Exercice 1

1. $\quad$
   
2. On veut calculer $p(R\cap I)=0,824\times 0,569 = 0,468~856 \approx 0,469$
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(I)&=p(R \cap I)+p(S\cap I)+p(V\cap I) \\
   &=0,824\times 0,569+0,094\times 0,579+0,082\times 0,483 \\
   &=0,562~888\\
   &\approx 0,563
   \end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_I(R)&=\dfrac{p(I\cap R)}{p(I)} \\
   &\approx\dfrac{0,469}{0,563} \\
   &\approx 0,833
   \end{align*}$

$\quad$

 

Exercice 2

Partie A

1. Le taux d’évolution global du SMIC entre 2011 et 2015 est :
   $\dfrac{9,61-9}{9}\approx 6,8\%$
   Réponse b$\quad$
2. On appelle $t$ le taux d’évolution moyen annuel du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015.
   On a alors :
   $\begin{align*} \left(1+\dfrac{t}{100 }\right)^4=1,068 &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=1,068^{\frac{1}{4}} \\
   &\ssi \dfrac{t}{100}=1,068^{\frac{1}{4}}-1\\
   &\ssi t=100\left(1,068^{\frac{1}{4}}-1\right) \\
   &\ssi t\approx 1,7
   \end{align*}$
   Réponse b
   $\quad$
3. On peut saisir la formule $=(C2-B2)/B2$
   Réponse c
   $\quad$

Partie B

1. D’après la calculatrice $p(50 \pp X\pp 70) \approx 0,954$
   Réponse c
   $\quad$
2. $p(X \pg 65)=1-p(X \pp 65) \approx 0,159$
   Réponse b
   $\quad$

Exercice 3

Partie A : Étude du coût total

1. $C(0)=1~000$
   Les coûts fixes s’élèvent à $1~000$ euros.
   $\quad$
2. a. Graphiquement, on lit que le coût total lorsque l’entreprise produit $6$ km de tissu est d’environ $2~000$ euros.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*}
   C(6)&=15\times 6^3-120 \times 6^2+350\times 6+1~000\\
   &=2~020
   \end{align*}$
   La valeur exacte est donc de $2~020$ euros.
   $\quad$
3. Graphiquement un coût total de $5~500$ euros correspond à une production d’environ $9$ km de tissu.
   $\quad$

Partie B : Étude  du bénéfice

1. Pour tout nombre $x\in[0;10]$ on a $R(x)=530x$.
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*}
   B(x)&=R(x)-C(x)\\
   &=530x-15x^3+120x^2-350x-1~000\\
   &=-15x^3+120x^2+180x-1~000
   \end{align*}$
   $\quad$
3. $\quad$
   $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180\\
   &=-45x^2+240x+180
   \end{align*}$
   $\quad$
4. $B'(x)$ est un polynôme du second degré avec $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
   $\begin{align*} \Delta&=b^2-4ac\\
   &=240^2-4\times (-45)\times 180 \\
   &=90~000\\
   &>0
   \end{align*}$
   Il y a donc deux racines réelles :
   $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-2\times 45}=6$
   $x_2=\dfrac{-240+\sqrt{90~000}}{-2\times 45}=-\dfrac{2}{3}$
   Puisque $a=-45<0$, $B'(x)$ est positif entre les racines et négatif en dehors.
   Par conséquent $B'(x) \pg 0$ sur l’intervalle $[0;6]$ et $B'(x) \pp 0$ sur l’intervalle $[6;20]$.
   $\quad$
   Ainsi la fonction $B$ est croissante sur l’intervalle $[0;6]$ et décroissante sur l’intervalle $[6;20]$.
   $\quad$
5. a. et b. La fonction $B$ atteint donc son maximum pour $x=6$.
   $B(6)=1~160$.
   Le bénéfice maximum est atteint quand l’entreprise produit $6$ km de tissus et il est alors de $1~160$ euros.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. Une équation de la droite est $y=150,65x+2~218,33$
   $\quad$
2. a. La droite passe par les points de coordonnées $(0;2~218,3)$ et $(10;3~725,3)$.
   
   b. En 2020 $x=10$ donc $y=150,7\times 9+2~218,3=3~574,6$
   Au 1er janvier 2020, le prix moyen d’un tonne de cacao en provenance de la Côte d’Ivoire devrait être $3~574,6$ dollars.
   $\quad$

Partie B

1. On a $u_0=3~081,45$
   Par conséquent $u_1=1,04\times u_0\approx 3~204,71$
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,04u_n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$.
   $\quad$
3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=3~081,45\times 1,04^n$.
   $\quad$
4. En $2020$ on a $n=5$
   $u_5=3~081,45\times 1,04^5\approx 3~749,06$.
   En 2020, une tonne de cacao devrait coûter $3~749,06$ dollars.
   $\quad$
5. L’algorithme affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 4~000$.
   On a $u_6\approx 3~899,02$ et $u_7\approx 4~054,98$.
   Cela signifie donc que c’est en 2020 que le prix moyen d’une tonne de cacao dépassera $4~000$ dollars.
   $\quad$

Exercice 1    4 points

Selon l’INSEE (Institut national de la statistique et des études économiques), en 2015 :

• $82,4\%$ des logements en France sont des résidences principales ;
• $9,4\%$ des logements en France sont des résidences secondaires ou occasionnelles;
• $8,2\%$ des logements en France sont vacants.

Chaque logement peut être une maison individuelle ou un logement dans un immeuble collectif.

• Parmi les résidences principales, $56,9\%$ sont des maisons individuelles.
• Parmi les résidences secondaires ou occasionnelles, $57,9\%$ sont des maisons individuelles.
• Parmi les logements vacants, $48,3\%$ sont des maisons individuelles.

On choisit un logement au hasard et on note:

• $R$ l’événement “le logement est une résidence principale” ;
• $S$ l’événement “le logement est une résidence secondaire ou occasionnelle” ;
• $V$ l’événement “le logement est vacant” ;
• $M$ l’événement “le logement est une maison individuelle” ;
• $I$ l’événement “le logement est dans un immeuble collectif”.

Dans la suite de l’exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.

1. En utilisant les données de l’énoncé, compléter l’arbre pondéré donné en annexe.
   $\quad$
2. Quelle est la probabilité de l’événement “le logement est une maison individuelle et une résidence principale” ?
   $\quad$
3. Montrer que la probabilité, arrondie au millième, pour que le logement soit une maison individuelle est égale à $0,563$.
   $\quad$
4. Calculer la probabilité que le logement soit une résidence principale sachant qu’il s’agit d’une maison individuelle.
   $\quad$

Annexe :

$\quad$

Exercice 2    5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Les deux parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, traduit l’évolution du SMIC (Salaire minimal interprofessionnel de croissance) horaire brut en euro entre 2011 et 2015.
Il indique également les taux d’évolution annuels arrondis à $0,1\%$.

1. Le taux d’évolution global du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à $0,1\%$, est de :
   a. $6,0\%$
   b. $6,8\%$
   c. $7,0\%$
   d. $-6,3\%$
   $\quad$
2. Le taux d’évolution moyen annuel du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à $0,1\%$, est de:
   a. $1,1\%$
   b. $1,7\% $
   c. $0,7\%$
   d. $-1,7\%$
   $\quad$
3. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $C3$ pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d’évolution d’une année à l’autre ? La plage de cellules $C3:F3$ est au format pourcentage arrondi à $0,1\%$.
   a. $=(C2-B2)/C2$
   b. $=(C2-B\$2)/C2$
   c. $=(C2-B2)/B2$
   d. $=(C2-\$B\$2)/B2 $
   $\quad$

Partie B

On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $60$ et d’écart type $5$.

1. La probabilité $p(50\pp X\pp 70)$ arrondie à $0,01$ est égale à :
   a. $0,60$
   b. $0,68$
   c. $0,95$
   d. $0,99$
   $\quad$
2. La probabilité $p(X \pg 65)$ arrondie à $0,01$ est égale à :
   a. $0,05$
   b. $0,16$
   c. $0,50$
   d. $0,80$
   $\quad$

Exercice 3    5 points

Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de $1$ mètre de large; on note $x$ sa longueur exprimée en kilomètre, $x$ étant un nombre compris entre $0$ et $10$.
Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de $x$, par : $$C(x) = 15x^3-120x^2+350x+1~000$$

La courbe de la fonction $C$ est représentée sur le graphique ci-dessous.

 

Partie A : Étude du coût total

1. Déterminer le montant des coûts fixes.
   $\quad$
2. a. Déterminer, par lecture graphique, le montant du coût total lorsque l’entreprise produit $6$ km de tissu.
   $\quad$
   b. Déterminer par un calcul sa valeur exacte.
   $\quad$
3. Déterminer graphiquement la longueur, arrondie au kilomètre, de tissu produit lorsque le coût total s’élève à $5~500$ € .
   $\quad$

Partie B : Étude du bénéfice

Le cours du marché offre un prix de $530$ € le kilomètre de tissu fabriqué par l’entreprise.
Pour tout $x \in [0;10]$, on note $R(x)$ la recette et $B(x)$ le bénéfice générés par la production et la vente de $x$ kilomètres de tissu par l’entreprise.

1. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
   $\quad$
2. Montrer que pour tout $x\in [0;10]$, $B(x) = -15x^3+120x^2+180x-1~000$.
   $\quad$
3. Déterminer $B'(x)$ pour $x \in [0;10]$ où $B’$ désigne la fonction dérivée de $B$.
   $\quad$
4. Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de la fonction $B$ sur $ [0;10]$.
5. a. Pour quelle longueur de tissu produit et vendu l’entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ?
   $\quad$
   b. Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal.
   $\quad$

Exercice 4    6 points

Le tableau suivant donne le prix moyen en dollar US de la tonne du cacao en provenance de la Côte d’Ivoire au $1\ier$ janvier des années 2011 à 2015.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année} & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015\\
\hline
\text{Rang de l’année: } x_i& 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Prix (en dollar) d’une}\\ \text{ tonne de cacao: } y_i\end{array}& 2~589,70 & 2~324,85 & 2~507,55 & 2~847,85 & 3~081,45\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{12cm}\text{Source: INSEE}$
$\quad$

Partie A

Le nuage de points de coordonnées $(x_i;y_i)$, pour $i$ variant de $1$ à $5$, est représenté en annexe.

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.
   $\quad$
2. On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d’équation: $$y = 150,7x + 2~218,3.$$
   a. Tracer la droite $D$ sur le graphique de l’annexe.
   $\quad$
   b. À l’aide de ce modèle d’ajustement, donner une estimation du prix moyen d’une tonne de cacao en provenance de la Côte d’Ivoire au $1\ier$ janvier 2020.
   $\quad$

Partie B

On suppose que le prix moyen d’une tonne de cacao en provenance de la Côte d’Ivoire augmente de $4\%$ par an à partir du $1\ier$ janvier 2015. On note $u_n$ le prix moyen d’une tonne de cacao, exprimé en dollar, au $1\ier$ janvier de l’année $2015+n$.

1. En utilisant le tableau précédent, donner $u_0$ puis calculer $u_1$ arrondi au centième.
   $\quad$
2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison.
   $\quad$
3. Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
4. En déduire une estimation, arrondie au centième, du prix moyen d’une tonne de cacao en provenance de la Côte d’Ivoire au $1\ier$ janvier 2020.
   $\quad$
5. On considère l’algorithme suivant:
   VARIABLES
   $\quad$ $n$ est un nombre entier
   $\quad$ $u$ et $k$ sont des nombres réels
   TRAITEMENT
   $\quad$ Saisir $k$
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   $\quad$ $u$ prend la valeur $3~081,45$
   $\quad$ Tant que $u < k$
   $\quad$ Faire
   $\qquad$$u$ prend la valeur $1,04\times u$
   $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\quad$ Fin Tant que
   $\quad$ Afficher $n$
   $\quad$
   Si l’on choisit $k = 4~000$, quelle valeur affichera cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte étudié.$\quad$

Annexe