Exercice 1

1. La population d’oiseaux diminue de $3\%$.
   $u_1=(1-0,03)u_0=0,97\times 300=291$.
   Réponse A
   $\quad$
2. La population d’oiseaux diminue de $3\%$.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a  $u_{n+1}=(1-0,03)u_n=0,97u_n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,97$ et de premier terme $u_0=300$.
   Réponse C
   $\quad$
3. On peut saisir la formule $=B2*0,97$.
   Réponse D
   $\quad$
4. On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n \pp 150$.
   On a $u_{22}=153$ et $u_{23}=149$.
   C’est donc à partir du rang $n=23$ que $u_n\pp 150$.
   $2017+23=2040$
   Réponse B
   $\quad$

 

Exercice 2

1. On veut calculer $P(35 \pp X \pp 50)\approx 0,82$ d’après la calculatrice.
   $\quad$
2. $P(X \pg 45) = 0,5-P(40\pp X \pp 45) \approx 0,16$
   $\quad$
3. La variable aléatoire $Y$ suit une loi normale et vérifie $P(Y \pg 45)=0,5$.
   Par conséquent $\mu=45$.
   $\quad$
   $P(37 \pp Y \pp 53) \approx 0,95 \ssi P(\mu-2\sigma\pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$.
   Par conséquent $45-2\sigma=37 \ssi \sigma = 4$.
   $\quad$

 

Exercice 3

1. Voir graphique
   $\quad$
2. a. À l’aide de la calculatrice, on obtient qu’une équation de la droite d’ajustement est $y=8,4x-4,4$.
   $\quad$
   
   $\quad$
   b. En 1990, on a $x=35$ donc $y=8,4\times 35-4,4=289,6$.
   On peut donc estimer, selon ce modèle, qu’il y a eu $290$ catastrophes naturelles en 1990.
   $\quad$
3. $414\times (1+0,27)=414\times 1,27=525,78$.
   L’année 2000 a donc compté $526$ catastrophes naturelles.
   $\quad$
4. On cherche la valeur de $x$ telle que :
   $\begin{align*} \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^{16}=1-\dfrac{43,5}{100} &\ssi \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^{16}=0,565 \\
   &\ssi 1-\dfrac{x}{100}=0,565^{1/16} \\
   &\ssi -\dfrac{x}{100}=0,565^{1/16}-1 \\
   &\ssi x=100\left(1-0,565^{1/16}\right)
   \end{align*}$
   Donc $x=100\left(1-0,565^{1/16}\right)  \approx 3,5$.
   Le taux d’évolution annuel moyen sur la période de 2000 à 2016 est environ égal à $3,5\%$.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. On obtient l’arbre de probabilités suivant :
   
   $\quad$
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(B)&=p(C\cap B)+p\left(\conj{C}\cap B\right) \\
   &=0,7\times \dfrac{4}{7}+0,3\times \dfrac{2}{3} \\
   &=0,6
   \end{align*}$
   La probabilité que le véhicule choisi roule aux biocarburants est de $60\%$.
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_B\left(\conj{C}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{C}\cap B\right)}{p(B)} \\
   &=\dfrac{0,3\times \dfrac{2}{3}}{0,6} \\
   &=\dfrac{1}{3}
   \end{align*}$
   La probabilité que ce soit un véhicule sans chauffeur sachant que le véhicule roule aux biocarburants est $\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$

Partie B

1. Si $x=30$ alors
   $f(30)=\dfrac{8\times 30^2-800\times 30+30~000}{30^2}=\dfrac{44}{3} \approx 14,67$.
   Lorsque le véhicule roule à $30$ km/h, il consomme environ $14,67$ litres pour $100$ km.
   $\quad$
   Si $x=50$ alors
   $f(50)=\dfrac{8\times 50^2-800\times 50+30~000}{50^2}=4$.
   Lorsque le véhicule roule à $50$ km/h, il consomme environ $4$ litres pour $100$ km.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$. On a donc $f'(x)=\dfrac{u'(x)\times v(x)-v'(x)\times u(x)}{\left(v(x)\right)^2}$
   Avec $u(x)=8x^2-800x+30~000$ $\quad$ $u'(x)=8\times 2x-800=16x-800$
   et $v(x)=x^2$ $\quad$ $v'(x)=2x$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(16x-800)x^2-2x\left(8x^2-800x+30~000\right)}{x^4} \\
   &=\dfrac{16x^3-800x^2-16x^3+1~600x^2-60~000x}{x^4} \\
   &=\dfrac{800x^2-60~000x}{x^4} \\
   &=\dfrac{800x-60~000}{x^3}
   \end{align*}$
   $\quad$
3. Sur l’intervalle $[30;130]$, on a $x^3 > 0$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $800x-60~000$.
   Or $800x-60~000=0 \ssi 800x=60~000\ssi x=75$
   et  $800x-60~000>0 \ssi 800>60~000\ssi x>75$
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   
   avec $f(30) \approx 14,67$, $f(75) \approx 2,67$ et $f(130) \approx 3,62$.
   $\quad$
4. La consommation est donc minimale, d’après le tableau de variation, quand on roule à la vitesse de $75$ km/h. La voiture consomme alors environ $2,67$ litres pour $100$ km.
   $\quad$
5. À la fin de l’exécution de l’algorithme on a $x=51$.
   Cela correspond à la plus basse vitesse (arrondie par excès) à partir de laquelle la consommation est inférieure à $4$ litres pour $100$ km.
   $\quad$

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque affirmation, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est attendue.
Une réponse correcte rapporte un point, une réponse incorrecte ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Une espèce d’oiseaux rares voit sa population diminuer de $3 \%$ chaque année.
On recense $300$ oiseaux de cette espèce en 2017.
On modélise le nombre d’oiseaux de cette espèce en l’année 2017$+n$ par une suite $\left(u_n\right)$ .
Ainsi $u_0=300$ .

1. En 2018, la population sera de :
   a. $291$ oiseaux
   b. $297$ oiseaux
   c. $90$ oiseaux
   d. $210$ oiseaux
   $\quad$
2. La suite $\left(u_n\right)$ est :
   a. arithmétique de raison $-9$
   b. géométrique de raison $0,03$
   c. géométrique de raison $0,97$
   d. ni arithmétique, ni géométrique
   $\quad$
3. On donne la feuille de tableur ci-dessous :
   
   Quelle formule saisie dans la cellule $B3$ permettra d’afficher les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ en l’étirant vers le bas?
   a. $=B2-0,03$
   b. $=B2*0,03$
   c. $=B2*0,97\wedge A3$
   d. $=B2*0,97$
   $\quad$
4. On donne un extrait des résultats obtenus dans la feuille de tableur précédente :
   
   On peut en déduire que la population aura diminué de moitié par rapport à 2017 à partir de :
   a. 2039
   b. 2040
   c. 2041
   d. 2042
   $\quad$

Exercice 2     3 points

On choisit au hasard un salarié dans une première entreprise. On modélise l’âge du salarié par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $40$ et d’écart type $5$.

Si besoin, on arrondira les probabilités à $10^{-2}$.

1. Calculer la probabilité que le salarié ait entre $35$ et $50$ ans.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité de l’événement $(X \pg 45)$.
   $\quad$
3. Dans une deuxième entreprise, on choisit un salarié. L’âge du salarié choisi est modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale telle que $P(Y\pg 45) = 0,5$ et $P(37\pp Y\pp 53)\approx 0,95$ .
   Déterminer les valeurs de l’espérance $\mu$ et de l’écart type $\sigma$ de la loi normale suivie par $Y$.
   $\quad$

Exercice 3     5 points

Le tableau ci-dessous donne le nombre de catastrophes naturelles dans le monde en 1955, 1966, 1977, 1988 et 1999 :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&1955&1966&1977&1988&1999\\
\hline
\text{Rang de l’année } x_i&0&11&22&33&44\\
\hline
\text{Nombre de catastrophe naturelles } y_i&30&81&140&237&414\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{7.5cm}\scriptsize{Source~:~https://www.notre – planete.info}$

1. Dans le repère fourni en annexe (à rendre avec la copie), représenter le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé au tableau précédent.
   $\quad$
2. a. À l’aide de votre calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. La tracer sur le graphique fourni en annexe.
   $\quad$
   b.  En se servant de cet ajustement, estimer le nombre de catastrophes naturelles ayant eu lieu en 1990.
   $\quad$
3. De 1999 à 2000 on a enregistré une augmentation de $27 \%$ du nombre de catastrophes naturelles.
   Combien de catastrophes naturelles l’année 2000 a-t-elle comptées ?
   $\quad$
4. De 2000 à 2016, le nombre de catastrophes naturelles a diminué de $43,5 \%$.
   Déterminer le taux d’évolution annuel moyen sur cette période.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 4     8 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Dans le pays Ecoland, en 2080, les véhicules roulent exclusivement à l’électricité ou aux biocarburants. Par ailleurs, il existe des véhicules sans chauffeur.

$70\%$ des véhicules sont avec chauffeurs. Parmi eux, $\dfrac{4}{7}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l’électricité.

$30\%$ des véhicules sont sans chauffeur. Parmi eux, $\dfrac{2}{3}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l’électricité.

On choisit un véhicule de ce pays au hasard et on note :
$C$ l’événement : « le véhicule est avec chauffeur » ;
$B$ l’événement : « le véhicule roule aux biocarburants » ;
$E$ l’événement : « le véhicule roule à l’électricité ».

Les probabilités seront exprimées en valeur exacte (fraction irréductible ou forme décimale).

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous permettant de modéliser la situation :
   
   où $\conj{C}$ désigne l’événement contraire de $C$.
   $\quad$
2. Déterminer la probabilité que le véhicule choisi roule aux biocarburants.
   $\quad$
3. On suppose que le véhicule choisi roule aux biocarburants.
   Déterminer la probabilité que ce soit un véhicule sans chauffeur.
   $\quad$

Partie B

On s’intéresse à la consommation d’un véhicule roulant aux biocarburants en fonction de la vitesse de ce véhicule.
Cette consommation est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[30;130]$ par :
$f(x)=\dfrac{8x^2-800x+30~000}{x^2}$ pour $x$ dans $[30;130]$,
où $x$ est exprimé en km/h et $f(x)$ est exprimé en litres pour $100$ km.

1. Suivant ce modèle, lorsque le véhicule roule à $30$ km/h, quelle est sa consommation ? Et lorsqu’il roule à $50$ km/h ?
   $\quad$
2. Montrer que la dérivée $f’$ de $f$ sur $[30;130]$ peut s’écrire $f'(x)=\dfrac{800x-60~000}{x^3}$.
   $\quad$
3. Étudier le signe de $f ‘( x)$ sur $[30;130 ]$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
   $\quad$
4. Pour quelle vitesse la consommation est-elle minimale ?
   Que vaut alors cette consommation (arrondir à $0,01$ près) ?
   $\quad$
5. On considère l’algorithme ci-dessous :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   x\leftarrow 30\\
   y\leftarrow \dfrac{44}{3} \\
   \text{Tant que } y \pg 4\\
   \hspace{1cm} x \leftarrow x+1\\
   \hspace{1cm} y\leftarrow \dfrac{8x^2-800x+30~000}{x^2}\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Quelle est la valeur de la variable $x$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
   En donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$