Exercice 1

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
2. L’événement $Q\cap S$ est l’événement “le salarié a plus de 40 ans et préfère une salle de sport”.
   $p(Q\cap S)=0,55\times 0,4=0,22$.
   $\quad$
3. a. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(S)&=p(Q\cap S)+p\left(\conj{Q}\cap S\right) \\
   &=0,22+0,45\times 0,7\\
   &=0,535
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. $p(S)>0,5$. Le comité d’entreprise devrait donc choisir de faire construire une salle de sport.
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_S(Q)&=\dfrac{p(S\cap Q)}{p(S)} \\
   &=\dfrac{0,22}{0,535} \\
   &\approx 0,411
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. $P(60 \pp X\pp 140)\approx 0,95$
   Remarque : on pouvait remarquer qu’on demandait de calculer la probabilité $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)$.
   $\quad$
2. Puisque $\mu=100$ on a $P(X\pg 140)=P(X\pp 60)$.
   Or $P(X\pg 140)+P(X\pp 60)=1-0,95 = 0,05$.
   Donc $2P(X\pg 140)=0,05$ soit $P(X\pg 140)=0,025$
   Par conséquent, $2,5\%$ environ des salariés de l’entreprise utilisent suffisamment la salle de sport pour satisfaire à la recommandation.
   Remarque : en calculant cette probabilité à la calculatrice on obtient $P(X\pg 140) \approx 0,023$. L’écart est dû à l’arrondi fait à la question précédente.
   $\quad$

Partie C

1. Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de personnes satisfaites est :
   $\begin{align*} I_{300}&=\left[0,8-\dfrac{1}{\sqrt{300}};0,8+\dfrac{1}{\sqrt{300}}\right] \\
   &\approx [0,74;0,86]
   \end{align*}$
   $\quad$
2. La fréquence observée est $f=\dfrac{228}{300}=0,76\in I_{300}$.
   Les résultats de l’enquête menée par Alix ne permettent pas, au risque de $5\%$, de remettre en question les propos du président.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A : Électricité provenant des énergies renouvelables en Belgique

1. Voir graphique de la question 3.a.
   $\quad$
2. À l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation $y=1,315x+1,402$.
   $\quad$
3. a.
   $\quad$
   b. En 2022 on aura $x=17$.
   Par conséquent $y=1,3\times 17+1,4=23,5$.
   En 2022, $23,5\%$ de l’électricité consommée en Belgique proviendra des énergies renouvelables.
   $\quad$
4. On veut résoudre l’inéquation :
   $1,3x+1,4<25 \ssi 1,3x < 23,6 \ssi x < \dfrac{23,6}{1,3}$.
   Or $\dfrac{23,6}{1,3} \approx 18,15$. En arrondissant à l’entier supérieur on obtient $x \pg 19$.
   C’est donc à partir de l’année 2024 que la part d’électricité issue des énergies renouvelables dépassera $25\%$ en Belgique.
   $\quad$

Partie B : Électricité provenant des énergies renouvelables en France

1. Le taux d’évolution global de la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014 est :
   $t=\dfrac{18,3-14,8}{14,8}\approx 23,6\%$
   $\quad$
2. On cherche la valeur de $x$ telle que :
   $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=1,236 &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=1,236^{1/4} \\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=1,236^{1/4}-1 \\
   &\ssi x=100\left(1,236^{1/4}-1\right)
   \end{align*}$
   Le taux d’évolution annuel moyen de la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014 est environ $5,4\%$.
   Chaque année, entre 2010 et 2014, la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France a augmenté d’environ $5,4\%$.
   $\quad$
3. $18,3\times\left(1+\dfrac{5,4}{100}\right)^8 \approx 27,9$.
   L’affirmation est donc exacte.
   $\quad$

Exercice 3

Affirmation 1 : Fausse
$B(6)=-254<0$
Le bénéfice est négatif. Fabriquer et vendre $600$ brosses à dents connectées par semaine n’est pas rentable.
$\quad$

Affirmation 2 : Vraie
Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;9]$ on a :
$\begin{align*} B'(x)&=40\times 3x^2-561\times 2x+1~917\\
&=120x^2-1~122x+1~917
\end{align*}$
$\quad$

Affirmation 3 : Fausse
On considère le polynôme  du second degré $120x^2-1~122x+1~917$
où $a=120$, $b=-1~122$ et $c=1~917$
$\Delta=(-1~122)^2-4\times 120\times 1~917=338~724>0$.
$x_1=\dfrac{1~122-\sqrt{338~724}}{240}=2,25$ et $x_2=\dfrac{1~122+\sqrt{338~724}}{240}=7,1$
La fonction $B’$ ne s’annule donc que deux fois dans l’intervalle $[0;9]$.
$\quad$

Affirmation 4 : Fausse
En réutilisant les notations de la l’affirmation précédente on a $a>0$.
et $B'(x)>0$ sur $[0;2,25]$ et $[7,1;9]$.
Le fonction $B$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;2,25]$ et sur l’intervalle $[7,1;9]$ et décroissante sur l’intervalle $[2,25;7,1]$.
D’après le graphique, $B(9)<B(2,25)$.
Le bénéfice hebdomadaire est maximum quand l’entreprise fabrique et vend $225$ brosses à dents.
$\quad$

Exercice 4

Partie A

1. a. Chaque année, le quota de pêche de cabillaud baisse de $30$ tonnes.
   Cela signifie donc que la suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $-30$ et de premier terme $u_0=600$.
   $\quad$
   b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=600-30n$.
   $\quad$
   c. $u_{10}=600-30\times 10 = 300$.
   Cela signifie donc qu’en 2025 on ne pourra pêcher que $300$ tonnes de cabillaud.
   $\quad$
2. a. On a pu saisir $=B2-30$.
   $\quad$
   b. On peut saisir $=C2+B3$.
   $\quad$
3. a. On veut calculer :
   $\begin{align*} S_{10}&=u_0+u_1+\ldots+u_{10} \\
   &=11\times \dfrac{u_0+u_{10}}{2} \\
   &=11\times \dfrac{600+300}{2} \\
   &=4~950
   \end{align*}$
   Entre 2015 et 2025, $4~950$ tonnes de cabillaud aura été pêchée.
   $\quad$
   b. En continuant sur le même schéma en 2026, on aura $u_{11}=600-30\times 11=270$.
   Le stock de cabillaud étant de $5~000$ tonnes, on aura épuiser ce stock en 2026 puisque $270+4~950>5~000$.
   La réglementation adoptée ne permet donc pas d’éviter à long terme la disparition du cabillaud des côtes des communes littorales concernées.
   $\quad$

Partie B

1. $v_1=v_0\times \left(1+\dfrac{12}{100}\right)-500=1,12\times 5~000-500=5~100$.
   $\quad$
2. a. attention erreur dans le sujet original pour les valeurs de $\color{red}{v}$ pour $\color{red}{n= 6}$ et $\color{red}{n=7}$.
   On continue le tableau fourni :
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Valeur de } n&2&3&4&5&6&7&8&9\\
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Valeur de }v\\\text{(arrondie à l’unité)}\end{array}&5~212&5~337&5~478&5~635&5~812&6~009&6~230&6~478\\
   \hline
   \end{array}$
   L’algorithme affichera donc $6~478$ quand $n=9$.
   $\quad$
   b. Cela signifie donc qu’il y aura $6~478$ tonnes de cabillaud en 2024 avant que ne démarre la saison de pêche.

Exercice 1     5 points

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Un comité d’entreprise décide de construire une structure supplémentaire pour améliorer le bien-être des salariés. Il hésite entre deux possibilités :

• installer une médiathèque ;
• faire construire une salle de sport.

Dans cette entreprise, $55\%$ des salariés ont 40 ans ou plus.

Le comité d’entreprise mène une enquête auprès des salariés afin de connaître leur préférence quant à la création d’une telle structure. Parmi les salariés ayant clairement exprimé leur avis, $60\%$ des 40 ans ou plus sont davantage intéressés par la création d’une médiathèque alors que $70\%$ des moins de 40 ans sont davantage intéressés par la construction d’une salle de sport.

Pour tout événement $A$, on notera $p(A)$ sa probabilité, $\conj{A}$ son événement contraire, et, pour tout événement $B$ de probabilité non nulle, $p_B(A)$ la probabilité de l’événement $A$ sachant que $B$ est
réalisé.

On note :

• $Q$ l’événement « le salarié a plus de 40 ans »
• $S$ l’événement « le salarié préfère une salle de sport »
• $M$ l’événement « le salarié préfère une médiathèque »

1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
   
   $\quad$
2. Décrire par une phrase, dans le contexte de l’exercice, l’événement $Q\cap S$ et calculer sa probabilité.
   $\quad$
3. a. Montrer que $p(S)=0,535$.
   $\quad$
   b. Quel choix semble plus pertinent pour le comité d’entreprise? Justifier la réponse.
   $\quad$
4. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’un salarié favorable à la construction d’une salle de sport ait plus de quarante ans?
   $\quad$

Partie B

Le comité d’entreprise a finalement décidé de construire une salle de sport. On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée hebdomadaire, en minutes, de la fréquentation de la salle de sport par un salarié de l’entreprise.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $100$ et d’écart type $20$.

1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’un salarié de l’entreprise pratique entre $60$ minutes et $140$ minutes de sport par semaine ?
   $\quad$
2. Pour rester en bonne santé, il est recommandé de pratiquer au moins $140$ minutes de sport par semaine. Quel est le pourcentage, arrondi à $0,1\%$, de salariés de l’entreprise qui utilisent suffisamment la salle de sport pour satisfaire à cette recommandation ?
   $\quad$

Partie C

Le président du comité déclare que $80\%$ des salariés sont satisfaits de la qualité des nouvelles installations sportives. Alix mène une enquête auprès de $300$ de ses collègues choisis au hasard. Parmi eux, $228$ se déclarent satisfaits des installations sportives.

1. Déterminer un intervalle de fluctuation, au seuil de $95\%$, de la proportion de personnes satisfaites dans cet échantillon. Arrondir les bornes au centième.
$\quad$
2. Les résultats de l’enquête menée par Alix peuvent-ils remettre en question les propos du président ?
$\quad$

Exercice 2    6 points

Le tableau ci-dessous donne la proportion d’électricité (exprimée en pourcentage et arrondie à $0,1\%$) provenant des énergies renouvelables par rapport à la consommation totale d’électricité, par an, entre 2005 et 2014, en Belgique et en France.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2005&2006&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013&2014\\
\hline
\text{Rang de l’année : }x_i&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Pourcentage}\\ \text{d’électricité}\\ \text{provenant de }\\ \text{sources} \\ \text{renouvelables en }\\ \text{Belgique : }y_i\end{array}&2,4&3,1&3,6&4,6&6,2&7,1&9,1&11,3&12,4&13,4\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Pourcentage}\\ \text{d’électricité}\\ \text{provenant de }\\ \text{sources} \\ \text{renouvelables en }\\ \text{France : }z_i\end{array}&13,7&14,1&14,3&14,4&15,1&14,8&16,3&16,4&16,8&18,3\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{14cm} \text{Source Eurostat}
$
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A : Électricité provenant des énergies renouvelables en Belgique

1. Construire dans le repère donnée en annexe le nuage de points de coordonnées $\left(x_i;y_i\right)$ correspondant aux données concernant la Belgique.
   $\quad$
2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.
   $\quad$
3. Pour les deux questions suivantes, on prendra comme droite d’ajustement affine la droite $D$ d’équation $y = 1,3x + 1,4$.
   a. Tracer cette droite dans le repère donné en annexe.
   $\quad$
   b. À l’aide de cet ajustement, estimer la part d’électricité issue des énergies renouvelables en 2022. On arrondira le résultat à $0,1\%$.
   $\quad$
4. À partir de quelle année la part d’électricité issue des énergies renouvelables dépassera-t-elle $25\%$ en Belgique ? Justifier votre réponse.
   $\quad$

Partie B : Électricité provenant des énergies renouvelables en France

1. Déterminer le taux d’évolution global de la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014. On donnera la valeur arrondie à $0,1\%$.
   $\quad$
2. En déduire le taux d’évolution annuel moyen de la part d’électricité issue des énergies renouvelables en France entre 2010 et 2014. Donner la valeur arrondie à $0,1\%$ et interpréter le résultat trouvé.
   $\quad$
3. À la fin de l’année 2014, un journaliste déclare : « Si l’on augmente la part d’électricité issue des énergies renouvelables de $5,4\%$ par an, alors plus d’un quart de l’électricité française sera issue des énergies renouvelables en 2022 ». Cette affirmation est-elle exacte ?
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3    4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

Une entreprise fabrique et vend des brosses à dents connectées. On modélise le bénéfice en euro pour $x$ centaines de brosses à dents fabriquées et vendues par semaine par la fonction $B$ définie sur $[0 ; 9]$ par : $B(x) = 40x^3−561x^2+1~917x−200$ . La courbe représentative du
bénéfice hebdomadaire est donnée en annexe.

Affirmation 1 : Fabriquer et vendre $600$ brosses à dents connectées par semaine est rentable pour l’entreprise.
$\quad$

Affirmation 2 : La fonction $B′$, dérivée de la fonction $B$, est définie pour tout $x\in[0 ; 9]$ par $B′(x) = 120 x^2−1~122x+1~917$.
$\quad$

Affirmation 3 : La fonction $B’$, dérivée de la fonction $B$, s’annule trois fois dans l’intervalle $[0 ; 9]$.
$\quad$

Affirmation 4 : Le bénéfice hebdomadaire maximum est réalisé pour $224$ brosses à dents fabriquées et vendues.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4    5 points

En raison de la surpêche, un groupement de communes littorales a vu le stock de cabillaud diminuer considérablement aux abords de ses côtes. En 2015, le stock de cabillaud de la région concernée était estimé à $5~000$ tonnes.
Les autorités locales souhaitent réglementer la pêche de cabillaud pour éviter sa disparition totale des côtes des communes littorales concernées.

Partie A

Les autorités locales décident de limiter la pêche pour cette espèce. On suppose que hors pêche, le stock reste constant à $5~000$ tonnes.
On note $u_n$ la quantité maximale (ou quota), en tonne, de cabillaud pouvant être pêchée sur ces côtes l’année 2015$+n$, avec $n$ entier naturel. On a ainsi $u_0= 600$.
Les autorités locales décident de baisser chaque année le quota de pêche de cabillaud de $30$ tonnes.

1. a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner sa raison et son premier terme.
   $\quad$
   b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   c. Calculer $u_{10}$. Interpréter ce résultat dans le contexte étudié.
   $\quad$
2. Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul, donne les valeurs de la suite $\left(u_n\right) et la quantité totale de cabillaud pêchée à partir de l’année 2015.
   a. Quelle formule, destinée à être copiée vers le bas, faut-il saisir en $B3$ afin d’obtenir les termes de la suite \left(u_n\right)$ ?
   $\quad$
   b. Quelle formule peut-on saisir dans la cellule $C3$ afin d’obtenir, par recopie vers le bas, la quantité totale de cabillaud pêchée depuis 2015 ?
   $\quad$
3. a. Calculer la quantité totale de cabillaud pêchée entre 2015 et 2025.
   $\quad$
   b. La réglementation adoptée permet-elle d’éviter à long terme la disparition du cabillaud des côtes des communes littorales concernées? Justifier la réponse.
   $\quad$

Partie B

Une étude montre que le modèle de la partie A n’est pas valide. En fait, en l’absence de pêche, le stock de cabillaud augmente de $12\%$ chaque année.
On fixe alors le quota de pêche de cabillaud à $500$ tonnes par an.

On note $v_n$ le stock de cabillaud, en tonne, pour l’année 2015 $+n$ avant que ne démarre la saison de pêche.

On rappelle que $v_0 = 5~000$.

1. Calculer $v_1$.
   $\quad$
2. On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation :
   $$v_{n+1}=1,12\times v_n-500$$
   On donne l’algorithme suivant :
   Variables
   $\quad$ $i$ et $n$ sont des entiers naturels
   $\quad$ $v$ est un réel
   Traitement
   $\quad$ Saisir $n$
   $\quad$ $v$ prend la valeur $5~000$
   $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$
   $\qquad$ $v$ prend la valeur $1,12\times v-500$
   $\quad$ Fin Pour
   $\quad$ afficher v
   $\quad$
   a. Le tableau ci-dessous donne les valeurs de 𝑣 obtenues à l’aide de l’algorithme et arrondies à l’unité lorsque l’utilisateur saisit une valeur de 𝑛 comprise entre $2$ et $7$.
   Par exemple, pour $n=2$, l’algorithme affiche $5~212$.
   attention erreur dans le sujet original pour les valeurs de $\color{red}{v}$ pour $\color{red}{n= 6}$ et $\color{red}{n=7}$.
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Valeur de } n&2&3&4&5&6&7\\
   \hline
   \begin{array}{l}\text{Valeur de }v\\\text{(arrondie à l’unité)}\end{array}&5~212&5~337&5~478&5~635&5~812&6~009\\
   \hline
   \end{array}$
   Donner la valeur affichée par l’algorithme, arrondie à l’unité, lorsque l’utilisateur saisit la valeur $n=9$.
   $\quad$
   b. Interpréter, dans le contexte étudié, la valeur affichée par l’algorithme pour $n=9$.
   $\quad$