Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2018

Antilles Guyane – Septembre 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer $p(B\cap D)=0,3\times 0,04=0,012$.
    La probabilité que le hand spinner choisi provienne du fournisseur Betterspin et soit défectueux est égale à $0,012$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(D)&=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D) \\
    &=0,3\times 0,01+0,3\times 0,04+0,4\times 0,02\\
    &=0,023\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_D(C)&=\dfrac{p(D\cap C)}{p(D)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,02}{0,023}\\
    &=\dfrac{8}{23}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude graphique

  1. Une situation de proportionnalité se traduit, graphiquement, par une droite passant par l’origine du repère.
    La courbe $\mathscr{C}_2$ représente donc le chiffre d’affaires.
    $\quad$
  2. Le coût de production de $55$ voitures est environ égale à $400~000$ euros.
    $\quad$
  3. D’après le graphique, il faut produire et vendre $75$ voitures pour réaliser un chiffre d’affaires de $600~000$ euros.
    $\quad$
  4. L’entreprise réalise un bénéfice lorsque la courbe $\mathscr{C}_2$ se trouve au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_1$ c’est-à-dire lorsqu’elle produit et vend entre $40$ et $82$ voitures.
    $\quad$

Partie B : Étude d’une fonction

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;100]$ on a :
    $\begin{align*} R'(x)&=-0,001\times 3x^2+0,07\times 2x+3,36 \\
    &=-0,003 x^2+0,14x+3,36
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. $\Delta=0,14^2-4\times (-0,003)\times 3,36=0,059~92>0$.
    $R'(x)$ possède donc deux racines réelles :
    $x_1=\dfrac{-0,14-\sqrt{0,059~92}}{-0,006}\approx 64,1$ et $x_2=\dfrac{-0,14+\sqrt{0,059~92}}{-0,006}<0$.
    On a $a=-0,003<0$. Par conséquent $R'(x)>0$ sur l’intervalle $\left[0;x_1\right[$, $R’\left(x_1\right)=0$ et $R'(x)<0$ sur l’intervalle $\left]x_1;100\right]$.
    $\quad$
  3. On obtient ainsi le tableau de variation suivant :

    $\quad$
  4. a. Le bénéfice est maximal pour $x=\dfrac{-0,14-\sqrt{0,059~92}}{-0,006} \approx 64$.
    Il faut donc produire et vendre $64$ voitures par jour pour réaliser un bénéfice maximal.
    $\quad$
    b. Le bénéfice est alors d’environ $53~600$ euros.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. Une équation de la droite cherchée est $y=0,144x+81,989$.
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  3. En 2005 on a $x=10$.
    Ainsi $y=0,14\times 10+82=83,4$
    L’espérance de vie d’une Française née en 2005 est donc de $83,4$ ans d’après ce graphique.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Le taux d’évolution de la population française de 2013 à 2014 est :
    $t=\dfrac{66,33-66}{66}=0,5\%$
    $\quad$
  2. Le taux d’évolution de la population française de 2014 à 2015 est de $0,44\%$.
    Ainsi la population française en 2015 était de $66,33\times \left(1+\dfrac{0,44}{100}\right)\approx 66,62$ millions d’habitants.
    $\quad$
  3. Le taux d’évolution global de 2012 à 2016 est :
    $t=\dfrac{66,9-65,66}{65,66}\approx 1,89\%$.
    $\quad$
  4. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel cherché.
    On a ainsi :
    $\begin{align*} 65,66\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=66,9 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=\dfrac{66,9}{65,66} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{1/4}\\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{1/4}-1\\
    &\ssi x=100\left[\left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{1/4}-1\right]
    \end{align*}$
    Ainsi $x\approx 0,47$.
    Le taux d’évolution annuel moyen cherché est donc environ égale à $0,47\%$.
    $\quad$
  5. $66,9\times \left(1+\dfrac{0,47}{100}\right)^4\approx 68,17$
    Selon ce modèle, en 2020, la population française serait de $68,17$ millions d’habitants.
    $\quad$

Partie B

  1. La population française augmente de $0,5\%$ par an.
    La raison de la suite $\left(u_n\right)$ est donc $1+\dfrac{0,5}{100}=1,005$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a alors $u_n=65,66\times 1,005^n$.
    $\quad$
  3. Selon ce nouveau modèle, en 2020, on a $u_8=65,66\times 1,005^8\approx 68,33$.
    La population française serait alors d’environ $68,33$ millions d’habitants en 2020.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    U\leftarrow 65,66\\
    N\leftarrow 0\\
    \text{Tant que } U<70\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow U \times 1,005 \\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 70$
    D’après la calculatrice, on a $u_{12}\approx 69,70$ et $u_{13}\approx 70,06$.
    C’est donc en 2025 que la population française dépassera $70$ millions d’habitants.
    $\quad$

Énoncé

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