Exercice 1

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. On veut calculer $p(B\cap D)=0,3\times 0,04=0,012$.
   La probabilité que le hand spinner choisi provienne du fournisseur Betterspin et soit défectueux est égale à $0,012$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D) \\
   &=0,3\times 0,01+0,3\times 0,04+0,4\times 0,02\\
   &=0,023\end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_D(C)&=\dfrac{p(D\cap C)}{p(D)} \\
   &=\dfrac{0,4\times 0,02}{0,023}\\
   &=\dfrac{8}{23}\end{align*}$
   $\quad$

 

Exercice 2

Partie A : Étude graphique

1. Une situation de proportionnalité se traduit, graphiquement, par une droite passant par l’origine du repère.
   La courbe $\mathscr{C}_2$ représente donc le chiffre d’affaires.
   $\quad$
2. Le coût de production de $55$ voitures est environ égale à $400~000$ euros.
   $\quad$
3. D’après le graphique, il faut produire et vendre $75$ voitures pour réaliser un chiffre d’affaires de $600~000$ euros.
   $\quad$
4. L’entreprise réalise un bénéfice lorsque la courbe $\mathscr{C}_2$ se trouve au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_1$ c’est-à-dire lorsqu’elle produit et vend entre $40$ et $82$ voitures.
   $\quad$

Partie B : Étude d’une fonction

1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;100]$ on a :
   $\begin{align*} R'(x)&=-0,001\times 3x^2+0,07\times 2x+3,36 \\
   &=-0,003 x^2+0,14x+3,36
   \end{align*}$
   $\quad$
2. $\Delta=0,14^2-4\times (-0,003)\times 3,36=0,059~92>0$.
   $R'(x)$ possède donc deux racines réelles :
   $x_1=\dfrac{-0,14-\sqrt{0,059~92}}{-0,006}\approx 64,1$ et $x_2=\dfrac{-0,14+\sqrt{0,059~92}}{-0,006}<0$.
   On a $a=-0,003<0$. Par conséquent $R'(x)>0$ sur l’intervalle $\left[0;x_1\right[$, $R’\left(x_1\right)=0$ et $R'(x)<0$ sur l’intervalle $\left]x_1;100\right]$.
   $\quad$
3. On obtient ainsi le tableau de variation suivant :
   
   $\quad$
4. a. Le bénéfice est maximal pour $x=\dfrac{-0,14-\sqrt{0,059~92}}{-0,006} \approx 64$.
   Il faut donc produire et vendre $64$ voitures par jour pour réaliser un bénéfice maximal.
   $\quad$
   b. Le bénéfice est alors d’environ $53~600$ euros.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. Une équation de la droite cherchée est $y=0,144x+81,989$.
   $\quad$
2. On obtient le graphique suivant :
   
   $\quad$
3. En 2005 on a $x=10$.
   Ainsi $y=0,14\times 10+82=83,4$
   L’espérance de vie d’une Française née en 2005 est donc de $83,4$ ans d’après ce graphique.
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A

1. Le taux d’évolution de la population française de 2013 à 2014 est :
   $t=\dfrac{66,33-66}{66}=0,5\%$
   $\quad$
2. Le taux d’évolution de la population française de 2014 à 2015 est de $0,44\%$.
   Ainsi la population française en 2015 était de $66,33\times \left(1+\dfrac{0,44}{100}\right)\approx 66,62$ millions d’habitants.
   $\quad$
3. Le taux d’évolution global de 2012 à 2016 est :
   $t=\dfrac{66,9-65,66}{65,66}\approx 1,89\%$.
   $\quad$
4. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel cherché.
   On a ainsi :
   $\begin{align*} 65,66\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=66,9 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=\dfrac{66,9}{65,66} \\
   &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{1/4}\\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{1/4}-1\\
   &\ssi x=100\left[\left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{1/4}-1\right]
   \end{align*}$
   Ainsi $x\approx 0,47$.
   Le taux d’évolution annuel moyen cherché est donc environ égale à $0,47\%$.
   $\quad$
5. $66,9\times \left(1+\dfrac{0,47}{100}\right)^4\approx 68,17$
   Selon ce modèle, en 2020, la population française serait de $68,17$ millions d’habitants.
   $\quad$

Partie B

1. La population française augmente de $0,5\%$ par an.
   La raison de la suite $\left(u_n\right)$ est donc $1+\dfrac{0,5}{100}=1,005$.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a alors $u_n=65,66\times 1,005^n$.
   $\quad$
3. Selon ce nouveau modèle, en 2020, on a $u_8=65,66\times 1,005^8\approx 68,33$.
   La population française serait alors d’environ $68,33$ millions d’habitants en 2020.
   $\quad$
4. a. On obtient l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   U\leftarrow 65,66\\
   N\leftarrow 0\\
   \text{Tant que } U<70\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow U \times 1,005 \\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 70$
   D’après la calculatrice, on a $u_{12}\approx 69,70$ et $u_{13}\approx 70,06$.
   C’est donc en 2025 que la population française dépassera $70$ millions d’habitants.
   $\quad$

Exercice 1     5 points

L’entreprise Gadgets En Stock vend des hand spinners. Elle les achète auprès de trois fournisseurs étrangers Advanceplay, Betterspin et Coolgame.
Advanceplay et Betterspin fournissent chacun $30 \%$ des hand spinners de Gadgets En Stock.
Coolgame fournit les $40 \%$ restant.

Les données de ces trois entreprises indiquent que :

• $1 \%$ des hand spinners provenant du fournisseur Advanceplay sont défectueux ;
• $4 \%$ des hand spinners provenant du fournisseur Betterspin sont défectueux ;
• $2 \%$ des hand spinners provenant du fournisseur Coolgame sont défectueux.

On choisit de façon équiprobable un hand spinner dans le stock de l’entreprise Gadgets En Stock et on définit les événements suivants :

• $A$ : « le hand spinner provient du fournisseur Advanceplay »
• $B$ : « le hand spinner provient du fournisseur Betterspin »
• $C$ : « le hand spinner provient du fournisseur Coolgame »
• $D$ : « le hand spinner est défectueux »

1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que le hand spinner choisi provienne du fournisseur Betterspin et soit défectueux.
   $\quad$
3. Montrer que la probabilité que le hand spinner choisi soit défectueux est égale à $0,023$.
   $\quad$
4. On achète un hand spinner chez Gadgets En Stock. On constate que celui-ci est défectueux.
   Quelle est la probabilité qu’il provienne du fournisseur Coolgame ?

Annexe

$\quad$

Exercice 2     6 points

Une usine de fabrication de voitures a une capacité de production de $100$ véhicules par jour.

Partie A : Étude graphique

Sur le graphique ci-dessous sont tracées deux courbes $C_1$ et $C_2$. L’une représente le coût de production en fonction du nombre de voitures produites et vendues par jour, l’autre le chiffre d’affaires de
l’usine en fonction du nombre de voitures produites et vendues par jour.

1. Sachant que le chiffre d’affaires de l’usine est proportionnel au nombre de voitures produites et vendues chaque jour, laquelle des deux courbes représente ce chiffre d’affaires ?
   $\quad$
2. Avec la précision permise par le graphique, donner le coût de production de $55$ voitures.
   $\quad$
3. Combien de voitures faut-il produire et vendre pour réaliser un chiffre d’affaires de $600~000$ euros ?
   $\quad$
4. Pour combien de voitures produites et vendues par jour l’usine réalise-t-elle un bénéfice ? Le résultat sera donné sous forme d’un intervalle.
   $\quad$

Partie B : Étude d’une fonction

On considère la fonction $R$ définie sur $[0; 100]$ par $$R(x)=-0,001x^3+0,07x^2+3,36x-186$$

On admet que la fonction $R$ est dérivable sur $[0; 100]$. On note $R’$ sa fonction dérivée.

1. Calculer $R'(x)$.
   $\quad$
2. Étudier le signe de $R'(x)$ sur l’intervalle $[0; 100]$.
   $\quad$
3. En déduire le tableau de variation de la fonction $R$ sur $[0; 100]$.
   $\quad$
4. On appelle résultat la différence entre le chiffre d’affaires et le coût de production. S’il est positif, il correspond à un bénéfice, s’il est négatif, il correspond à une perte. Pour un nombre entier $x$ de voitures produites et vendues par jour, on modélise le résultat par $R(x)$.
   a. Selon ce modèle, combien de voitures l’usine doit-elle produire et vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal.
   $\quad$
   b. Quel est alors ce bénéfice ?
   $\quad$

Exercice 3     3 points

Le tableau ci-dessous donne l’espérance de vie des Françaises selon leur année de naissance sur la période allant de 1996 à 2003.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année de naissance}&1996&1997&1998&1999&2000&2001&2002&2003\\
\hline
\text{Rang de l’année }x_i&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Espérance de vie : }y_i\\\text{(en années)}\end{array}&82,1&82,3&82,4&82,5&82,8&82,9&83,1&83,0\\
\hline
\end{array}
\hspace{11.5cm}\\\textit{Source : INSEE}$$

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$ est donné en annexe.

1. Donner l’équation réduite de la droite réalisant un ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.
   $\quad$
2. On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite d’équation $y = 0,14x +82$.
   Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
3. On admet que cet ajustement reste valide pour les années de naissance allant jusqu’en 2006.
   Déterminer alors l’espérance de vie d’une Française née en 2005.
   $\quad$

Annexe

Exercice 4     6 points

L’objet de cet exercice est l’étude de l’évolution de la population française depuis l’année 2012.

Partie A

Le tableau ci-dessous donne l’effectif de la population française et son taux d’évolution annuel pour certaines années comprises entre 2012 et 2016.

On lit, par exemple, que la population française a augmenté de $0,52 \%$ de 2012 à 2013.

1. Calculer le taux d’évolution de la population française de 2013 à 2014.
   $\quad$
2. À combien s’élevait la population française en 2015 ?
   $\quad$
3. Calculer le taux d’évolution global de 2012 à 2016, exprimé en pourcentage.
   $\quad$
4. Vérifier que le taux d’évolution annuel moyen de 2012 à 2016, arrondi au centième, est égal à $0,47 \%$.
   $\quad$
5. En considérant que ce taux reste valide jusqu’en 2020, estimer la population française en 2020.
   $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on admet que la population française augmente de $0,5 \%$ par an à partir de l’année 2012 et jusqu’en 2030. On modélise cette évolution à l’aide d’une suite géométrique notée $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, un représente la population en (2012$+n$), exprimée en million d’habitants.
On a ainsi $u_0 = 65,66$.

1. Préciser la raison de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel n, inférieur ou égal à 18, exprimer un en fonction de $n$.
   $\quad$
3. En déduire, à l’aide de ce modèle, une nouvelle estimation de la population française en 2020.
   $\quad$
4. On souhaite estimer l’année à partir de laquelle la population française dépassera les $70$ millions d’habitants. Pour cela, on considère l’algorithme incomplet ci-dessous :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \hspace{2cm}\text{Algorithme}\\
   \hline
   \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
   \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
   \text{Tant que }U<70\\
   \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
   \hspace{1cm}N\leftarrow N+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Recopier sur la copie et compléter l’algorithme à l’aide des trois instructions suivantes pour qu’après exécution, la variable $N$ contienne le rang de l’année recherchée.
   $\begin{array}{|l|}\hline U\leftarrow U\times 1,005\\\hline\end{array}$ $\qquad$ $\begin{array}{|l|}\hline U\leftarrow 65,66\\\hline\end{array}$ $\qquad$  $\begin{array}{|l|}\hline N\leftarrow 0\\\hline\end{array}$
   $\quad$
   b. Au cours de quelle année la population française dépassera-t-elle $70$ millions d’habitants ?