Exercice 1

Partie A – Modèle 1

1. Une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=0,274x+3,156$.
   $\quad$
2. Le deuxième trimestre de l’année 2018 correspond à $x=14$ donc $y=0,27\times 14+3,16=6,94$.
   Selon ce modèle, on peut prévoir $6,94$ millions d’abonnements à internet au deuxième trimestre de l’année 2018.
   $\quad$

Partie B – Modèle 2

1. Augmenter un nombre de $6\%$ revient à le multiplier par $1,06$.
   On a $u_1=u_0\times 1,06=5,43\times 1,06=5,755~8 \approx 5,76$.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,06u_n$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,06$ et de premier terme $u_0=5,43$.
   $\quad$
3. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=5,43\times 1,06^n$.
   $\quad$
4. Selon le modèle 1 on a, au deuxième trimestre de 2017, $x=10$ et donc $y=5,86$. On prévoit donc $5,86$ millions d’abonnements.
   À l’aide du modèle 2 on, a au deuxième trimestre de 2017, $n=2$ et donc $u_2\approx 6,10$. On prévoit alors environ $6,1$ millions d’abonnements.
   C’est donc le second modèle qui semble être le plus adapté.
   $\quad$
5. Dans ce tableau on indique les valeurs approchées de $u_n$ en fonction de $n$.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\
   \hline
   u_n&5,43&5,76&6,10&6,47&6,86&7,27&7,70&8,16&8,65&9,17&9,72&10,31\\
   \hline
   \end{array}$
   La boucle Tant que s’arrête dès que $u \pg 10$.
   Par conséquent à la fin de l’exécution de l’algorithme on a $n=11$.
   $\quad$

Exercice 2

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
2. L’événement $E\cap S$ correspond à “le client a voyagé à l’étranger et est satisfait”.
   On a $P(E\cap S)=0,62\times 0,78 = 0,483~6$
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(E)&=P(F\cap S)+P(E\cap S) \\
   &=0,38\times 0,83+0,62\times 0,78 \\
   &=0,799
   \end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_S(E)&=\dfrac{P(S\cap E)}{P(E)} \\
   &=\dfrac{0,483~6}{0,799} \\
   &\approx 0,605
   \end{align*}$
   $\quad$

 

Exercice 3

1. Le taux d’évolution du prix entre 2015 et 2016 est
   $t=\dfrac{189-167,5}{167,5}\approx 12,84\%$.
   $\quad$
2. Le prix en euros par tonne en 2014 est  $\dfrac{248\times 73,2}{100}\approx 181,5$.
   $\quad$
3. En 2016 l’indice du prix en 2016 est $\dfrac{100\times 189}{248}\approx 76,2$.
   $\quad$
4. On a pu saisir dans la cellule $C3$ la formule suivante :
   $=\$B\$3*C2/\$B\$2$.
   $\quad$
5. $248\times \left(1-\dfrac{5,29}{100}\right)^5 \approx 189,0$ (arrondi au dixième).
   Le taux d’évolution annuel moyen, arrondi à $0,01\%$ entre 2011 et 2016 est $-5,29\%$.
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A

1. À l’aide de la calculatrice on obtient $P(81,6 \pp X \pp 82,4) \approx 0,954$
   La probabilité qu’une plaque réussisse ce premier test est $0,954$.
   $\quad$
2. a. On a $n=2~500$ et $p=0,9$
   Donc $n\pg 30$, $np=2~250 \pg 5$ et $n(1-p) = 250\pg 5$.
   Un intervalle de fluctuation, à au moins $95\%$ de la fréquence des plaques dont l’épaisseur est inférieur à $3$ millimètres, dans ce lot est :
   $\begin{align*} I_{2~500}&=\left[0,9-\dfrac{1}{\sqrt{2~500}};0,9+\dfrac{1}{\sqrt{2~500}}\right] \\
   &=[0,88;0,92]
   \end{align*}$
   $\quad$
3. La fréquence observée est $f=\dfrac{2~274}{2~500}=0,909~6\in I_{2~500}$.
   On doit donc accepter l’affirmation du fournisseur.
   $\quad$

Partie B

1. D’après le graphique, le nombre de machines agricoles que doit produire l’entreprise pour réaliser des profits doit appartenir à l’intervalle $]5;39]$.
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-96\times 2x+2~484 \\
   &=3x^2-192x+2~484 \end{align*}$
   $\quad$
3. Le discriminant du polynôme du second degré $3x^2-192x+2~484$ est :
   $\Delta = (-192)^2-4\times 3\times 2~484=7~056 >0$
   Les deux solutions de l’équation sont donc :
   $x_1=\dfrac{192-\sqrt{7~056}}{2\times 3}=18$ et $x_2=\dfrac{192+\sqrt{7~056}}{2\times 3}=46$
   $\quad$
4. Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=3>0$.
   Par conséquent le tableau de variations de la fonction $f$ est :
   $\quad$
5. D’après le tableau de variations, le bénéfice est maximal quand l’entreprise fabrique $18$ machines.
   Le bénéfice est alors de $9,44$ millions d’euros.
   $\quad$

Exercice 1     5 points

 

Le tableau suivant donne le nombre d’abonnements a internet en trè s haut débit en France du premier trimestre 2015 au quatrième trimestre 2016.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Trimestre}&\text{T}1&\text{T}2&\text{T}3&\text{T}4&\text{T}1&\text{T}2&\text{T}3&\text{T}4\\
&2015&2015&2015&2015&2016&2016&2016&2016\\
\hline
\text{Rang du}&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\text{trimestre }x_i&&&&&&&&\\
\hline
\text{Abonnements}&3,56&3,63&3,88&4,3&4,5&4,77&5,04&5,43\\
y_i\text{en millions}&&&&&&&&\\
\hline
\end{array}\\
\hspace{9 cm} Source : Arcep$$

Partie A – Modèle 1

1. À l’aide de la calculatrice, donner, pour cette série statistique, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
   On arrondira les coefficients au millième.
   $\quad$
2. On décide de modéliser l’évolution du nombre d’abonnements $y$ en fonction du rang $x$ du trimestre par l’expression : $y = 0,27x +3,16$.
   Sur la base de ce modèle, calculer le nombre d’abonnements prévu au deuxième trimestre de l’année 2018.
   $\quad$

Partie B – Modèle 2

Les données du tableau et celles publiées depuis permettent d’envisager que le nombre d’abonnements à internet en très haut débit en France pourrait continuer à augmenter de $6\%$ chaque trimestre, à partir de la fin de l’année 2016. On note $u_n$ le nombre d’abonnements, en millions, à internet en très haut débit en France au bout de $n$ trimestres. Ainsi $u_0 = 5,43$.

1. Vérifier en détaillant le calcul que $u_1\approx 5,76$ (valeur arrondie au centième).
   $\quad$
2. Quelle est la nature de la suite? Donner sas raison.
   $\quad$
3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
4. L’actualisation des données a révélé qu’au deuxième trimestre de 2017, le nombre d’abonnements s’élevait en réalité à $6,15$ millions. Des deux modèles 1 et 2, lequel semble le plus adapté?
   $\quad$
5. L’algorithme ci-dessous est destiné à estimer le nombre de trimestres nécessaires pour qu’au moins $10$ millions de foyers soient connectés en très haut débit à internet.
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   n \leftarrow 0\\
   u\leftarrow 5,43 \\
   \text{Tant que }u<10 \\
   \hspace{1cm} u\leftarrow u\times 1,06 \\
   \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme?
   $\quad$

Exercice 2     4 points

Une agence de voyage a effectué un sondage auprès de ses clients pendant la période estivale.
Le sondage est effectué sur l’ensemble des clients. Ce sondage montre que :

• $38\%$ des clients voyagent en France;
• $83\%$ des clients voyageant en France sont satisfaits;
• $78\%$ des clients voyageant à l’étranger sont satisfaits.

On interroge un client au hasard. On considère les événements suivants :

• $F$: “le client a voyagé en France”;
• $E$: “le client a voyagé à l’étranger”;
• $S$: “le client est satisfait du voyage”.

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous.
   
   $\quad$
2. Définir par une phrase l’événement $E\cap S$ et calculer sa probabilité.
   $\quad$
3. Montrer que $P(S)=0,799$.
   $\quad$
   Sachant que le client est satisfait, quelle est la probabilité qu’il ait voyagé à l’étranger?
   On arrondira pour cette question le résultat au millième.
   $\quad$

Exercice 3     5 points

On s’intéresse à l’évolution du prix d’une matière première en euros par tonne depuis 2011. Le tableau ci-dessous donne le prix de cette matière première entre 2011 et 2016 avec $100$ pour indice de base en 2011.
Dans ce tableau certaines données sont manquantes

1. Déterminer le taux d’évolution du prix entre 2015 et 2016.
   On arrondira à $0,01\%$.
   $\quad$
2. Calculer le prix en euros par tonne en 2014.
   On arrondira au dixième.
   $\quad$
3. Calculer l’indice du prix en 2016.
   On arrondira au dixième.
   $\quad$
4. Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule $C3$ pour obtenir par recopie vers la droite les indices du prix?
   $\quad$
5. Montrer que le taux d’évolution annuel moyen, arrondi à $0,01\%$ entre 2011 et 2016 est $-5,29\%$.
   $\quad$

Exercice 4     7 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Pour la fabrication de machines agricoles, une usine reçoit en grande quantité des plaques métalliques carrées. Elles ne peuvent être utilisées dans le processus de fabrication que si la longueur de leurs côtés et leur épaisseur respectent certains critères.

1. Un premier test permet de vérifier la longueur des côtés de chaque plaque. Une plaque réussit ce test si la longueur de ses côtés est comprise entre $81,6$ centimètres et $82,4$ centimètres. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque plaque prélevée au hasard, associe la longueur de son côté, en centimètres. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $82$ et d’écart-type $0,2$.
   $\quad$
   Déterminer la probabilité, arrondie au millième, qu’une plaque réussisse ce premier test.
   $\quad$
2. Les plaques ayant réussi le premier test subissent un second test permettant de vérifier leur épaisseur. Une plaque sera utilisable par l’usine si son épaisseur est inférieure à $3$ millimètres.
   Le fournisseur affirme que $90\%$ des plaques qui subiront ce second test ont une épaisseur inférieure à $3$ millimètres.
   On effectue le second test sur un lot de $2~500$ plaques.
   a. Déterminer l’intervalle de fluctuation, à au moins $95\%$, de la fréquence des plaques dont l’épaisseur est inférieure à $3$ millimètres, dans ce lot.
   $\quad$
   b. Parmi les $2~500$ plaques, $2~274$ ont réussi le second test. Au regard de ces résultats, doit-on accepter l’affirmation du fournisseur ?
   $\quad$

Partie B

Cette usine peut produire en un mois entre $0$ et $50$ machines agricoles.
On a modélisé le bénéfice de l’entreprise, exprimé en milliers d’euros, par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;50]$ par :
$$f(x)=x^3-96x^2+2~484x-10~000$$
On dit que l’entreprise réalise des profits si son bénéfice est strictement positif.

On a tracé la représentation graphique de cette fonction $f$.

1. Par lecture graphique, donner sous forme d’intervalle, le nombre de machines agricoles que doit produire l’entreprise pour réaliser des profits.
   $\quad$
2. On désigne par $f’$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.
   $\quad$
3. Résoudre l’équation : $3x^2-192x+2~484=0$.
   $\quad$
4. Recopier et compléter le tableau de variations ci-dessous :
   
   $\quad$
5. À l’aide des questions précédentes, donner le nombre de machines à fabriquer pour que le bénéfice soit maximal, puis calculer ce bénéfice maximal.
   $\quad$