Bac STMG – Polynésie – Septembre 2018

Polynésie – Septembre 2018

Bac STMG – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Base}&100&123,5\\
    \hline
    \text{Prix}&P&4~500\\
    \hline
    \end{array}$
    Par conséquent $P=\dfrac{100\times 4~500}{123,5} \approx 3~643,72$.
    $\quad$
  2. On peut écrire $=B4*C2/B2$
    $\quad$
  3. a. Le taux d’évolution du prix du beurre de janvier à août 2017 est $t=\dfrac{179,9-123,5}{123,5}\approx 45,7\%$
    $\quad$
    b. On appelle $x$ le taux d’évolution mensuel moyen sur cette période.
    $\begin{align*} 123,5\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=179,9 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7 = \dfrac{179,9}{123,5} \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{179,9}{123,5}\right)^{1/7} \\
    &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{179,9}{123,5}\right)^{1/7}-1 \\
    &\ssi x=100\left[\left(\dfrac{179,9}{123,5}\right)^{1/7}-1\right]\end{align*}$
    Par conséquent $x \approx 5,5$.
    Le taux d’évolution moyen sur la période de janvier à août 2017 est d’environ $5,5\%$.
    $\quad$
  4. Le $1\ier$ mai 2017 le prix de la tonne de beurre était d’environ $\dfrac{4~500}{139,6}{123,5}\approx 5~087$ euros
    $\quad$
  5. a. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Base}&123,5&I\\
    \hline
    \text{Prix}&4~500&6~500\\
    \hline
    \end{array}$
    Donc $I=\dfrac{123,5\times 6~500}{4~500} \approx 178,4$.
    L’indice du prix du beurre le $1\ier$ octobre 2017 est environ égal à $178,4$.
    $\quad$
    b. $9$ mois séparent le mois de janvier d’octobre.
    Si le taux d’évolution mensuel moyen est d’environ $5,5\%$ sur cette période alors le prix de la tonne de beurre est de :
    $4~500\times \left(1+\dfrac{5,5}{100}\right)^{9}\approx 7~286$
    Le prix obtenu est très différent de celui constaté. L’évolution moyenne de $5,5\%$ ne s’est donc par poursuivie après le mois d’août.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Campagne de publicité

  1. On a $f(1)=\dfrac{9}{10+40}=0,18$
    La probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après une semaine de publicité est de $0,18$.
    $\quad$
    On a $f(2)=\dfrac{18}{20+40}=0,3$
    La probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après deux semaines de publicité est de $0,3$.
  2. Pour tout nombre $x$ de l’intervalle $[0;26]$
    On utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$.
    Avec $u(x)=9x$ donc $u'(x)=9$ et $v(x)=10x+40$ donc $v'(x)=10$.
    Par conséquent
    $\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{9(10x+40)-10\times 9x}{(10x+40)^2}  \\
    &=\dfrac{90x+360-90x}{(10x+40)^2} \\
    &=\dfrac{360}{(10x+40)^2}
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. $360>0$ et un carré est toujours positif.
    Par conséquent $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;26]$.
    $\quad$
  4. a. On veut résoudre l’inéquation sur l’intervalle $[0;26]$ :
    $\begin{align*} f(x)\pg 0,75 &\ssi \dfrac{9x}{10x+40}\pg 0,75 \\
    &\ssi 9x \pg 0,75(10x+40) \\
    &\ssi 9x \pg 7,5x+30 \\
    &\ssi 1,5x \pg 30 \\
    &\ssi x \pg \dfrac{30}{1,5} \\
    &\ssi x \pg 20
    \end{align*}$
    À la fin de l’exécution de l’algorithme la variable $x$ a pris la valeur $20$.
    $\quad$
    b. Cela signifie qu’après $20$ semaines de publicité la probabilité qu’une personne connaisse le téléviseur est de $75\%$.
    $\quad$

Partie B : Durée de vie d’un téléviseur

  1. a. D’après le graphique $\mu=84$.
    $\quad$
    b. On a $P(X  \pp 44)=0,025$ donc $P(X \pp 84-40)=0,025$
    Donc $P(X  \pg 84+40)=0,025$ soit $P(X \pg 124) =0,025$.
    Par conséquent $P(44 \pp X \pp 124)=1-2\times 0,025=0,95$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la calculatrice on trouve :
    $P(X >120)=0,5-P(84\pp X \pp 120) \approx 0,04$
    $\quad$
  3. La publicité disait donc que $P(X \pg 12\times 10) >0,75$.
    D’après la question précédente, on sait que $P(X \pg 120) \approx 0,04$.
    La campagne de publicité était donc fausse.
    $\quad$

Partie C : Service après-vente

  1. On obtient l’arbre suivant :

    $\quad$

  2. On veut calculer :
    $p\left(G\cap \conj{A}\right)=0,4\times 0.28=0,112$.
    La probabilité que le client ait souscrit une garantie de deux ans et qu’il n’ait pas contacté le SAV est de $0,112$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(A)&=p(G\cap A)+p\left(\conj{G}\cap A\right) \\
    &=0,4\times 0,28+0,6\times 0,8 \\
    &=0,592\end{align*} $
    Par conséquent la probabilité que le client n’ait pas contacté le SAV est de $0,592$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. À l’aide de la calculatrice on obtient $y=0,288x+2,886$.
    $\quad$
  2. a. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
    b. En 2018 on a $x=5$.
    Donc $y=0,3\times 5+2,9=4,4$.
    Selon ce modèle, en 2018 un individu passe en moyenne $4,4$ h devant un écran par jour.
    $\quad$
    c. On veut résoudre l’équation
    $0,3x+2,9=5 \ssi 0,3x=2,1 \ssi x=7$
    C’est donc en $2020$ que, selon ce modèle, qu’on atteindra les $5$ h quotidienne devant un écran.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $U_{n+1}=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)U_n$
    Soit $U_{n+1}=1,05U_n$.
    La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
    $\quad$
  2. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a :
    $U_n=3,97\times 1,05^n$.
    $\quad$
  3. En 2019, on a $n=2$.
    Ainsi $U_2=3,97\times 1,05^2 \approx 4,38$.
    Selon ce modèle, en 2019, on passera environ $4,38$ heures devant un écran.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $ U_n \pg 5 \ssi 3,97 \times 1,05^n \pg 5$
    D’après la calculatrice, on trouve :
    $U_4 \approx 4,83$ et $U_5 \approx 5,07$.
    C’est donc en 2022 qu’on devrait dépasser les $5$ heures quotidiennes devant un écran.
    $\quad$

 

Énoncé

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