Exercice 1

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. D’après l’arbre pondéré on a : $P(V\cap D)=0,4\times 0,03=0,012$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(D)&=P(S\cap D)+P(V\cap D) \\
   &=0,6\times 0,01+0,012\\
   &=0,018\end{align*}$
   La probabilité de choisir un modèle avec un défaut est égale à $0,018$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_D(S)&=\dfrac{P(D\cap S)}{P(D)}\\
   &=\dfrac{0,6\times 0,01}{0,018}\\
   &=\dfrac{1}{3}\\
   &\approx 0,333\end{align*}$
   La probabilité de choisir un modèle Sport sachant qu’il présente un défaut est environ égale à $0,333$.
   $\quad$
5. a. La droite d’équation $x=39$ semble être un axe de symétrie pour la courbe de densité. Par conséquent $\mu=39$.
   $\quad$
   b. On sait que $P(X>42)=P(X>\mu+3)\approx 0,023$.
   Par conséquent $P(X<\mu-3)=P(X <36)\approx 0,023$.
   Ainsi $P(36<X<42)\approx 1-0,023\times 2\approx 0,954$.

Exercice 2

Partie A – Étude des charges

1. $C(5)=2\times 5^3-23\times 5^2+90\times 5+10=135$.
   Le montant des charges lorsque l’entreprise produit $5$ kilogrammes de safran s’élève à $135~000$ euros.
   $\quad$
2. Graphiquement, il faut produite $7$ kilogrammes de safran pour que le montant des charges soit égal à $200~000$ euros.
   $\quad$

Partie B – Étude du bénéfice

1. On a donc $R(x)=50x$/
   $\quad$
2. Le bénéfice est donné par :
   $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
   &=50x-\left(2x^3-23x^2+90x+10\right)\\
   &=50x-2x^3+23x^2-90x-10\\
   &=-2x^3+23x^2-40x-10\end{align*}$
   $\quad$
3. a. On a
   $\begin{align*} B'(x)&=-2\times 3x^2+23\times 2x-40\\
   &=-6x^2+46x-40\end{align*}$
   $\quad$
   b. On veut résoudre l’équation $-6x^2+46x-40=0$.
   Le discriminant est $\Delta=46^2-4\times (-6)\times (-40)=1~156>0$.
   L’équation $B'(x)=0$ possède donc deux solutions :
   $x_1=\dfrac{-46-\sqrt{1~156}}{-12}=\dfrac{20}{3}$ et $x_2=\dfrac{-46+\sqrt{1~156}}{-12}=\dfrac{20}{3}=1$.
   $\quad$
   c. Le coefficient principal est $a=-6<0$.
   Le tableau de variations de la fonction $B$ est donc le suivant :
   
   Avec $B\left(\dfrac{20}{3}\right)\approx  153$.
   $\quad$
   d. D’après le tableau de variations, le bénéfice maximal est atteint pour $x=\dfrac{20}{3}\approx 6,667$.
   L’entreprise doit donc vendre environ $6,667$ kg de safran pour réaliser un bénéfice maximal d’environ $153~000$ euros.
   $\quad$.

Exercice 3

1. D’après la calculatrice, une équation de la droite réalisant un ajustement affine est $y=-5,0x+72,9$.
   $\quad$
2. a. En 2018 on a $x=6$.
   Ainsi $y=-5\times 6+73=43$.
   En 2018, la part des voitures diesel sera de $43\%$ selon ce modèle.
   $\quad$
   b. On veut résoudre l’inéquation
   $\begin{align*} -5x+73\pp 25&\ssi -5x \pp -48 \\
   &\ssi x\pg 9,6\end{align*}$
   C’est donc à partir de la $10\ieme$ heure que la part des voitures diesel sera inférieure ou égale à $25\%$.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. On a $11,4\times \left(1+\dfrac{18,42}{100}\right) \approx 13,5$.
   En 2012, environ $13,5$ millions de smartphones ont été vendus en France.
   $\quad$
2. On a $\dfrac{18,2-15,8}{15,8}\approx 0,151~9$.
   Le taux d’évolution des ventes de smartphones en France entre 2013 et 2014 est d’environ $15,19\%$.
   $\quad$
3. On a $\dfrac{20,5-11,4}{11,4} \approx 0,7982$
   Le taux d’évolution des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015 est d’environ $79,82\%$.
   $\quad$
4. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015.
   On a ainsi :
   $\begin{align*}11,4\times\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=20,5&\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=\dfrac{20,5}{11,4} \\
   &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{20,5}{11,4}\right)^{1/4} \\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{20,5}{11,4}\right)^{1/4}-1 \\
   &\ssi x=100\times \left(\left(\dfrac{20,5}{11,4}\right)^{1/4}-1\right) \end{align*}$
   Par conséquent $x\approx 16$.
   le taux d’évolution annuel moyen des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015 est d’environ $16\%$.
   $\quad$

Partie B

1. On a $u_1=20,5\times \left(1+\dfrac{16}{100}\right)=23,78$.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n\times \left(1+\dfrac{16}{100}\right)=1,16u_n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,16$ et de premier terme $u_0=20,5$.
   $\quad$
3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=20,5\times 1,16^n$.
   $\quad$
4. En 2020 on a $n=5$
   Donc $u_5=20,5\times 1,16^5\approx 43,1$.
   En 2020, on peut donc estimer qu’environ $43,1$ millions de smartphones seront vendus.
   $\quad$

Télécharger (PDF, 64KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.