Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2018

Nouvelle Calédonie – Septembre 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Le taux d’évolution globale entre 2011 et 2015 est :
    $t=\dfrac{2~469,030-2~156,069}{2~156,069} \approx 0,1452$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. On appelle $x$ le taux d’évolution annuel moyen des ventes d’insecticides entre 2011 et 2015.
    $\begin{align*} &\phantom{\ssi} 2~156,069\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=2~469,030 \\
    &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^4=\dfrac{2~469,030}{2~156,069} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{2~469,030}{2~156,069}\right)^{1/4} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{2~469,030}{2~156,069}\right)^{1/4} -1\\
    &\ssi x=100\left(\left(\dfrac{2~469,030}{2~156,069}\right)^{1/4}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $x\approx 3,45$.
    Réponse b
    $\quad$
  3. On a pu saisir $=(B3-B2)/B2$
    Réponse a
    $\quad$
  4. En 2020, la quantité d’insecticides vendue sera d’environ :
    $2~469,03\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)^5 \approx 2~231,808$ tonnes.
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $C(12)=4\times 12^2+4\times 12+574=1~198$.
    Les charges de production de $12~000$ pneus s’élèvent donc à $1,198$ millions d’euros.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} R(x)=2~500 &\ssi 130x=2~500 \\
    &\ssi x=\dfrac{2~500}{130} \\
    &\ssi x=\dfrac{250}{13}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{250}{13} \approx 19,231$.
    Il faut donc produire $19~231$ pneus pour obtenir obtenir un chiffre d’affaires de $2~500~000$ euros.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;30]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-4\times 2x+126 \\
    &=-8x+126\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $-8x+126=0 \ssi 8x=126 \ssi x=15,75$
    $-8x+126>0 \ssi -8x>-126 \ssi x<15,75$.
    Par conséquent :
    $B'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;15,75]$;
    $B'(15,75)=0$;
    $B'(x)<0$ sur l’intervalle $[15,75;30]$.
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variation suivant :


    $\quad$
    d. D’après le tableau de variation la fonction $B$ est maximale quand $x=15,75$.
    Il faut donc produire $15~750$ pneus pour obtenir un bénéfice maximal.
    $B(15,75)=418,25$.
    Le bénéfice maximal est alors de $418 250$ euros.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $P(N)=\dfrac{500}{2~000}=0,25$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. $N\cap S$ est l’événement “l’ordinateur est neuf et a un problème de sécurité”.
    $P(N\cap S)=\dfrac{0,25}\times 0,05=0,012~5$.
    $\quad$
  4. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(N\cap S)+P\left(\conj{N}\cap S\right) \\
    &=0,012~5+0,75\times 0,4\\
    &=0,312~5\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(12 \pp T\pp 24) \approx 0,82$.
    Cela signifie que la probabilité que l’intervention du service informatique nécessite entre $12$h et $24$h est d’environ $82\%$.
    $\quad$
  2. On a $P(T\pg 24)\approx 0,16$ d’après la calculatrice.
    La probabilité d’attendre plus d’une journée pour une intervention sur un ordinateur défaillant est d’environ $16\%$.
    $\quad$

Partie C

Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ de la proportion de salariés satisfaits de la maintenance informatique au sein de l’entreprise est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,85-\dfrac{1}{\sqrt{120}};0,85-\dfrac{1}{\sqrt{120}}\right] \\
&\approx [0,75;0,95]\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{94}{120}\approx 0,78 \in I_{120}$.

L’affirmation du directeur est donc correcte.

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A – Premier modèle

  1. D’après la calculatrice, une équation de la droite $D$ est $y=167,1x+4~980$.
    $\quad$
  2. a. En 2021 on a $x=12$.
    Ainsi $y=167,1\times 12+4~980=6~985,2$.
    Le prix d’un hectare de terre en 2021 sera d’environ $6~985,20$ €.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*}  167,1x+4~980\pg 7~000 &\ssi 167,1x\pg 2~020 \\
    &\ssi x \pg \dfrac{2~020}{167,1}\end{align*}$
    Or $\dfrac{2~020}{167,1} \approx 12,09$.
    C’est donc à partir de 2022 que le prix d’un hectare de terre dépassera $7~000$ €.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $u_1=6~030\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)=6~030\times 1,03 =6~210,9$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a  :
    $u_{n+1}=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_n \ssi u_{n+1}=1,03u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$.
    $\quad$
  3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=6~030\times 1,03^n$.
    En 2021, on a $n=5$
    Et $u_5=6~030\times 1,03^5 \approx 6~990,42$.
    Le prix d’un hectare en 221 sera d’environ $6~990,42$ €.
    $\quad$
  4. Cela signifie qu’il faut $6$ ans pour que le prix d’un hectare dépasse $7~000$ €.
    $\quad$

Énoncé

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