Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 2 – 5 mai 2022

Polynésie – 5 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1     7 points

Thèmes : fonctions, primitives

  1. Pour tout $x\in ]0;+\infty[$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln(x)\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $g(x)=x^2-x^2\ln(x)$
    Or $\lim\limits_{x\to 0} x^2=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x^2\ln(x)=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to 0} g(x)=0$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x\left(x^2-0,9x-0,1\right)$
    $f(x)=0\ssi x=0$ ou $x^2-0,9x-0,1=0$.
    Le discriminant de $x^2-0,9x-0,1$ est $\Delta=(-0,9)^2-4\times \times 1\times (-0,1)=1,21>0$.
    L’équation $x^2-0,9x-0,1=0$ possède donc deux solutions distinctes. $0$ n’est pas solution de cette équation.
    Ainsi l’équation $f(x)=0$ admet exactement $3$ solutions.
    Réponse d
    $\quad$
  4. On considère la fonction $K$ définie sur $\R$ par $K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x)$
    La fonction $K$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} K'(x)&=\dfrac{1}{2}\times 2H'(2x)\\
    &=H'(2x) \\
    &=h(2x)\\
    &=k(x)\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*}f'(x)&=\e^x+x\e^x \\
    &=(1+x)\e^x\end{align*}$
    Donc $f'(1)=2\e$.
    De plus $f(1)=\e$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ de la courbe de la fonction $f$ est donc $y=2\e(x-1)+\e$
    Soit $y=2\e x-\e$.
    Réponse b
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} (0,2)^n<0,001&\ssi n\ln(0,2)<\ln(0,001) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)}\qquad \text{(car $\ln(0,2)<0$)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)}\approx 4,29$.
    L’ensemble solution de l’inéquation est donc l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $5$.
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2     7 points

Thème : probabilités

Partie 1

  1. On a $P(C)=0,2$ et $P_C(D)=0,1$
    Donc
    $\begin{align*} P(C\cap D)&=P(C)\times P_C(D) \\
    &=0,2\times 0,1\\
    &=0,02\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left(C,\conj{C}\right)$ forme un système complet d’événements finis.
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(D)&=P(C\cap D)+P\left(\conj{C}\cap D\right) \\
    &=0,02+P\left(\conj{C}\right)\times P_{\conj{C}}(D) \\
    &=0,02+0,8\times 0,02 \\
    &=0,036\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer
    $\begin{align*} P_D(C)&=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)} \\
    &=\dfrac{0,02}{0,036} \\
    &=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
    La probabilité que le casque soit contrefait sachant qu’il a un défaut est égale à $\dfrac{5}{9}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. a. On répète $35$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,036$. $X$ est égale au nombre de casques présentant un défaut de conception.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=35$ et $p=0,036$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{35}{1}\times 0,036^1\times (1-0,036)^{35-1} \\
    &=35\times 0,036\times 0,964^{34} \\
    &\approx 0,362\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés exactement un casque présentant un défaut de conception est environ égale à $0,362$.
    $\quad$
    c. 
    $\begin{align*}P(X\pp 1)&=P(X=0)+P(X=1) \\
    &=0,964^{35}+35\times 0,036\times 0,964^{34} \\
    &\approx 0,639\end{align*}$
    $\quad$
  2. On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,036$. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de casques présentant un défaut de conception.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,036$.
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,99 &\ssi 1-P(Y=0)>0,99 \\
    &\ssi P(Y=0)<0,01  \\
    &\ssi 0,964^n <0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,964)<\ln(0,01) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,964)} \qquad \text{(car $\ln(0,964)<0$)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,964)} \approx 125,6$.
    Il faut donc commander au moins $126$ casques pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0,99$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3     7 points

Thème : suites, fonctions

  1. $\quad$
    $\begin{align*} u_1&=0,008u_1\left(200-u_1\right) \\
    &=0,008\times 40(200-40)\\
    &=51,2\end{align*}$
    Selon ce modèle il y avait environ $52$ oiseaux dans la colonie au début de l’année 2022.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x)=x&\ssi 0,008x(200-x)=x \\
    &\ssi 0,008x(200-x)-x=0 \\
    &\ssi x\left(0,008(200-x)-1\right)=0 \\
    &\ssi x(1,6-0,008x-1)=0 \\
    &\ssi (0,6-0,008x)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } 0,6-0,008x=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=\dfrac{0,6}{0,008} \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=75 \end{align*}$
    Les solutions de l’équation $f(x)=x$ sont donc $0$ et $75$.
    $\quad$
  3. a. Il y a au moins deux méthodes pour répondre à la question :
    – étudier le signe de $f'(x)$;
    – utiliser les propriétés sur les variations des fonctions polynômes du second degré (ce qui va être fait ici)
    Pour tout réel $x$ on a
    $f(x)=-0,008x^2+1,6x$
    Le coefficient principal est $a=-0,008<0$.
    Ainsi $f$ admet un maximum au point d’abscisse $\dfrac{-1,6}{2\times (-0,008)} =100$.
    La fonction est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;100]$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,008u_n\left(200-u_n\right)$
    Donc $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp u_n \pp u_{n+1}\pp 100$.
    Initialisation : $u_0=40$ et $u_1=51,2$. Or $0\pp 40\pp 51,2\pp 100$. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100$.
    La fonction $f$ est croissante sur $[0;100]$.
    Donc $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(100)$
    Soit $0\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 80\pp 100$. $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $100$.
    Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    d. La fonction $f$ est continue sur $[0;100]$.
    Donc $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$ dont l’unique solution est $75$ d’après la question 2.
    Ainsi $\ell=75$.
    Cela signifie que sur le long terme la colonie comptera $75$ individus.
    $\quad$
  4. La fonction renvoie l’année où la population dépasse la valeur $p$ envoyée en paramètre.
    La suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $75$. Elle ne peut donc pas prendre de valeurs supérieures à $100$.
    Cela explique donc pourquoi $\texttt{seuil(100)}$ ne renvoie aucune valeur.
    Remarque : On se retrouve dans une boucle infinie!
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4     7 points

Thème : géométrie dans le plan et l’espace

Partie 1. Première méthode

  1. On a $A(0;0;0)$ , $B(1;0;0)$ et $G(1;1;1)$.
    $\quad$
  2. $\vect{BK}\left(-1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\vect{AI}\left(\dfrac{1}{2};0;1\right)$ et $\vect{AG}(1;1;1)$.
    Les vecteurs $\vect{AI}$ et $\vect{AG}$ ne sont pas colinéaires.
    $\begin{align*} \vect{BK}.\vect{AI}&=-1\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1 \\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vect{BK}.\vect{AG}&=-1\times 1+\dfrac{1}{2}\times 1+\dfrac{1}{2}\times 1 \\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vect{BK}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(AIG)$.
    Par conséquent la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
    $\quad$
  3. $-2\vect{BK}(2;-1;-1)$ est normal au plan $(AIG)$.
    Une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est donc de la forme $2x-y-z+d=0$.
    Or $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $d=0$.
    Ainsi, une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est $2x-y-z=0$.
    $\quad$
  4. Une représentation paramétrique de la droite $(BK)$ est :
    $\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=-t\end{cases} \qquad ,\forall t\in \R$.
    Remarque : plutôt que de prendre le vecteur $\vect{BK}$ comme vecteur directeur, on peut choisir $2\vect{BK}$ dont les coordonnées sont entières.
    $\quad$
  5. $2\times \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0$ donc $L\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ appartient au plan $(AIG)$.
    En prenant $t=-\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(BK)$ on retrouve les coordonnées du point $L$.
    Ainsi $L$ appartient à la fois à la droite $(BK)$ et au plan $(AIG)$.
    $L\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur le plan $(AIG)$.
    $\quad$
  6. $\vect{BL}\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$
    $\begin{align*} BL&=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{6}{9}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\end{align*}$
    La distance du point $B$ au plan $(AIG)$ est donc égale à $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
    $\quad$

Partie 2. Deuxième méthode

  1. a. $ABCDEFGH$ est un cube. L’arête $[FG]$ est perpendiculaire au plan $(ABF)$ auquel appartient le point $I$.
    Donc, dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.
    $\quad$
    b. L’aire de $AIB$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AE\times AB}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    De plus $GF=1$
    Ainsi, le volume de $ABIG$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times GF\times \mathscr{B} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le triangle $AIG$ est donc isocèle en $I$.
    La hauteur issue de $I$ coupe donc le côté $[AG]$ en son milieu $0$.
    Ainsi $AO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    Dans le triangle $AOI$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*}AI^2=AO^2+OI^2 &\ssi OI^2=AI^2-AO^2 \\
    &\ssi OI^2=\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4} \\
    &\ssi OI^2=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Donc $OI=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
    L’aire du triangle $AIG$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{OI\times AG}{2} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times \sqrt{3}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On appelle $h$ la longueur de la hauteur issue de $B$ dans le tétraèdre $ABIG$
    Ainsi
    $\begin{align*} \mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times h\times \mathscr{A} &\ssi
    \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}h\\
    &\ssi h=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}} \\
    &\ssi h=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
    On retrouve bien la valeur trouvée à la question 6. puisque :
    $\begin{align*} \sqrt{\dfrac{2}{3}}&=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1     7 points

Thèmes : fonctions, primitives, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ par :
    $$
    f(x)=x \ln (x)-x+1
    $$
    Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de $f$ ?
    a. $\ln (x)$
    b. $\dfrac{1}{x}-1$
    c. $\ln (x)-2$
    d. $\ln (x)-1$
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $g(x)=x^2\left[1-\ln (x)\right]$. Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte?
    a. $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=+\infty$
    b. $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=-\infty$
    c. $\lim\limits_{x  \to 0} g(x)=0$
    d. La fonction $g$ n’admet pas de limite en $0$.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-0,9 x^2-0,1 x$.
    Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$ sur $\mathbb{R}$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
  4. Si $H$ est une primitive d’une fonction $h$ définie et continue sur $\mathbb{R}$, et si $k$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=h(2x)$, alors, une primitive $K$ de $k$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
    a. $K(x)=H(2 x)$
    b. $K(x)=2 H(2 x)$
    c. $K(x)=\dfrac{1}{2} H(2x)$
    d. $K(x)=2 H(x)$
    $\quad$
  5. L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse $1$ de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $f(x)=x \e^x$ est :
    a. $y=\e x+\e$
    b. $y=2 \e x-\e$
    c. $y=2 \e x+\e$
    d. $y=\e x$
    $\quad$
  6. Les nombres entiers $n$ solutions de l’inéquation $(0,2)^n<0,001$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que :
    a. $n \pp 4$
    b. $n \pp 5$
    c. $n \pg 4$
    d. $n \pg 5$
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 2     7 points

Thèmes : probabilités

Les douanes s’intéressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d’estimer que :

  • $20 \%$ des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
  • $2 \%$ des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ;
  • $10 \%$ des casques contrefaits présentent un défaut de conception.

L’agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les événements suivants :

  • $C:$ «le casque est contrefait »;
  • $D:$ : le casque présente un défaut de conception “;
  • $\conj{C}$ et $\conj{D}$ désignent respectivement les événements contraires de $C$ et $D$.

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ si nécessaire.

Partie 1

  1. Calculer $P(C \cap D)$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(D)=0,036$.
    $\quad$
  3. Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il soit contrefait ?
    $\quad$

Partie 2
On commande $n$ casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.

  1. Dans cette question, $n=35$.
    a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ où $n=35$ et $p=0,036$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.
    $\quad$
    c. Calculer $P(X \pp 1)$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, $n$ n’est pas fixé.
    Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0,99$ ?
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 3     7 points

Thèmes : suites, fonctions

Au début de l’année 2021, une colonie d’oiseaux comptait 40 individus. L’observation conduit à modéliser l’évolution de la population par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$
\left\{\begin{aligned}
u_0 & =40 \\
u_{n+1} & =0,008 u_n\left(200-u_n\right)
\end{aligned}\right.
$$
où $u_n$ désigne le nombre d’individus au début de l’année $(2021+n)$.

 

  1. Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d’oiseaux dans la colonie au début de l’année 2022.
    On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 100]$ par $f(x)=0,008 x(200-x)$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans l’intervalle $[0 ; 100]$ l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0 ; 100]$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
    b. En remarquant que, pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :
    $$
    0 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100 .
    $$
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(p) :}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{u = 40}\\
    \quad \text{while u < p :}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \qquad \text{u = 0.008 * u * (200 – u)}\\
    \quad \text{return (n+2021)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’exécution de $\text{seuil(100)}$ ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l’aide de la question 3.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur $1$.
L’espace est muni du repère orthonormé $\left(A ; \vect{AB}, \vect{AD}, \vect{AE}\right)$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, $K$ le centre du carré $ADHE$ et $O$ le milieu du segment $[AG]$.

Le but de l’exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.

Partie 1. Première méthode

  1. Donner, sans justification, les coordonnées des points $A$, $B$, et $G$.
    On admet que les points $I$ et $K$ ont pour coordonnées $I\left(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 1\right)$ et $K\left(0 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
    $\quad$
  3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est : $2x-y-z=0$.
    $\quad$
  4. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BK)$.
    $\quad$
  5. En déduire que le projeté orthogonal $L$ du point $B$ sur le plan $(AIG)$ a pour coordonnées $L\left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  6. Déterminer la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
    $\quad$

Partie 2. Deuxième méthode

On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3} \times b \times h$, où $b$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée à cette base.

  1. a. Justifier que dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.
    $\quad$
    b. En déduire le volume du tétraèdre $ABIG$.
    $\quad$
  2. On admet que $AI=IG=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et que $AG=\sqrt{3}$.
    Démontrer que l’aire du triangle isocèle $AIG$ est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ unité d’aire.
    $\quad$
  3. En déduire la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
    $\quad$

$\quad$