Bac STMG – Antilles Guyane – Septembre 2019

Antilles Guyane – Septembre 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On a saisi la formule $=(C2-B2)/B2$.
    Réponse 3
    $\quad$
    b. En 2017, l’indice est $\dfrac{34,6\times 100}{30.9} \approx 112$.
    Réponse 2
    $\quad$
  2. a. La courbe possède un axe de symétrie dont une équation semble être $x=3,5$.
    Réponse 3
    $\quad$
    b. On a $\mu=3,5$
    On $P(X\pp 1)=0,106$. Cela signifie donc que $P(X\pp 3,5-2,5)=0,106$ donc $P(X\pg 6)=P(X\pg 3,5+2,5)=0,106$
    Ainsi $P(3\pp X\pp 6)=1-P(X\pp 1)-P(X\pg 6)=0,788$
    Réponse 4
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. a. D’après l’énoncé on a $P_A(B)=0,55$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre de probabilité suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} P(A\cap B)&=P(A)\times P_A(B)  \\
    &=0,34\times 0,55 \\
    &=0,187\end{align*}$
    La probabilité que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de la journée portes ouvertes et travaillant dans les ateliers est égale à $0,187$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
    &=0,187+0,66\times 0,3 \\
    &=0,385\\
    &>\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Il y a donc plus d’une chance sur trois que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de cette journée.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $f=\dfrac{67}{80}=0,837~5$.
    $\quad$
  2. On a $n=80\pg 30$, $nf=67\pg 5$ et $n(1-f)=13\pg 5$
    Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de visiteurs satisfaits de la journée portes ouvertes est :
    $\begin{align*} I_{80}&=\left[0,837~5-\dfrac{1}{\sqrt{80}};0,837~5+\dfrac{1}{\sqrt{80}}\right] \\
    &\approx [0,725;0,950]\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On veut résoudre, dans l’intervalle $[0;300]$ l’équation $-x^2+45x-20~000=0$.
    $\Delta = 450^2-4\times (-1)\times (-20~000)=122~500>0$
    Les solutions de cette équation sont :
    $x_1=\dfrac{-450-\sqrt{122~500}}{-2}=400 \notin[0;300]$ et $x_2=\dfrac{-450+\sqrt{122~500}}{-2}=50$
    L’unique solution de l’équation $f(x)=0$ dans l’intervalle $[0;300]$ est donc $50$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;300]$ on a $f'(x)=-2x+450$
    $\quad$
    b. $-2x+450=0 \ssi -2x=-450\ssi x=225$
    $-2x+450>0 \ssi -2x>-450 \ssi x<225$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations de la fonction $f$, celle-ci admet un maximum valant $30~0625$ atteint en $225$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la question 1. et le tableau de variations de la fonction $f$, l’entreprise réalise un résultat positif quand elle produit et vend entre $50$ et $300$ tablettes tactiles par semaine.
    $\quad$
  2. Le bénéfice maximal de $30~625$ € est atteint quand l’entreprise fabrique et vend $225$ tablettes tactiles par semaine.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude des connexions à Internet

  1. a. $\dfrac{80,5-65,1}{65,1} \approx 0,237$.
    Le taux d’évolution global, entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s’étant connectées à Internet est environ égal à $23,7\%$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{80,5-78}{78} \approx 0,032$.
    Le taux d’évolution global, entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s’étant connectées à Internet est environ égal à $3,2\%$.
    Il y avait donc nettement moins de personnes connectées à Internet en 2009 qu’en 2015.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen de la part des personnes s’étant connectés à Internet entre les années 2015 et 2017.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2=\dfrac{80,5}{78} &\si 1+\dfrac{x}{100}=\sqrt{\dfrac{80,5}{78}} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\sqrt{\dfrac{80,5}{78}}-1 \\
    &\ssi x=100\left(\sqrt{\dfrac{80,5}{78}}-1\right) \end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 1,6$.
    Le taux d’évolution annuel moyen de la part des personnes s’étant connectées à Internet entre les années 2015 et 2017 est, arrondi au dixième, de $1,6 \%$.
    $\quad$
  3. $80,5\times \left(1+\dfrac{1,6}{100}\right)^3\approx 84,4$.
    La part des personnes qui se connecteront à Internet en 2020 sera environ égale à $84,4\%$.
    $\quad$
  4. Cet algorithme permet de déterminer la première année à partir de laquelle la part des personnes qui se connecteront à Internet sera supérieure à $90\%$.
    On obtient les valeurs suivantes :
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    A& P \\ \hline
    2017& 80,5\\ \hline
    2018& 81,79\\ \hline
    2019& 83,10\\ \hline
    2020& 84,43\\ \hline
    2021& 85,78\\ \hline
    2022& 87,15\\ \hline
    2023& 88,54\\ \hline
    2024& 89,96\\ \hline
    2025& 91,40\\ \hline
    \end{array}$
    C’est donc en 2025 que la part des personnes s’étant connectées à Internet dépassera $90\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice, l’équation cherchée est $y=5,56x+20,56$
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  3. En 2020, on a $x=11$
    Donc $y=5,6\times 11+20,6=82,2$
    Selon ce modèle, la part des personnes qui se connecteront à l’Internet mobile en 2020 sera environ égale à $82,2\%$.
    $\quad$

 

Énoncé

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