Exercice 1

Partie A

1. a.
   $\begin{align*} 470~000\times \left(1+\dfrac{1,5}{100}\right)&=470~000\times 1,015\\
   &= 477~050
   \end{align*}$
   En 2014, en l’absence de braconnage, il y avait $477~050$ éléphant d’Afrique.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,015u_n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,015$ et de premier terme $u_0=470~000$.
   $\quad$
   c. Ainsi $u_n=470~000\times 1,015^n$
   $\quad$
2. En 2028, on a $n=48$.
   Ainsi $u_{15}=470~000\times 1,015^{15}\approx 586~609$.
   On devrait compter $586~609$ éléphants d’Afrique dans ces conditions.
   $\quad$

Partie B

1. $24\times 4 = 96$ éléphants d’Afrique sont tués tous les jours.
   Cela représente donc $96\times 365=35~040 \approx 35~000$ éléphants d’Afrique tués par an.
   $\quad$
2. $\dfrac{170,9-470}{470} \approx -0,636$.
   Cela correspond donc bien à une baisse d’environ $64\%$ en dix ans.
   $\quad$
3. Cela signifie qu’en $2029$, si l’on ne réagit pas, tous les éléphants d’Afrique auront été tués.
   $\quad$

 

Exercice 2

Partie A

1. Le taux d’évolution global du tirage journalier entre 2010 et 2014 est :
   $\dfrac{1,36-1,8}{1,8} \approx -24,4\%$
   Il y a donc une baisse d’environ $24,4\%$ entre ces deux dates.
   $\quad$
2. Le coefficient multiplicateur est $1-0,244=0,756$.
   On appelle $t$ le taux d’évolution annuel moyen entre 2010 et 2014.
   On veut donc que :
   $\begin{align*} \times \left(1-\dfrac{t}{100}\right)^4=0,756&\ssi 1-\dfrac{t}{100}=0,756^{1/4} \\
   &\ssi \dfrac{t}{100}=1-0,756^{1/4} \\
   &\ssi t=100\left(1-0,756^{1/4}\right)
   \end{align*}$
   Donc $t\approx 6,75$
   Le taux d’évolution annuel moyen entre 2010 et 2014 est donc d’environ $-6,75\%$.
   $\quad$
3. Selon ce modèle, en 2017, le tirage journalier sera de $1,36\times 0,93^3\approx 1,09$ million d’exemplaires.
   $\quad$

Partie B

1. Voir graphique
   $\quad$
2. À l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation $y=-0,12x+1,83$.
   $\quad$
3. a.
   
   $\quad$
   b. En 2017, $x=7$ donc $y=-0,1\times 7 +1,8=1,1$
   Selon ce modèle, on peut prévoir un tirage journalier de $1,1$ million d’exemplaires en 2017.
   $\quad$

Partie C

1. a. D’après l’énoncé $P_T(R)=0,53$
   $\quad$
   b. On a $P(S)=\dfrac{2}{5}$ et $P(T)=0,1$.
   Les événements $S$ et $T$ sont incompatibles donc $P(S\cup T)=\dfrac{2}{5}+0,1=0,5$.
   Cela signifie donc que $50\%$ des personnes naviguent sur un site à partir d’un appareil mobile parmi les personnes interrogées.
   Remarque : On pouvait également utiliser le fait que $P(O)=0,5$ et utiliser l’événement contraire.
   $\quad$
2. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   b. On a
   $\begin{align*} P(A)&=P(S\cap R) \\
   &=0,4\times 0,65 \\
   &=0,26
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(R)&=P(S\cap R)+P(T\cap R)+P(O\cap R) \\
   &=0,26+0,1\times 0,53+0,5\times 0,59 \\
   &=0,608 \end{align*}$
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_R(O)&=\dfrac{P(R\cap O)}{P(R)} \\
   &=\dfrac{0,5\times 0,59}{0,608} \\
   &\approx 0,49
   \end{align*}$
   $\quad$

Exercice 3

Partie A 

1. En $D3$ il a pu saisir $=(C3-C2)/C2$.
   $\quad$
2. En $E3$ il a pu saisir $=(B3-B2)/B2$.
   $\quad$
3. a. On appelle $t$ le taux d’évolution annuel moyen du prix du menu entre l’été 2012 et l’été 2015.
   On a alors :
   $\begin{align*} 9,8\times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=13,8 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=\dfrac{13,8}{9,8} \\
   &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{13,8}{9,8}\right)^{1/3} \\
   &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{13,8}{9,8}\right)^{1/3} -1\\
   &\ssi t=100\left(\left(\dfrac{13,8}{9,8}\right)^{1/3} -1\right) \end{align*}$
   Donc $t\approx 12,09$
   Le taux d’évolution annuel moyen du prix du menu entre l’été 2012 et l’été 2015 est donc d’environ $12,09\%$
   $\quad$
   b. Durant l’été 2017, le menu devrait coûter $13,8\times 1,1209^2\approx 17,34$ euros.
   $\quad$
4. On appelle $t$ le taux d’évolution annuel moyen du nombre hebdomadaire moyen de couverts entre l’été 2012 et l’été 2015.
   On a alors :
   $\begin{align*} 420\times \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=345 &\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=\dfrac{345}{420} \\
   &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{345}{420}\right)^{1/3} \\
   &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{345}{420}\right)^{1/3} -1\\
   &\ssi t=100\left(\left(\dfrac{345}{420}\right)^{1/3} -1\right) \end{align*}$
   Donc $t\approx -6,35$
   Le nombre hebdomadaire moyen de couverts pendant l’été 2017 devrait donc être environ égal à $345\times \left(1-\left(\dfrac{6,35}{100}\right)^2\right) \approx 303$.
   $\quad$

Partie B

1. a. $N(11)=-19\times 11+604=395$.
   Si le prix du menu est de $11$ € alors le nombre hebdomadaire moyen de couverts est de $395$.
   $\quad$
   b. Le chiffre d’affaire hebdomadaire est donc égal à $395\times 11=4~345$ €.
   $\quad$
   c. On a $C(x)=x\times N(x)=-19x^2+604x$.
   $\quad$
2. a. C'(x)=-19\times 2x+604=-38x+604$
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} C'(x)>0 &\ssi -38x+604>0 \\
   &\ssi -38x>-604 \\
   & \ssi x<\dfrac{302}{19}
   \end{align*}$
   Et $C(x)=0 \ssi -38x+604=0 \ssi x=\dfrac{302}{19}$
   Ainsi :
   $\bullet$ $C'(x)$ est positif sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{302}{19}\right[$
   $\bullet $C’\left(\dfrac{302}{19}\right)=0$
   $\bullet $C'(x)$ est négatif sur l’intervalle $\left]\dfrac{302}{19};25\right]$
   $\quad$
   c. On obtient donc le tableau de variation suivant :
   
3. a. D’après le tableau de variation, la fonction $C$ atteint son maximum si $x=\dfrac{302}{19}\approx 15,89$.
   Le chiffre d’affaires hebdomadaire de la brasserie est donc maximal si le prix du menu est de $15,89$ €.
   $\quad$
   b. On a $C\left(\dfrac{302}{19}\right)\approx 4~800$.
   Le chiffre d’affaires hebdomadaire maximal de la brasserie est donc d’environ $4~800$ €.
   $\quad$

Partie C

On a $n=50 \pg 25$ et $f=\dfrac{39}{50}=0,78$.
Un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion de clients favorables à ce changement est :

$\begin{align*} I_{50}&=\left[0,78-\dfrac{1}{\sqrt{50}};0,78+\dfrac{1}{\sqrt{50}}\right] \\
&\approx [0,63;0,93]
\end{align*}$
$\quad$

 

Exercice 4

1. $p(T<145)=0,5+p(135<T<145) \approx 0,977$
   $p(125 < T<145) \approx 0,954$
   Réponse b
   $\quad$
2. On a $n=400 \pg 25$ et $p=0,43$ donc $0,2<p<0,8$
   Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
   $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,43-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,43+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
   &=[0,38;0,48]
   \end{align*}$
   Réponse b
   $\quad$
3. On a : $u(x)=2x+1$ soit $u'(x)=2$
   et $v(x)=x-2$ soit $v'(x)=1$
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(x-2)-(2x+1)}{(x-2)^2} \\
   &=\dfrac{2x-4-2x-1}{(x-2)^2} \\
   &=\dfrac{-5}{(x-2)^2}
   \end{align*}$
   Réponse b
   $\quad$
4. La droite $D$ passe par les point s de coordonnées $(1;4)$ et $(2;1)$.
   Son coefficient directeur est $a=\dfrac{1-4}{2-1}=-3$
   Une équation de la droite $D$ est donc de la forme $y=-3x+b$
   Le point $A(2;1)$ appartient à cette droite.
   Donc $1=-3\times 2+b \ssi 1=-6+b \ssi b=7$
   Une équation de la droite $D$ est donc $y=-3x+7$
   Réponse a
   $\quad$

Exercice 1    4 points

La survie des éléphants d’Afrique est menacée par le braconnage (chasse illégale).

Partie A

En l’absence de braconnage, on estime le taux de croissance de la population d’éléphants d’Afrique à $1,5\%$ par an.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ l’effectif de cette population pour l’année $2013 + n$ en l’absence de braconnage.

La population totale d’éléphants d’Afrique était estimée à $470~000$ individus en 2013.

1. a. Calculer le nombre d’éléphants d’Afrique en 2014 en l’absence de braconnage.
   $\quad$
   b. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et en préciser le premier terme et la raison.
   $\quad$
   c. Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
2. Estimer le nombre d’éléphants d’Afrique en 2028 dans ces conditions.
   $\quad$

Partie B

1. Actuellement, un éléphant d’Afrique est tué tous les quarts d’heure par le braconnage. Justifier qu’environ $35~000$ éléphants d’Afrique sont tués chaque année par le braconnage. On considérera qu’une année a $365$ jours.
   $\quad$
2. À l’aide d’un tableur, on a obtenu les résultats suivants, arrondis à $0,1$.
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Année} &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021 &2022 &2023\\
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Effectif de la}\\ \text{population} \\ \text{d’éléphants }\\
   \text{en présence } \\
   \text{de} \\
   \text{braconnage} \\
   \text{(en millier} \\
   \text{d’individus)} \end{array}&470,0 &442,1 &413,7 &384,9 &355,7 &326,0 &295,9 &265,3 &234,3 &202,9 &170,9\\
   \hline
   \end{array}$
   Dans une interview accordée en 2013, le Fonds mondial pour la nature s’alarme : “si l’on ne réagit pas, la population d’éléphants d’Afrique aura baissé de près de $64\%$ en dix ans”.
   Justifier cette affirmation par un calcul.
   $\quad$
3. On considère l’algorithme suivant :
   Variables
   $\quad$ $n$ est un entier
   $\quad$ $u$ est un réel
   Traitement
   $\quad$ $n$ prend la valeur 2013
   $\quad$ $u$ prend la valeur $470~000$
   $\quad$ Tant que $u > 0$ faire
   $\qquad$ Début tant que
   $\qquad$ $n$ prend la valeur $n + 1$
   $\qquad$ $u$ prend la valeur $u \times 1,015-35~000$
   $\quad$ Fin tant que
   $\quad$ Afficher $n$
   $\quad$
   Cet algorithme affiche le résultat $2029$.
   Comment interpréter ce résultat ?
   $\quad$

Exercice 2    6 points

Le tableau suivant donne l’évolution du tirage journalier (nombre d’exemplaires imprimés par jour) de la presse quotidienne d’information générale et politique en France.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année} &2010 &2011 &2012 &2013 &2014\\
\hline
\text{Rang de l’année : } x_i& 0 &1 &2 &3 &4\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Tirage journalier en million }\\ \text{d’exemplaires : }  y_i\end{array}& 1,80 &1,73 &1,60 &1,47 &1,36\\
\hline\end{array} \\
\hspace{9.5cm}\text{Source : INSEE}$

Les trois parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

1. Déterminer le taux d’évolution global, arrondi à $0,01\%$, du tirage journalier entre 2010 et 2014.
   $\quad$
2. Calculer le taux d’évolution annuel moyen sur cette période, arrondi à $0,01\%$, du tirage journalier.
   $\quad$
3. En supposant que l’évolution se poursuit au taux annuel de $-7\%$ dans les années à venir, donner une estimation, arrondie à $0,01$, du tirage journalier que l’on peut prévoir pour l’année 2017.
   $\quad$

Partie B

1. Représenter le nuage de points $\left(x_i;y_i\right)$ associé au tableau ci-dessus dans le repère donné en annexe 1.
   $\quad$
2. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $0,01$.
   $\quad$
3. Pour les deux questions suivantes, on prendra pour ajustement affine la droite $D$ d’équation $y = -0,1x+1,8$.
   a. Représenter la droite $D$ dans le repère donné en annexe 1.
   $\quad$
   b. Selon ce modèle, estimer le tirage journalier que l’on peut prévoir pour l’année 2017.
   $\quad$

Partie C

La DGMIC (Direction générale des médias et des industries culturelles) a réalisé une étude auprès de $12$ quotidiens d’information générale qui possèdent des applications numériques sur les trois supports que sont les tablettes, les smartphones et les ordinateurs.
Le taux de rebond désigne le pourcentage d’internautes qui sont entrés sur un site par une page web puis l’ont quitté sans consulter d’autres pages.

Cette étude révèle les informations suivantes :

• $2$ visites sur $5$ se font depuis un smartphone et ont un taux de rebond de $65\%$ ;
• $10\%$ des visites se font depuis une tablette et ont un taux de rebond de $53\%$ ;
• la moitié des visites ont lieu à partir d’un ordinateur et ont un taux de rebond de $59\%$.

On choisit au hasard un visiteur et on considère les événements suivants :

• $S$ : “Le visiteur utilise un smartphone”
• $T$ : “Le visiteur utilise une tablette”
• $O$ : “Le visiteur utilise un ordinateur”
• $R$ : “Le visiteur quitte le site après avoir visité la première page”

Pour tout événement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\conj{A}$ son événement contraire, et, pour tout événement $B$ de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité de l’événement $A$ sachant que $B$ est réalisé.

1. a. Donner la valeur de $P_T(R)$.
   $\quad$
   b. Donner la proportion de personnes qui naviguent sur un site à partir d’un appareil mobile (tablette ou smartphone) parmi les personnes interrogées.
   $\quad$
2. a. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe 2.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité de l’événement $A$ “le visiteur utilise un smartphone et quitte le site après avoir visité la première page”.
   $\quad$
   c. Montrer que la probabilité qu’un visiteur choisi au hasard quitte le site après avoir visité la première page est $p(R) = 0,608$.
   $\quad$
3. Calculer la probabilité, arrondie à $0,01$, qu’un visiteur utilise un ordinateur sachant qu’il a quitté le site après avoir consulté la première page.
   $\quad$

Annexe 1

Annexe 2

$\quad$

Exercice 3    6 points

En 2012, le gérant d’une brasserie de bord de plage propose le midi, un menu à $9,80$ €.
À ce tarif, il sert en moyenne $420$ couverts par semaine. Cette formule rencontre un tel succès qu’il décide d’augmenter son prix les étés suivants.
Il observe une légère diminution du nombre de couverts mais sa formule demeure rentable.

Les trois parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A

Le tableau suivant donne l’évolution du nombre de couverts lorsque le prix du menu varie.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Été} &2012 &2013 &2014 &2015\\
\hline
\text{Prix du menu (en euro)} &9,80 &11,00 &12,30 &13,80\\
\hline
\text{Nombre hebdomadaire de couverts} &420 &395 &370 &345\\
\hline
\end{array}$

Le gérant a réalisé le tableau ci-dessous extrait d’une feuille de calcul:

La plage de cellules $D3:E5$ est au format pourcentage arrondi à $0,01\%$.

1. Proposer une formule à saisir dans la cellule $D3$, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules $D4$ et $D5$.
   $\quad$
2. Proposer de même une formule à saisir dans la cellule $E3$, permettant par recopie vers le bas de compléter les cellules $E4$ et $E5$.
   $\quad$
3. a. Calculer le taux d’évolution annuel moyen, arrondi à $0,01\%$, du prix du menu entre l’été 2012 et l’été 2015.
   $\quad$
   b. En supposant que le taux d’évolution annuel du prix du menu reste constant et égal à ce taux moyen après l’été 2015, donner une estimation du prix du menu, arrondi au centime, pendant l’été 2017.
   $\quad$
4. Donner, en détaillant la démarche, une estimation du nombre hebdomadaire moyen de couverts pendant l’été 2017.
   $\quad$

Partie B

1. Le nombre hebdomadaire moyen de couverts en fonction du prix $x$ du menu est $N(x) = -19x+604$. Le prix $x$ du menu est exprimé en euro.
   a. Calculer le nombre hebdomadaire moyen de couverts lorsque le prix du menu est de $11$ €.
   $\quad$
   b. Calculer le chiffre d’affaires hebdomadaire réalisé par la brasserie lorsque le menu est au prix de $11$ €.
   $\quad$
   c. On note $C(x)$ le chiffre d’affaires hebdomadaire en euro pour un prix du menu de $x$ euros. Montrer que $C(x) = -19 x^2+604 x$.
   $\quad$
2. On considère la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;25]$ par $C(x) = -19 x^2+604 x$.
   a. Déterminer l’expression de la fonction dérivée $C’$ de $C$.
   $\quad$
   b. Donner le signe de $C'(x)$ sur l’intervalle $[0;25]$.
   $\quad$
   c. Dresser le tableau de variations de la fonction $C$ sur l’intervalle $[0;25]$.
   $\quad$
3. a. Pour quel prix du menu le chiffre d’affaires hebdomadaire de la brasserie est-il maximal? On arrondira le résultat au centième.
   $\quad$
   b. À ce prix, quel est le chiffre d’affaires hebdomadaire de la brasserie ? On arrondira le résultat à l’unité.
   $\quad$

Partie C

Le gérant souhaiterait faire passer le prix du menu à $15,90$ € dès l’été 2016.
Il souhaite estimer la proportion de clients qui seraient prêts à venir déjeuner à ce tarif.
Il réalise un sondage le samedi suivant auprès des clients présents le midi ce jour-là.
Sur les $50$ personnes interrogées, $39$ se disent prêtes à venir déjeuner à ce tarif.
Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$, de la proportion de clients favorables à ce changement.
On arrondira les bornes de l’intervalle à $0,01$.
$\quad$

Exercice 4    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève pas de point.

Les quatre questions sont indépendantes.

1. La taille $T$ en cm d’un garçon de 10 ans est modélisée par une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $\mu = 135$ et d’écart type $\sigma = 5$.
   a. $p(T < 145) \approx 0,02$
   b. $p(125 < T < 145) \approx 0,95$
   c. $p(125 < T < 145) \approx 0,68$
   d. $p(T > 125) \approx 0,99$
   $\quad$
2. La part de consommateurs bio réguliers, c’est-à-dire ceux qui disent consommer bio au moins une fois par mois s’élève à $43\%$ en France en 2015.
   On effectue un sondage dans une société de $400$ personnes.
   La fréquence de consommateurs bio réguliers dans cet échantillon est notée $f$.
   a. $f = 0,43$
   b. Au seuil de $95\%$, $0,38 \pp f \pp 0,48$
   c. Au seuil de $95\%$, $0,427~5 \pp f \pp 0,432~5$
   d. Au seuil de $95\%$, $0,23 \pp f \pp 0,63$
   $\quad$
3. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x \ne 2$ par $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-2}$.
   On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
   Pour tout $x \ne 2$,
   a. $f'(x) = 2$
   b. $f'(x) = \dfrac{-5}{(x-2)^2}$
   c. $f'(x) = \dfrac{2x+1}{(x-2)^2}$
   d. $f'(x) = \dfrac{-1}{(x-2)^2}$
   $\quad$
4. On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = -x^2+x+3$ sur l’intervalle $[-2;3]$.
   Sa représentation graphique est la courbe $C$ ci-dessous :
   
   Le point $A$ de la courbe $C$ a pour coordonnées $(2;1)$. La droite $D$ est la tangente à la courbe $C$ au point $A$.
   Une équation de la droite $D$ est :
   a. $y = -3x+7$
   b. $y = -3x+1$
   c. $y = -x+2$
   d. $y = 2x+1$
   $\quad$