Exercice 1

Partie A

1. $\dfrac{13~559-5~660}{5~660}\approx 1,395~6$
   Le taux d’évolution de la puissance éolienne terrestre installée en France entre 2010 et 2017 est environ égal à $139,56\%$.
   $\quad$
2. On appelle $x$ le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2017.
   $\begin{align*} \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=\dfrac{13~559}{5~660}&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7} \\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\\
   &\ssi x=100\left(\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\right)
   \end{align*}$
   Or $100\left(\left(\dfrac{13~559}{5~660}\right)^{1/7}-1\right) \approx 13,29$
   Le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2017 est environ égal à $13,29\%$.
   $\quad$

Partie B

1. À l’aide de la calculatrice on obtient l’équation suivante $y=1~103,94x+5~267,58$
   $\quad$
2. Si $x=0$ alors $y=5~268$. Le point de coordonnées $(0;5~268)$ appartient à la droite.
   Si $x=7$ alors $y=12~996$. Le point de coordonnées $(7;12~996)$ appartient à la droite.
   

$\quad$

Partie C

1. On peut saisir la formule $=I3*1,13$.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{13}{100}\right)u_n=1,13u_n$.
   $\quad$
3. La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,13$ et de premier terme $u_0=13~559$.
   $\quad$
4. a. Voici les différentes valeurs prises par les deux variables.
   $\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   N& U
   2~017& 13~559 \\\hline
   2~018& 15~322 \\\hline
   2~019& 17~313 \\\hline
   2~020& 19~564 \\\hline
   2~021& 22~108 \\\hline
   2~022& 24~982 \\\hline
   2~023& 28~229 \\\hline\end{array}$
   Après exécution de cet algorithme la variable $N$ a pris la valeur $2~023$ et la variable $U$ la valeur $28~229$.
   $\quad$
   b. C’est donc à partir de l’année 2023 que la puissance éolienne terrestre dépassera $26~000$ MW.
   $\quad$

Partie D

Si on choisit le modèle de la partie B.
On veut résoudre l’équation
$\begin{align*} 1~104x+5~268\pg 26~000 &\ssi 1~104x\pg 20~732 \\
&\ssi x\pg \dfrac{20~732}{1~104}\end{align*}$
Or $\dfrac{20~732}{1~104} \approx 18,8$
C’est donc à partir de la $19^{\text{ème}}$ année, soit 2029, que la puissance éolienne terrestre atteindra au moins $26~000$ MW. L’objectif n’est donc pas atteint avec le modèle B

Si on choisit le modèle de la partie C.
D’après la question C.4.b. à partir de l’année 2023 la puissance éolienne terrestre dépassera $26~000$ MW. Le modèle C permet donc d’atteindre l’objectif.

$\quad$

Exercice 2

1. On sait que $P(X\pp 70)=0,5$. Par conséquent $\mu=70$.
   Réponse c
   $\quad$
2. On sait que $P(64\pp X \pp 76)=0,954$ soit $P(\mu-6\pp X\pp \mu+6)=0,954$.
   Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,954$
   Donc $2\sigma \approx 6$ soit $\sigma \approx 3$.
   Réponse b
   $\quad$
3. On a $P(64\pp X\pp 70)=P(70\pp X \pp 76)$ donc $P(70\pp X\pp 76)=\dfrac{0,954}{2}=0,477$
   Réponse c
   $\quad$
4. $P(X\pg 76)=P(X\pg \mu+6)=P(X\pp \mu-6)=P(X\pp 64)=P(X<64)$
   Réponse c
   $\quad$

 

Exercice 3

1. On obtient l’arbre suivant :
   
   $\quad$
2. L’événement $\conj{A}\cap B$ est : « l’un individu choisi au hasard en France métropolitaine est une femme âgée de plus de 20 ans ».
   D’après l’arbre pondéré on a :
   $\begin{align*} p\left(\conj{A}\cap B\right)&=p\left(\conj{A}\right) \times p_{\conj{A}}(B)\\
   &=0,76\times 0,53\\
   &=0,402~8\end{align*}$
   $\quad$
3. On a :
   $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)\times p_A(B)\\
   &=0,24\times 0,49 \\
   &=0,117~6\end{align*}$
   $\quad$
4. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(B)&=p(A\cap B)+p\left(\conj{A}\cap B\right) \\
   &=0,117~6+402~8\\
   &=0,520~4\end{align*}$
   Par conséquent $p\left(\conj{B}\right)=1-0,520~4=0,479~6$.
   La probabilité qu’un individu choisi au hasard en France métropolitaine soit un homme est égale à $0,479~6$.
   $\quad$
5. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_{\conj{B}}(A)&=\dfrac{p\left(A\cap \conj{B}\right)}{p\left(\conj{B}\right)} \\
   &=\dfrac{0,24\times 0,51}{0,479~6} \\
   &\approx 0,255~2\end{align*}$
   Parmi la population masculine de France métropolitaine, la proportion des moins de 20 ans est environ égale à $25,52\%$.
   $\quad$

 

Exercice 4

1. La courbe $\mathscr{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points.
   L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions sur l’intervalle $[-9;3]$.
   Affirmation 1 fausse
   $\quad$
2. La courbe $\mathscr{C}$ semble n’avoir que deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses.
   Cela signifie donc que l’équation $f'(x)=0$ possède deux solutions.
   Affirmation 2 vraie
   $\quad$
3. Le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ est :
   $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2+1}{-4-1}=-\dfrac{3}{5}=-0,6$.
   Or $f'(0)=a=-0,6$.
   Affirmation 3 vraie
   $\quad$
   
4. D’après la question précédente le coefficient directeur de la droite $\mathscr{T}$ est $-0,6$ et non $3$.
   Affirmation 4 fausse
   $\quad$
5. La fonction $f$ semble croissante sur l’intervalle $[1;2]$.
   Par conséquent $f'(x)\pg 0$ sur cet intervalle.
   Affirmation 5 vraie
   $\quad$

 

 

 

Exercice 1     6 points

La puissance électrique, exprimée en mégawatt (MW), que peut délivrer l’ensemble des éoliennes terrestres installées en France, s’appelle « puissance éolienne installée ». La feuille de calcul d’un tableur reproduite ci-dessous contient les valeurs de la « puissance éolienne installée terrestre », exprimée en mégawatt (MW), en France depuis 2010.

 

PARTIE A

1. Quel est le taux d’évolution de la puissance éolienne terrestre installée en France entre 2010 et 2017 ?
   $\quad$
2. Calculer le taux d’évolution moyen annuel entre 2010 et 2017.
   $\quad$

PARTIE B

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i; y_i\right)$ est donnée en annexe, à rendre avec la copie.
On décide de modéliser cette évolution par un ajustement affine.

1. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du nuage de points, de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
   $\quad$
2. Dans la suite du problème on décide d’ajuster le nuage de points $(x_i;y_i)$ par la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y = 1~104 x + 5~268$.
   Déterminer les coordonnées de deux points de cette droite, puis construire cette droite sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$

PARTIE C

Pour tout entier naturel $n$, on note un la puissance éolienne terrestre, exprimée en MW, installée en France lors de l’année 2017$+ n$.
On fait l’hypothèse que la puissance éolienne installée augmente chaque année de $13\%$ à partir de 2017.

1. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule J3 de la feuille de calcul représentée ci-dessus pour obtenir la puissance éolienne installée en 2018, puis par recopie vers la droite, la puissance éolienne installée jusqu’en 2020 ?
   $\quad$
2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$
3. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
   $\quad$
4. On considère l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   N \gets  2017\\
   U \gets 13~559\\
   \text{Tant que }U < 26~000\\
   \hspace{1cm}N \gets   N+1\\
   \hspace{1cm}U \gets  U \times 1.13$\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Que contiennent les variables $N$ et $U$ après exécution de cet algorithme ?
   $\quad$
   b. À quoi correspondent ces valeurs dans le contexte de l’exercice ?
   $\quad$

PARTIE D

La loi de transition énergétique du 18 août 2015 fixe qu’en 2023 la puissance éolienne terrestre installée doit atteindre au moins $26~000$ MW.
Cet objectif peut-il être atteint selon l’un ou l’autre des deux modèles étudiés dans les parties B et C ?
$\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour chaque question, indiquer la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte un point.
Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de réponse, ne rapporte ni n’enlève de point.

Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale telle que $P(X \pp 70) = 0,5$ et $P(64 \pp X \pp 76) = 0,954$.
On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la densité de cette loi normale, dont on note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l’espérance et l’écart-type.

 

1. La valeur de $\mu$ est :
   a. $0,954$
   b. $3$
   c. $70$
   d. $0,5$
   $\quad$
2. Parmi les valeurs ci-dessous, la plus proche de $\sigma$ est :
   a. $6 $
   b. $3 $
   c. $0,954$
   d. $70$
   $\quad$
3. $P(70 \pp X \pp 76)$ est égal à :
   a. $0,954$
   b. $ 0,454$
   c. $0,477$
   d. $0,023$
   $\quad$
4. $P(X \pg 76)$ est égal à :
   a. $P(X < 76)$
   b. $P(X \pg 64)$
   c. $P(X < 64)$
   d. $0,954$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Suite à une étude de l’Institut National des Études Démographiques (INED), on estime qu’en janvier 2018 les personnes de moins de 20 ans représentaient $24\%$ de la population totale en France métropolitaine.

Parmi ces personnes de moins de 20 ans, $51\%$ sont des hommes.
Parmi les personnes de 20 ans et plus, $53\%$ sont des femmes.

Source : https ://www.ined.fr/fr/tout-savoir-population/chiffres/france/structure-population/population-ages/ (consultée le 2 septembre 2018)

On définit les évènements suivants :
$A$ : « un individu choisi au hasard en France métropolitaine a moins de 20 ans »;
$B$ : « un individu choisi au hasard en France métropolitaine est une femme ».

1. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. Définir par une phrase l’évènement $\conj{A}\cap B$, puis donner sa probabilité.
   $\quad$
3. Calculer la probabilité de l’évènement $A \cap B$.
   $\quad$
4. Quelle est la probabilité qu’un individu choisi au hasard en France métropolitaine soit un homme ?
   $\quad$
5. Parmi la population masculine de France métropolitaine, quelle est la proportion des moins de 20 ans ? On justifiera la réponse.
   $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un VRAI ou FAUX. Toute réponse devra être justifiée. Toute trace de recherche pourra être valorisée. Une bonne réponse, correctement justifiée, rapporte un point. Un calcul ou une lecture graphique soigneusement expliquée peuvent convenir. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[9;3]$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
La droite $\mathscr{T}$ représente la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
On admet que la droite $\mathscr{T}$ passe par les points A et B de coordonnées respectives $(1;-1)$ et $(-4;2)$.

1. L’équation $f(x) = 0$, d’inconnue $x$, admet exactement une solution dans l’intervalle $[-9;3]$.
   $\quad$
2. L’équation $f'(x) = 0$, d’inconnue $x$, admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-9;3]$.
   $\quad$
3. $f'(0) = -0,6$.
   $\quad$
4. L’équation réduite de la tangente $\mathscr{T}$ est $y = 3x-1$.
   $\quad$
5. La dérivée de $f$ est positive sur $[1;2]$.
   $\quad$

$\quad$