Exercice 1

1. A l’aide de la calculatrice on obtient l’équation $y=-0,279x+55,594$
   $\quad$
2. a. $y=-0,28x+55,6$
   Si $x=0$ alors $y=55,6$
   Si $x=20$ alors $y=50$.
   
   b. Le 6 mai on a $x=13$ donc $y=-0,28\times 13+55,6=51,96$.
   Selon ce modèle, le 6 mai, le candidat A remporte $51,96\%$ des voix.
   $\quad$
   c. Le candidat B est élu si les intentions de votes pour le candidat A sont inférieures à $50\%$.
   On résout donc
   $\begin{align*} -0,28x+55,6<50 &\ssi -0,28x<-5,6 \\
   &\ssi x >\dfrac{-5,6}{-0,28} \\
   &\ssi x>20
   \end{align*}$
   C’est à partir du 13 mai que le candidat B serait passé en tête des sondages d’après ce modèle.
   $\quad$
3. a. On a $n=1~225 \pg 25$ et $p=0,52$ donc $0,2 \pp p \pp 0,8$.
   Un intervalle de fluctuation au niveau de confiance de $95\%$ est :
   $\begin{align*} I_{1~225}&=\left[0,52-\dfrac{1}{\sqrt{1~225}};0,52+\dfrac{1}{\sqrt{1~225}}\right] \\
   &\approx [0,491;0,549]
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. $0,491<0,5$ donc la victoire de ce candidat n’était pas assurée.
   $\quad$

 

Exercice 2

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
2. D’après l’arbre précédent on a :
   $p(T\cap V)=0,6\times 0,72=0,432$
   $\quad$
3. On veut calculer $p\left(\conj{T}\cap \conj{V}\right)=0,4\times 0,04=0,016$
   $\quad$
4. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(V)&=p(T\cap V)+p\left(\conj{T}\cap V\right) \\
   &=0,432+0,4\times 0,96 \\
   &=0,816
   \end{align*}$
   $\quad$
5. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_V(T)&=\dfrac{p(V\cap T)}{p(V)} \\
   &=\dfrac{0,432}{0,816} \\
   &\approx 0,529
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. On a $U_0=81,6$ donc $U_1=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)\times 81,6=0,95\times 81,6=77,52$
   $U_2=0,95\times U_1=73,644$
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=0,95U_n$
   La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=81,6\times 0,95^n$.
   $\quad$
3. En 2020, on a $n=4$ donc $U_4=81,6\times 0,95^4\approx 66,46$
   En 2020, $66,46\%$ des employés devraient venir en voiture.
   $\quad$
4. On cherche la plus petite valeur de l’entier naturel $n$ tel que :
   $U_n<50 \ssi 81,6 \times 0,95^n<50$
   D’après la calculatrice, on a :
   $U_{9}\approx 51,4$ et $U_{10}\approx 48,9$
   C’est donc à partir de l’année 2026 que moins d’un employé sur deux viendra travailler en voiture.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. Taux d’évolution du salaire net moyen des hommes entre 1990 et 2000 :
   $t_1=\dfrac{21~498-17~643}{17~643}\approx 21,85\%$
   Taux d’évolution du salaire net moyen des femmes entre 1990 et 2000 :
   $t_2=\dfrac{17~259-13~258}{13~258}\approx 30,18\%$
   $\quad$
2. On a $t_2>t_1$ donc les femmes ont la plus forte progression du salaire net moyen entre 1990 et 2000.
   $\quad$
   Taux d’évolution du salaire net moyen des hommes entre 2000 et 2010 :
   $t_3=\dfrac{26~831-21~498}{21~498}\approx 24,81\%$
   Taux d’évolution du salaire net moyen des femmes entre 2000 et 2010 :
   $t_4=\dfrac{22~112-17~259}{17~259}\approx 28,12\%$
   On constate que $t_4>t_3$. La tendance s’est donc confirmée durant les dix années suivantes mais l’écart entre les deux taux d’évolution s’est atténué.
   $\quad$
3. On appelle $t$ le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000.
   On a donc :
   $\begin{align*} \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^{10}=1,218~5 &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=1,218~5^{\frac{1}{10}} \\
   &\ssi \dfrac{t}{100}=1,218~5^{\frac{1}{10}}-1 \\
   &\ssi t=100\times \left(1,218~5^{\frac{1}{10}}-1\right)
   \end{align*}$
   Ainsi le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000 est d’environ $1,996\%$ ce qui est nettement inférieur à celui des femmes.
   $\quad$

Partie B

1. $h(15)=0,25\times 15^3+2\times 15^2+318\times 15+17~865$ $=23~928,75$
   $f(15)=0,6\times 15^3-13\times 15^2+470\times 15+13~324$ $=19~474$
   Cela signifie donc qu’en 2005, le salaire net annuel des hommes était d’environ $23~929$ euros et celui des femmes de $19~474$ euros.
   $\quad$
2. $h(30)=35~955$ et $f(30)=31~924$
   L’écart est donc de $35~955-31~924=4~031$ euros.
   $\quad$
3. L’écart entre ces deux salaires est modélisé par la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0;30]$ (pour aller de 1990 à 2020) par :
   $\begin{align*} g(x)&=h(x)-f(x)\\
   &=0,25x^3+2x^2+318x+17~864-\left(0,6x^3-13x^2+470x+13~324\right) \\
   &=-0,35x^3+15x^2-152x+4~541
   \end{align*}$
   $\quad$
4. $\quad$
   $\begin{align*} g'(x)&=-0,35\times 3x^2+15\times 2x-152 \\
   &=-0,95x^2+30x-152
   \end{align*}$
   $\quad$
5. $g'(x)$ est un polynôme du second degré avec $a=-0,95$, $b=30$ et $c=-152$.
   $\begin{align*} \Delta&=b^2-4ac \\
   &=30^2-4\times (-0,95)\times (-152) \\
   &=900-577,6\\
   &=322,4\\
   &>0\end{align*}$
   Il y a donc deux solutions réelles :
   $x_1=\dfrac{-30-\sqrt{322,4}}{-2\times 0,95} \approx 25,24$
   $x_2=\dfrac{-30+\sqrt{322,4}}{-2\times 0,95} \approx 6,34$
   Puisque $a<0$ on obtient le tableau de signes suivant :
   
6. D’après le tableau de signes précédents on constate que l’écart entre les salaires annuels moyens des hommes et des femmes a augmenté sur l’intervalle $\left[x_2;x_1\right]$ soit environ entre 1997 et 2015. On ne peut donc pas affirmer que cet écart n’a fait que diminuer depuis 1990.
   $\quad$

Partie C

1. $X$ prend la valeur $0$
   $H$ prend la valeur $17865$
   $F$ prend la valeur $13324$
   Tant que $F<H$
   $\quad$ $X$ prend la valeur $X+1$
   $\quad$ $H$ prend la valeur $0,25X^3+2X^2+318X+17865$
   $\quad$ $F$ prend la valeur $0,6X^3-13X^2+470X+13324$
   Fin tant que
   $A$ prend la valeur $1990+X$
   Afficher $A$
   $\quad$
   $\quad$
2. D’après le tableau, cet algorithme affichera $2031$.
   $\quad$

 

Exercice 1    5 points

Des sondages quotidiens ont été effectués avant le second tour d’une élection opposant deux candidats A et B. Les intentions de votes, en pourcentage, pour le candidat A sont données dans le tableau suivant:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Dates:}&24/04 &25/04& 26/04& 27/04& 30/04& 01/05& 02/05 &03/05 &04/05\\
\hline
\text{Rang du jour } x_i&1&2& 3& 4& 7& 8& 9& 10& 11\\
\hline
\text{Pourcentage } y_i&55 &55& 54,5& 55& 54& 53,5& 53& 53& 52\\
\hline
\end{array}$

Par exemple, le 24 avril les intentions de votes pour le candidat A étaient de $55\%$ et pour le candidat B de $45\%$.

Le scrutin aura lieu le 6 mai. Comme il est interdit de publier des résultats de sondages les deux derniers jours avant le scrutin, on ne dispose pas des sondages pour le 5 et le 6 mai.

Le nuage de points de coordonnées $(x_i; y_i)$ pour $i$ variant de $1$ à $11$, est donné en annexe à rendre avec la copie.

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ (arrondir les coefficients au millième).
   $\quad$
2. On décide d’ajuster le nuage avec la droite $D$ d’équation $y = -0,28x+55,6$.
   a. Tracer la droite $D$ sur le graphique figurant sur annexe.
   $\quad$
   b. Déterminer la valeur prévue par ce modèle le 6 mai, jour de l’élection.
   $\quad$
   c. Si l’élection n’avait pas eu lieu le 6 mai, d’après ce modèle, à partir de quelle date le candidat B serait-il passé en tête des sondages ?
   $\quad$
3. Des sondages ont été faits le jour de l’élection mais n’ont pas été communiqués. Un de ces sondages donnait le candidat A à $52\%$. L’institut disait avoir effectué ce sondage sur un échantillon représentatif de $1~225$ personnes.
   a. Au vu de ce dernier sondage, établir l’intervalle de confiance au niveau de $95\%$, pour le résultat du candidat A à l’élection.
   $\quad$
   b. Au vu de cet intervalle, la victoire de ce candidat-semblait elle assurée?
   Justifier la réponse.
   $\quad$

Annexe

Exercice 2    7 points

En 2016 une étude réalisée dans une grande entreprise révèle que $60\%$ des employés peuvent venir travailler grâce aux transports en commun. Parmi ceux-ci, $72\%$ déclarent venir tout de même en voiture. Parmi ceux qui n’ont pas accès aux transports en commun, $96\%$ viennent travailler en voiture.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants:

• $T$ : “L’employé peut utiliser les transports en commun” ;
• $V$ : “l’employé vient travailler en voiture”.

On notera $\conj{T}$ et $\conj{V}$ les événements contraires.
Les résultats seront tous donnés à $0,001$ près.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré donné ci-dessous.
   
2. Calculer la probabilité de l’événement $T\cap V$.
   $\quad$
3. Déterminer la probabilité que l’employé ne puisse pas utiliser les transports en commun et ne vienne pas travailler en voiture.
   $\quad$
4. Justifier que la probabilité de l’événement $V$ est égale à $0,816$.
   $\quad$
5. Sachant que l’employé vient en voiture, quelle est la probabilité qu’il ait accès aux transports en commun ?
   $\quad$

Partie B

L’entreprise souhaite, par diverses incitations, diminuer de $5\%$ par an le pourcentage de ceux qui viennent travailler en voiture.

On note $U_0$ le pourcentage de ces employés en 2016 et pour tout entier $n$, $U_n$ le pourcentage espéré l’année $(2016 + n)$. On a montré dans la partie A que $U_0 = 81,6$.

1. Calculer $U_1$, puis $U_2$.
   $\quad$
2. Déterminer la nature de cette suite puis exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
3. Calculer le pourcentage attendu d’employés venant en voiture en 2020.
   $\quad$
4. D’après ce modèle, à partir de quelle année, y aura-t-il moins d’un employé sur deux qui viendra travailler en voiture?
   $\quad$

Exercice 3    8 points

Une étude de l’INSEE a listé l’évolution en France des salaires nets annuels moyens de 1990 à 2010.

Partie A

On a reporté quelques valeurs dans le tableau ci-dessous :

$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Années:}& 1990& 2000& 2010\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Salaire net annuel moyen pour}\\ \text{les hommes (€) :}\end{array}  & 17~643&21~498&26~831\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Salaire net annuel moyen pour} \\ \text{les femmes (€) :} \end{array} &13~258& 17~259& 22~112\\
\hline
\end{array}$

1. Calculer le taux d’évolution du salaire net moyen des hommes puis celui des femmes, entre 1990 et 2000.
   $\quad$
2. Qui, des hommes ou des femmes, a vu la plus forte progression du salaire net moyen entre 1990 et 2000 ? Cette tendance s’est-elle confirmée durant les dix années suivantes?
   $\quad$
3. Calculer le taux annuel moyen d’évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000 et comparer avec celui des femmes qui est d’environ de $2,7\%$.
   $\quad$

Partie B

En se servant des données de cette étude, on modélise l’évolution des salaires nets annuels moyens jusqu’en 2020 :

• Pour les hommes par la fonction $h$ définie sur $[0;30]$ par: $$h(x) = 0,25x^3+2x^2+318x+17~865$$
• Pour les femmes par la fonction $f$ définie sur $[0;30]$ par: $$f(x) = 0,6x^3-13x^2+470x+13~324$$

Ainsi, $h(0)$ désigne le salaire net annuel des hommes en 1990, $f(1)$ désigne le salaire net annuel des femmes en 1991, etc.

1. Calculer $h(15)$ et $f(15)$ puis interpréter les résultats.
   $\quad$
2. Calculer l’écart des salaires nets annuels moyens prévus par ce modèle entre les hommes et les femmes en 2020.
   $\quad$
3. Montrer que l’écart entre ces deux salaires peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur $[0;30]$ par : $$g(x) = -0, 35x^3+15x^2-152x+4~541$$
   $\quad$
4. On note $g’$ la dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$.
   $\quad$
5. Déterminer le signe de $g'(x)$ sur $[0;30]$.
   $\quad$
6. Peut-on affirmer que l’écart entre les salaires nets annuels moyens des hommes et des femmes n’a fait que diminuer depuis 1990 ?
   $\quad$

Partie C

Le modèle choisi indique que l’écart entre le salaire des hommes et celui des femmes diminue à partir de 2012. On suppose que ce modèle peut être valable jusqu’en 2040.

1. Compléter l’algorithme, donné en annexe, pour qu’il affiche à partir de quelle année, avec ce modèle, le salaire des femmes aura rattrapé celui des hommes.
   $\quad$
2. En utilisant le tableau donné ci-dessous, dire ce qu’affichera l’algorithme.
   

Annexe

$X$ prend la valeur $0$
$H$ prend la valeur $17~865$
$F$ prend la valeur $13~324$
Tant que $\ldots\ldots < \ldots\ldots$
$\quad$ $X$ prend la valeur $X+1$
$\quad$ $H$ prend la valeur $0,25 X^3+2X^2+318X+17~865$
$\quad$ $F$ prend la valeur $0,6 X^3-13X^2+470X+13~324$
Fin tant que
$A$ prend la valeur $1990+\ldots\ldots$
Afficher $A$