Exercice 1

1. Il faut saisir $=(C2-\$ B2)/\$ B2$
   $\quad$
2. Le taux d’évolution du nombre d’objets connectés entre 2011 et 2015 est :
   $t=\dfrac{42-9,5}{9,5}\approx 342,1\%$
   $\quad$
3. $\left(1+\dfrac{45}{100}\right)^{4}\approx 4,42=1+\dfrac{342}{100}$.
   Le taux moyen annuel d’évolution du nombre d’objets connectés entre 2011 et 2015 est d’environ $45\%$.
   $\quad$
4. a. $u_1=42\times \left(1+\dfrac{15}{100}\right)=42\times 1,15=48,3\approx 48$.
   $u_2=48,3\times 1,15=55,545 \approx 56$
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,15u_n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_0=42$.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=42\times 1,15^n$.
   $\quad$
   d. $u_5=42\times 1,15^5\approx 84$.
   En 2020 on peut estimer qu’il y aura $84$ milliards d’objets connectés.
   $\quad$
5. $\dfrac{84}{7,75} \approx 10,8$.
   En 2020, un être humain aura donc en moyenne plus de $10$ objets connectés.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. L’arbre pondéré est :
   
2. L’événement $G\cap N$ est “la personne est âgée de plus de 65 ans et est atteinte par une infection nosocomiale”.
   $\quad$
   $p(G\cap B)=0,53 \times 0,064=0,033~92\approx 0,034$
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(N)&=p(E\cap N)+p(F\cap N)+p(G\cap N) \\
   &=0,06\times 0,024+0,41\times 0,037+0,53\times 0,064 \\
   &=0,050~53 \\
   &\approx 0,051
   \end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_N(G)&=\dfrac{p(N\cap G)}{p(N)} \\
   &=\dfrac{0,53\times0,064}{0,051} \\
   &\approx 0,666
   &<0,75
   \end{align*}$
   Le lecteur a donc tort.
   $\quad$

Partie B

1. a. On a $n=50$ et $p=0,051$.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,051$.
   Donc $E(X)=np=2,55$.
   $\quad$
   b. $P(X=3)=\ds \binom{50}{3}\times 0,051^3 \times (1-0,051)^47\approx 0,222$
   $\quad$
2. Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ du taux de patients infectés est :
   $\begin{align*} I_{2~500}&=\left[0,051-\dfrac{1}{\sqrt{2~500}};0,051+\dfrac{1}{\sqrt{2~500}}\right] \\
   &=[0,031;0,071]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{188}{2~500}=0,075~2 \notin I_{2~500}$.
   Les craintes du directeur sont donc fondées.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. À l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation : $y=2,53x+11,89$.
   $\quad$
2. a. On obtient le graphique suivant :
   $\quad$
   b. En 2015, on a $x=10$.
   Donc $y=2,5\times 10+11,9=36,9$.
   Voir le graphique pour la vérification.
   $\quad$
   c. On veut résoudre l’inéquation :
   $\begin{align*} 2,5x+11,9>50&\ssi 2,5 x> 50-11,9 \\
   &\ssi 2,5x>38,1 \\
   &\ssi x>\dfrac{38,1}{2,5}\\
   &\ssi x> 15,24
   \end{align*}$
   C’est donc à partir de $x=16$ que le prix du gramme d’or dépassera $50$ euros selon ce modèle soit à partir de l’année 2021.
   $\quad$
3. Avec ce nouveau modèle si $x=10$ on obtient $y=0,01\times 10^2+2,3\times 10+11=35$.
   C’est donc ce second ajustement qui permet d’obtenir une approximation plus proche de la valeur exacte.
   $\quad$

Partie B

1. On a, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0,5;3]$
   $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
   &=15x-\left(2x^3-3x^2+3x+15\right) \\
   &=15x-2x^3+3x^2-3x-15\\
   &=-2x^3+3x^2+12x-15
   \end{align*}$
   $\quad$
2. $B'(x)=-2\times 3x^2+3\times 2x+12=-6x^2+6x+12$
   $\quad$
3. Nous avons un polynôme du second degré où $a=-6$, $b=6$ et $c=12$.
   $\Delta=6^2-4\times (-6)\times 12=324>0$.
   Il y a deux racines réelles :
   $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{324}}{-12}=2$ et $x_2=\dfrac{-6+\sqrt{324}}{-12}=-1$.
   Puisque $a=-6<0$ on obtient le tableau de signes de $B'(x)$ et le tableau de variation de $B$ suivant :
   
4. La fonction $B$ admet un maximum pour $x=2$.
   Le bénéfice est donc maximal quand le bijoutier fabrique et vends $200$ bijoux.
   $\quad$

Exercice 4

1. La droite pour laquelle les coordonnées du point $A(3;-5,5)$ vérifient l’équation est $y=4,5x-19$.
   Réponse c
   $\quad$
2. On a $u_n=u_1+(n-1)r=5-1,8(n-1)=3,2-1,8n$
   Réponse d
   $\quad$
3. Voici les valeurs prises successivement par $S$ :
   $1~000 \to 1~070\to 1~141,4\to 1~214,228\to 1~288,512~56$
   Donc $S\approx 1~289$
   Réponse b
   $\quad$
4. On a $P(6<x<10)=0,8$ et $\mu=8$.
   Donc $P(X<6)+P(X>10)=1-0,8=0,2$ et $P(X<6)=P(X>10)$
   Par conséquent $2P(X<6)=0,2$ soit $P(X<6)=0,1$
   Réponse c
   $\quad$

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