Exercice 1

1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
   $\quad$
2. $F\cap R$ est l’événement “la fiche est celle d’une personne ayant entre 26 et 45 ans et cette personne s’est rendue au restaurant”.
   On a $p(F\cap R)=0,4\times 0,42=0,168$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(R)&=p(E\cap R)+p(F\cap R)+p(G\cap R) \\
   &=0,15\times 0,28+0,4\times 0,42+0,45\times 0,63 \\
   &=0,493~5
   \end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_R(G)&=\dfrac{p(G\cap R)}{p(R)} \\
   &=\dfrac{0,45\times 0,63}{0,493~5} \\
   &=\dfrac{27}{47}\\
   &\approx 0,57
   \end{align*}$
   $\quad$

Exercice 2

1. On obtient le graphique suivant :
   $\quad$
   À l’aide de la calculatrice on trouve $P(X>80) \approx 0,977$
   $\quad$
2. Sur le graphique est représenté la probabilité $P(41 \pp Y \pp 49) \approx 0,955$.
   Il s’agit de la probabilité que la consommation en eau soit comprise entre $41$ L et $49$ L.
   $\quad$
3. On a $n=350$ et $p=0,9$.
   Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est :
   $\begin{align*} I_{350}&=\left[0,9-\dfrac{1}{\sqrt{350}};0,9+\dfrac{1}{\sqrt{350}}\right] \\
   &\approx [0,846;0,954]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{290}{350}\approx 0,829 \notin I_{350}$.
   Ce résultat remet donc en cause, au risque de $5\%$, l’affirmation de la société de conseil.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A : étude d’un premier modèle

1. La calculatrice nous indique qu’une équation réduite de la droite d’ajustement est $y=37,2x+144,8$.
   $\quad$
2. Si $x=0$ alors $y=145$ : le point de coordonnées $(0,145)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
   Si $x=5$ alors $y=330$ : le point de coordonnées $(5;330)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
   $\quad$
3. Si $x=10$ alors $y=370+145=515$.
   Selon ce modèle, on peut espérer $515$ téléchargements à la fin de la semaine de rang $10$.
   $\quad$

Partie B : étude d’un second modèle

1. Le taux d’évolution hebdomadaire entre ces deux dates est $t=\dfrac{1~095-296}{296}\approx 2,7$ soit $270\%$.
   $\quad$
2. Soit $x$ le taux d’évolution hebdomadaire moyen cherché.
   On a ainsi $\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^6=3,7$
   $\ssi 1+\dfrac{x}{100}=3,7^{1/6}$
   $\ssi \dfrac{x}{100}=3,7^{1/6}-1 $
   $\ssi x=100\left(3,7^{1/6}-1\right)
   Par conséquent $x \approx 24,37$
   $\quad$
3. Augmenter un nombre de $24\%$ revient à la multiplier par $1+0,24=1,24$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc : $u_{n+1}=1,24u_n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,24$ et de premier terme $u_0=1~095$.
   $\quad$
4. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=1~095\times 1,24^n$.
   $\quad$
5. La semaine de rang $20$ correspond à $n=10$.
   Ainsi $u_{10}=1~095\times 1,24^{10} \approx 9~410,9$
   Julien peut donc espérer $9~411$ téléchargement cette semaine-ci.
   $\quad$
6. On obtient l’algorithme suivant :
   $\begin{array}{|l|}
   \hline
   N\leftarrow 0 \\
   U\leftarrow 1~095\\
   \text{Tant que } U<20~000\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow 1,24\times U\\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   N\leftarrow 10+N\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. Graphiquement le coût moyen est minimal quand $x=5$.
   Le coût moyen est minimum quand l’entreprise produit $5$ tonnes de plastique.
   $\quad$
2. Le coût moyen minimal est alors environ de $400$ €.
   Le coût total est donc de $5\times 400=2~000$ €.
   $\quad$

Partie B

1. Il faut donc que le coût moyen soit inférieur au prix de vente.
   Graphiquement cela signifie que la quantité (en tonnes) de plastique produite doit appartenir à l’intervalle $[2;9]$.
   $\quad$
2. Le profit est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente unitaire.
   C’est le cas quand l’entreprise produit $6$ tonnes de plastique.
   $\quad$
3. Le coût moyen pour $6$ tonnes de plastique produite est $C_M\approx 450$ €.
   $\quad$
4. Le coût total est alors $C=450\times 6=2~700$ €.
   $\quad$
5. Le prix de vente unitaire est de $700$ €.
   Le profit maximal est alors $P=6\times 700-2~700=1~500$.
   $\quad$

Exercice 1     4 points

A l’issue de la célébration du $500\ieme$ anniversaire de sa ville, le directeur de l’office du tourisme a commandé une enquête visant à estimer les retombées économiques de cette manifestation. Cette enquête a été réalisée auprès de personnes s’y étant rendues. Il en ressort que :

• $15 \%$ des personnes interrogées ont entre 18 et 25 ans ;
• $40 \%$ des personnes interrogées ont entre 26 et 45 ans ;
• $45 \%$ des personnes interrogées ont 46 ans ou plus.

Il a été demandé aux personnes interrogées si elles s’étaient rendues au restaurant lors de cette manifestation. Les réponses sont synthétisées ci-dessous :

• parmi les 18-25 ans, $28 \%$ se sont rendus au restaurant ;
• parmi les 26-45 ans, $42 \%$ se sont rendus au restaurant ;
• parmi les personnes de 46 ans ou plus, $63 \%$ se sont rendues au restaurant.

Ce questionnaire a permis de remplir une fiche par personne interrogée, précisant son âge et indiquant si elle s’est rendue ou non au restaurant.
On choisit de façon équiprobable l’une de ces fiches.
On définit les événements suivants :
$\quad$ $E$ : « la fiche est celle d’une personne ayant entre 18 et 25 ans »
$\quad$ $F$ : « la fiche est celle d’une personne ayant entre 26 et 45 ans »
$\quad$ $G$ : « la fiche est celle d’une personne ayant plus de 46 ans »
$\quad$ $R$ : « la fiche est celle d’une personne s’étant rendue au restaurant »

1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. Définir par une phrase l’événement $F\cap R$. Calculer sa probabilité.
   $\quad$
3. Montrer que la probabilité de l’événement $R$ est égale à $0,493~5$.
   $\quad$
4. Sachant que la fiche choisie est celle d’une personne s’étant rendue au restaurant lors des festivités de 2017, calculer la probabilité que ce soit celle d’une personne ayant plus de 46 ans.
   $\quad$

Annexe :

$\quad$

Exercice 2     4 points

Une entreprise de blanchisserie propose à ses clients d’utiliser sur place ses machines à laver. Conscient des enjeux environnementaux, le gérant s’interroge sur la consommation en eau, par cycle de lavage, de ses machines. Il fait réaliser une étude par une société de conseil spécialisée dans l’accompagnement vers la transition énergétique.

1. Cette étude permet de modéliser la consommation en eau, exprimée en litre, par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $90$ et d’écart type $5$.
   Le graphique figurant en annexe, à rendre avec la copie, représente la courbe de densité de la variable aléatoire $X$.
   Hachurer sur ce graphique le domaine correspondant à l’événement $\lbrace X > 80\rbrace$ et donner la valeur de sa probabilité.
   $\quad$
2. La société de conseil suggère au gérant de remplacer ses machines par de nouvelles, moins énergivores et mieux éco-conçues. Leur consommation en eau, exprimée en litre, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi normale d’espérance $45$ et d’écart type $2$.
   Un graphique en annexe représente la courbe de densité de la variable aléatoire $Y$.
   Interpréter, dans le contexte de l’exercice, l’aire du domaine hachuré et donner sa valeur.
   $\quad$
3. La société de conseil affirme au gérant que $90 \%$ des clients sont sensibles aux questions environnementales.
   Avant de remplacer son parc de machines, le gérant réalise un sondage auprès de $350$ clients.
   Ce sondage révèle alors que, parmi eux, $290$ y sont sensibles. Ce résultat permet-il de remettre en cause l’affirmation de la société de conseil ?
   Argumenter la réponse à l’aide d’un intervalle de fluctuation.
   $\quad$

Annexe :

$\quad$

Exercice 3     7 points

Julien vient de créer une application informatique destinée aux particuliers et permettant l’organisation d’événements. Le 1$\ier$ avril 2018, il envoie une offre de téléchargement de son application à toutes les personnes de son carnet d’adresses.
Chaque semaine, il a relevéle nombre de personnes ayant téléchargé son application. Ses observations sur les cinq premières semaines sont répertoriées dans le tableau ci-dessous. Le rang $0$ correspond à la semaine du 1$\ier$ au 7 avril 2018.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i : \text{ rang de la semaine}&0&1&2&3&4\\
\hline
y_i : \text{ nombre de téléchargements}&150&180&210&260&296\\
\hline
\end{array}$

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : étude d’un premier modèle

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$ est donnée en annexe.

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera les valeurs exactes des deux coefficients.
   $\quad$
2. Julien décide d’ajuster ce nuage par la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y = 37x + 145$.
   Déterminer les coordonnées de deux points de la droite $\mathscr{D}$.
   Représenter la droite $\mathscr{D}$ sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
3. Selon ce modèle, quel est le nombre de téléchargements attendus à la fin de la semaine de rang $10$ ?
   $\quad$

Partie B : étude d’un second modèle

En réalité, le nombre de téléchargements effectués jusqu’à la fin de la semaine de rang $10$ est donné par le tableau ci-dessous.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i : \text{ rang de la semaine}&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
y_i : \text{ nombre de téléchargements}&150&180&210&260&296&370&457&572&698&883&1~095\\
\hline
\end{array}$

1. Justifier que le taux d’évolution global du nombre de téléchargements entre la semaine de rang $4$ et la semaine de rang $10$ est de $270 \%$.
   $\quad$
2. En déduire le taux d’évolution hebdomadaire moyen du nombre de téléchargements entre la semaine de rang $4$ et la semaine de rang $10$.
   $\quad$
   On fait l’hypothèse qu’à partir de la semaine de rang $10$, le taux d’évolution hebdomadaire du nombre de téléchargements est constant et égal à $24 \%$.
   Le nombre de téléchargements hebdomadaires au cours de la semaine de rang $(10 + n)$ est alors modélisé par le terme un d’une suite de premier terme $u_0 = 1~095$.
   $\quad$
3. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et préciser sa raison.
   $\quad$
4. Exprimer un en fonction de l’entier naturel $n$.
   $\quad$
5. Selon ce modèle, combien de téléchargements Julien peut-il espérer lors de la semaine de rang $20$ ?
   $\quad$
6. Un sponsor a contacté Julien, lui proposant une participation financière pour promouvoir son projet à plus grande échelle, dès lors que le nombre de téléchargements hebdomadaires dépassera $20~000$.
   Compléter les deux lignes non renseignées dans l’algorithme donné en annexe, à rendre avec la copie, pour qu’après exécution, la variable $N$ contienne le rang de la semaine à partir de laquelle Julien sera sponsorisé.

Annexes :

Partie A, question 2

Partie B, question 6

$$\begin{array}{|l|}
\hline
N\leftarrow 0\\
U\leftarrow 1~095\\
\text{Tant que} \ldots\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} U\leftarrow 1,24\times U\\
\hspace{1cm} \ldots\ldots\ldots\\
\text{Fin Tant que}\\
N \leftarrow 10+N\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Exercice 4     5 points

Une entreprise est spécialisée dans le recyclage de bouteilles d’eau en plastique.
Elle peut produire chaque jour entre $0$ et $10$ tonnes de plastique qu’elle revend en totalité au prix unitaire de $700$ € la tonne.
On rappelle que le coût moyen correspondant à la production de $x$ tonnes de plastique est défini par $C_M(x)=\dfrac{C_r(x)}{x}$, où $C_r(x)$ est le coût total pour la production de $x$ tonnes de plastique.
Le coût marginal, noté $C_m(x)$, est le coût induit par la production d’une tonne de plastique supplémentaire lorsqu’on a déjà produit $x$ tonnes de plastique.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Sur l’annexe sont tracées les courbes représentant les coûts moyen et marginal (en euro) en fonction de la quantité de plastique produite (en tonne) ainsi que la droite représentant le prix de vente unitaire.
On admet que le coût moyen est minimal lorsqu’il est égal au coût marginal.

1. Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l’entreprise pour que le coût moyen soit minimal.
   $\quad$
2. Déterminer graphiquement ce coût moyen minimal et en déduire le coût total correspondant.
   $\quad$

Partie B

On dit qu’il y a profit lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.
On admet que le profit de l’entreprise est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente unitaire.

1. Pour quelles quantités de plastique produites, l’entreprise réalise-t-elle un profit ? Le résultat sera donné sous la forme d’un intervalle.
   $\quad$
2. Déterminer graphiquement la quantité de plastique que doit produire l’entreprise pour que le profit soit maximal.
   $\quad$
3. Quel est le coût moyen correspondant à cette production ?
   $\quad$
4. En déduire le coût total correspondant.
   $\quad$
5. Calculer le profit total maximal
   $\quad$

Annexe 

$\quad$