Bac STMG – Métropole – Juin 2018

Métropole – Juin 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
  2. $A\cap \conj{B}$ correspond à l’événement “l’INE est celui d’un étudiant inscrit dans un établissement d’Île-de-France qui n’est pas inscrit dans une université”.
    $\quad$
    $P\left(A\cap \conj{B}\right)=0,26\times 0,49=0,127~4$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
    &=0,26\times 0,51+0,74\times 0,62 \\
    &=0,132~6+0,458~8 \\
    &=0,591~4
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} p_B(A)&=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,132~6}{0,591~4} \\
    &\approx 0,22
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{1}{5}=0,2$ et $\dfrac{1}{4}=0,25$.
    On a bien $\dfrac{1}{5} < p_B(A)<\dfrac{1}{4}$.
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Le coefficient multiplicateur associé à l’évolution globale est
    $C=1,22\times (1-0,2)=1,22\times 0,8=0,976$.
    $1-0,976=0,024$.
    Il s’agit donc d’une baisse de $2,4\%$
    Réponse c
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} p(4,4 \pp X \pp 5)&=p(X< 5)-p(X < 4,4)\\
    &=0,5-p(X<4,4) \\
    &=0,5-\left(1-p(X>4,4\right) \\
    &=p(X>4,4)-0,5
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. (i) $f'(2)$ correspond au coefficient directeur de la droite $(AB)$.
    Donc $f'(2)=\dfrac{4-(-4)}{2-0}=4$
    Réponse a
    $\quad$
    (ii) La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[-\dfrac{2}{3};4\right]$.
    Donc $f'(x) \pg 0$ sur l’intervalle $\left[-\dfrac{2}{3};4\right]$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. (i) $g'(x)=2\times 3x^2-9\times 2x-24 = 6x^2-18x-24$.
    Réponse c
    $\quad$
    (ii) En traçant la courbe représentative de la fonction $g$ à l’aide de la calculatrice on trouve que le minimum est $-80$.
    Réponse c
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Une équation de la droite d’ajustement est $y=-2,57x+145,96$.
    $\quad$
  2. On obtient le graphique suivant :
  3. On veut qu’en 2030, la consommation en énergie primaire d’origine fossile soit de $128\times 0,7=89,67$ Mtep.
    On veut donc résoudre :
    $\begin{align*} -2,6x+146<89,67 &\ssi -2,6x < -56,33 \\
    &\ssi x > \dfrac{56,33}{2,6}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{56,33}{2,6} \approx 21,66$
    C’est donc au cours de la  $22\ieme$ année, soit en 2027 (qui est bien inférieur à 2030), que l’objectif sera atteint.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On peut saisir $=(C2-B2)/B2$
    $\quad$
  2. On a $\dfrac{222,9-169,7}{169,7} \approx 0,31$.
    Donc en $F3$ on peut lire $31\%$
    $\quad$

Partie B

  1. La valeur des encours des investissements socialement responsables augmente tous les ans de $30\%$.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $a_{n+1}=1,3a_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,3$.
    $\quad$
  2. Ainsi $u_n=222,9\times 1,3^n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  3. En 2018, on a $n=4$.
    Ainsi $u_4=222,9\times 1,3^4\approx 636,6$
    La valeur des encours des investissements socialement responsables, au $1\ier$ janvier 2018 est environ de $636,6$ milliards d’euros.
    $\quad$
  4. a. Après exécution de l’algorithme la variable $N$ contient le rang de la première fois où $u_n \pg 1~000$ et $U$ contient la valeur de la suite pour ce rang.
    On a $u_5 \approx 827,6$ et $u_6\approx 1~075,9$
    Donc $N=6$ et $U\approx 1~075,9$.
    $\quad$
    b. C’est donc à partir de 2014$+6$, soit en 2020, que l’encours des investissements socialement responsables sera supérieur à $1~000$ milliards d’euro. Il sera alors d’environ $1~075,9$ milliards d’euros.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1     4 points

Parmi les étudiants de l’enseignement supérieur de France métropolitaine et des DOM, $26 \%$ sont inscrits dans un établissement d’Île-de-France. Parmi ces étudiants inscrits dans un établissement d’Île-de-France, $51 \%$ le sont dans une université.
Parmi les étudiants inscrits en province ou dans les DOM, $62 \%$ sont inscrits dans une université.
Source : Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche et de l’Innovation.

Dans la base recensant l’INE (Identifiant National Étudiant) de chaque étudiant, on choisit de façon équiprobable un identifiant.
On considère les événements suivants :
$\quad$ $A$ : « l’INE est celui d’un étudiant inscrit dans un établissement d’Île-de-France »
$\quad$ $B$ : « l’INE est celui d’un étudiant inscrit dans une université »

  1. Compléter l’arbre de probabilité figurant en annexe, à rendre avec la copie, représentant la situation de l’énoncé.
    $\quad$
  2. Traduire l’événement $A\cap B$ par une phrase et calculer sa probabilité.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’événement $B$ est égale à $0, 591~4$.
    $\quad$
  4. Un responsable du ministère déclare : « Parmi les étudiants inscrits à l’université, moins d’un sur quatre et plus d’un sur cinq sont inscrits dans un établissement d’Île-de-France ».
    Que peut-on penser de cette affirmation ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     6 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour chaque question, indiquer la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse, ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. Une augmentation de $22\%$ suivie d’une baisse de $20\%$ revient à une évolution de :
    a. $+2\%$
    b. $+2,42\%$
    c. $-2,4\%$
    d. $-2\%$
    $\quad$
  2. Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=5$ et d’écart type $\sigma=0,3$.
    On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable $X$.

    La probabilité $p(4,4\pp X\pp5)$ est égale à :
    a. $0,5-p(X>4,4)$
    b. $0,5+p(X>4,4)$
    c. $p(X>4,4)-0,5$
    d. $1-p(X>4,4)$
    $\quad$

  3. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-3;6,5]$ dont la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est donnée ci-dessous. Sur ce graphique figure également la droite $(AB)$ tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A(2;4)$.

    On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-3;6,5]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    i. $f'(2)$ est égal à :
    $\quad$ a. 4
    $\quad$ b. $\dfrac{1}{2}$
    $\quad$ c. $-4$
    $\quad$ d. $2$
    $\quad$
    ii. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f'(x) \pg 0$ est :
    $\quad$ a. $[-2;-2]\cup[1;6]$
    $\quad$ b. $\left[-3;-\dfrac{2}{3}\right] \cup [4;6,5]$
    $\quad$ c. $\left[-\dfrac{2}{3};4\right]$
    $\quad$ d. $[-2;1]\cup[6;6,5]$
    $\quad$

  4. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-2;8]$ par $g(x)=2x^3-9x^2-24x+32$.
    On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;8]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
    i. Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-2;8]$, $g'(x)$ est égal à :
    $\quad$ a. $5x^2-11x-24$
    $\quad$ b. $2x^2-9x-24$
    $\quad$ c. $6x^2-18x-24$
    $\quad$ d. $3x^2-2x-24$
    $\quad$
    ii. Le minimum de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;8]$ est :
    $\quad$ a. $-82$
    $\quad$ b. $4$
    $\quad$ c. $-80$
    $\quad$ d. $-24$
    $\quad$

Exercice 3     4 points

Le tableau ci-dessous donne la consommation d’énergie primaire d’origine fossile (charbon, gaz, pétrole) en France entre 2005 et 2013. Elle s’exprime en million de tonnes équivalent pétrole (Mtep) et est arrondie au dixième.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2005&2006&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013\\
\hline
\text{Rang de l’année : }x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
\text{Consommation d’énergie}&146,0&143,1&141,3&139,7&133,7&135,1&127,1&128,1&126,9\\
\text{primaire d’origine fossile}&&&&&&&&&\\
\text{(en Mtep) : } y_i&&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{4.5cm} Source : http ://www.statistiques.developpement – durable.gouv.fr$$

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$ est donnée en annexe.

  1. Donner l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster le nuage de points par la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y =−2,6x + 146$.
    Tracer la droite $\mathscr{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. La loi de 2015 relative à la transition énergétique fixe à la France l’objectif suivant : avant 2030, réduire de $30 \%$ la consommation en énergie primaire d’origine fossile par rapport à sa valeur en 2012.
    Selon le modèle retenu à la question 2., l’objectif de la loi sera-t-il atteint ? Si oui, au cours de quelle année ? On expliquera la démarche utilisée.

Annexe 

$\quad$

Exercice 4     6 points

Partie A

Le tableau suivant, extrait d’une feuille automatisée de calcul, fournit l’évolution des encours (solde comptable) des Investissements Socialement Responsables (ISR) détenus par les investisseurs français, au 1$\ier$ janvier des années allant de 2010 à 2014. La plage de cellules $C3:F3$ est au format pourcentage arrondi à l’unité.

$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{3.5cm}\textbf{A}&\textbf{B}&\textbf{C}&\textbf{D}&\textbf{E}&\textbf{F}\\
\hline
\textbf{1}&\text{Année}&2010&2011&2012&2013&2014\\
\hline
\textbf{2}&\text{Encours des ISR (en milliard d’euros)}&68,3&115,3&149,0&169,7&222,9\\
\hline
\textbf{3}&\text{Taux d’évolution annuel (en pourcentage)}&\bbox[gray]{\phantom{1+22^2}}&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{12cm}Source : Novethic$$

  1. Choisir parmi les propositions suivantes, la formule à saisir dans la cellule $C3$ d’un tableur afin d’obtenir par recopie vers la droite les taux d’évolution annuels jusqu’en 2014, des encours des investissements socialement responsables :
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|l|}
    \hline
    =(C2-B2)/C2&(C2-\$B\$2)/\$B\$2&=C2/B2&(C2-B2)/B2&=(B2-C2)/C2\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Quelle est la valeur affichée dans la cellule $F3$?
    $\quad$

Partie B

On suppose que la valeur des encours des investissements socialement responsables augmente tous les ans de $30 \%$ ) partir de 2014. On note $u_n$ la valeur des encours des investissements socialement responsables, exprimée en milliard d’euros, au 1$\ier$ janvier de l’année (2014 $+ n$).
On a ainsi $u_0 = 222, 9$.

  1. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
  2. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, un en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. En déduire une estimation de la valeur des encours des investissements socialement responsables, au 1$\ier$ janvier 2018.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{l}
    N\leftarrow 0\\
    U \leftarrow 222,9\\
    \text{Tant que }U<1~000\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U \leftarrow 1,3\times U\\
    \text{Fin Tant que}\end{array}$$
    a. Quelles valeurs contiennent les variables $N$ et $U$ après exécution de cet algorithme ?
    $\quad$
    b. Interpréter ces valeurs dans le contexte étudié.
    $\quad$