Exercice 1

Partie A

1. On appelle $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu=6$ et d’écart type $\sigma = 0,7$.
   On veut calculer $P(5,3 \pp X \pp 6,7) \approx 0,683$.
   La probabilité qu’une pomme soit vendue au marché est environ égale à $0,683$.
   $\quad$
2. La probabilité qu’une pomme serve à faire des compotes est égale à $1-P(5,3 \pp X \pp 6,7)  \approx 0,317$.
   $\quad$

Partie B

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. a. D’après l’arbre pondéré on a $P(R\cap M)=0,6\times 0,8 = 0,48$.
   $\quad$
   b. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(M)&=P(R\cap M)+P(J\cap M) \\
   &=0,48+0,5\times 0,4\\
   &=0,68\end{align*}$
   $\quad$
   c. Les deux valeurs sont très proches l’une de l’autre. Le résultat obtenu à la question B.2.b est donc cohérent avec celui de la question A.2.
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_M(R)&=\dfrac{P(M\cap R)}{P(R)} \\
   &=\dfrac{0,48}{0,68} \\
   &\approx 0,706\end{align*}$
   La probabilité qu’une pomme acheter sur le marché soit rouge est environ égale à $0,706$.
   $\quad$

 

Exercice 2

Partie A

1. On a $U_1=U_0\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=0,85\times 20~000 =17~000$
   En 2011, $17~000$ ont été jetés par terre dans cette ville.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $U_{n+1}=0,85U_n$.
   La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $U_0=20~000$.
   $\quad$
   b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n=20~000\times 0,85^n$.
   $\quad$
   c. En 2019, on a $U_{9}=20~000\times 0,85^{9}\approx 4~632$.
   En 2019, $4~632$ seraient jetés par terre.
   $\quad$
3. a. À la ligne 4 on a $U\leftarrow 0,85\times U$.
   $\quad$
   b. D’après la calculatrice, on a $U_{11} \approx 3~347$ et $U_{12}\approx 2~845$.
   La variable $N$ a donc pris la valeur $12$ quand l’algorithme s’arrête.
   $\quad$

Partie B

1. a.  $\dfrac{6~691-20~000}{20~000}=-0,665~45$
   Le taux d’évolution global du nombre de mégots ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018 est donc d’environ $-67\%$ (il s’agit d’une baisse).
   $\quad$
   b. On appelle $x$ le taux d’évolution moyen du nombre de mégots ramassés dans la rue principale.
   Ainsi :
   $\begin{align*} 20~000\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^8=6~691&\ssi \left(1-\dfrac{x}{100}\right)^8=\dfrac{6~691}{20~000} \\
   &\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}\\
   &\ssi -\dfrac{x}{100}=\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}-1\\
   &\ssi \dfrac{x}{100}=1-\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}\\
   &\ssi x=100\left(1-\left(\dfrac{6~691}{20~000}\right)^{1/8}\right)\\
   \end{align*}$
   Par conséquent $x\approx 12,79$
   Le d’évolution moyen cherché est donc environ égal à $-13\%$.
   $\quad$
   c. Si le taux d’évolution entre 2018 et 2019 est de $-14\%$ alors :
   $6~691\times (1-0,14)=5~754,26$.
   Environ $5~754$ mégots seront ramassés dans la rue principale en 2019.
   $\quad$
2. a. D’après la calculatrice une équation de la droite d’ajustement du nuage par la méthode des moindres carrés est $y=-1~642x+18~507$
   $\quad$
   b. La droite passe par le point de coordonnées $(0;18~500)$.
   Si $x=10$ alors $y=2~500$ : elle passe également par le point de coordonnées $(10;2~500)$.
   On obtient alors le graphique suivant :
   
   $\quad$
   c. En 2020 on a $x=10$ donc $-1600\times 10+18~500=2~500$.
   En 2020, $2~500$ mégots seraient ramassés selon ce modèle.
   $\quad$
   d. D’après le graphique le nombre de mégots devrait être inférieur à $3~000$ à partir de l’année 2020.
   Il semblerait que le point d’intersection entre la droite $d$ et la droite d’équation $y=3~000$ ait pour abscisse environ $9,67$.
   $\quad$

 

Exercice 3

Partie A : lecture graphique

1. Graphiquement, l’image de $3$ par la fonction $f$ est $14,8$.
   $\quad$
2. Graphiquement le point d’intersection des deux courbes a pour coordonnées $(7;8,8)$.
   $\quad$

Partie B : calculs

1. a.
   $\begin{align*} f(x)=g(x)&\ssi 0,05x^2-2x+20,35=0,7x+3,9 \\
   &\ssi 0,05x^2-2x+20,35-0,7x-3,9=0 \\
   &\ssi 0,05x^2-2,7x+16,45=0\end{align*}$
   $\quad$
   b. Le discriminant de cette équation du second degré est :
   $\Delta = (-2,7)^2-4\times 0,05\times 16,45=4>0$
   L’équation possède donc deux solutions réelles :
   $x_1=\dfrac{2,7-\sqrt{4}}{0,1}=7$ et $x_2=\dfrac{2,7+\sqrt{4}}{0,1}=47$
   Or $47\notin [0;22]$
   Par conséquent l’équation $(E)$ ne possède qu’une seule solution $7$.
   $\quad$
   c. Or $g(7)=0,7\times 7+3,9=8,8$.
   Le point d’intersection des deux courbes a pour coordonnées $(7;8,8)$.
   $\quad$
2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;22]$ en tant que fonction polynôme.
   Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;22]$ on a :
   $f'(x)=0,05\times 2x-2=0,1x-2$.
   $\quad$
   b. $0,1x-2=0 \ssi 0,1x=2 \ssi x=20$ et $0,1x-2>0 \ssi 0,1x>2 \ssi x> 20$.
   Par conséquent :
   – $f'(x)<0$ si $x\in [0;20[$;
   – $f'(20)=0$;
   – $f'(x)>0$ si $x\in ]20;22]$.
   $\quad$
   c. On obtient donc le tableau de variations de la fonction $f$ suivant :
   $\quad$

 

Exercice 4

1. La suite $\left(U_n\right)$ est arithmétique de premier terme $U_0=5$ et de raison $7$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc $U_n=5+7n$.
   On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} U_n\pg 50 &\ssi 5+7n \pg 50 \\
   &\ssi 7n \pg 45 \\
   &\ssi n\pg \dfrac{45}{7}\end{align*}$
   Or $\dfrac{45}{7}\approx 6,43$
   Le plus petit entier naturel tel que $U_n\pg 50$ est donc $7$
   Réponse d
   $\quad$
2. On a $g(1)=\dfrac{3}{2}$.
   Par conséquent le point de coordonnées $\left(1;\dfrac{3}{2}\right)$ doit appartenir à la tangente.
   Cela exclut les propositions a. et d.
   On peut tracer la courbe et les deux droites restantes et regarder celle qui semble être la meilleure candidate ou bien calculer le nombre dérivée en $1$ à la calculatrice , ce qui nous fournit le coefficient directeur de la tangente.
   On peut également déterminer l’expression de $g'(x)$.
   $g'(x)=\dfrac{3(x+1)-1\times 3x}{(x+1)^2}=\dfrac{3x+3-3x}{(x+1)^2}=\dfrac{3}{(x+1)^2}$
   Donc $g'(1)=\dfrac{3}{4}$
   De plus $g(1)=\dfrac{3}{2}$
   Une équation de la tangente cherchée est donc de la forme $y=g'(1)(x-1)+f(1)$
   Soit $y=\dfrac{3}{4}(x-1)+\dfrac{3}{2}$
   D’où $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}$
   Réponse c
   $\quad$
3. On a $n=1~024\pg 30$ et $f=\dfrac{840}{1~024}$
   Par conséquent $nf=840 \pg 5$ et $n(1-f)=184\pg 5$
   Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion d’adolescents français qui possèdent un smartphone est :
   $\begin{align*} I_{1~024}&=\left[\dfrac{840}{1~024}-\dfrac{1}{\sqrt{1~024}};\dfrac{840}{1~024}+\dfrac{1}{\sqrt{1~024}}\right] \\
   &\approx [0,789;0,852]\end{align*}$
   Réponse b
   $\quad$
4. On appelle $P$ le prix initial.
   On a donc
   $\begin{align*} P\times (1-0,1)\times (1-0,15)=137,7 &\ssi P\times 0,9\times 0,85=137,7 \\
   &P\times 0,765=137,7 \\
   &P=\dfrac{137,7}{0,765}\\
   &P=180\end{align*}$
   Réponse d
   $\quad$

 

Exercice 1     4 points

Un fermier possède des pommiers.
Les pommes de taille standard sont vendues sur le marché, les autres servent à faire des compotes.

Partie A

On considère que le diamètre, exprimé en cm, d’une pomme produite par l’un des pommiers du fermier suit la loi normale de moyenne $\mu = 6$ et d’écart type $\sigma = 0,7$.
Les pommes de taille standard, donc qui vont être vendues sur le marché, sont celles dont le diamètre est compris entre $5,3$ cm et $6,7$ cm.

1. Donner la probabilité qu’une pomme soit vendue au marché. Arrondir le résultat au millième.
   $\quad$
2. En déduire la probabilité qu’une pomme serve à faire des compotes.
   $\quad$

Partie B

Les pommes récoltées sont soit rouges, soit jaunes.
$60\%$ des pommes récoltées sont rouges.
Parmi les pommes rouges, $80\%$ sont vendues au marché et les autres servent à faire des compotes.
Parmi les pommes jaunes, $50\%$ sont vendues au marché et les autres servent à faire des compotes.
On choisit une pomme au hasard parmi les pommes récoltées et on note:

• l’événement $R$ « la pomme est rouge »
• l’événement $J$ « la pomme est jaune »
• l’événement $M$ « la pomme est vendue sur le marché »
• l’événement $C$ « la pomme sert à faire des compotes »

1. Compléter l’arbre de probabilités fourni en annexe à rendre avec la copie.
   $\quad$
2. a. Calculer $P(R \cap M)$ et interpréter cette probabilité par une phrase.
   $\quad$
   b. Montrer que la probabilité qu’une pomme soit vendue au marché est de $68\%$.
   $\quad$
   c. Le résultat obtenu au b. est-il cohérent avec celui obtenu à la question 1. de la partie A ?
   $\quad$
3. Un client vient d’acheter une pomme sur le marché. Calculer la probabilité que cette pomme soit rouge.
   Arrondir le résultat au millième.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

Exercice 2     7 points

En 2010, le maire d’une ville a fait comptabiliser le nombre de mégots ramassés dans la rue principale.
Sur l’ensemble de l’année, le nombre de mégots ramassés est de $20~000$.
Souhaitant que ce nombre diminue fortement, le maire fait voter en conseil municipal une loi instaurant une amende de $160$ € pour jet de mégot par terre.

Partie A

Des statisticiens ont prévu, sur une période de $10$ ans, une diminution grâce à cette amende du nombre de mégots jetés par terre de $15\%$ par an.
Sous cette hypothèse, pour tout entier naturel $n$, on appelle $u_n$ le nombre de mégots jetés par terre en l’année 2010$+ n$.
Ainsi, $u_0$ est le nombre de mégots jetés par terre en 2010. On a $u_0 = 20~000$.

1. Justifier par le calcul que $u_1 = 17~000$.
   Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
   $\quad$
2. a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier.
   $\quad$
   b. Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   $\quad$
   c. Calculer le nombre de mégots qui, selon ce modèle, seraient jetés par terre en 2019.
   Arrondir le résultat à l’unité.
   $\quad$
3. Le programme ci-dessous calcule le rang de la première année au cours de laquelle le nombre de mégots jetés par terre devient inférieur à $3~000$.
   $$\begin{array}{|l|l|}
   \hline
   N \gets 0&\text{ligne} 1\\
   U \gets 20~000&\text{ligne} 2\\
   \text{Tant que } U \pg 3~000&\text{ligne} 3\\
   \hspace{1cm} U \gets \ldots&\text{ligne} 4\\
   \hspace{1cm} N \gets N + 1&\text{ligne} 5\\
   \text{Fin du Tant que}&\text{ligne} 6\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Recopier et compléter la ligne 4.
   $\quad$
   b. Quelle est la valeur de la variable $N$ lorsque ce programme s’arrête ?
   $\quad$

Partie B

Le tableau ci-dessous donne les nombres de mégots qui ont réellement été ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}    &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018\\
\hline
\text{Rang }x_i &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Nombre de mégots} \\\text{ramassés } y_i\end{array} &20~000 &17~384&14~817&12~569&10~721&9~142&8~458&7~673 &6~691\\
\hline
\end{array}$$

1. a. Calculer le taux d’évolution global du nombre de mégots ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018. Exprimer le résultat en pourcentage arrondi à l’entier le plus proche.
   $\quad$
   b. Calculer le taux d’évolution moyen du nombre de mégots ramassés dans la rue principale entre 2010 et 2018. Exprimer le résultat en pourcentage arrondi à l’entier le plus proche.
   $\quad$
   c. En supposant que le taux d’évolution entre 2018 et 2019 est de $- 14\%$, quel serait le nombre de mégots ramassés dans la rue principale en 2019 ? Arrondir le résultat à l’unité.
   $\quad$
2. Le nuage de points $\left(x_i;y_i\right)$ a été représenté en annexe à rendre avec la copie.
   a. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement de ce nuage par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à l’entier.
   $\quad$
   b. On prend désormais comme droite d’ajustement la droite $d$ d’équation: $$y = -1~600x + 18~500$$
   Tracer cette droite sur l’annexe à rendre avec la copie.
   $\quad$
   c. En supposant que cet ajustement demeure valable jusqu’en 2020, estimer quel serait le nombre de mégots ramassés en 2020.
   $\quad$
   d. À l’aide du graphique, déterminer à partir de quelle année le nombre de mégots devrait être inférieur à $3~000$.
   $\quad$

Annexe 

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0;22]$ par : $$f(x) = 0,05x^2 – 2x + 20,35 \quad \text{et}\quad g(x) = 0,7x + 3,9$$
Les deux fonctions sont représentées ci-dessous.

Partie A : lectures graphiques

1. Par lecture graphique, donner l’image de $3$ par la fonction $f$.
   $\quad$
2. À l’aide du graphique, donner une valeur approchée des coordonnées du point d’intersection des deux courbes.
   $\quad$

Partie B : calculs

1. a. Montrer que l’équation $f(x) = g(x)$ est équivalente à l’équation suivante $$(E) :\qquad 0,05x^2-2,7x + 16,45 = 0$$
   $\quad$
   b. Résoudre l’équation $(E)$.
   $\quad$
   c. En déduire les coordonnées du point d’intersection des deux courbes sur l’intervalle $[0;22]$.
   $\quad$
2. a. Montrer que la fonction dérivée $f’$ de la fonction $f$ est définie par $f'(x) = 0,1x-2$ pour tout $x$ appartenant à $[0;22]$.
   $\quad$
   b. Étudier le signe de la dérivée $f’$ sur l’intervalle $[0;22]$.
   $\quad$
   c. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;22]$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     4 points

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est attendue.
Une réponse juste rapporte $1$ point; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

1. Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $7$.
   Le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n$ dépasse $50$ est :
   a. $2$
   b. $5$
   c. $6$
   d. $7$
   $\quad$
2. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;10]$ par $g(x) = \dfrac{3x}{x+1}$.
   Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $1$ est :
   a. $y = 3x$
   b. $y = 3x-\dfrac{3}{2}\phantom{\dfrac{1}{2+\frac{1}{2}}}$
   c. $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{4}\phantom{\dfrac{1}{2+\frac{1}{2}}}$
   d. $y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{9}{4}$
   $\quad$
3. Afin d’estimer la proportion d’adolescents français qui possèdent un smartphone, on interroge les $1~024$ élèves d’un lycée. $840$ élèves répondent qu’ils possèdent un smartphone.
   Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ de la proportion d’adolescents français qui possèdent un smartphone est :
   a. $[0,820;0,822]$
   b. $[0,789;0,852]$
   c. $[0,819;0,821]$
   d. $[0,919;0,981]$
   $\quad$
4. Pendant une période de soldes, le prix d’une tablette a subi deux démarques successives:
   une première baisse de $10\%$ puis une autre de $15\%$ pour afficher un prix final de $137,70$ €.
   Le prix de cette tablette, en euros, avant le début des soldes était de :
   a. $105$
   b. $142$
   c. $174$
   d. $180$
   $\quad$

$\quad$