Exercice 1

1. On a $p(60 \pp X \pp 100) = p(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$
   Réponse d
   $\quad$
2. $p(X<90)=0,5+p(80\pp x < 90)=0,5+p(70 < X \pp 80)=p(X>70)$
   Réponse b
   $\quad$
3. $p(60 \pp X \pp 80) = 0,5-p(X\pp 60)$
   Réponse b

 

Exercice 2

Partie A

1. D’après la calculatrice, une équation de cette droite est $y=0,044x+1.375$.
   $\quad$
2. $\quad$
   
   $\quad$
3. En 2020, on a $x=15$ donc $y=0,04\times 15+1,37=1,97$.
   Selon ce modèle, en 2020, on aura produit $1,97$ milliard de TEP.
   $\quad$

Partie B

1. Le taux d’évolution de la production est :
   $t=\dfrac{1,82-1,44}{1,44}\approx 26,39\%$.
   $\quad$
2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen entre 2006 et 2015.
   On a ainsi :
   $\begin{align*} 1,44\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^9=1,82 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^9=\dfrac{1,82}{1,44} \\
   &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{1,82}{1,44}\right)^{1/9} \\
   &\ssi \dfrac{x}{100} = \left(\dfrac{1,82}{1,44}\right)^{1/9}-1 \\
   &\ssi x=100\left(\left(\dfrac{1,82}{1,44}\right)^{1/9}-1\right)
   \end{align*}$
   Par conséquent $x\approx 2,64$.
   Le taux d’évolution annuel moyen entre 2006 et 2015 est d’environ $2,64\%$.
   $\quad$

Partie C

1. La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,026$ et de premier terme $u_0=1,82$.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=1,82\times 1,026^n$.
   $\quad$
2. En 2020, on a $n=5$.
   Donc $u_5=1,82\times 1,026^5 \approx 2,069$.
   Selon ce modèle, on peut estimer que la production mondiale s’élèvera en 2020 à environ $2,069$ milliards de  TEP.
   $\quad$
3. Cela signifie que dans $39$ ans la production mondiale des énergies renouvelables dépassera pour la première fois $4,84$ milliards de TEP.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. L’événement $A\cap F$ est “le dossier est celui d’une femme de catégorie A”.
   p(A\cap F)=0,51\times 0,6=0,306$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(F)&=p(A\cap F)+p(B\cap F)+p(C \cap F) \\
   &=0,51\times 0,6+0,24\times 0,42+0,25\times 0,51 \\
   &=0,534~3 \\
   &\approx 0,53
   \end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_F(A)&=\dfrac{p(F \cap A)}{p(F)} \\
   &=\dfrac{0,51\times 0,6}{0,534~3} \\
   &\approx 0,57
   \end{align*}$
   La probabilité que le dossier choisi est celui d’un agent de catégorie A sachant que c’est celui d’une femme est d’environ $57\%$.
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A : étude d’un exemple

1. On diminue le prix du billet d’entrée de $10\%$.
   Il sera donc de $50 \times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)=50\times 0,9=45$ €.
   $\quad$
2. Cette diminution du prix de $10\%$ a entraîné une augmentation de $20\%$ du nombre d’entrées.
   Cela représente donc $16~000\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=16~000\times 1,2=19~200$ entrées.
   $\quad$
3. Le chiffre d’affaires serait donc $45\times 19~200=864~000$ €.
   $\quad$

Partie B : utilisation d’un tableur

1. On a pu saisir $=C2*C3$.
   $\quad$
2. Le taux de diminution concerne le prix initial de $50$ €. En dupliquant cette formule, le $B2$ se transformera en $B3$, $B4$, … rendant le calcul faux.
   Il faut donc écrire $=B\$2*(1-C1/100)$. On peut également écrire $=\$B\$2*(1-C1/100)$.
   $\quad$
3. D’après le tableau, il semblerait qu’une diminution de $20\%$ et $30\%$ maximisent le chiffre d’affaire.
   $\quad$

Partie C : étude d’une fonction

1. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;100]$ on a :
   $f'(x)=-320x+8~000$.
   $f'(x)=0 \ssi -320x=-8~000 \ssi x=25$ et $f'(x)>0 \ssi -320x>-8~000 \ssi x<25$.
   La fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;25]$ et décroissante sur l’intervalle $[25;100]$.
   $\quad$
2. Après une diminution de $x\%$ le prix du billet est : $50\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=50-0,5x$.
   $\quad$
3. Après une augmentation de $(2x) \%$ le nombre d’entrées est $16~000\times \left(1+\dfrac{2x}{100}\right)=16~000+320x$
   $\quad$
4. Le chiffre d’affaires est :
   $\begin{align*} C(x)&=(50-0,5x)\times (16~000+320x) \\
   &=800~000+16~000x-8~000x-160x^2 \\
   &=-160x^2+8~000x+800~000\\
   &=f(x)\end{align*}$
   $\quad$
5. D’après la question C.1. le chiffre d’affaires est maximalisé pour un pourcentage de diminution du prix du billet de $25\%$.
   $\quad$
6. On a $f(25)=900~000$.
   Le chiffre d’affaires maximal est donc de $900~000$ euros.
   $\quad$

 

Exercice 1     3 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte, multiple ou une question sans réponse, n’apporte ni ne retire aucun point

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 80$ et d’écart type $\sigma = 10$. On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable aléatoire $X$.

1. La probabilité $p(60 \pp X \pp 100)$, arrondie au centième, est égale à :
   a. $0,05$
   b. $0,97$
   c. $0,50$
   d. $0,95$
   $\quad$
2. La probabilité $p(X < 90)$ est égale à :
   a. $0,5-p(X > 90)$
   b. $p(X > 70)$
   c. $1-p(X > 70)$
   d. $1-p(X \pg 70)$
   $\quad$
3. La probabilité $p(60 \pp X \pp 80)$ est égale à :
   a. $0,5+ p(X \pg 60)$
   b. $0,5-p(X \pp 60)$
   c. $1− p(X \pp 60)$
   d. $0,5+ p(X \pp 60)$
   $\quad$

Exercice 2     6 points

Le tableau ci-dessous donne la production mondiale des énergies renouvelables de 2006 à 2015.
Cette production est exprimée en milliard de TEP (tonne équivalent-pétrole).
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2006&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015\\
\hline
\text{Rang de l’année : }x_i&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
\text{Quantité produite (en mil-}&1,44&1,47&1,50&1,53&1,59&1,62&1,68&1,74&1,78&1,82\\
\text{liard de TEp) : }y_i&&&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{8.5cm}\small{\text{Source : OCDE d’après Extended world energy balances}}$$

Partie A
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y;_i\right)$ est représenté en annexe.

1. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au millième.
   $\quad$
2. On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y = 0,04x +1,37$.
   Tracer cette droite dans le repère donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
3. À l’aide de ce modèle, estimer la production mondiale des énergies renouvelables en 2020.
   $\quad$

Partie B

1. Calculer le taux d’évolution de la production mondiale des énergies renouvelables entre 2006 et 2015. Le résultat sera exprimé en pourcentage.
   $\quad$
2. Calculer le taux d’évolution annuel moyen entre 2006 et 2015. Le résultat sera exprimé en pourcentage.
   $\quad$

Partie C

On décide de modéliser l’évolution de la production mondiale des énergies renouvelables à l’aide d’une suite géométrique de raison $1,026$. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la production mondiale des énergies renouvelables, en milliard de TEP, pendant l’année (2015$+n$).
Ainsi $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1,82$ et de raison $1,026$.

1. Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de l’entier naturel $n$.
   $\quad$
2. Déterminer, d’après ce modèle, une estimation de la production mondiale des énergies renouvelables en 2020.
   $\quad$
3. Selon l’Agence d’Information sur l’Énergie des États-Unis d’Amérique (EIA), l’approvisionnement pétrolier mondial a été, en 2016, d’environ $4,84$ milliards de tonnes. On donne l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   U\leftarrow 1,82\\
   K\leftarrow 0\\
   \text{Tant que }U<4,84\\
   \hspace{1cm} U\leftarrow U\times 1,026\\
   \hspace{1cm} K\leftarrow K+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Après exécution de cet algorithme, la variable $K$ contient la valeur $39$.
   Interpréter, dans le contexte étudié, cette valeur $39$ ainsi que le contenu de la variable $U$.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     3 points

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

En France, les agents de la fonction publique d’état (FPE) se répartissent en trois catégories (Source : INSEE, 2010) :

• $51 \%$ des agents sont de catégorie A;
• $24 \%$ des agents sont de catégorie B;
• $25 \%$ des agents sont de catégorie C.

Selon le rapport annuel sur l’état de la fonction publique :

• $60 \%$ des agents de catégorie A sont des femmes;
• $42 \%$ des agents de catégorie B sont des femmes;
• $51 \%$ des agents de catégorie C sont des femmes.

On choisit de façon équiprobable le dossier d’un agent parmi ceux de la FPE.
On considère les événements suivants :

• $A$ : « le dossier est celui d’un agent de catégorie A »
• $B$: « le dossier est celui d’un agent de catégorie B »
• $C$ : « le dossier est celui d’un agent de catégorie C »
• $F$ : « le dossier est celui d’un agent qui est une femme »

Pour tout événement $G$, on note $p(G)$ sa probabilité et $\conj{G}$ son événement contraire.

1. Compléter l’arbre pondéré traduisant la situation, donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. Définir par une phrase, dans le contexte étudié, l’événement $A\cap F$, puis donner sa probabilité.
   $\quad$
3. Montrer que la probabilité de l’événement $F$, arrondie au centième, est égale à $0,53$.
   $\quad$
4. Sachant que le dossier choisi est celui d’une femme, quelle est la probabilité qu’elle fasse partie de la catégorie A ?
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     8 points

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Au cours du mois d’août 2017, un parc de loisirs a vendu $16~000$ billets d’entrée au prix unique de $50$ euros.
On définit le chiffre d’affaires comme le produit du prix du billet d’entrée par le nombre de billets vendus. Ainsi, le chiffre d’affaires du mois d’août 2017 s’élève à $800~000$ euros.
Suite à une étude de marché, on fait l’hypothèse suivante : une diminution de $x \%$ du prix du billet d’entrée par rapport à sa valeur au mois d’août 2017 ($50$ euros) entraîne une augmentation de $(2x)\%$ du nombre d’entrées par rapport à sa valeur au mois d’août 2017 ($16~000$).
L’objectif de l’exercice est de calculer le pourcentage de diminution du prix du billet qui maximise le chiffre d’affaires.

Partie A : étude d’un exemple

Pour le mois d’août 2018, on envisage de diminuer le prix du billet d’entrée de $10 \%$ par rapport à sa valeur en août 2017.

1. Quel serait alors le prix du billet d’entrée en août 2018 ?
   $\quad$
2. Quel serait alors le nombre d’entrées en août 2018 ?
   $\quad$
3. Vérifier que le chiffre d’affaires du mois d’août 2018 serait alors de $864~000$ €
   $\quad$

Partie B : utilisation d’un tableur

On se propose d’étudier l’évolution du chiffre d’affaires en fonction du taux de diminution du prix du billet d’entrée par rapport à sa valeur en août 2017. Ce taux, exprimé en pourcentage, apparaît dans la première ligne du tableau donné ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul.
Toutes les lignes du tableau sont au format Nombre.

1. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule $B4$ pour obtenir, par recopie vers la droite, les chiffres d’affaires de la plage $C4 : I4$ ?
   $\quad$
2. Dans un premier temps, la cellule $C2$ a été complétée par la formule suivante : $= B2∗(1-C1/100)$.
   Expliquer pourquoi cette formule ne permet pas d’obtenir, par recopie vers la droite, les résultats de la plage $D2 : I2$.
   Comment peut-on la modifier pour obtenir les valeurs affichées ?
   $\quad$
3. Compte tenu des résultats donnés par le tableur, conjecturer des pourcentages de diminution du prix du billet d’entrée qui maximisent le chiffre d’affaires.
   $\quad$

Partie C : étude d’une fonction

Soit $f$ la fonction définie, pour tout x appartenant à l’intervalle $[0; 100]$, par : $$f (x) = -160x^2 +8~000x +800~000$$

1. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur $[0; 100]$.
   $\quad$
2. Justifier que le prix du billet d’entrée, après une diminution de $x \%$ par rapport à sa valeur en août 2017, est égal à $50-0,5x$.
   $\quad$
3. Déterminer le nombre d’entrées après une augmentation de $(2x)\%$ par rapport au nombre d’entrées en août 2017.
   $\quad$
4. Expliquer pourquoi la fonction $f$ modélise le chiffre d’affaires du parc de loisirs.
   $\quad$
5. Déduire de ce qui précède le pourcentage de diminution du prix du billet qui maximise le chiffre d’affaires.
   $\quad$
6. Que vaut ce chiffre d’affaires maximal ?
   $\quad$