Bac STMG – Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Nouvelle Calédonie – Novembre 2019

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre suivant :

    $\quad$
  2. a. $H\cap A$ est l’événement « le client est un homme qui a choisi la formule A ».
    $\quad$
    b. D’après l’arbre de probabilités on a :
    $p(H\cap A)=0,43\times 0,13=0,055~9$
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(F\cap A)+p(H\cap A) \\
    &=0,353~4+0,055~9\\
    &=0,409~3\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_A(H)&=\dfrac{p(A\cap H)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,055~9}{0,409~3} \\
    &\approx 0,136~6\end{align*}$
    La probabilité que le client soit un homme sachant qu’il a choisi la formule A est environ égale à $0,136~6$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $n=400$ et $p=0,77$
    Donc $n\pg 30$, $np=308\pg 5$ et $n(1-p)=92\pg 5$.
    Un intervalle de fluctuation, à au moins $95\%$ de la fréquence des clients abonnés depuis plus de $12$ mois est :
    $\begin{align*} I_{400}&=\left[0,77-\dfrac{1}{\sqrt{400}};0,77+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right] \\
    &=[0,72;0,82]\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a $f=\dfrac{280}{400}=0,7$.
    La fréquence des clients abonnés depuis plus de 12 mois consécutifs dans cette salle est donc égale à $0,7$.
    $\quad$
    b. On a $0,7<0,72$.
    Au risque d’erreur de $5\%$, la responsable peut donc penser que cette salle est moins attractive que les autres salles de la chaîne.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $C(4)=600$.
    Pour la vente de $4$ hectolitres le chiffre d’affaire réalisé est de $6~000$ €.
    $\quad$
    b. $R(4)\approx 250$.
    Le coût de fabrication de $4$ hectolitres est environ égal à $2~500$ €.
    $\quad$
    c. Le bénéfice réalisé pour la vente de $4$ hectolitres est environ égal à $6~000-2~500=3~500$ €.
    $\quad$
    d. D’après le graphique on a $R(4)-C(4)<R(6)-C(6)$.
    Le bénéfice n’est donc pas maximal pour la production et la vente de $4$ hectolitres.
    $\quad$
  2. Les points d’intersection des deux courbes ont pour abscisses environ $1$ et $10,9$.
    L’entreprise doit donc produire entre $1$ et $10,9$ hectolitres environ pour réaliser des profits.
    $\quad$
  3. La droite passe par l’origine du repère. $R$ est donc une fonction linéaire.
    Son coefficient directeur est alors $a=\dfrac{600}{4}=150$
    Ainsi, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;12]$ on a $R(x)=150x$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;12]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-2\times 3x^2+15\times 2x+84 \\
    &=-6x^2+30x+84\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-6x^2+30x+84=0$ est une équation du second degré.
    Son discriminant est $\Delta = 30^2-4\times (-6)\times 84=2~916>0$.
    L’équation possède donc deux solutions réelles :
    $x_1=\dfrac{-30-\sqrt{2~916}}{-12}=7$ et $x_2=\dfrac{-30+\sqrt{2~916}}{-12}=-2$
    $\quad$
    c. Le coefficient principal est $a=-6<0$. Par conséquent $B'(x)\pg 0$ sur $[-2;7]$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    d. D’après le tableau précédent, le bénéfice est maximal quand l’entreprise fabrique et vend $7$ hectolitre de désinfectant.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On peut saisir la formule $=(C3-B3)/B3$
    $\quad$
  2. On appelle $t$ le taux d’évolution annuel moyen entre les années 2010 et 2015.
    On a ainsi :
    $\begin{align*} 530\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^5=1~099&\ssi \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^5=\dfrac{1~099}{530} \\
    &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{1~099}{530}\right)^{1/5} \\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=\left(\dfrac{1~099}{530}\right)^{1/5} -1\\
    &\ssi t=100\left[\left(\dfrac{1~099}{530}\right)^{1/5}-1\right] \end{align*}$
    Ainsi $t\approx 15,7$
    Le taux d’évolution annuel moyen entre les années 2010 et 2015 est environ $15,7 \%$.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après la calculatrice, une équation de la droite cherchée est : $y=105,40x+578,67$
    $\quad$
  2. a. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
    b. En 2019 on a $x=9$ donc $y=105\times 9+579=1~524$.
    Selon ce modèle, on peut estimer $1,524$ millions de visiteurs en 2019.
    $\quad$

Partie C

  1. $v_1=\left(1+\dfrac{15,7}{100}\right)\times 1~099=1,157\times 1~099 =1~271,543$
    En 2016, il y avait donc $1~271~543$ visiteurs.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $v_{n+1}=\left(1+\dfrac{15,7}{100}\right)v_n=1,157v_n$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,157$ et de premier terme $v_0=1~099$.
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=1~099\times 1,157^n$.
    $\quad$
  4. Cela signifie que c’est à partir de l’année 2020 que le parc animalier recevra au moins $2$ millions de visiteurs.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On appelle $P$ le prix avant augmentation.
    On a donc $P\times \left(1+\dfrac{25}{100}\right)=80$
    $\ssi 1,25P=80$
    $\ssi P=\dfrac{80}{1,25}$
    $\ssi 64$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Le nouvel indice est $\dfrac{1~632\times 100}{1~360}=120$
    Réponse c
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*}p(X\pg 2~021)&=P(X\pg 2~019)-P(2~019\pp X\pp 2~021) \\
    &=0,5-P(2~019\pp X\pp 2~021) \\
    &\approx 0,16\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  4. On sait que $P(\mu-2\sigma \pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$
    Donc $P(2~019-2\times 2 \pp X\pp 2~019+2\times 2) \approx 0,95$
    Soit $P(2~015\pp X\pp 2023)\approx 0,95$
    Réponse a
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Une chaîne de salles de sport propose trois formules d’abonnement mensuel:

  • Formule A : accès aux cours collectifs;
  • Formule B : accès libre à la salle de musculation;
  • Formule C : accès libre à la salle de musculation et aux cours collectifs.

Partie A :

On a observé que:

  • $43\%$ des clients de cette chaîne sont des hommes;
  • $13\%$ des hommes et $62\%$ des femmes ont choisi la formule A ;
  • $74\%$ des hommes et $20\%$ des femmes ont choisi la formule B;

Les autres ont choisi la formule C.

On choisit au hasard la fiche d’un client.
On considère les évènements suivants:

  • $F$ : « le client est une femme »;
  • $H$ : « le client est un homme »;
  • $A$ : « le client a choisi la formule A »;
  • $B$ : « le client a choisi la formule B »;
  • $C$ : « le client a choisi la formule C ».

 

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessus:
    $\quad$
  2. a. Définir par une phrase l’évènement $H \cap A$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité $p(H \cap A)$. En donner la valeur exacte.
    $\quad$
  3. Montrer que $p(A) = 0,409~3$.
    $\quad$
  4. Le client a choisi la formule A. Calculer la probabilité que ce soit un homme.
    Le résultat sera arrondi à $10^{-4}$.
    $\quad$

Partie B :

La direction de la chaîne de salles de sport estime que sur l’ensemble des salles, la proportion de clients abonnés depuis plus de $12$ mois consécutifs est $p = 0,77$.

  1. Déterminer un intervalle de fluctuation, à au moins $95\%$, de la fréquence des clients abonnés depuis plus de $12$ mois.
    $\quad$
  2. Dans une des salles de sport de la chaîne, la responsable a observé que, parmi les $400$ clients, $280$ sont restés abonnés depuis plus de 12 mois parmi un échantillon de $400$ clients.
    $\quad$
    a. Calculer la fréquence des clients abonnés depuis plus de $12$ mois consécutifs dans cette salle.
    $\quad$
    b. La responsable peut-elle penser que cette salle est moins attractive que les autres salles de la chaîne ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     6 points

Une entreprise fabrique et vend un produit désinfectant liquide. Chaque jour, elle fabrique $x$ hectolitres de désinfectant avec $x$ compris entre $0$ et $12$. On considère que l’entreprise vend toute sa production.
Le coût de fabrication, en dizaine d’euros, de $x$ hectolitres de ce produit est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;12]$.
Le chiffre d’affaires pour la vente de $x$ hectolitres de produit est $R(x)$, exprimé en dizaines d’euros.
Dans un repère orthogonal du plan, on a tracé les représentations graphiques des fonctions $C$ et $R$.

 

  1. On considère la production d’une journée. Par lecture graphique:
    a. Déterminer le chiffre d’affaires réalisé pour la vente de $4$ hectolitres.
    $\quad$
    b. Déterminer le coût de fabrication de $4$ hectolitres.
    $\quad$
    c. En déduire le bénéfice réalisé pour la vente de $4$ hectolitres.
    $\quad$
    d. Ce bénéfice est-il maximal pour la production et la vente de $4$ hectolitres ?
    Justifier.
  2. Par lecture graphique, donner sous forme d’intervalle, le nombre d’hectolitres que doit produire l’entreprise pour réaliser des profits, c’est-à-dire un bénéfice strictement positif.
    $\quad$
  3. La représentation graphique de la fonction $R$ est une droite qui passe par l’origine du repère et par le point A de coordonnées $(4;600)$.
    Déterminer l’expression de $R(x)$.
    $\quad$
  4. On note $B$ la fonction qui modélise le bénéfice de l’entreprise en fonction du nombre d’hectolitres de désinfectant vendus. Pour $x$ appartenant à l’intervalle $[0;12]$ , on a : $$B(x) = -2x^3 + 15x^2 + 84x-50$$
    a. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation $-6x^2 +30x +84 = 0$.
    $\quad$
    c. Recopier et compléter le tableau de variations ci-dessous:$\quad$
    d. Pour quelle quantité de désinfectant produite et vendue le bénéfice est-il maximal ? Quel est alors le bénéfice ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

La fréquentation d’un parc animalier français depuis l’année 2010 est donnée dans la feuille de calcul ci-dessous, où le nombre de visiteurs est exprimé en milliers.

La ligne 4 de cette feuille de calcul contient les taux d’évolution entre deux années consécutives, arrondis à $0,1$.
Par exemple, le taux d’évolution annuel du nombre de visiteurs entre 2010 et 2011 est de $13,2\%$.

Partie A

  1. Quelle formule peut-on écrire dans la cellule $C4$, qui par recopie vers la droite permet de compléter la ligne 4 ?
    $\quad$
  2. Vérifier que le taux d’évolution annuel moyen entre les années 2010 et 2015 est environ $15,7\%$.
    $\quad$

Partie B

Le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i;y_i\right)$ est représenté dans le graphique en annexe à rendre avec la copie.

  1. Déterminer une équation de la droite d’ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à $0,01$.
    $\quad$
  2. On décide d’ajuster le nuage de points par la droite $D$ d’équation $y = 105x + 579$.
    a. Tracer la droite $D$ sur le graphique donné en annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
    b. Selon ce modèle, déterminer le nombre de visiteurs que l’on peut prévoir en 2019.
    $\quad$

Partie C

On suppose dans cette partie que le nombre de visiteurs dans le parc animalier augmente chaque année de $15,7\%$ à partir de 2015.
On note $v_n$ le nombre de visiteurs, en milliers, en 2015$+ n$. Ainsi, $v_0 = 1~099$.

  1. Calculer le nombre de visiteurs en 2016.
    $\quad$
  2. Justifier que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser la raison.
    $\quad$
  3. En déduire l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. On utilise l’algorithme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N \gets 0\\
    V \gets 1~099\\
    \text{Tant que }V < 2~000\\
    \hspace{1cm}V \gets V \times 1,157\\
    \hspace{1cm}N \gets N + 1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme, on admet que $N = 5$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Annexe

 

$\quad$

Exercice 4     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des trois affirmations proposées est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de l’affirmation choisie.

Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte un point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

  1. Après une augmentation de $25\%$, le prix d’un objet est $80$ euros. Avant cette augmentation, l’objet valait :
    a. $60$ euros
    b. $64$ euros
    c. $100$ euros
    $\quad$
  2. À l’ouverture d’une nouvelle salle de cinéma, on a relevé $1~360$ entrées la première semaine, nombre pris comme indice de base $100$. Trois semaines plus tard, la fréquentation est passée à $1~632$ entrées. L’indice correspondant est :
    a. $20$
    b. $102$
    c. $120$
    $\quad$
  3.  On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $2~019$ et d’écart-type $2$. La probabilité $p(X \pg 2~021)$, arrondie à $0,01$, est égale à :
    a. $0,16$
    b. $0,34$
    c. $0,84$
    $\quad$
  4. On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $2~019$ et d’écart-type $2$.
    On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable aléatoire $X$.
    Parmi les trois figures ci-dessous, celle pour laquelle la probabilité représentée est égale à $0,95$ est :

$\quad$