Exercice 1

1. En 2022, la population comptera donc $2~375\left(1-\dfrac{5}{100}\right)^4\approx 1~934$ individus.
   Si on arrondit à la dizaine près, on obtient $1~930$ individus.
   Réponse b
   $\quad$
2. On appelle $N$ le nombre d’individus en 2017.
   On a donc $N\times \left(1-\dfrac{5}{100}\right)=2~375$.
   Soit $0,95N=2~375$ et donc $N=\dfrac{2~375}{0,95} =2~500$.
   Réponse c
   $\quad$
3. Dans l’algorithme a. la valeur $0,75\times v$ dans la condition de la boucle “tant que” change pour chaque valeur de $v$. Ce n’est donc pas le bon algorithme.
   Dans l’algorithme c. le test de la boucle “tant que” ne permet pas de l’exécuter puisque $2~375\pg 0,75\times 2~375$.. Ce n’est pas le bon algorithme.
   Dans l’algorithme d. la variable $v$ est modifiée en $v-0,05$. Cela ne correspond pas à une baisse de $5\%$ mais à une diminution de $0,05$ unité. Ce n’est pas le bon algorithme.
   Réponse b
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

Par symétrie, on a $P(\mu-2\pp X\pp \mu)=P(\mu \pp X\pp \mu+X)$.
Donc $P(198\pp X\pp 200)=P(200 \pp X\pp 202)$.
Ainsi $P(198\pp X\pp 202)=2\times 0,34=0,68$.

La probabilité qu’une tablette soit commercialisable est $0,68$.

$\quad$

Partie B

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. On veut calculer $p(A\cap C)=0,4\times 0,68=0,272$.
   La probabilité que la tablette choisie provienne de l’ancienne chaîne et soit commercialisable est $0,272$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(C)&=p(A\cap C)+p(N\cap C) \\
   &=0,4\times 0,68+0,6\times 0,9 \\
   &=0,272+0,54\\
   &=0,812\\
   &>0,8\end{align*}$
   Ainsi, au moins $80\%$ de la production totale de tablettes est commercialisable.
   $\quad$

 

Exercice 3

Partie A

1. On peut saisir la formule $=(C3-C2)/C2$.
   $\quad$
2. Le taux d’évolution global du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015 est :
   $t=\dfrac{2,10-1,6}{1,6}=0,312~5=31,25\%$
   $\quad$
3. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015.
   On a donc :
   $\begin{align*} 1,6\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^3=2,1&\ssi  \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^3=\dfrac{2,1}{1,6}\\
   &\ssi  \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^3=1,312~5 \\
   &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,312~5^{1/3} \\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=1,312~5^{1/3}-1\\
   &\ssi x=100\left(1,312~5^{1/3}-1\right) \end{align*}$
   Ainsi $x\approx 9,5$.
   Le taux d’évolution annuel moyen du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015 est environ égal à $9,5\%$.
   $\quad$

Partie B

1. À l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=0,128x+1,398$.
   $\quad$
2. En 2019 on a $x=9$ donc $y=0,13\times 9+1,40=2,57$.
   Selon cet ajustement il y aura environ $2,57$ millions de visiteurs en 2019 dans ce parc.
   $\quad$
3. On veut résoudre
   $\begin{align*} 0,13x+1,4\pg 2,75 &\ssi 0,13x\pg 1,35 \\
   &\ssi x \pg \dfrac{1,35}{0,13}\end{align*}$
   or $\dfrac{1,35}{0,13} \approx 10,38$
   C’est donc à partir de l’année 2021 que la fréquentation annuelle atteindra au mois $2~750~000$ visiteurs.
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A

1. On a $f(50)=50-15+\dfrac{400}{50}=43$.
   Le coût moyen quotidien pour la production de $50$ m$^3$ d’engrais est de $4~300$ euros.
   $\quad$
2. On veut résoudre :
   $\begin{align*} f(x)\pp 35 &\ssi x-15+\dfrac{400}{x}\pp 35 \\
   x-50+\dfrac{400}{x}\pp 0 \\
   &\ssi \dfrac{x^2-50x+400}{x}\pp 0 \end{align*}$
   Or $x\in[5;60]$ par conséquent $\dfrac{x^2-50x+400}{x}\pp 0  \ssi x^2-50x+400\pp 0$.
   On a $\Delta = (-50)^2-4\times 1\times 400=900>0$.
   Le polynôme du second degré possède donc deux racines où $a=1$, $b=-50$ et $c=400$ :
   $x_1=\dfrac{50-\sqrt{900}}{2}=10$ et $x_2=\dfrac{50+\sqrt{900}}{2}=40$.
   Puisque $a=1>0$ alors le polynôme est négatif entre les racines.
   Ainsi il faut fabriquer entre $10$ m$^3$ et $40$ m$^3$ d’engrais pour avoir un coût moyen quotidien de production inférieur ou égal à $3~500$ €.
   $\quad$
   Remarque : on retrouve cette information sur le graphique en traçant la droite d’équation $y=35$ et en cherchant les points d’intersection de cette droite avec la courbe $C_f$.
   $\quad$

Partie B

1. Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[5;60]$ on a :
   $f'(x)=1+400\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=1-\dfrac{400}{x^2}=\dfrac{x^2-400}{x^2}$.
   $\quad$
2. On a : $x^2-400=x^2-20^2=(x-20)(x+20)$.
   Sur l’intervalle $[5;60]$ on a $x+20>0$.
   Le signe de $x^2-400$ ne dépend donc que de celui de $x-20$.
   Or $x-20=0 \ssi x=20$ et $x-20>0 \ssi x>20$.
   Par conséquent :
   – $x^2-400 <0$ sur l’intervalle $[5;20]$;
   – $x^2-400=0$ si $x=20$;
   – $x^2-400>0$ sur l’intervalle $[20;60]$.
   $\quad$
3. Pour tout nombre $x$ appartenant à l’intervalle $[5,60]$ on a $x^2>0$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-400$.
   Ainsi, d’après la question précédente, la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[5;20]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[20;60]$.
   $\quad$
4. La fonction $f$ atteint son minimum en $20$ et $f(20)=25$.
   Le coût moyen quotidien de production est minimal quand l’entreprise fabrique $20$ m$^3$ d’engrais et vaut $2~500$ euros.
   $\quad$

 

 

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer, sur la copie, le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
La réponse correcte à chacune des questions 1 et 2 rapporte un point et la réponse correcte à la question 3 rapporte 2 points.
Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Un zoologiste étudie l’évolution de la population d’une espèce animale dans un secteur géographique délimité. Il a observé depuis 2010 que cette population diminue chaque année en moyenne de $5\%$.
Le 1$\ier$ mars 2018, la population compte $2~375$ individus.
Le zoologiste émet l’hypothèse que cette baisse annuelle de $5\%$ va se poursuivre jusqu’en 2025.

1. Le nombre d’individus de la population au 1$\ier$ mars 2022 est estimé, à la dizaine près, à :
   a. $1~840$
   b. $1~930$
   c. $2~040$
   d. $2~890$
   $\quad$
2. Le nombre d’individus au 1$\ier$ mars 2017 était de :
   a. $2~300$
   b. $2~400$
   c. $2~500$
   d. $2~600$
   $\quad$
3. Le zoologiste souhaite connaître l’année à partir de laquelle la population aura diminué de plus de $25 \%$ par rapport à sa valeur de 2018.
   Parmi les quatre algorithmes suivants, celui pour lequel le contenu de la variable $n$ fournit, après exécution, l’information souhaitée est :
   $$\begin{array}{clccl}
   \textbf{a.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pg 0,75\times v\phantom{~375}\\ \hspace{1cm} v \leftarrow v-0,05v\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array}&\phantom{aaaa}&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pg 0,75\times 2~375\\ \hspace{1cm} v \leftarrow 0,95v\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array} \\
   \\
   \textbf{c.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pp 0,75\times 2~375\\ \hspace{1cm} v \leftarrow v-0,05v\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array}&\phantom{aaaa}&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|} \hline n\leftarrow 2~018\\v\leftarrow 2~375\\\text{Tant que }v \pg 0,75\times 2~375\\ \hspace{1cm} v \leftarrow v-0,05\\\hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\\text{Fin Tant que}\\ \hline\end{array} \end{array}$$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Une entreprise artisanale fabrique des tablettes de chocolat pâtissier pesant en moyenne $200$ grammes.
Pour être commercialisable, une tablette doit peser entre $198$ et $202$ grammes.
Un contrôle de masse est effectué sur les tablettes fabriquées.
Celles qui ne sont pas commercialisables sont alors refondues.

PARTIE A

On modélise la masse d’une tablette (exprimée en gramme) par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu = 200$.
On sait que $P(198 \pp X \pp 200) = 0,34$.
Calculer la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.
$\quad$

PARTIE B
Afin d’améliorer la proportion de tablettes de chocolat commercialisables, le fabricant met en place une nouvelle chaîne de production.
L’ancienne chaîne ne prend désormais en charge que $40 \%$ de la production totale.
A l’issue de la fabrication, un nouveau contrôle de masse est effecté.

• Parmi les tablettes produites par l’ancienne chaîne, $68 \%$ sont commercialisables.
• Parmi les tablettes produites par la nouvelle chaîne, $90 \%$ sont commercialisables.

On choisit, de façon équiprobable, une tablette dans l’ensemble de la production.
On note :

$\qquad$ $A$ l’événement : “la tablette choisie est produite par l’ancienne chaîne” ;
$\qquad$ $N$ l’événement : “la tablette choisie est produite par la nouvelle chaîne” ;
$\qquad$ $C$ l’événement : “la tablette choisie est commercialisable”.

1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
2.  Calculer la probabilité que la tablette choisie provienne de l’ancienne chaîne et soit commercialisable.
   $\quad$
3. Peut-on affirmer qu’au moins $80 \%$ de la production totale de tablettes est commercialisable ?
   Expliciter la démarche utilisée.
   $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 3     6 points

Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille automatisée de calcul, donne l’évolution de la fréquentation annuelle d’un parc de loisirs entre 2010 et 2017.
La plage de cellules $C4:I4$ est au format pourcentage, arrondi au centième.

Partie A

1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule $C4$, permet d’obtenir par recopie vers la droite les taux d’évolution annuels successifs de la ligne 4.
   $\quad$
2. Calculer, au centième près, le taux d’évolution global du nombre de visiteurs du parc entre les années 2012 et 2015.
   $\quad$
3. Calculer le taux d’évolution annuel moyen du nombre de visiteurs du parc entre 2012 et 2015. On donnera le résultat en pourcentage et arrondi au dixième.
   $\quad$

Partie B

On considère le nuage des points dont les coordonnées $\left(x_i
; y_i\right)$ figurent dans le tableau, de 2010 à 2017.

1. Pour ce nuage de points, donner une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième.

Pour la suite de l’exercice, on prendra comme droite d’ajustement la droite d’équation : $$y=0,13x+1,40$$

2. Donner, à l’aide de cet ajustement, une estimation du nombre de visiteurs du parc de loisirs pour l’année 2019.
   $\quad$
3. Grâce à ce modèle, estimer l’année à partir de laquelle la fréquentation annuelle atteindra au moins $2~750~000$ visiteurs.
   Présenter la démarche utilisée.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Une entreprise fabrique un engrais biologique liquide.
Chaque jour, le volume d’engrais liquide fabriqué est compris entre $5$ m$^3$ et $60$ m$^3$.
Le coût moyen quotidien de production (exprimé en centaine d’euros) de cet engrais est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[5 ; 60]$ par : $$f(x)=x-15+\dfrac{400}{x}$$ où $x$ est le volume quotidien d’engrais fabriqué, exprimé en m$^3$.
La représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$ est donnée dans le repère ci-dessous :

Partie B

1. Quel est le coût moyen quotidien pour la production de $50$ m$^3$ d’engrais ?
   $\quad$
2. Quels volumes d’engrais faut-il fabriquer pour avoir un coût moyen quotidien de production inférieur ou égal à $3~500$ € ?
   $\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[5 ; 60]$. On note $f’$ sa fonction dérivée.

1. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[5 ; 60]$, $f'(x) = \dfrac{x^2-400}{x^2}$.
   $\quad$
2. Etudier le signe de $x^2-400$, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[5 ; 60]$.
   $\quad$
3. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle $[5 ; 60]$.
   $\quad$
4. Pour quel volume d’engrais fabriqué le coût moyen quotidien de production est-il minimal ?
   Quel est ce coût moyen minimal ?
   $\quad$