Bac STMG – Métropole – Septembre 2018

Antilles Guyane – Septembre 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $p(60 \pp X \pp 100) = p(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$
    Réponse d
    $\quad$
  2. $p(X<90)=0,5+p(80\pp x < 90)=0,5+p(70 < X \pp 80)=p(X>70)$
    Réponse b
    $\quad$
  3. $p(60 \pp X \pp 80) = 0,5-p(X\pp 60)$
    Réponse b

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après la calculatrice, une équation de cette droite est $y=0,044x+1.375$.
    $\quad$
  2. $\quad$

    $\quad$
  3. En 2020, on a $x=15$ donc $y=0,04\times 15+1,37=1,97$.
    Selon ce modèle, en 2020, on aura produit $1,97$ milliard de TEP.
    $\quad$

Partie B

  1. Le taux d’évolution de la production est :
    $t=\dfrac{1,82-1,44}{1,44}\approx 26,39\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen entre 2006 et 2015.
    On a ainsi :
    $\begin{align*} 1,44\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^9=1,82 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^9=\dfrac{1,82}{1,44} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{1,82}{1,44}\right)^{1/9} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100} = \left(\dfrac{1,82}{1,44}\right)^{1/9}-1 \\
    &\ssi x=100\left(\left(\dfrac{1,82}{1,44}\right)^{1/9}-1\right)
    \end{align*}$
    Par conséquent $x\approx 2,64$.
    Le taux d’évolution annuel moyen entre 2006 et 2015 est d’environ $2,64\%$.
    $\quad$

Partie C

  1. La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,026$ et de premier terme $u_0=1,82$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=1,82\times 1,026^n$.
    $\quad$
  2. En 2020, on a $n=5$.
    Donc $u_5=1,82\times 1,026^5 \approx 2,069$.
    Selon ce modèle, on peut estimer que la production mondiale s’élèvera en 2020 à environ $2,069$ milliards de  TEP.
    $\quad$
  3. Cela signifie que dans $39$ ans la production mondiale des énergies renouvelables dépassera pour la première fois $4,84$ milliards de TEP.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. L’événement $A\cap F$ est “le dossier est celui d’une femme de catégorie A”.
    p(A\cap F)=0,51\times 0,6=0,306$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(F)&=p(A\cap F)+p(B\cap F)+p(C \cap F) \\
    &=0,51\times 0,6+0,24\times 0,42+0,25\times 0,51 \\
    &=0,534~3 \\
    &\approx 0,53
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_F(A)&=\dfrac{p(F \cap A)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,51\times 0,6}{0,534~3} \\
    &\approx 0,57
    \end{align*}$
    La probabilité que le dossier choisi est celui d’un agent de catégorie A sachant que c’est celui d’une femme est d’environ $57\%$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude d’un exemple

  1. On diminue le prix du billet d’entrée de $10\%$.
    Il sera donc de $50 \times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)=50\times 0,9=45$ €.
    $\quad$
  2. Cette diminution du prix de $10\%$ a entraîné une augmentation de $20\%$ du nombre d’entrées.
    Cela représente donc $16~000\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=16~000\times 1,2=19~200$ entrées.
    $\quad$
  3. Le chiffre d’affaires serait donc $45\times 19~200=864~000$ €.
    $\quad$

Partie B : utilisation d’un tableur

  1. On a pu saisir $=C2*C3$.
    $\quad$
  2. Le taux de diminution concerne le prix initial de $50$ €. En dupliquant cette formule, le $B2$ se transformera en $B3$, $B4$, … rendant le calcul faux.
    Il faut donc écrire $=B\$2*(1-C1/100)$. On peut également écrire $=\$B\$2*(1-C1/100)$.
    $\quad$
  3. D’après le tableau, il semblerait qu’une diminution de $20\%$ et $30\%$ maximisent le chiffre d’affaire.
    $\quad$

Partie C : étude d’une fonction

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;100]$ on a :
    $f'(x)=-320x+8~000$.
    $f'(x)=0 \ssi -320x=-8~000 \ssi x=25$ et $f'(x)>0 \ssi -320x>-8~000 \ssi x<25$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;25]$ et décroissante sur l’intervalle $[25;100]$.
    $\quad$
  2. Après une diminution de $x\%$ le prix du billet est : $50\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=50-0,5x$.
    $\quad$
  3. Après une augmentation de $(2x) \%$ le nombre d’entrées est $16~000\times \left(1+\dfrac{2x}{100}\right)=16~000+320x$
    $\quad$
  4. Le chiffre d’affaires est :
    $\begin{align*} C(x)&=(50-0,5x)\times (16~000+320x) \\
    &=800~000+16~000x-8~000x-160x^2 \\
    &=-160x^2+8~000x+800~000\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  5. D’après la question C.1. le chiffre d’affaires est maximalisé pour un pourcentage de diminution du prix du billet de $25\%$.
    $\quad$
  6. On a $f(25)=900~000$.
    Le chiffre d’affaires maximal est donc de $900~000$ euros.
    $\quad$

 

Énoncé

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