Exercice 1

Partie A

1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
   
2. a. $p(B \cap E)=0,7\times 0,1=0,07$
   $\quad$
   b. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(E)&=p(B\cap E)+p(G\cap E) \\
   &=0,07+0,3\times 0,25 \\
   &=0,145
   \end{align*}$
   $\quad$
3. a. On note cette probabilité conditionnelle $p_E(G)$.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} p_E(G)&=\dfrac{p(E\cap G)}{p(G)} \\
   &=\dfrac{0,3\times 0,25}{0,145} \\
   &\approx 0,517
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. D’après la calculatrice $P(21 \pp T \pp 23,6) \approx 0,575$
   $\quad$
2. $P(T \pg 23,6)=0,5-P(22 \pp T \pp 23,6) \approx 0,159$
   Cela signifie donc que la probabilité que la cerise choisie soit “gourmande” est environ de $0,159$.
   $P(T\pp 21)=0,5-P(21 \pp T\pp 22)\approx 0,266$
   La probabilité que la cerise choisie soit “déclassée” est environ de $0,266$.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A : Calcul du taux d’évolution

1. Le taux d’évolution entre 1960 et 1964 est $t=\dfrac{498-449}{449}\approx 0,109$ soit environ $10,9\%$.
   $\quad$
2. On peut saisir en $C4$ la formule $=(C3-B3)/B3$
   $\quad$
3. $869\times (1+0,0022)^5\approx 879 \neq 956$
   Le taux d’évolution moyen de la population n’est donc pas de $0,22\%$ par an entre 1990 et 1995.
   Remarque : On pouvait également calculer le taux d’évolution moyen et le comparer à la valeur proposée.
   $\quad$

Partie B : Étude de la série statistique

1. D’après la calculatrice, une équation de la droite $D$ est $y=78,2x+409,5$.
   $\quad$
2. a.
   
   $\quad$
   b. En 2020, on a $x=12$
   Donc $y=78\times 12+410=1~346$
   La population en Inde en 2020 sera, selon ce modèle, environ égale à $1~346$ millions d’habitants.
   $\quad$
   c. On veut donc résoudre :
   $\begin{align*} 78x+410 >1~500 &\ssi 78x > 1~090 \\
   &\ssi x > \dfrac{1~090}{78}
   \end{align*}$
   Or $\dfrac{1~090}{78} \approx 13,97$
   C’est donc à partir de l’année 2030 que la population en Inde devrait dépasser $1,5$ milliard d’habitants.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. $1,03\times 1,025\times 1,025\times 1,025 \times 1,02 \approx 1,131$.
   Le taux d’évolution global de ces cinq augmentations entre janvier 2014 et janvier 2016 est d’environ $13,1\%$.
   $\quad$
2. $(1+0,025)^5\approx 1,131$.
   Le taux d’évolution annuel moyen du prix de l’abonnement sur cette période est d’environ $2,5\%$.
   $\quad$

Partie B

1. Le prix du tarif augmente tous les six mois de $2,5\%$.
   La suite $\left(V_n\right)$ est donc géométrique de premier terme $V_0=54$ et de raison $1,025$.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a $V_n=54\times 1,025^n$.
   $\quad$
3. $V_3=54\times 1,025^3\approx 58,15$.
   Cela signifie donc qu’en juillet 2017 le prix de l’abonnement sera d’environ $58,15$ €.
   $\quad$
4. On veut trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que : $ 54\times 1,025^n >65 $
   On utilise un tableau de valeur démarrant à $n=0$ avec un pas de $1$.
   On obtient $V_7 \approx 64,189$ et $V_8 \approx 65,794$
   C’est donc à partir du $8$ième semestre, soit à partir de janvier 2020 que le prix de l’abonnement aura dépassé $65$ euros.
   $\quad$
5. La valeur affichée correspond au nombre de semestres nécessaires pour que le prix de l’abonnement dépasse $70$ euros.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. On obtient le tableau suivant :
   
2. L’équation $f(x)=0$ possède $3$ solutions.
   $\quad$
3. Le coefficient directeur de la droite $(BD)$ est :
   $a=\dfrac{y_D-y_B}{x_D-x_B}=\dfrac{-10-14}{4-2}=-12$
   $\quad$
   La droite $(BD)$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ d’abscisse $2$ donc $f'(2)=-12$.
   $\quad$
4. La fonction $f’$ est négative sur l’intervalle $[0;4]$ : on exclut la proposition 2.
   $f'(2)=-12$ : c’est donc la proposition 1 qui convient.
   $\quad$

Partie B

1. $f'(x)=3x^2-6\times 2x=3x^2-12x$.
   $\quad$
2. Ainsi $f'(5)=3\times 5^2-12\times 5=15$.
   $f(5)=5^3-6\times 5^2+30=5$
   Une équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $5$ est $y=f'(5)(x-5)+f(5)$
   Soit $y=15(x-5)+5$
   Donc $y=15x-70$
   $\quad$

Télécharger (PDF, 157KB)

Si l’énoncé ne s’affiche pas directement rafraîchissez l’affichage.