Bac STMG – Métropole – Septembre 2019

Métropole – Septembre 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. $\dfrac{13~559-5~660}{5~660}\approx 1,395~6$
    Le taux d’évolution de la puissance éolienne terrestre installée en France entre 2010 et 2017 est environ égal à $139,56\%$.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2017.
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=\dfrac{13~559}{5~660}&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\\
    &\ssi x=100\left(\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\right)
    \end{align*}$
    Or $100\left(\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\right) \approx 13,29$
    Le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2017 est environ égal à $13,29\%$.
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient l’équation suivante $y=1~103,94x+5~267,58$
    $\quad$
  2. Si $x=0$ alors $y=5~268$. Le point de coordonnées $(0;5~268)$ appartient à la droite.
    Si $x=7$ alors $y=12~996$. Le point de coordonnées $(7;12~996)$ appartient à la droite.

$\quad$

Partie C

  1. On peut saisir la formule $=I3*1,13$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{13}{100}\right)u_n=1,13u_n$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,13$ et de premier terme $u_0=13~559$.
    $\quad$
  4. a. Voici les différentes valeurs prises par les deux variables.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N& U
    2~017& 13~559 \\\hline
    2~018& 15~322 \\\hline
    2~019& 17~313 \\\hline
    2~020& 19~564 \\\hline
    2~021& 22~108 \\\hline
    2~022& 24~982 \\\hline
    2~023& 28~229 \\\hline\end{array}$
    Après exécution de cet algorithme la variable $N$ a pris la valeur $2~023$ et la variable $U$ la valeur $28~229$.
    $\quad$
    b. C’est donc à partir de l’année 2023 que la puissance éolienne terrestre dépassera $26~000$ MW.
    $\quad$

Partie D

Si on choisit le modèle de la partie B.
On veut résoudre l’équation
$\begin{align*} 1~104x+5~268\pg 26~000 &\ssi 1~104x\pg 20~732 \\
&\ssi x\pg \dfrac{20~732}{1~104}\end{align*}$
Or $\dfrac{20~732}{1~104} \approx 18,8$
C’est donc à partir de la $19^{\text{ème}}$ année, soit 2029, que la puissance éolienne terrestre atteindra au moins $26~000$ MW. L’objectif n’est donc pas atteint avec le modèle B

Si on choisit le modèle de la partie C.
D’après la question C.4.b. à partir de l’année 2023 la puissance éolienne terrestre dépassera $26~000$ MW. Le modèle C permet donc d’atteindre l’objectif.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On sait que $P(X\pp 70)=0,5$. Par conséquent $\mu=70$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. On sait que $P(64\pp X \pp 76)=0,954$ soit $P(\mu-6\pp X\pp \mu+6)=0,954$.
    Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,954$
    Donc $2\sigma \approx 6$ soit $\sigma \approx 3$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a $P(64\pp X\pp 70)=P(70\pp X \pp 76)$ donc $P(70\pp X\pp 76)=\dfrac{0,954}{2}=0,477$
    Réponse c
    $\quad$
  4. $P(X\pg 76)=P(X\pg \mu+6)=P(X\pp \mu-6)=P(X\pp 64)=P(X<64)$
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre suivant :

    $\quad$
  2. L’événement $\conj{A}\cap B$ est : « l’un individu choisi au hasard en France métropolitaine est une femme âgée de plus de 20 ans ».
    D’après l’arbre pondéré on a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{A}\cap B\right)&=p\left(\conj{A}\right) \times p_{\conj{A}}(B)\\
    &=0,76\times 0,53\\
    &=0,402~8\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p_A(B)\\
    &=0,24\times 0,49 \\
    &=0,117~6\end{align*}$
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
    &=0,117~6+402~8\\
    &=0,520~4\end{align*}$
    Par conséquent $p\left(\conj{B}\right)=1-0,520~4=0,479~6$.
    La probabilité qu’un individu choisi au hasard en France métropolitaine soit un homme est égale à $0,479~6$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{\conj{B}}(A)&=\dfrac{p\left(A\cap \conj{B}\right)}{p\left(\conj{B}\right)} \\
    &=\dfrac{0,24\times 0,51}{0,479~6} \\
    &\approx 0,255~2\end{align*}$
    Parmi la population masculine de France métropolitaine, la proportion des moins de 20 ans est environ égale à $25,52\%$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. La courbe $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points.
    L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[-9;3]$.
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. La courbe $\mathscr{C}$ semble n’avoir que deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses.
    Cela signifie donc que l’équation $f'(x)=0$ possède deux solutions.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ est :
    $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2+1}{-4-1}=-\dfrac{3}{5}=-0,6$.
    Or $f'(0)=a=-0,6$.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. D’après la question précédente le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ est $-0,6$ et non $3$.
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$
  5. La fonction $f$ semble croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
    Par conséquent $f'(x)\pg 0$ sur cet intervalle.
    Affirmation 5 vraie
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Télécharger (PDF, 109KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.