Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 7 septembre 2023

Polynésie – 7 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On peut utiliser l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    On a :
    $\begin{align*} P(E\cap C)&=P(E)\times P_E(C) \\&=0,2\times 0,5 \\
    &=0,1\end{align*}$
    La probabilité qu’un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique est égale à $0,1$.
    $\quad$
    b. $(E,T)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(C)&=P(E\cap C)+P(T\cap C) \\
    &=0,1+P(T)\times P_T(C) \\
    &=0,1+0,8\times 0,375 \\
    &=0,1+0,3\\
    &=0,4\end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C(E)&=\dfrac{P(C\cap E)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,1}{0,4} \\
    &=0,25\end{align*}$
    La probabilité qu’un client ayant consulté la plate-forme numérique souhaite acheter un véhicule à moteur électrique est égale à $0,25$.
    $\quad$
  2. a. On répète $17$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,2$.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètre $n=17$ et $p=0,2$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P(X\pg 3)&=1-P(X\pp 2) \\
    &=1-\left(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right) \\
    &=1-\left(0,8^{17}+\dbinom{17}{1}\times 0,2\times 0,8^{16}+\dbinom{17}{2}\times 0,2^2\times 0,8^{15}\right) \\
    &\approx 0,69\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d’une journée est environ égale à $0,69$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+x \\
    &=\e^{-x}\left(x+\dfrac{1}{2}+x\e^x\right)\end{align*}$
    $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$
    $\lim\limits_{x\to -\infty} \left(x+\dfrac{1}{2}\right)=-\infty$
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^{x}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
    $\quad$
    $f(x)=x\e^{-x}+\dfrac{1}{2}\e^{-x}+x$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. D’après l’énoncé $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+1 \\
    &=\left(1-x- \dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+1 \\
    &=\left(\dfrac{1}{2}-x\right)\e^{-x}+1\end{align*}$
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}- \left(\dfrac{1}{2}-x\right)\e^{-x} \\
    &=\left(-1-\dfrac{1}{2}+x\right)\e^{-x} \\
    &=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a $\e^{-x}>0$. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-\dfrac{3}{2}$.
    Or $x-\dfrac{3}{2}>0\ssi x>\dfrac{3}{2}$.
    La fonction $f’$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
    c. $f’$ admet donc un minimum en $\dfrac{3}{2}$.
    Or $f’\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\e{-3/2}+1>0$
    Par conséquent, pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&\pg f’\left(\dfrac{3}{2}\right) \\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
    d. La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
    $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
    e. D’après la calculatrice une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution est $0,285$.
    $\quad$

Partie B

  1. Graphiquement, il semblerait que la courbe représentative de la fonction $h$ possède un point d’inflexion d’abscisse environ égale à $1.5$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $h\dsec(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}$
    D’après la partie A, $h\dsec(x)>0$ si, et seulement si, $x>\dfrac{3}{2}$.
    De plus, la fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, on a $h(x)=0$ si, et seulement si, $x-\dfrac{3}{2}=0$ c’est-à-dire si $x=\dfrac{3}{2}$.
    $h\dsec$ s’annule en changeant de signe uniquement en $\dfrac{3}{2}$.
    La courbe représentative de la fonction $h$ possède donc bien un unique point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{3}{2}$.
    $\quad$
  3. $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=mx+p$.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{-2,5-3,5}{-2-2} \\
    &=\dfrac{3}{2} \end{align*}$
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=\dfrac{3}{2}x+p$.
    $A$ appartient à cette droite donc
    $-2,5=-2\times \dfrac{3}{2}+p\ssi -2,5=-3+b\ssi p=0,5$.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc $y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}$.Remarque : On pense à vérifier de tête, au brouillon ou à l’aide de la calculatrice que les coordonnées du point $B$ vérifient bien cette équation.
    $\quad$
  4. $h$ est dérivable sur $\R$ d’après l’énoncé.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=a\e^{-x}-(ax+b)\e^{-x}+1 \\
    &=(a-ax-b)\e^{-x}+1\end{align*}$
    Ainsi $h'(0)=a-b+1$ et $h(0)=b$
    La droite $(AB)$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$.
    Donc $h'(0)=\dfrac{3}{2}$ et $h(0)=\dfrac{1}{2}$.
    Par conséquent $b=\dfrac{1}{2}$ et $a-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}\ssi a=1$.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On peut étudier le signe de la fonction dérivée de $f$ pour en déduire les variations de $f$ sur $\R$.
    Mais on peut également remarquer que $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $\dfrac{3}{4}>0$.
    De plus $\dfrac{-(-2)}{2\times \dfrac{3}{4}}=\dfrac{4}{3}$.
    $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac{4}{3}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};+\infty\right[$.
    D’après la limite des termes de plus haut degré :
    $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{3}{4}x^2=+\infty$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{4}x^2=+\infty$
    $f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{5}{3}$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
    $f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{5}{3}\pg \dfrac{4}{3}$
    $f(2)=2\pp 2$
    Donc, pour tout $x\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$ on a $f(x)\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)-x&=\dfrac{3}{4}x^2-3x+3 \\
    &=\dfrac{3}{4}\left(x^2-4x+4\right) \\
    &=\dfrac{3}{4}(x-2)^2\\
    &\pg 0\end{align*}$
    Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f(x)\pg x$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pp u_{n+1} \pp 2$.
    Initialisation : $u_1=f\left(u_0\right)$
    Donc, d’après la question 3 on a $u_1\pg u_0$.
    D’près la question 2 on a $u_1 \in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
    Par conséquent $u_0\pp u_1 \pp 2$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $u_n\pp u_{n+1}\pp 2$.
    La fonction $f$ est croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
    Par conséquent $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(2)$ c’est-à-dire $u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 2$.
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, on a $u_n \pp u_{n+1} \pp 2$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $2$. Elle est par conséquent convergente.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$. La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi f(x)-x=0 \\
    &\ssi \dfrac{3}{4}(x-2)^2=0 \\
    &\ssi x-2=0 \\
    &\ssi x=2\end{align*}$
    Or $2\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $2$.
    $\quad$
  5. $\quad$
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil() :} \\
    \quad \text{u = 3}\\
    \quad \text{ n = 0} \\
    \quad \text{while u < 100 :} \\
    \qquad \text{u = 3/4 * u**2 – 2 * u + 3} \\
    \qquad \text{n = n + 1} \\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  6. Supposons que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    D’après l’étude faite à la question 4.c on a donc $\ell =2$.
    Pour tout $n\in \N$ on a : $u_n\pp f\left(u_n\right)$ c’est-à-dire $u_n \pp u_{n+1}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg u_0 > 2$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$. Ce qui est absurde.
    La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas convergente.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Question 1

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}4\\-2\\5\end{pmatrix}$
Tous les vecteurs directeurs de $(d)$ sont orthogonaux à ces deux vecteurs.
Or :
$\vec{u_4}.\vect{AB}=-12+12+0=0$ et $\vec{u_4}.\vect{BC}=4-4+0=0$
Réponse d

$\quad$

Question 2

Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}$ ou encore $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$.
La seule représentation paramétrique qui permet d’extraire un vecteur colinéaire à $\vec{u}$ est celle de la réponse c. (Les deuxièmes composantes sont nulles dans les cas a et b, et les deux premières composantes sont de même signe dans le cas d).
Réponse c

$\quad$

Question 3

Un vecteur directeur de la droite $(d’)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-8\\4\\5\end{pmatrix}$.
Or $\vect{v_3}=-\vec{v}$.
Réponse c

$\quad$

Question 4

Prenons $t=-7$ dans la représentation paramétrique de $(d’)$.
On obtient alors : $\begin{cases} x=-6+56 \\y=-28\\z=6-35\end{cases}$ c’est-à-dire les coordonnées du point $M_1$.
Réponse a

$\quad$

Question 5

Un vecteur normal au plan d’équation $x=1$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$.
Réponse a

$\quad$

 

Énoncé

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 (4 points)

Thème : probabilités

Une concession automobile vend des véhicules à moteur électrique et des véhicules à moteur thermique.
Certains clients, avant de se rendre sur le site de la concession, ont consulté la plateforme numérique de la concession. On a ainsi observé que :

  • $20 \%$ des clients sont intéressés par les véhicules à moteur électrique et $80 \%$ préfèrent s’orienter vers l’achat d’un véhicule à moteur thermique ;
  • lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,5$ ;
  • lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur thermique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,375$.

On considère les événements suivants :

  • $C$ : « un client a consulté la plate-forme numérique » ;
  • $E$ : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique » ;
  • $T$ : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur thermique ».

Les clients font des choix indépendants les uns des autres.

  1. a. Calculer la probabilité qu’un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique.
    On pourra utiliser un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Démontrer que $P(C) = 0,4$.
    $\quad$
    c. On suppose qu’un client a consulté la plate-forme numérique.
    Calculer la probabilité que le client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique.
    $\quad$
  2. La concession accueille quotidiennement $17$ clients en moyenne.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients souhaitant acquérir un véhicule à moteur électrique.
    a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d’une journée. Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2 (6 points)

Thème : fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+x$$

  1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
    a. Démontrer que , pour tout $x\in \R$, $$f\dsec(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}$$
    $\quad$
    b. En déduire les variations et le minimum de la fonction $f’$ sur $\R$.
    $\quad$
    c. Justifier que pour tout $x\in \R$, $f'(x)>0$.
    $\quad$
    d. En déduire que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
    $\quad$
    e. Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution.
    $\quad$

Partie B

On considère une fonction $h$, définie et dérivable sur $R$, ayant une expression de la forme $h(x) = (ax+b )\e^{-x}+x$, où $a$ et $b$ sont deux réels.
Dans un repère orthonormé ci-après figurent :

  • la courbe représentative de la fonction $h$ ;
  • les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(-2 ; -2,5)$ et $(2 ; 3,5)$.

  1. Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction $h$.
    $\quad$
  2. Sachant que la fonction $h$ admet sur $\R$ une dérivée seconde d’expression
    $$h\dsec(x)=-\dfrac{3}{2}\e^{-x}+x\e^{-x}$$
    valider ou non la conjecture précédente.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$
  4. Sachant que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$ au point d’abscisse $0$, en déduire les valeurs de $a$ et $b$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Thème : suites, algorithmique

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x+3$$

  1. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. En déduire, que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$, $f(x)$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
    $\quad$
  3. Démontrer que pour tout $x$ réel, $x\pp f(x)$.
    Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel $x$ : $$f(x)-x=\dfrac{3}{4}(x-2)^2$$

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par un réel $u_0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3}{4}{u_n}^2-2u_n+3$.

  1. Étude du cas : $\dfrac{4}{3} \pp u_0 \pp 2$.
    a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
    $$ u_n\pp u_{n+1} \pp 2$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    c. Prouver que la limite de la suite est égale à $2$.
    $\quad$
  2. Étude du cas particulier : $u_0=3$.
    On admet que dans ce cas la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$.
    Recopier et compléter la fonction « seuil » suivante écrite en Python, afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à $100$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil() :} \\
    \quad \text{u = 3}\\
    \quad \text{ n = 0} \\
    \quad \text{while … } \hspace{2cm}  \\
    \qquad \text{u = …} \\
    \qquad \text{n = …} \\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. Étude du cas : $u_0>2$.
    À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que $\left(u_n\right)$ n’est pas convergente.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Thème : géométrie dans l’espace

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question traitée et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ dans lequel on considère :

  • les points $A(6 ; -6 ; 6)$, $B(-6 ; 0 ; 6)$ et $C(-2 ; -2 ; 11)$ ;
  • la droite $(d)$ orthogonale aux deux droites sécantes $(AB)$ et $(BC)$ et passant par le point $A$ ;
  • la droite $(d’)$ de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=-6-8t \\y=4t\\z=6+5t\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$$

$\quad$

Question 1

Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur directeur de la droite $(d)$ ?

a. $\vect{u_1}\begin{pmatrix} -6\\3\\0\end{pmatrix}$
b. $\vect{u_2}\begin{pmatrix} 1\\2\\6\end{pmatrix}$
c. $\vect{u_3}\begin{pmatrix} 1\\2\\0,2\end{pmatrix}$
d. $\vect{u_4}\begin{pmatrix} 1\\2\\0\end{pmatrix}$

$\quad$

Question 2

Parmi les équations suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ ?

a. $\begin{cases} x=2t-6 \\y=-6\\z=t+6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
b. $\begin{cases} x=2t-6 \\y=-6\\z=-t-6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
c. $\begin{cases} x=2t+6 \\y=-t-6\\z=6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
d. $\begin{cases} x=2t+6 \\y=t-6\\z=6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$

$\quad$

Question 3

Un vecteur directeur de la droite $(d’)$ est :

a. $\vect{v_1}\begin{pmatrix} -6\\0\\6\end{pmatrix}$
b. $\vect{v_2}\begin{pmatrix} -14\\4\\11\end{pmatrix}$
c. $\vect{v_3}\begin{pmatrix} 8\\-4\\-5\end{pmatrix}$
d. $\vect{v_1}\begin{pmatrix} 8\\-4\\5\end{pmatrix}$

$\quad$

Question 4

Lequel des quatre points suivants appartient à la droite $(d’)$ ?

a. $M_1(50;-28;-29)$
b. $M_2(-14;-4;1)$
c. $M_3(2;-4;-1)$
d. $M_4(-3;0;3)$

$\quad$

Question 5

Le plan d’équation $x=1$ a pour vecteur normal :

a. $\vect{n_1}\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}$
b. $\vect{n_2}\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$
c. $\vect{n_3}\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}$
d. $\vect{n_1}\begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}$

$\quad$

$\quad$