Bac STMG – Polynésie – Septembre 2017

Centres Polynésie – Septembre 2017

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. On cherche la valeur de $t$ telle que :
    $\begin{align*} \left(1+\dfrac{t}{100}\right)^3=1,3 &\ssi 1+\dfrac{t}{100}=1,3^{1/3}\\
    &\ssi \dfrac{t}{100}=1,3^{1/3}-1\\
    &\ssi t=100\times \left(1,3^{1/3}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $t=\approx 9,14$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On veut trouver la valeur de $x$ telle que :
    $\begin{align*} \left(1-\dfrac{12}{100}\right)^2\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,88^2\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{0,88^2} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{0,88^2}-1\\
    &\ssi x=100\left(\dfrac{1}{0,88^2}-1\right)
    \end{align*}$
    Donc $x\approx 29,13$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[-2,5;4]$ et $-1\in[-2,5;4]$.
    Par conséquent $f'(-1)<0$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ du taux de remplissage des chambres en France est :
    $\begin{align*} I_{850}&=\left[0,748-\dfrac{1}{\sqrt{850}};0,748+\dfrac{1}{\sqrt{850}}\right] \\
    &\approx [0,713;0,783]
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Le taux d’évolution du nombre d’incivilité entre ces deux dates est :
    $t=\dfrac{375-857}{857}\approx -0,562$.
    Il s’agit donc d’une baisse d’environ $56,2\%$
    Le maire a par conséquent tort.
    $\quad$
  2. D’après la calculatrice, une équation de la droite qui réalise un ajustement du nuage de points par la méthode des moindres carrés est $y=-124,03x+916,57$
    $\quad$
  3. On obtient le graphique suivant :
    $\quad$
  4. En 2018, on a $x=7$ donc $y=-124\times 7+917=49$.
    Cet ajustement prévoit $49$ incivilités en 2018.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. a. $p(D\cap I)=0,6\times 0,12=0,072$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(I)&=p(D\cap I)+p\left(\conj{D}\cap I\right) \\
    &=0,072+0,4\times 0,21\\
    &=0,156\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_I\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(I\cap \conj{D}\right)}{p(I)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,21}{0,156} \\
    &\approx 0,538
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. $P(X<9~500)=0,5+P(9~000<X<9~500)\approx 0,867$
    $\quad$
  2. $P(8~100<X<9~900)=0,954$
    Remarque : C’est aussi $P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)$
    $\quad$
  3. $P(X>8~750)=0,5+P(8~750<X<9~000)\approx 0,711<0,75$
    Il a par conséquent moins de $3$ chances sur $4$ d’atteindre cet objectif.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $c_2=35\times (1-0,18)=35\times 0,82=28.7$
    $c_3=28,7\times 0,82=23,534 \approx 23,5$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $c_{n+1}=0,82c_n$.
    La suite $\left(c_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,82$ et de premier terme $c_1=35$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $c_n=35\times 0,82^{n-1}$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $c_{12}=35\times 0,82^{11}\approx 3,94$.
    Le chiffre d’affaires du moi de décembre 2018 sera d’environ $3,94$ millions d’euros.
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ non nul tel que  $c_n<5$.
    $c_{10}\approx 5,87$ et $c_{11}\approx 4,81$.
    C’est donc au mois de novembre que le chiffre d’affaires mensuel sera pour la première fois inférieur à $5$ millions d’euros.
    $\quad$
  4. Variables :
    $\quad$ $U$ nombre réel
    $\quad$ $N$ nombre entier
    Traitement :
    $\quad$ $U$ prend la valeur $35$
    $\quad$ $N$ prend la valeur $1$
    $\quad$ TANT QUE $U\pg 5$
    $\qquad$ $U$ rend la valeur $U\times 0,82$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\quad$ FIN TANT QUE
    Sortie :
    $\quad$ AFFICHER $N$
    $\quad$

Partie B

  1. $f(x)=\dfrac{15x+20}{x}=15+\dfrac{20}{x}$.
    Ainsi $f'(x)=-\dfrac{20}{x^2} < 0$ sur l’intervalle $[1;12]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[1;12]$.
    De plus $f(12)\approx 16,67$
    Donc, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1;12]$ on a $f(x)\pg f(12)>15$.
    Le chiffre d’affaires mensuel restera supérieur à $15$ millions d’euros durant l’année 2018.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte, une absence de réponse ou une
réponse multiple ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. Le prix d’un article vendu dans un magasin a augmenté de $30\%$ durant les $3$ derniers mois.
    Le taux d’évolution mensuel moyen est, à $0,01\%$ près :
    a. $9,14\%$
    b. $10\%$
    c. $11,21\%$
    d. $12,45\%$
    $\quad$
  2. Lors d’une période de promotion, le prix d’un produit ménager a subi deux baisses de $12\%$ consécutives. Le fabriquant désire lui appliquer une hausse pour revenir au prix initial avant la période de promotion. Cette hausse doit être :
    a. de $24\%$
    b. de $28,45\%$
    c. de $29,13\%$
    d. supérieure à $30\%$
    $\quad$
  3. Voici le tableau de variations d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-5;8]$.

    On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. $f'(-2,5)=1$
    b. $f'(-1) < 0$
    c. $f'(-1)=4$
    d. $f'(0)=2$
    $\quad$
  4. Une chaîne d’hôtels internationale annonce un taux de remplissage de ses chambres de $74,8\%$ pour l’année 2015 dans le monde. Cette année là, cette chaîne possédait $850$ chambres en France.
    Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ du taux de remplissage des chambres en France pour 2015 est :
    a. $[74,80;74,84]$
    b. $[0,747;0,749]$
    c. $[0,713;0,783]$
    d. $[0,715;0,780]$
    $\quad$

Exercice 2    4 points

Le maire d’une ville a mis en place une politique pour réduire les incivilités sur les voies publiquesde sa commune.
Un bilan a été établi pour comptabiliser le nombre d’incivilités durant les 6 dernières années et ces données sont résumées dans le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2011&2012&2013&2014&2015&2016\\
\hline
\text{Rang de l’année }x_i&0&1&2&3&4&5\\
\hline
\text{Nombre d’incivilités }y_i&857&810&720&604&375&273\\
\hline
\end{array}$
Les points de coordonnées $(x_i; y_i)$ sont représentés dans le graphique de l’annexe à rendre avec la copie.

  1. Le maire annonce à ses concitoyens que sa politique de lutte contre les incivilités a permis de réduire leur nombre de plus de $60%$ entre 2011 et 2015.
    A-t-il raison ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $(x_i
    ; y_i)$ par la méthode des moindres carrés.
    On arrondira les coefficients à $0,01$ près.$\quad$

Pour la suite, on prendra comme ajustement affine la droite $D$ d’équation $y=-124x+917$.

  1. Tracer la droite $D$ sur la figure donnée en annexe.
    $\quad$
  2. Combien d’incivilités ce modèle d’ajustement prévoit-il pour l’année 2018.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3    6 points

Partie A

Un centre d’appel téléphonique propose ses services pour réaliser un démarchage par téléphone afin de vendre des offres d’abonnement à la télévision par internet. Dans ce centre sont employés deux types de collaborateurs : des expérimentés et des débutants.
La proportion des débutants est de $60\%. On constate que

  • $12\%$ des personnes contactées par un collaborateur débutant se déclarent intéressées par les offres d’abonnement,
  • $21\%$ des personnes contactées par un collaborateur expérimenté se déclarent intéressées par les offres d’abonnement.

On choisit au hasard le dossier d’une personne contactée par le centre d’appel et on considère les événements suivants :

  • $D$ : « la personne est contactée par un débutant »
  • $I$ : « la personne contactée se déclare intéressée par les offres d’abonnement »

On note $\conj{D}$ et ̄$\conj{I}$ les événements contraires.

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité de l’événement $D\cap I$.
    $\quad$
    b. Justifier que la probabilité que la personne se déclare intéressée par les offres d’abonnement est de $0,156$.
    $\quad$
  3. La personne choisie se déclare intéressée par les offres d’abonnement.
    Déterminer à $0,001$ près, la probabilité qu’elle ait été contactée par un collaborateur expérimenté.
    $\quad$

Partie B

On modélise le nombre de personnes contactées en une semaine par ce centre d’appel par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $9~000$ et d’écart-type $450$.

  1. Déterminer la probabilité que moins de $9~500$ personnes soient contactées en une semaine.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité $P(8~100< X < 9~900)$ .
    $\quad$
  3. L’objectif est de contacter au moins $8~750$ personnes en une semaine.
    A-t-on plus de $3$ chances sur $4$ d’atteindre cet objectif ?
    $\quad$

Exercice 4    6 points

Une entreprise qui connait des difficultés économiques souhaite réaliser des prévisions de son chiffre d’affaires mensuel pour l’année 2018.

Partie A

On estime que le chiffre d’affaires mensuel sera de $35$ millions d’euros en janvier 2018 et que celui-ci diminuera chaque mois de $18\%$.
On définit la suite $\left(c_n\right)$ en notant $c_n$ le chiffre d’affaires exprimé en millions d’euros pour le $n$-ième mois de l’année 2018 ; on a ainsi $c_1=35$ .

  1. Calculer la valeur de $c_2$ et vérifier qu’une valeur approchée de $c_3$ est $23,5$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer la nature de la suite $\left(c_n\right)$.
    $\quad$
    b. Donner la valeur du chiffre d’affaires pour le mois de décembre 2018.
    $\quad$
  3. Au cours de quel mois le chiffre d’affaires mensuel sera-t-il pour la première fois inférieur à $5$ millions d’euro?
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme incomplet ci-dessous :
    Variables :
    $\quad$ $U$ nombre réel
    $\quad$ $N$ nombre entier
    Traitement :
    $\quad$ $U$ prend la valeur $35$
    $\quad$ $N$ prend la valeur $1$
    $\quad$ TANT QUE $U \pg 5$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $\ldots\ldots\ldots$
    $\qquad$ $N$^prend la valeur $N+1$
    $\quad$ FIN TANT QUE
    Sortie :
    $\quad$ AFFICHER $\ldots\ldots\ldots
    $\quad$
    Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il réponde à la question 3. précédente.
    $\quad$

Partie B

Cette entreprise a la possibilité de bénéficier d’une aide de l’Etat.
Avec cette aide, on modélise le chiffre d’affaires mensuel en millions d’euros par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1;12 ]$ par $f (x )=\dfrac{15 x+ 20}{x}$. Ainsi, $f (1)$ désigne le chiffre d’affaires du mois de janvier, $f(2)$ désigne le chiffre d’affaires du mois de février, etc.

  1. Déterminer l’expression de $f'( x)$ où $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
    Donner le signe de $f'( x)$ sur l’intervalle $[1;12]$.
    $\quad$
  2. Montrer qu’avec ce modèle, le chiffre d’affaires mensuel restera supérieur à $15$ millions d’euros durant l’année 2018.
    $\quad$