Exercice 1

1. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
   $\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   \text{Base}&100&123,5\\
   \hline
   \text{Prix}&P&4~500\\
   \hline
   \end{array}$
   Par conséquent $P=\dfrac{100\times 4~500}{123,5} \approx 3~643,72$.
   $\quad$
2. On peut écrire $=B4*C2/B2$
   $\quad$
3. a. Le taux d’évolution du prix du beurre de janvier à août 2017 est $t=\dfrac{179,9-123,5}{123,5}\approx 45,7\%$
   $\quad$
   b. On appelle $x$ le taux d’évolution mensuel moyen sur cette période.
   $\begin{align*} 123,5\times \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7=179,9 &\ssi \left(1+\dfrac{x}{100}\right)^7 = \dfrac{179,9}{123,5} \\
   &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{179,9}{123,5}\right)^{1/7} \\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{179,9}{123,5}\right)^{1/7}-1 \\
   &\ssi x=100\left[\left(\dfrac{179,9}{123,5}\right)^{1/7}-1\right]\end{align*}$
   Par conséquent $x \approx 5,5$.
   Le taux d’évolution moyen sur la période de janvier à août 2017 est d’environ $5,5\%$.
   $\quad$
4. Le $1\ier$ mai 2017 le prix de la tonne de beurre était d’environ $\dfrac{4~500}{139,6}{123,5}\approx 5~087$ euros
   $\quad$
5. a. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
   $\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   \text{Base}&123,5&I\\
   \hline
   \text{Prix}&4~500&6~500\\
   \hline
   \end{array}$
   Donc $I=\dfrac{123,5\times 6~500}{4~500} \approx 178,4$.
   L’indice du prix du beurre le $1\ier$ octobre 2017 est environ égal à $178,4$.
   $\quad$
   b. $9$ mois séparent le mois de janvier d’octobre.
   Si le taux d’évolution mensuel moyen est d’environ $5,5\%$ sur cette période alors le prix de la tonne de beurre est de :
   $4~500\times \left(1+\dfrac{5,5}{100}\right)^{9}\approx 7~286$
   Le prix obtenu est très différent de celui constaté. L’évolution moyenne de $5,5\%$ ne s’est donc par poursuivie après le mois d’août.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A : Campagne de publicité

1. On a $f(1)=\dfrac{9}{10+40}=0,18$
   La probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après une semaine de publicité est de $0,18$.
   $\quad$
   On a $f(2)=\dfrac{18}{20+40}=0,3$
   La probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après deux semaines de publicité est de $0,3$.
2. Pour tout nombre $x$ de l’intervalle $[0;26]$
   On utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$.
   Avec $u(x)=9x$ donc $u'(x)=9$ et $v(x)=10x+40$ donc $v'(x)=10$.
   Par conséquent
   $\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{9(10x+40)-10\times 9x}{(10x+40)^2}  \\
   &=\dfrac{90x+360-90x}{(10x+40)^2} \\
   &=\dfrac{360}{(10x+40)^2}
   \end{align*}$
   $\quad$
3. $360>0$ et un carré est toujours positif.
   Par conséquent $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;26]$.
   $\quad$
4. a. On veut résoudre l’inéquation sur l’intervalle $[0;26]$ :
   $\begin{align*} f(x)\pg 0,75 &\ssi \dfrac{9x}{10x+40}\pg 0,75 \\
   &\ssi 9x \pg 0,75(10x+40) \\
   &\ssi 9x \pg 7,5x+30 \\
   &\ssi 1,5x \pg 30 \\
   &\ssi x \pg \dfrac{30}{1,5} \\
   &\ssi x \pg 20
   \end{align*}$
   À la fin de l’exécution de l’algorithme la variable $x$ a pris la valeur $20$.
   $\quad$
   b. Cela signifie qu’après $20$ semaines de publicité la probabilité qu’une personne connaisse le téléviseur est de $75\%$.
   $\quad$

Partie B : Durée de vie d’un téléviseur

1. a. D’après le graphique $\mu=84$.
   $\quad$
   b. On a $P(X  \pp 44)=0,025$ donc $P(X \pp 84-40)=0,025$
   Donc $P(X  \pg 84+40)=0,025$ soit $P(X \pg 124) =0,025$.
   Par conséquent $P(44 \pp X \pp 124)=1-2\times 0,025=0,95$.
   $\quad$
2. À l’aide de la calculatrice on trouve :
   $P(X >120)=0,5-P(84\pp X \pp 120) \approx 0,04$
   $\quad$
3. La publicité disait donc que $P(X \pg 12\times 10) >0,75$.
   D’après la question précédente, on sait que $P(X \pg 120) \approx 0,04$.
   La campagne de publicité était donc fausse.
   $\quad$

Partie C : Service après-vente

1. On obtient l’arbre suivant :
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $p\left(G\cap \conj{A}\right)=0,4\times 0.28=0,112$.
   La probabilité que le client ait souscrit une garantie de deux ans et qu’il n’ait pas contacté le SAV est de $0,112$.
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(A)&=p(G\cap A)+p\left(\conj{G}\cap A\right) \\
   &=0,4\times 0,28+0,6\times 0,8 \\
   &=0,592\end{align*} $
   Par conséquent la probabilité que le client n’ait pas contacté le SAV est de $0,592$.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. À l’aide de la calculatrice on obtient $y=0,288x+2,886$.
   $\quad$
2. a. On obtient le graphique suivant :
   
   $\quad$
   b. En 2018 on a $x=5$.
   Donc $y=0,3\times 5+2,9=4,4$.
   Selon ce modèle, en 2018 un individu passe en moyenne $4,4$ h devant un écran par jour.
   $\quad$
   c. On veut résoudre l’équation
   $0,3x+2,9=5 \ssi 0,3x=2,1 \ssi x=7$
   C’est donc en $2020$ que, selon ce modèle, qu’on atteindra les $5$ h quotidienne devant un écran.
   $\quad$

Partie B

1. D’après l’énoncé, pour tout entier naturel $n$ on a :
   $U_{n+1}=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)U_n$
   Soit $U_{n+1}=1,05U_n$.
   La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
   $\quad$
2. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a :
   $U_n=3,97\times 1,05^n$.
   $\quad$
3. En 2019, on a $n=2$.
   Ainsi $U_2=3,97\times 1,05^2 \approx 4,38$.
   Selon ce modèle, en 2019, on passera environ $4,38$ heures devant un écran.
   $\quad$
4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $ U_n \pg 5 \ssi 3,97 \times 1,05^n \pg 5$
   D’après la calculatrice, on trouve :
   $U_4 \approx 4,83$ et $U_5 \approx 5,07$.
   C’est donc en 2022 qu’on devrait dépasser les $5$ heures quotidiennes devant un écran.
   $\quad$

 

Exercice 1     5 points

L’indice du prix du beurre, au 1$\ier$ de chaque mois de janvier à août 2017, est donné dans le tableau suivant (base $100$ en janvier 2005).

1. Quel était le prix de la tonne de beurre au 1$\ier$ janvier 2005 ?
   $\quad$
2. Proposer une formule à écrire dans la cellule $C4$, et à recopier vers la droite jusqu’à la cellule $I4$, qui permet de calculer le prix de la tonne de beurre au 1$\ier$ de chaque mois.
   $\quad$
3. a. Calculer le taux d’évolution, en pourcentage arrondi au dixième, du prix du beurre de janvier à août 2017.
   $\quad$
   b. En déduire que le taux d’évolution mensuel moyen est d’environ $5,5 \%$ sur cette période.
   $\quad$
4. Calculer le prix de la tonne de beurre le 1$\ier$ mai 2017 à l’euro près.
   $\quad$
5. Le prix de la tonne de beurre était de $6~500$ euros le 1er octobre 2017.
   a. Calculer l’indice (base $100$ en janvier 2005) du prix du beurre le 1$\ier$ octobre 2017, au dixième près.
   $\quad$
   b. L’évolution moyenne trouvée dans la question 3.b s’est-elle poursuivie après le mois d’août ?
   $\quad$

Exercice 2     9 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : Campagne de publicité

Une entreprise réalise une campagne de publicité sur six mois pour la sortie d’un nouveau téléviseur.
Elle estime que la probabilité qu’une personne prise au hasard connaisse ce téléviseur après $x$ semaines de publicité est donnée par : $$f(x)=\dfrac{9x}{10x+40} \quad \text{pour }x\in[0;26]$$

1. Quelle est la probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après une semaine de publicité ? Après deux semaines ?
   $\quad$
2. On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x)=\dfrac{360}{(10x+40)^2}$.
   $\quad$
3. Donner le signe de $f'(x)$ pour $x\in [0 ; 26]$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur l’intervalle $[0;26]$.
   $\quad$
4. Voici un algorithme :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   x\leftarrow 0\\
   y\leftarrow 0\\
   \text{Tant que } y<0,75\\
   \hspace{1cm} x\leftarrow x+1\\
   \hspace{1cm} y\leftarrow \dfrac{9x}{10x+40}\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Quelle est la valeur de la variable $x$ à la fin de l’exécution de cet algorithme ?
   $\quad$
   b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Partie B : Durée de vie d’un téléviseur

On décide de modéliser la durée de vie, en mois, d’un téléviseur par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d’espérance $\mu$ et d’écart type $\sigma$. Sa fonction de densité est représentée ci-dessous ainsi que la probabilité $P (X \pp 44) = 0,025$.

 

1. À l’aide des informations fournies par le graphique, déterminer une valeur de :
   a. l’espérance $\mu$,
   $\quad$
   b. $P (44 \pp X \pp 124)$.
   $\quad$

Dans la suite on admet que l’écart-type est $\sigma = 20,4$.

2. Calculer $P(X > 120)$. Arrondir au centième.
   $\quad$
3. La campagne de publicité de ce modèle de téléviseur vantait sa fiabilité et affirmait que la durée de vie de ce modèle serait de plus de 10 ans pour au moins les trois quarts d’entre eux. Qu’en pensez-vous ?
   $\quad$

Partie C : Service après-vente

Une enquête a été réalisée dans une grande surface de multimédia sur des clients ayant acheté un téléviseur deux ans plus tôt. On a constaté que :

• $40 \%$ de ces clients ont souscrit une garantie de deux ans. Parmi eux :
  – un quart a contacté une seule fois le service après-vente (SAV) ;
  – $28 \%$ n’ont pas contacté le SAV ;
  – les autres ont contacté le SAV au moins deux fois.
• Parmi les clients n’ayant pas souscrit de garantie de deux ans :
  – $80 \%$ n’ont pas contacté le SAV ;
  – $15 \%$ ont contacté le SAV une seule fois ;
  – les autres ont contacté le SAV au moins deux fois.

On choisit au hasard un client ayant acheté un téléviseur dans ce magasin deux ans plus tôt et on note les événements :
$\qquad$- $G$ : « Le client a souscrit une garantie de deux ans » ;
$\qquad$- $A$ : « Le client n’a pas contacté le SAV » ;
$\qquad$- $B$ : « Le client a contacté le SAV une seule fois » ;
$\qquad$- $C$ : « Le client a contacté le SAV au moins deux fois ».

1. Compléter l’arbre de probabilités donné en annexe à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que le client ait souscrit une garantie de deux ans et qu’il n’ait pas contacté le SAV.
   $\quad$
3. Calculer la probabilité que le client n’ait pas contacté le SAV.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 3     6 points

En France, le temps moyen quotidien, en heures, passé par une personne devant un écran d’ordinateur, de tablette ou de smartphone est donné dans le tableau suivant :

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i ; y_i\right)$ est donné en annexe à rendre avec la copie.

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.
   $\quad$
2. Dans la suite de l’exercice, on prend la droite d’équation $y = 0,3x + 2,9$ comme ajustement du nuage de points.
   a. Tracer cette droite dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
   $\quad$
   b. En utilisant cet ajustement, déterminer une estimation du temps quotidien passé devant un écran en 2018.
   $\quad$
   c. D’après ce modèle, en quelle année va-t-on atteindre les $5$ heures quotidiennes devant un écran ?
   $\quad$

Partie B

D’après une étude, le temps quotidien passé devant un écran devrait augmenter de $5 \%$ chaque année à partir de 2017.

On note $U_n$ le temps quotidien en heures passé devant un écran l’année 2017 $+n$.
On a donc $U_0 = 3,97$.

1. Quelle est la nature de la suite $\left(U_n\right)$ ? Préciser sa raison.
   $\quad$
2. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
3. À l’aide de ce modèle, donner une estimation, arrondie au centième, du temps quotidien passé devant un écran en 2019.
   $\quad$
4. D’après ce modèle, en quelle année devrait-on dépasser les $5$ heures quotidiennes passées devant un écran ?
   $\quad$

Annexe