Exercice 1

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. On veut calculer $p(B)=p(T\cap B)=0,3\times 0,1=0,03$.
   La probabilité que le touriste gagne un non de réduction de $150$ euros sur un prochain séjour en ville est $0,03$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(L)&=p(P\cap L)+p(T\cap L) \\
   &=0,7\times 0,2+0,3\times 0,9\\
   &=0,14+0,27\\
   &=0,41\end{align*}$
   La probabilité que le touriste gagne un panier de produits locaux est $0,41$.
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_L(T)&=\dfrac{p(L\cap T)}{p(L)} \\
   &=\dfrac{0,27}{0,41}\\
   &=\dfrac{27}{41}
   \end{align*}$
   Sachant qu’un touriste a gagné un panier de produits locaux à la seconde étape de la loterie, la probabilité qu’il ait gagné un tee-shirt lors de la première étape est $\dfrac{27}{41}$.
   $\quad$

Exercice 2

1.  $t=\dfrac{282-229}{229}\approx 0,231~4$
   Le taux d’évolution global de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016 est environ égal à $23\%$.
   $\quad$
2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016.
   Ainsi :
   $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^5=1,23&\ssi  1+\dfrac{x}{100}=\left(1,23\right)^{1/5} \\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(1,23\right)^{1/5}-1 \\
   &\ssi x=100\left(\left(1,23\right)^{1/5}-1\right) \end{align*}$
   Par conséquent $x\approx 4,23$.
   Le le taux d’’évolution annuel moyen de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016 est environ égal à $4,23\%$.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{4,2}{100}\right)u_n$ soit $u_{n+1}=1,042u_n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,042$$.
   $\quad$
4. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=282\times 1,042^n$.
   $\quad$
5. En 2019, on a $n=3$. Or $u_3 \approx 319$.
   En 2019, on peut donc estimer qu’on recyclera environ $319$ milliers de tonnes d’EMPCS.
   $\quad$
6. On peut saisir l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   N\leftarrow 0\\
   U\leftarrow 282\\
   \text{Tant que } U< 564 \\
   \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow U\times 1,042\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$

Exercice 3

1. On veut calculer $P(X>53)=1-P(X\pp 53)=1-0,16=0,84$.
   La probabilité qu’un œuf  ne soit pas classé dans la catégorie “Petit” est $0,84$.
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} P(53\pp X \pp 60)&=P(X\pp 60)-P(X\pp 53) \\
   &=0,5-0,16 \\
   &=0,34 \end{align*}$
   $\quad$
3. On a donc
   $\begin{align*} P(53\pp X \pp 63)&=P(53\pp X \pp 60)+P(60\pp X \pp 63) \\
   &=0,34+0,17 \\
   &=0,51\end{align*}$
   La probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Moyen” est donc $0,51$.
   $\quad$
4. On a :
   $\begin{align*} P(X>73)&=1-P(X\pp 73) \\
   &=1-(0,5+0,17+0,3) \\
   &=0,03\end{align*}$
   La probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Très gros” est $0,03$.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A : étude du chiffre d’affaires du e-commerce

1. D’après la calculatrice, une équation de la droite cherchée est $y=7,31x+27,99$.
   $\quad$
2. On obtient le graphique suivant :
   
   $\quad$
3. En 2026 on a $x=16$
   Donc $y=7,3\times 20+28=144,8$
   Le chiffre d’affaires du e-commerce sera d’environ $144,8$ milliards d’euros en 2026.
   $\quad$

Partie B : étude du chiffre d’affaires du m-commerce

1. a. On a $\dfrac{16,8}{81,7} \approx 0,2056 \approx 0,21$
   Le chiffre d’affaires du m-commerce représentait donc environ $21\%$ du chiffre d’affaires du e-commerce en 2017.
   $\quad$
   b. $0,4\times \left(1+\dfrac{41}{100}\right)=0,4\times 1,41=0,564 \neq 16,8$.
   Le chiffre d’affaires du m-commerce a donc augmenté de plus de $41\%$ entre 2011 et 2017. L’affirmation est fausse.
   $\quad$
2. En 2026, on a $x=16$ et $f(16)=110,1$
   Or $\dfrac{110,1}{144,8} \approx 0,76 > 0,7$
   L’affirmation st donc pertinente au regard des deux modèles proposés.
   $\quad$

 

Exercice 1     4 points

L’office de tourisme d’une ville souhaite fidéliser ses touristes. Pour cela, il organise une loterie dont les lots sont de plusieurs types : porte-clefs aux couleurs de la ville, tee-shirt de l’office du tourisme, stylo, panier de produits locaux, bon de réduction de $150$ €  sur un prochain séjour en ville.

Cette loterie se pratique sur une borne tactile et se déroule en deux étapes.

À chaque étape il s’agit de choisir une case parmi les dix qui s’affichent sur l’écran de la borne.

Première étape :
le touriste a sept chances sur dix de gagner un porte-clefs aux couleurs de la ville et trois chances sur dix de gagner un tee-shirt de l’office du tourisme.

Seconde étape :

• si le touriste a gagné un porte-clefs, il a huit chances sur dix de gagner un stylo aux couleurs de la ville et deux chances sur dix de gagner un panier de produits locaux ;
• si le touriste a gagné un tee-shirt de l’office du tourisme, il a neuf chances sur dix de gagner un panier de produits locaux et une chance sur dix de gagner un bon de réduction de $150$ sur un prochain séjour en ville.

On définit les événements suivants :
$\quad$ $P$ : éle premier lot est un porte-clefs” et $T$ : “le premier lot est un tee-shirt” ;
$\quad$ $S$ : “le second lot est un stylo” ;
$\quad$ $L$ : “le second lot est un panier de produit locaux” ;
$\quad$ $B$ : “le second lot est un bon de réduction de $150$ euros sur un prochain séjour en ville”.

1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que le touriste gagne un bon de réduction de $150$ euros sur un prochain séjour en ville.
   $\quad$
3. Calculer la probabilité que le touriste gagne un panier de produits locaux.
   $\quad$
4. Sachant qu’un touriste a gagné un panier de produits locaux à la seconde étape de la loterie, calculer la probabilité qu’il ait gagné un tee-shirt lors de la première étape.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     5 points

On s’intéresse au recyclage des emballages ménagers en plastique issus de la collecte sélective (EMPCS).
Le tableau ci-dessous donne l’évolution de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016. Cette masse est exprimée en millier de tonnes et arrondie au millier de tonnes.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2011&212&2013&2014&2015&2016\\
\hline
\text{Masse d’EMPCS recyclés}&229&243&250&256&266&282\\
\hline
\end{array}\\
\small{\textit{Source : http ://www.statistiques.developpement-durable.gouv.fr, consulté le 21/01/2019}}$$

1. Justifier que le taux d’évolution global de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016, exprimé
   en pourcentage et arrondi à l’unité, est de $23 \%$.
   $\quad$
2. En déduire le taux d’évolution annuel moyen de la masse d’EMPCS recyclés entre 2011 et 2016.

On fait l’hypothèse qu’à partir de 2016, le taux d’évolution annuel de la masse d’EMPCS recyclés est constant et égal à $4,2 \%$.

La masse d’EMPCS recyclés au cours de l’année (2016 $+ n$), exprimée en millier de tonnes, est modélisée par le terme de rang $n$ d’une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 282$.

3. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
   $\quad$
4. Exprimer $u_n$ en fonction de l’entier $n$.
   $\quad$
5. En déduire une estimation de la masse d’EMPCS recyclés en 2019.
   $\quad$
6. On souhaite calculer le rang de l’année à partir de laquelle la masse d’EMPCS recyclés aura doublé
   par rapport à l’année 2016.
   Compléter l’algorithme donné en annexe, à rendre avec la copie, afin qu’après exécution, la variable $N$ contienne la valeur recherchée.
   $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|l|}
\hline
N\leftarrow 0\\
U\leftarrow 282\\
\text{Tant que }U\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
\hspace{1cm} U\leftarrow \phantom{.}\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Les œufs de poule sont classés en quatre catégories :

• “Petit”, si la masse est inférieure à $53$ g ;
• “Moyen”,  si la masse est comprise entre $53$ g et $63$ g ;
• “Gros”, si la masse est comprise entre $63$ g et $73$ g ;
• “Très gros”, si la masse est supérieure à $73$ g.

On admet que la masse d’un œuf de poule peut-être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d’espérance $60$ g. On donne ci-dessous la courbe de densité associée à cette loi, sur laquelle on a indiqué les probabilités $P(X \pp 53) = 0,16$, $P(60 \pp X \pp 63) = 0,17$ et $P(63 \pp X \pp 73) = 0,3$.

1. Calculer la probabilité qu’un œuf ne soit pas classé dans la catégorie “Petit”.
   $\quad$
2. Justifier que la probabilité $P(53 \pp X \pp 60)$ est égale à $0,34$.
   $\quad$
3. En déduire la probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Moyen”.
   $\quad$
4. Calculer la probabilité qu’un œuf soit classé dans la catégorie “Très gros”.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

D’après une étude de la Fédération E-commerce et Vente A Distance (FEVAD), le secteur du commerce en ligne (e-commerce) est en pleine croissance, notamment grâce à la percée des ventes sur terminaux mobiles, tablettes ou smartphones (m-commerce).

Partie A : étude du chiffre d’affaires du e-commerce

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d’affaires du e-commerce entre 2011 et 2017. Il s’exprime en milliard d’euros et est arrondi au dixième.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ Année}&2011&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\
\hline
\text{ Rang de l’année : }x_i&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
\small{\begin{array}{l}\text{Chiffre d’affaires du e-commerce }\\\text{(en milliard d’euros ): } y_i\end{array}}&36,5&43,6&49,5&55,0&62,9&71,5&81,7\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{7cm} \small{\textit{Source : FEVAD, les chiffres clés 2018}}$$

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$ est donnée en annexe, à
rendre avec la copie.

1. Donner l’équation réduite de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
   $\quad$
2. On décide d’ajuster le nuage de points par la droite $D$ d’équation $y = 7,3x + 28$.
   Tracer la droite $D$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
   3. D’après ce modèle, que l’on admet valide jusqu’en 2030, quel chiffre d’affaires du e-commerce peut-on prévoir en France pour l’année 2026 ?
   $\quad$

Partie B : étude du chiffre d’affaires du m-commerce

Le m-commerce regroupe l’ensemble des transactions commerciales réalisées sur terminaux mobiles (tablettes ou smartphones).
On se propose d’étudier l’évolution de la part du chiffre d’affaires du m-commerce dans celui du e-commerce à partir de l’année 2011.
Le tableau suivant est extrait d’une feuille automatisée de calcul.

$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{2cm}\text{A}\hspace{2cm}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}\\
\hline
1&\text{ Année}&2011&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\
\hline
2&\small{\begin{array}{l}\text{Chiffre d’affaires du e-commerce}\\\text{(en milliard d’euros)}\end{array}}&36,5&43,6&49,5&55,0&62,9&71,5&81,7\\
\hline
3&\small{\begin{array}{l}\text{Chiffre d’affaires du m-commerce}\\\text{(en milliard d’euros)}\end{array}}&0,4&1,0&2,2&4,5&7,0&11,2&16,8\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{7cm} \text{Source : FEVAD, les chiffres clés 2018}$$

1. a. Vérifier qu’en 2017 le chiffre d’affaires du m-commerce représentait environ $21 \%$ du chiffre
   d’affaires du e-commerce.
   $\quad$
   b. Est-il vrai que le chiffre d’affaires du m-commerce a augmenté de $41 \%$ entre 2011 et 2017 ?
   $\quad$
2. Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1; 20]$ par : $$f(x) = 0, 5x^2-1,2x+1,3$$
   Pour les valeurs entières de $x$ comprises entre $1$ et $20$, on admet que les valeurs $f(x)$ donnent une estimation du chiffre d’affaires du m-commerce, exprimé en milliard d’euros pour l’année (2010 $+ x$). Ainsi, $f(1)$ désigne une estimation du chiffre d’affaires en 2011, $f(2)$ désigne une estimation du chiffre d’affaires en 2012, etc.
   $\quad$
   Un observateur économique affirme : “En 2026, la part du chiffre d’affaires du m-commerce dans celui du e-commerce aura dépassé $70 \%$”.
   Cette affirmation est-elle pertinente au regard des deux modèles proposés ? Expliciter la démarche suivie.
   $\quad$

Annexe

$\quad$