas de solution sur ce dernier intervalle.
   $\quad$
   Sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$, la fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante.
   $f(\alpha) \approx 2,17 > 0$
   $\lim\limits_{x \to +\infty} -\dfrac{3x}{40}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \e^{-\frac{3x}{40}}=0$ etc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
   Or $0\in \left]-\infty;f(\alpha)\right[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $k_0$ sur l’intervalle $[\alpha;+\infty[$ et donc finalement sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
   c. D’après la calculatrice $k_0\approx 5,85$.
   La clairance du patient est donc de $5,85$L.h$^{-1}$.
   $\quad$
2. Réglage du débit
   a. Puisque $k>0$ on a $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{kt}{80}=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \e^X=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{t \to +\infty} c(t)=\dfrac{D}{k}$
   $\quad$
   b. On veut que $\dfrac{D}{5,85}<16 \ssi D < 93,6$.
   Le débit doit donc être de $93,6$ µmol.L$^{-1}$.
   $\quad$

Exercice 3

1. $-\dfrac{\pi}{4} < x< \dfrac{3\pi}{4} \ssi -\dfrac{\pi}{2} < \theta-\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2} \ssi 0 < \cos \left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right) \pp 1$.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} M\in \mathscr{D} &\ssi \rho\sin \theta=-\rho \cos \theta +2 \text{ et } \rho >0 \\
   &\ssi \rho\sin\theta+\rho \cos \theta = 2 \text{ et } \rho >0\\
   &\ssi \rho\left(\cos \theta+\sin \theta\right)=2 \text{ et } \rho >0\\
   &\ssi \rho=\dfrac{2}{\cos \theta+\sin \theta} \text{ et } \rho >0 \\
   &\ssi \rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta} \text{ et } \rho >0 \\
   &\ssi \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \rho >0 \\
   &\ssi \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right) > 0 \\
   &\ssi \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \theta \in \left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right[
   \end{align*}$
   $\quad$
3. $M$, appartenant à la droite $\mathscr{D}$, est le plus proche de $O$ quand $\rho$ est le plus petit c’est-à-dire quand $\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ est le plus grand soit quand $\theta=\dfrac{\pi}{4}$.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. $u_1=0,9\times 0,3(1-0,3)=0,189$
   $u_2=0,9\times 0,189(1-0,189)\approx 0,138$
   Au début de l’année 2001 il y avait donc $189$ tortues et $138$ au début de l’année 2002.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on sait que $u_n \pg 0$.
   De plus :
   $u_{n+1}-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n\right)-0,9u_n=0,9u_n\left(1-u_n-1\right)=-0,9{u_n}^2\pp 0$
   Par conséquent $0\pp u_{n+1} \pp 0,9u_n$.
   $\quad$
   b. Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : si $n=0$ alors $u_0=0,3$ et $0,3 \times 0,9^0=0,3$ ainsi $0 \pp u_0 \pp 0,3 \times 0,9^0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $ 0\pp u_n \pp 0,3 \times 0,9^n$
   Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$ c’est-à-dire que $0 \pp u_{n+1} \pp 0,3\times 0,9^{n+1}$
   On sait que $0 \pp u_{n+1} \pp 0,9u_n \pp 0,3 \times 0,9^n \times 0,9$
   Soit $0 \pp u_{n+1} \pp 0,3\times 0,9^{n+1} $
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0 \pp u_n \pp 0,3 \times 0,9^n$.
   $\quad$
3. Variables :
   $\quad$ $u$ est un réel
   $\quad$  $n$ est un entier naturel
   Traitement :
   $\quad$ $u$ prend la valeur $0,3$
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   $\quad$ Tant que $u \pg 0,03$ faire
   $\qquad$ $u$ prend la valeur $0,9u(1-u)$
   $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $1999+n$
   $\quad$

Partie B

1. $v_{11}=1,06\times 0,032(1-0,032) \approx 0,033$
   $v_{12}=1,06\times 0,033(1-0,033) \approx 0,034$
   Il y a donc $33$ tortues au début de l’année 2011 et $34$ au début de l’année 2012.
   $\quad$
2. $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n =\ell$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n+1} =\ell$
   De plus $\lim\limits_{n \to +\infty}1,06v_n\left(1-v_n\right)=1,06\ell(1-\ell)$.
   Par conséquent $\ell$ vérifie $\ell=1,06\ell(1-\ell)$.
   $\quad$
3. $\ell=1,06\ell(1-\ell) \ssi 1,06\ell(1-\ell)-\ell =0\ssi \ell(0,06-1,06\ell)=0$
   $\ssi \ell=0$ ou $0,06-1,06\ell=0$
   $\ssi \ell=0$ ou $\ell=\dfrac{3}{53}$
   La suite $\left(v_n\right)$ étant croissante et convergente sa limite est $\ell=\dfrac{3}{53}>0,03$.
   L’espèce n’est plus menacée d’extinction.
   $\quad$

Exercice 1    6 points

Un parc d’attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sécurité, son accès n’est autorisé qu’aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à $1,40$ m et dont l’âge est compris entre $10$ et $70$ ans.
des études statistiques sont menées pour évaluer l’affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.

On arrondira, si nécessaire, les probabilités à $10^{-4}$.

1. a. La taille en centimètres d’un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d’espérance $165$ et d’écart-type $20$.
   Quelle est la probabilité qu’un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit?
   $\quad$
   b. L’âge d’un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $30$ et d’écart-type $17$.
   Quelle est la probabilité qu’un visiteur ait l’âge requis pour accéder à ce grand huit?
   $\quad$
   c. Les études menées permettent d’établir que $89\%$ des visiteurs ont la taille exigées, $87\%$ ont l’âge requis mais $8\%$ n’ont ni la taille, ni l’âge obligatoires. Quelle est alors la proportion des visiteurs vérifiant les conditions requises pour essayer la nouvelle attraction?
   $\quad$
2. Un sondage est réalisé à la sortie du grand huit et révèle que $25\%$ des personnes ont attendu moins de $30$ min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, $95\%$ sont satisfaites de l’attraction.
   En revanche, $22\%$ des personnes ayant attendu plus de $30$ min ne sont pas satisfaites de l’attraction.
   On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit.
   On note $A$ l’événement “le visiteur a attendu plus de $30$ min” et $S$ l’événement “le visiteur est satisfait de l’attraction”.
   a. Montrer que la probabilité qu’un visiteur soit satisfait de l’attraction vaut $0,822~5$.
   $\quad$
   b. Le directeur rencontre un visiteur insatisfait. Quelle est la probabilité que ce visiteur ait attendu moins de $30$ min?
   $\quad$
3. Le directeur est soucieux de savoir si le temps d’attente, plus important les jours de grande affluence, remet en cause le taux de satisfaction des visiteurs. Pour cela, on interroge $200$ personnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, $46$ se disent insatisfaites.
   Le directeur peut-il être rassuré?
   $\quad$

Exercice 2    6 points

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On s’intéresse à l’évolution au cours du temps d’une tumeur composée de cellules cancéreuses. On note $N(t)$ le nombre de cellules cancéreuses après un temps $t$ exprimé en semaines et $N(0)=N_0$ le nombre de cellules cancéreuses au premier examen. Pour tout réel $t$ positif ou nul, on admet qu’il existe un nombre $a$ tel que $$N(t)=N_0\e^{at}$$

1. Des cultures en laboratoire ont montré que le nombre de cellules de la tumeur double en $14$ semaines.
   En déduire la valeur du paramètre $a$.
   $\quad$
2. En arrondissant la valeur de $a$ obtenue, on peut écrire pour tout réel $t\pg 0$, $$N(t)=N_0\e^{0,05t}$$
   La plus petite tumeur détectable au toucher contient environ $10^9$ cellules. Lorsqu’une tumeur est détectable, on décide d’opérer le patient afin de la retirer. Or, après intervention il est possible qu’il reste jusqu’au $10^4$ cellules indétectables.
   En l’absence de suivi médical, au bout de combien de temps la tumeur pourrait-elle redevenir détectable au toucher?
   $\quad$

Partie B

Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l’opération par une chimiothérapie. Lors d’un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration du médicament dans l’organisme, exprimée en µmol.L$^{-1}$, peut être modélisée ne fonction du temps $t$, exprimée en heure, par la fonction $c$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$c(t)=\dfrac{D}{k}\left(1-\e^{-\frac{k}{80}t}\right)$$
où

• $D$ est un réel positif qui représente le débit d’écoulement du médicament dans la perfusion, exprimée en micromole par heure;
• $k$ est un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure.

La clairance traduit la capacité interne du patient à éliminer plus ou moins vite le médicament de son organisme. Elle est propre à chaque individu et est inconnue au début du traitement. Il est nécessaire de la déterminer afin que le médecin puisse adapter le traitement en ajustant le débit $D$.

1. Détermination de la clairance
   Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la perfusion sur $112$ µmol.h$^{-1}$; au bout de $6$ heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament :e elle est égale à $6,8$ µmol.L$^{-1}$.
   a. Justifier que la clairance $k$ du patient est solution de l’équation $112\left(1-\e^{-\dfrac{3}{40}k}\right)-6,8k=0$.
   $\quad$
   b. Démontrer que cette équation admet une unique solution sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
   $\quad$
   c. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de cette solution. Interpréter ce résultat.
   $\quad$
2. Réglage du débit
   a. Déterminer la limite $\ell$ de la fonction $c$ en $+\infty$ en fonction du débit $D$ et de la clairance $k$.
   $\quad$
   b. La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite $\ell$.
   Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être de $16$ µmol.L$^{-1}$.
   En déduire le débit $D$, à régler par le médecin, lorsque la clairance du patient est de $5,85$ L.h$^{-1}$.
   $\quad$

Exercice 3    3 points

On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b$, $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\Ouv$.
On considère la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y=-x+2$.

1. Montrer que si le réel $\theta$ appartient à l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right]$, alors $\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)>0$.
   $\quad$
2. Soit $M$ un point du plan complexe d’affixe $z$ non nulle. On note $\rho=|z|$ le module de $z$ et $\theta=$arg$(z)$ un argument de $z$; les nombres $\rho$ et $\theta$ sont appelés coordonnées polaires du point $M$.
   Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : $$\rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)}, \text{ avec} \theta\in\left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right[\text{ et } \rho>0$$
   $\quad$
3. Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathscr{D}$ le plus proche de l’origine $O$ du repère.
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

On s’intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d’individus diminue de façon inquiétante.

Partie A

Au début de l’an 2000, on comptait $300$ tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de tortues par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases}u_0=0,3\\u_{n+1}=0,9u_n\left(1-u_n\right)\end{cases}$$ où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année 2000$+n$.

1. Calculer, dans ce modèle, le nombre de tortues au début de l’année 2001 puis de l’année 2002.
   $\quad$
2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ et $1-u_n$ appartiennent à l’intervalle $[0;1]$.
   a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_{n+1}\pp 0,9u_n$.
   $\quad$
   b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 \pp u_n \pp 0,3\times 0,9^n$.
   $\quad$
   c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Que peut-on en conclure sur l’avenir de cette population de tortues?
   $\quad$
3. Des études permettent d’affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de $30$ individus, alors l’espèce est menacée d’extinction.
   On souhaite qu’à la fin de son exécution, l’algorithme ci-dessous affiche la dernière année avant laquelle il reste au moins $30$ tortues.
   Recopier et compléter l’algorithme afin qu’il satisfasse cette exigence.
   Variable :
   $\quad$ $u$ est un réel
   $\quad$ $n$ est un entier naturel
   Traitement :
   $\quad$ $u$ prend la valeur $0,3$
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   $\quad$ Tant que $\ldots$ faire :
   $\quad$ $\ldots$
   $\quad$ $\ldots$
   $\quad$ $\ldots$
   $\quad$ Fin tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $\ldots$
   $\quad$

Partie B

Au début de l’année 2010, il ne reste que $32$ tortues. Afin d’assurer la pérennité de l’espèce, des actions sont menées pour améliorer la fécondité des tortues. L’évolution de la population est alors modifiée et le nombre de tortues peut être modélisé par la suite $\left(v_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} v_{10}=0,032\\v_{n+1}=1,06v_n\left(1-v_n\right)\end{cases}$$
où pour tout entier naturel $n\pg 10$, $v_n$ modélise le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année 2000$+n$.

1. Calculer le nombre de tortues au début de l’année 2011 puis de l’année 2012.
   $\quad$
2. On admet que, dans ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et convergente. On appelle $\ell$ sa limite. Montrer que $\ell$ vérifie : $$\ell=1,06\ell(1-\ell)$$
   $\quad$
3. La population de tortues est-elle encore en voie d’extinction?
   $\quad$