Exercice 1

1. a. On a saisi la formule $=(C2-B2)/B2$.
   Réponse 3
   $\quad$
   b. En 2017, l’indice est $\dfrac{34,6\times 100}{30.9} \approx 112$.
   Réponse 2
   $\quad$
2. a. La courbe possède un axe de symétrie dont une équation semble être $x=3,5$.
   Réponse 3
   $\quad$
   b. On a $\mu=3,5$
   On $P(X\pp 1)=0,106$. Cela signifie donc que $P(X\pp 3,5-2,5)=0,106$ donc $P(X\pg 6)=P(X\pg 3,5+2,5)=0,106$
   Ainsi $P(3\pp X\pp 6)=1-P(X\pp 1)-P(X\pg 6)=0,788$
   Réponse 4
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. a. D’après l’énoncé on a $P_A(B)=0,55$.
   $\quad$
   b. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
   
   $\quad$
2. On veut calculer
   $\begin{align*} P(A\cap B)&=P(A)\times P_A(B)  \\
   &=0,34\times 0,55 \\
   &=0,187\end{align*}$
   La probabilité que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de la journée portes ouvertes et travaillant dans les ateliers est égale à $0,187$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales, on a :
   $\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
   &=0,187+0,66\times 0,3 \\
   &=0,385\\
   &>\dfrac{1}{3}\end{align*}$
   Il y a donc plus d’une chance sur trois que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de cette journée.
   $\quad$

Partie B

1. On a $f=\dfrac{67}{80}=0,837~5$.
   $\quad$
2. On a $n=80\pg 30$, $nf=67\pg 5$ et $n(1-f)=13\pg 5$
   Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de visiteurs satisfaits de la journée portes ouvertes est :
   $\begin{align*} I_{80}&=\left[0,837~5-\dfrac{1}{\sqrt{80}};0,837~5+\dfrac{1}{\sqrt{80}}\right] \\
   &\approx [0,725;0,950]\end{align*}$
   $\quad$

 

Exercice 3

Partie A

1. On veut résoudre, dans l’intervalle $[0;300]$ l’équation $-x^2+45x-20~000=0$.
   $\Delta = 450^2-4\times (-1)\times (-20~000)=122~500>0$
   Les solutions de cette équation sont :
   $x_1=\dfrac{-450-\sqrt{122~500}}{-2}=400 \notin[0;300]$ et $x_2=\dfrac{-450+\sqrt{122~500}}{-2}=50$
   L’unique solution de l’équation $f(x)=0$ dans l’intervalle $[0;300]$ est donc $50$.
   $\quad$
2. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;300]$ on a $f'(x)=-2x+450$
   $\quad$
   b. $-2x+450=0 \ssi -2x=-450\ssi x=225$
   $-2x+450>0 \ssi -2x>-450 \ssi x<225$
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   
   $\quad$
   c. D’après le tableau de variations de la fonction $f$, celle-ci admet un maximum valant $30~0625$ atteint en $225$.
   $\quad$

Partie B

1. D’après la question 1. et le tableau de variations de la fonction $f$, l’entreprise réalise un résultat positif quand elle produit et vend entre $50$ et $300$ tablettes tactiles par semaine.
   $\quad$
2. Le bénéfice maximal de $30~625$ € est atteint quand l’entreprise fabrique et vend $225$ tablettes tactiles par semaine.
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A : étude des connexions à Internet

1. a. $\dfrac{80,5-65,1}{65,1} \approx 0,237$.
   Le taux d’évolution global, entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s’étant connectées à Internet est environ égal à $23,7\%$.
   $\quad$
   b. $\dfrac{80,5-78}{78} \approx 0,032$.
   Le taux d’évolution global, entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s’étant connectées à Internet est environ égal à $3,2\%$.
   Il y avait donc nettement moins de personnes connectées à Internet en 2009 qu’en 2015.
   $\quad$
2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen de la part des personnes s’étant connectés à Internet entre les années 2015 et 2017.
   Ainsi :
   $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2=\dfrac{80,5}{78} &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\sqrt{\dfrac{80,5}{78}} \\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=\sqrt{\dfrac{80,5}{78}}-1 \\
   &\ssi x=100\left(\sqrt{\dfrac{80,5}{78}}-1\right) \end{align*}$
   Par conséquent $x\approx 1,6$.
   Le taux d’évolution annuel moyen de la part des personnes s’étant connectées à Internet entre les années 2015 et 2017 est, arrondi au dixième, de $1,6 \%$.
   $\quad$
3. $80,5\times \left(1+\dfrac{1,6}{100}\right)^3\approx 84,4$.
   La part des personnes qui se connecteront à Internet en 2020 sera environ égale à $84,4\%$.
   $\quad$
4. Cet algorithme permet de déterminer la première année à partir de laquelle la part des personnes qui se connecteront à Internet sera supérieure à $90\%$.
   On obtient les valeurs suivantes :
   $\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   A& P \\ \hline
   2017& 80,5\\ \hline
   2018& 81,79\\ \hline
   2019& 83,10\\ \hline
   2020& 84,43\\ \hline
   2021& 85,78\\ \hline
   2022& 87,15\\ \hline
   2023& 88,54\\ \hline
   2024& 89,96\\ \hline
   2025& 91,40\\ \hline
   \end{array}$
   C’est donc en 2025 que la part des personnes s’étant connectées à Internet dépassera $90\%$.
   $\quad$

Partie B

1. D’après la calculatrice, l’équation cherchée est $y=5,56x+20,56$
   $\quad$
2. On obtient le graphique suivant :
   
   $\quad$
3. En 2020, on a $x=11$
   Donc $y=5,6\times 11+20,6=82,2$
   Selon ce modèle, la part des personnes qui se connecteront à l’Internet mobile en 2020 sera environ égale à $82,2\%$.
   $\quad$

 

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer, sur la copie, le numéro de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point.
Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

1. Voici un extrait d’une feuille de calcul qui contient les valeurs ajoutées en milliard d’euros du secteur d’activité de l’agriculture, de la sylviculture et de la pêche entre 2010 et 2017.
   La plage de cellules $C3 : 13$ est au format pourcentage arrondi au dixième.
   a. La formule à saisir dans la cellule $C3$ de la feuille de calcul afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les taux d’évolution annuels des valeurs ajoutées jusqu’en 2017 est :
   ① $=C2-B2/B2$
   ② $=(C2-\$B2)/\$B2$
   ③ $=(C$2-$B2)/B2$
   ④ $=C2/\$B2$-1$$\quad$
   b. On considère que l’indice de référence 100 est attribué à la valeur ajoutée du secteur d’activité de l’agriculture, de la sylviculture et de la pêche en 2013.
   En 2017, l’indice de la valeur ajoutée de ce secteur, arrondi au dixième, vaut :
   ① $89,3$
   ② $112,0$
   ③ $103,7$
   ④ $86,3$
   $\quad$
2. Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart-type $\sigma$.
   La courbe de densité associée à cette loi est représentée ci-dessous :
   a. L’espérance $\mu$ est égale à :① $0,05$
   ② $0,2$
   ③ $3,5$
   ④ $0$
   $\quad$
   b. Sachant que $P(X \leqslant 1) = 0,106$ alors :
   ① $P(X \geqslant 6) = 0,894$
   ② $P(X \leqslant 6) = 0,106$
   ③ $P(X \geqslant 1) = 0,106$
   ④ $P(1 \leqslant X \leqslant 6) = 0,788$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les deux parties sont indépendantes.

Une entreprise est spécialisée dans le capsulage des bouteilles. Les salariés de l’entreprise sont sollicités, via un questionnaire en ligne, pour préparer une journée portes ouvertes. Tous les salariés ont répondu au questionnaire.

PARTIE A

Grâce aux fiches répertoriant les réponses au questionnaire, on sait que:

• $34\% des salariés de l’entreprise travaillent dans les ateliers de production;
• $55\%$ des salariés travaillant dans les ateliers de production acceptent de s’impliquer dans l’organisation de la journée portes ouvertes, ainsi que $30\%$ des salariés travaillant dans les autres secteurs.

On choisit de façon équiprobable une fiche dans la base des réponses.
On définit les évènements suivants:

• $A$ : « la fiche choisie est celle d’un salarié travaillant dans les ateliers de production »;
• $B$ : « la fiche choisie est celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de la
  journée portes ouvertes ».

Pour tout évènement $E$, on note $\conj{E}$ l’évènement contraire de $E$, $P(E)$ la probabilité de $E$ et, si $C$ est un évènement de probabilité non nulle, $P_C(E)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant que $C$ est réalisé.

1. a. Donner la valeur de $P_A(B)$.
   $\quad$
   b. Compléter l’arbre de probabilité donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. Quelle est la probabilité que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de la journée portes ouvertes et travaillant dans les ateliers ?
   $\quad$
3. Peut-on affirmer qu’il y a plus d’une chance sur trois que la fiche choisie soit celle d’un salarié acceptant de s’impliquer dans l’organisation de cette journée ?
   $\quad$

PARTIE B

À l’issue de la journée portes ouvertes, la direction de l’entreprise souhaite estimer la proportion $p$ de visiteurs satisfaits. Pour cela, un groupe de $80$ visiteurs est interrogé. Parmi ceux-ci, $67$ se déclarent satisfaits de la visite.

1. Donner la fréquence $f$ de personnes satisfaites dans ce groupe.
   $\quad$
2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de visiteurs satisfaits de la journée portes ouvertes.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     5 points

PARTIE A

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;300]$ par $$f(x) = -x^2 + 450x-20~000$$
On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0~;~300]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

1. Résoudre dans l’intervalle $[0;300]$ l’équation $f(x) = 0$.
   $\quad$
2. a. Calculer $f'(x)$.
   $\quad$
   b. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;300]$ et dresser son tableau de variation.
   $\quad$
   c. En déduire que la fonction $f$ admet un maximum et préciser en quelle valeur il est atteint.
   $\quad$

PARTIE B

Une entreprise est spécialisée dans la production de tablettes tactiles. Cette entreprise a une capacité de production hebdomadaire pouvant aller jusqu’à $300$ unités.
Pour les valeurs entières de la variable $x$, qui représentent le nombre de tablettes tactiles fabriquées et vendues par semaine, on admet que $f(x)$ représente le résultat, en euro, de cette entreprise.

1. À partir de combien de tablettes tactiles produites et vendues par semaine l’entreprise réalise-t-elle un résultat positif, c’est à dire un bénéfice ?
   $\quad$
2. Déterminer le nombre de tablettes tactiles fabriquées et vendues permettant de réaliser le bénéfice hebdomadaire maximal et calculer la valeur de ce bénéfice.
   $\quad$

Exercice 4     6 points

L’INSEE a conduit une enquête sur l’usage des technologies de l’information et de la communication par les ménages entre 2009 et 2017.

PARTIE A : étude des connexions à Internet

Le tableau ci-dessous fournit les résultats de cette enquête pour les connexions à Internet et présente la part des personnes de plus de 15 ans résidant en France (en pourcentage arrondi au dixième) qui se sont connectées sur une période fixe.
$$\begin{array}{r}\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année} &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\
\hline
\begin{array}{l}
\text{Part des personnes s’étant}\\
\text{connectées à Internet (en} \\
\text{pourcentage)}\end{array}&65,1 &68,2 &71,4 &74,7 &75,3 &77,3 &78 &79,3 &80,5\\ \hline
\end{array}\\
\small{\text{Source: https :/ /www.insee.fr consulté le 15/01/2019}}\end{array}$$

1. a. Calculer le taux d’évolution global, entre les années 2009 et 2017, de la part des personnes s’étant connectées à Internet. On exprimera le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.
   $\quad$
   b. Comparer ce taux à celui de la période 2015-2017.
   $\quad$
2. Montrer que le taux d’évolution annuel moyen de la part des personnes s’étant connectées à Internet entre les années 2015 et 2017 est, arrondi au dixième, de $1,6\%$.
   $\quad$
3. On admet que la part des personnes qui se connecteront à Internet augmentera de $1,6\%$ par an à compter de l’année 2017.
   Estimer alors la part des personnes qui se connecteront à Internet en 2020.
   $\quad$
4. On considère l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   A \gets 2017\\
   P \gets 80,5\\
   \text{Tant que } P < 90\\
   \hspace{1cm}P \gets 1,016 \times P\\
   \hspace{1cm}A \gets A+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Quelle valeur contient la variable $A$ après l’exécution de l’algorithme ?
   Interpréter cette valeur dans le contexte étudié.
   $\quad$

PARTIE B : étude des connexions à l’Internet mobile

Le tableau ci-dessous fournit les résultats de l’enquête de l’INSEE pour les connexions à l’Internet mobile et présente la part des personnes de plus de 15 ans résidant en France (en pourcentage arrondi au dixième) qui se sont connectées sur une période fixe.
$$\begin{array}{r}\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année} &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\
\hline
\text{Rang de l’année: }x_i & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Part en pourcentage : }y_i\\\text{(Internet mobile)}\end{array} & 17,7 &26,4 &28,4 &39,5 &46,5 &53,4 &55,8 &55,1 &62,4\\
\hline\end{array}\\
\small{\text{Source: https :/ /www.insee.fr consulté le 15/01/2019}}\end{array}$$

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ pour $i$ allant de $0$ à $8$ est représenté en annexe.

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
   Les coefficients seront arrondis au centième.
   $\quad$
2. On décide d’ajuster le nuage par la droite $D$ d’équation $y = 5,6x + 20,6$.
   Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
3. Selon le modèle retenu dans la question précédente, estimer la part des personnes qui se connecteront à l’Internet mobile en 2020.
   $\quad$

Annexe

$\quad$